《數(shù)字電路與邏輯設計：第2章 邏輯代數(shù)基礎1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《數(shù)字電路與邏輯設計：第2章 邏輯代數(shù)基礎1（40頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第第2 2章章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎 2.1 2.1 概述概述 2.2 2.2 邏輯代數(shù)中的運算邏輯代數(shù)中的運算 2.3 2.3 邏輯代數(shù)的公式邏輯代數(shù)的公式 2.4 2.4 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則 2.5 2.5 邏輯函數(shù)的表達式邏輯函數(shù)的表達式 2.6 2.6 邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)的化簡 2.1 2.1 概述概述 邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)又稱又稱布爾代數(shù)，布爾代數(shù)，18491849年由英國數(shù)學家喬治年由英國數(shù)學家喬治. .布布爾爾(George Boole)(George Boole)首先提出。首先提出。它把事物間邏輯關系簡它把事物間邏輯關系簡化為符號間的數(shù)學運算化為符號間的數(shù)

2、學運算。又因為布爾代數(shù)中的常量、變量都只有又因為布爾代數(shù)中的常量、變量都只有“真真”（TrueTrue）和）和“假假”（FalseFalse）兩種取值，所以也稱為）兩種取值，所以也稱為二值代二值代數(shù)數(shù)。后來被廣泛用于開關電路和數(shù)字邏輯電路的分析與后來被廣泛用于開關電路和數(shù)字邏輯電路的分析與設計，所以也稱為設計，所以也稱為開關代數(shù)開關代數(shù)或或邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)。一、三種基本邏輯關系：一、三種基本邏輯關系： 1.1.與邏輯：與邏輯：2.2.或邏輯：或邏輯：3.3.非邏輯：非邏輯：1.1.與邏輯：與邏輯： 所有條件同時具備，結果才發(fā)生。所有條件同時具備，結果才發(fā)生。ABEL(a) (a) 說明與邏輯的

3、電路說明與邏輯的電路開關閉合開關閉合：條件（原因）：條件（原因）燈亮燈亮：事件（結果）：事件（結果）假設假設: :“1 1” 表示開關閉合或燈亮；表示開關閉合或燈亮； “0 0” 表示開關斷開或燈不亮。表示開關斷開或燈不亮。邏輯真值表邏輯真值表A BL 0 00 0 10 1 00 1 11ABEL若用邏輯表達式來描述，則可寫為：若用邏輯表達式來描述，則可寫為：L = A B與邏輯的算符與邏輯的算符: “” “ ” “” “” “AND”讀作讀作“乘乘”，邏輯乘的算符通?？梢允÷圆粚憽?，邏輯乘的算符通?？梢允÷圆粚?。與運算的規(guī)則：與運算的規(guī)則： 輸入有輸入有0，輸出為，輸出為0；輸入全；輸入全

4、1，輸出為，輸出為1。 與運算可以推廣到多變量：與運算可以推廣到多變量： L = A B C00=0 01=0 10=0 11=1即滿足以下規(guī)則：即滿足以下規(guī)則：2.2.或邏輯：或邏輯： 只要具備一個或一個以上條件，只要具備一個或一個以上條件， 結果就發(fā)生。結果就發(fā)生。ABEL(b) (b) 說明或邏輯的電路說明或邏輯的電路開關閉合開關閉合：條件（原因）：條件（原因）燈亮燈亮：事件（結果）：事件（結果）ABEL假設假設: :“1 1” 表示開關閉合或燈亮；表示開關閉合或燈亮； “0 0” 表示開關斷開或燈不亮。表示開關斷開或燈不亮。邏輯真值表邏輯真值表A BL 0 00 0 11 1 01 1

5、 11用邏輯表達式來描述，可寫為：用邏輯表達式來描述，可寫為： LA + B或邏輯的算符：或邏輯的算符：“+”、“”、“”、“OR”讀作讀作“加加”?；蜻\算的規(guī)則為：或運算的規(guī)則為：或運算也可以推廣到多變量：或運算也可以推廣到多變量：L=A+B+C輸入有輸入有1，輸出為，輸出為1；輸入全；輸入全0，輸出為，輸出為0。即滿足以下規(guī)則：即滿足以下規(guī)則： 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1AELR(c) (c) 說明非邏輯的電路說明非邏輯的電路開關閉合開關閉合：條件（原因）：條件（原因）燈亮燈亮：事件（結果）：事件（結果）3.3.非邏輯：非邏輯： 條件具備，結果就不發(fā)生。條件具備，結果就

6、不發(fā)生。AELRAL01 10假設假設: :“1 1” 表示開關閉合或燈亮；表示開關閉合或燈亮； “0 0” 表示開關斷開或燈不亮。表示開關斷開或燈不亮。邏輯真值表邏輯真值表AL 用邏輯表達式來描述，可寫為：用邏輯表達式來描述，可寫為： 非邏輯的算符用非邏輯的算符用“”表示，讀作表示，讀作“非非”。非運算的規(guī)則為：非運算的規(guī)則為：10 01基本邏輯運算的圖形符號：基本邏輯運算的圖形符號： 與邏輯與邏輯或邏輯或邏輯非邏輯非邏輯國標國標曾用曾用美國美國ABFABF1AFABF+ABFAFABFAFABF正邏輯與負邏輯：正邏輯與負邏輯：正邏輯：低電平用邏輯正邏輯：低電平用邏輯“0”表示，表示， 高電

7、平用邏輯高電平用邏輯“1”表示。表示。負邏輯：低電平用邏輯負邏輯：低電平用邏輯“1”表示，表示， 高電平用邏輯高電平用邏輯“0”表示。表示。2.2.3 2.2.3 復合邏輯運算復合邏輯運算由兩個或兩個以上基本運算構成的邏輯運算。由兩個或兩個以上基本運算構成的邏輯運算。BAF ABF CDABF BABABAF F = A B B=BAAB 或非運算：或非運算：與非運算：與非運算：與或非運算：與或非運算：異或運算：異或運算：同或運算：同或運算：A B B BA異或和同或互為反函數(shù)：異或和同或互為反函數(shù)：A B BBA 國標國標曾用曾用美國美國與非邏輯與非邏輯或非邏輯或非邏輯與或非與或非邏輯邏輯異

8、或邏輯異或邏輯同或邏輯同或邏輯ABFABFABFABF+ABFABFABFCDABFCDFABCD=1ABF=ABFABFABFABFABF123456ABCD654321DCBATitleNumberRevisionSizeBDate:14-Feb-2002Sheet of File:C:Program FilesDesign Explorer 99 SELibraryYangHengXinMyDesign.ddbDrawn By:&1ABFFFAB11BAFBA BAFBA BAABFBA 1 1位二進制數(shù)比較單元位二進制數(shù)比較單元請寫出輸出函數(shù)的表達式并列出對應真值表。請寫出輸出函數(shù)的表

9、達式并列出對應真值表。 123456ABCD654321DCBATitleNumberRevisionSizeBDate:14-Feb-2002Sheet of File:C:Program FilesDesign Explorer 99 SELibraryYangHengXinMyDesign.ddbDrawn By:=1=1&1iiiii-1ABCCS圖示：全加器電路圖示：全加器電路 Si= Ai Bi Ci-1 Ci= Ai Bi + Ci-1 ( Ai Bi )請寫出輸出函數(shù)請寫出輸出函數(shù)Si和和Ci的表達式：的表達式： 123456ABCD654321DCBATitleNumberR

10、evisionSizeBDate:14-Feb-2002Sheet of File:C:Program FilesDesign Explorer 99 SELibraryYangHengXinMyDesign.ddbDrawn By:ABBCF&F = AB BC請寫出輸出函數(shù)的表達式并列出對應真值表。請寫出輸出函數(shù)的表達式并列出對應真值表。 2.3 2.3 邏輯代數(shù)的公式邏輯代數(shù)的公式 2.3.1 基本公式基本公式 ： 1.1.自等律自等律 A + 0 = A A 1 = A 2.2.吸收律吸收律 A + 1 = 1 A 0 = 0 3.3.重疊律重疊律 A + A = A A A = A

11、4.4.互補律互補律 5.5.還原律還原律 A = A A + A = 1 A A = 06.6.交換律交換律 A + B = B + A A B = B A 7.7.結合律結合律 A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C) A B C= (A B) C = A (B C)8.8.分配律分配律 A (B + C) = AB + AC A + BC= (A + B) (A + C) 9.9.反演律反演律 A + B = A B AB = A + B 反演律：對變量之和求反等于反變量之積；反演律：對變量之和求反等于反變量之積； 對變量這積求反等于反變量之和。對變量這

12、積求反等于反變量之和。 該定理針對多個變量依然適用。該定理針對多個變量依然適用。 基本公式的正確性可以用基本公式的正確性可以用列真值表的方法加以證明列真值表的方法加以證明； 對同一基本公式左、右兩列存在對同一基本公式左、右兩列存在對偶關系對偶關系（后述）。（后述）。例例2.3.1 試用試用真值表真值表證明公式：證明公式：A+BC=(A+B)(A+C)。A B CA+BC (A+B)(A+C)0 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 0 00 1 1 1 11 0 0 1 11 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1練習：練習： 試用真值表證明下列等式。試用真值表證明下列等式。

13、(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)A B C 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1A B+B C+A CABC+A B C課后習題課后習題2.22.2（1 1） 試用真值表證明下列等式。試用真值表證明下列等式。（1）A B+B C+A C=ABC+ A B C2.3.3 常用公式常用公式 2. 消項公式消項公式 A + AB = A1.合并相鄰項公式合并相鄰項公式ABAAB 3. 消去互補因子公式消去互補因子公式 BABAA 推廣舉例：推廣舉例：ABCDA

14、BABCD 推廣舉例：推廣舉例：ABABCDAB 推廣舉例：推廣舉例：CDABCDABAB 4. 多余項（生成項）公式多余項（生成項）公式AB + AC + BC = AB +AC證明證明：AB + AC + BC = AB + AC + ( A + A )BC= AB + AC + ABC + ABC= AB + AC推廣舉例：推廣舉例：CAABBCDEFGBCCAABBCDEFGCAAB 2.4 2.4 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則 一、代入規(guī)則：一、代入規(guī)則： 適用于等式適用于等式設設 F1( x1, x2, ,xn ) = F2( x1,x2, ,xn)則則 F1( G, x2

15、, ,xn ) = F2( G,x2, ,xn)例：已知例：已知 AB + AB = A 若令若令G = AB, H = CD并把等式兩邊的并把等式兩邊的A、B 分別用函數(shù)分別用函數(shù)G、H 代替，代替，則有：則有：ABCD + ABCD = AB二、反演規(guī)則二、反演規(guī)則 ： 用于求反函數(shù)用于求反函數(shù) F F + 1 0 A A+ 0 1A A注意：注意： (1) (1) 與運算優(yōu)先或運算，與運算優(yōu)先或運算，若有括號，先算括號內(nèi)若有括號，先算括號內(nèi) (2) (2) 不屬于單個變量上不屬于單個變量上的非號，在變換時應保的非號，在變換時應保留留 摩根定律是反演規(guī)則的特例，兩者均可摩根定律是反演規(guī)則的

16、特例，兩者均可用來求反函數(shù)。用來求反函數(shù)。 例例2.4.2 若若 F = A+ BC + 1， 試用反演規(guī)則求反函數(shù)試用反演規(guī)則求反函數(shù) F。例例2.4.3 若若 F = A BC + B+C D + E， 試用反演規(guī)則求反函數(shù)試用反演規(guī)則求反函數(shù) F。補充補充：試用反演規(guī)則求下列函數(shù)的反函數(shù)。：試用反演規(guī)則求下列函數(shù)的反函數(shù)。)(DCBAF 2）F = A + B+C D DCBAF 1）F = A B + C D，3）F=AB+C D+ACF=(A+B) C+D(A+C)4）F=A+C ( BC + D)(B+C)+ADF=(A C +B+C D+B C)(A+D)常用關系式：常用關系式：

17、(1) F = F；(2) 若若 F = G ，則，則 F = G ；反之也成立。；反之也成立。三、對偶規(guī)則三、對偶規(guī)則 ： 用于等式的證明用于等式的證明 F F + 1 0 + 0 1注意：注意： (1) (1) 與運算優(yōu)先或運算，與運算優(yōu)先或運算，若有括號，先算括號內(nèi)若有括號，先算括號內(nèi) (2) (2) 不屬于單個變量上不屬于單個變量上的非號，在變換時應保的非號，在變換時應保留留 例例2.4.4(1) F=A ( B + C)，求其對偶函數(shù)。，求其對偶函數(shù)。例例2.4.4(2) F=A + B C，求其對偶函數(shù)。，求其對偶函數(shù)。補充補充：求下列函數(shù)的對偶數(shù)式。：求下列函數(shù)的對偶數(shù)式。1）F

18、=A B +A B (AC+CD)2) F=A B+D +(AC+BD)E常用關系式：常用關系式：(1) ( F) = F；(2) 若若 F = G ，則，則 F = G ；反之也成立。；反之也成立。將將 F中的變量原反互換后即可得到中的變量原反互換后即可得到 F ；將將 F中的變量原反互換后即可得到中的變量原反互換后即可得到 F。F F + 1 0 A A+ 0 1A AF F + 1 0 + 0 1反演式和對偶式間的關系：反演式和對偶式間的關系：補充補充：直接寫出下式的反演式和對偶式。：直接寫出下式的反演式和對偶式。F = A + B+C D本次課內(nèi)容小結本次課內(nèi)容小結 掌握三種基本邏輯及幾種復合邏輯運算。掌握三種基本邏輯及幾種復合邏輯運算。 掌握列函數(shù)真值表的方法。掌握列函數(shù)真值表的方法。 熟悉邏輯代數(shù)的基本公式及常用公式。熟悉邏輯代數(shù)的基本公式及常用公式。 掌握反演規(guī)則及對偶規(guī)則，會利用以上規(guī)則求反掌握反演規(guī)則及對偶規(guī)則，會利用以上規(guī)則求反 函數(shù)或?qū)ε己瘮?shù)。函數(shù)或?qū)ε己瘮?shù)。課后作業(yè)2.2(1)2.42.5(1)