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1、
第67練 直線與圓錐曲線綜合練
訓(xùn)練目標(biāo)
會(huì)判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,能熟練應(yīng)用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題.
訓(xùn)練題型
(1)求曲線方程;(2)求參數(shù)范圍;(3)長(zhǎng)度、面積問(wèn)題;(4)與向量知識(shí)交匯應(yīng)用問(wèn)題.
解題策略
聯(lián)立直線與曲線方程,轉(zhuǎn)化為二次方程問(wèn)題,再利用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)式、方程組、不等式組,結(jié)合已知條件解決具體問(wèn)題.
一、選擇題
1.(20xx·鄭州質(zhì)檢)過(guò)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F作傾斜角為135°的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),則弦AB的長(zhǎng)為( )
A.4 B.8
C.12 D.16
2.設(shè)a,b是關(guān)于t的方程t2c
2、os θ+tsin θ=0的兩個(gè)不等實(shí)根,則過(guò)A(a,a2),B(b,b2)兩點(diǎn)的直線與雙曲線-=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1
C.2 D.3
3.已知直線l的斜率為k,它與拋物線y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),若=2,則|k|等于( )
A.2 B.
C. D.
二、填空題
4.已知直線kx-y+1=0與雙曲線-y2=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,若x軸上的點(diǎn)M(3,0)到A,B兩點(diǎn)的距離相等,則k的值為_(kāi)_______.
5.(20xx·唐山一模)F是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F向C的一條漸近線引垂線,垂足為A,
3、交另一條漸近線于點(diǎn)B.若2=,則C的離心率是________.
6.設(shè)F1,F(xiàn)2為橢圓C1:+=1(a1>b1>0)與雙曲線C2的公共的左,右焦點(diǎn),橢圓C1與雙曲線C2在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)M,△MF1F2是以線段MF1為底邊的等腰三角形,且|MF1|=2,若橢圓C1的離心率e∈,則雙曲線C2的離心率的取值范圍是________.
三、解答題
7.已知橢圓E:+=1(a>b>0),其焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,離心率為,直線l:x+2y-2=0與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,
(1)若點(diǎn)A是橢圓E的一個(gè)頂點(diǎn),求橢圓的方程;
(2)若線段AB上存在點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=2a,求a的取值范圍.
4、
8.(20xx·山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)第三次診斷)已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P滿足A·B=-3.
(1)求曲線C的方程;
(2)若過(guò)定點(diǎn)M(0,-2)的直線l與曲線C有公共點(diǎn),求直線l的斜率k的取值范圍;
(3)若動(dòng)點(diǎn)Q(x,y)在曲線C上,求u=的取值范圍.
9.(20xx·重慶巫溪中學(xué)第五次月考)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=-4x的焦點(diǎn)相同,且橢圓C上一點(diǎn)與橢圓C的左,右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)為2+2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l:y=kx+m(k,m∈R)與橢圓C交于A
5、,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),△AOB的重心G滿足:·=-,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
答案精析
1.D [由題意得,拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0),又直線AB的傾斜角為135°,故直線AB的方程為y=-x+2.代入拋物線方程y2=8x,得x2-12x+4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則弦AB的長(zhǎng)應(yīng)為x1+x2+4=12+4=16.]
2.A [由根與系數(shù)的關(guān)系,得a+b=-tan θ,ab=0,則a,b中必有一個(gè)為0,另一個(gè)為-tan θ.不妨設(shè)A(0,0),B(-tan θ,tan2θ),則直線AB的方程為y=-xtan θ.根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,得雙曲
6、線的漸近線方程為y=±xtan θ,顯然直線AB是雙曲線的一條漸近線,所以過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn).]
3.A [根據(jù)拋物線過(guò)焦點(diǎn)弦的結(jié)論+=,得+=1,又因?yàn)閨AF|=2|BF|,
所以|BF|=,|AF|=3,則弦長(zhǎng)|AB|=,又弦長(zhǎng)|AB|=(α為直線AB的傾斜角),
所以sin2α=,則cos2α=,tan2α=8,即k2=8,所以|k|=2,故選A.]
4.
解析 聯(lián)立直線與雙曲線方程
得(1-2k2)x2-4kx-4=0,
∵直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),
∴
解得-1
7、
設(shè)P為AB的中點(diǎn),
則P(,+1),
即P(,).
∵M(jìn)(3,0)到A,B兩點(diǎn)距離相等,
∴MP⊥AB,
∴kMP·kAB=-1,即k·=-1,得k=或k=-1(舍),∴k=.
5.
解析 由已知得漸近線為l1:y=x,l2:y=-x,由條件得,F(xiàn)到漸近線的距離|FA|=b,則|FB|=2b,
在Rt△AOF中,|OF|=c,則|OA|==a.設(shè)l1的傾斜角為θ,即∠AOF=θ,則∠AOB=2θ.
在Rt△AOF中,tan θ=,在Rt△AOB中,tan 2θ=,而tan 2θ=,
即=,即a2=3b2,
所以a2=3(c2-a2),
所以e2==,又e>1,
所以
8、e=.
6.
解析 設(shè)雙曲線C2的方程為-=1(a2>0,b2>0),由題意知|MF1|=2,|F1F2|=|MF2|=2c,其中c2=a+b=a-b,又根據(jù)橢圓與雙曲線的定義得
??a1-a2=2c,其中2a1,2a2分別為橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng).
因?yàn)闄E圓的離心率e∈,所以≤≤,所以c≤a1≤c,而a2=a1-2c,所以c≤a2≤c,所以≤≤4,即雙曲線C2的離心率的取值范圍是.
7.解 (1)由橢圓的離心率為,
得a=c,∵直線l與x軸交于A點(diǎn),
∴A(2,0),∴a=2,c=,b=,
∴橢圓方程為+=1.
(2)由e=,可設(shè)橢圓E的方程為+=1,
聯(lián)立
得6
9、y2-8y+4-a2=0,
若線段AB上存在點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=2a,則線段AB與橢圓E有公共點(diǎn),等價(jià)于方程6y2-8y+4-a2=0在y∈[0,1]上有解.
設(shè)f(y)=6y2-8y+4-a2,
∴即
∴≤a2≤4,
故a的取值范圍是≤a≤2.
8.解 (1)設(shè)P(x,y),A·B=(x+2,y)(x-2,y)=x2-4+y2=-3,
得P點(diǎn)軌跡(曲線C)方程為x2+y2=1,
即曲線C是圓.
(2)可設(shè)直線l的方程為y=kx-2,
其一般方程為kx-y-2=0,
由直線l與曲線C有交點(diǎn),得≤1,得k≤-或k≥,
即所求k的取值范圍是(-∞,- ]∪[,+
10、∞).
(3)由動(dòng)點(diǎn)Q(x,y),設(shè)定點(diǎn)N(1,-2),
則直線QN的斜率kQN==u,
又點(diǎn)Q在曲線C上,故直線QN與圓有交點(diǎn),
設(shè)直線QN的方程為y+2=u(x-1),
即ux-y-u-2=0.
當(dāng)直線與圓相切時(shí),=1,
解得u=-,
當(dāng)u不存在時(shí),直線與圓相切,
所以u(píng)∈(-∞,-].
9.解 (1)依題意得
即
所以橢圓C的方程為+y2=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立得方程組
消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
則
設(shè)△AOB的重心為G(x,y),
由·=-,
可得x2+y2=.②
由重心公式可得G(,),
代入②式,整理可得(x1+x2)2+(y1+y2)2=4?(x1+x2)2+[k(x1+x2)+2m]2=4,③
將①式代入③式并整理,
得m2=,
代入(*)得k≠0,
則m2==1+=1+.
∵k≠0,∴t=>0,∴t2+4t>0,
∴m2>1,∴m∈(-∞,-1)∪(1,+∞).