《（課標(biāo)通用）2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（課標(biāo)通用）2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案 理（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 §2.4　二次函數(shù)與冪函數(shù) 考綱展示?　1.了解冪函數(shù)的概念． 2．結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的圖象，了解它們的變化情況． 3．理解并掌握二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)． 4．能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題． 考點1　冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù)特征性質(zhì) y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 圖象 定義域 R R R ______ ______ 值域 R ______ R ______ ______ 奇偶性 ______ ____

2、__ ______ ______ ______ 單調(diào)性 ______ ______ ______ ______ ______ 公共點 ______ 答案：{x|x≥0}　{x|x≠0}　{y|y≥0}　{y|y≥0}　{y|y≠0}　奇　偶　奇　非奇非偶　奇 增　(－∞，0)減，(0，＋∞)增　增　增　(－∞，0)和(0，＋∞)減　(1,1) [教材習(xí)題改編]已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(2，)，則函數(shù)f(x)＝________. 答案：x 解析：設(shè)f(x)＝xα，則＝2α，所以α＝，故函數(shù)f(x)＝x. 冪函數(shù)概念的誤區(qū)：系數(shù)為1；指數(shù)為常數(shù)

3、． 已知冪函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm－3，則m為________． 答案：2或－1 解析：若函數(shù)為冪函數(shù)，則m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. [典題1]　(1)冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(4,2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的圖象是(　　) A　　 　　　B 　　 C　　 　　　D [答案]　C [解析]　令f(x)＝xα，則4α＝2， ∴α＝，∴f(x)＝x. (2)[2017·安徽江南七校聯(lián)考]已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為(　　) A．－3 B．

4、1 C．2 D．1或2 [答案]　B [解析]　由于f(x)為冪函數(shù)，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3. 當(dāng)n＝1時，函數(shù)f(x)＝x－2為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，且f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以n＝1滿足題意； 當(dāng)n＝－3時，函數(shù)f(x)＝x18為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，而f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以n＝－3不滿足題意，舍去．故選B. (3)1.1，0.9，1的大小關(guān)系為________． [答案]　0.9＜1＜1.1 [解析]　把1看作1，冪函數(shù)y＝x在(0，＋∞)上是增函數(shù)．∵0＜0.9＜1＜1.1，∴0.9＜1＜1.1，即0.9

5、＜1＜1.1. (4)已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是________． [答案]　(0,1) [解析]　作出函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖． 則當(dāng)0＜k＜1時，關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根． [點石成金]　1.冪函數(shù)y＝xα的性質(zhì)和圖象由于α的取值不同而比較復(fù)雜，一般可從三方面考查： (1)α的正負(fù)：當(dāng)α>0時，圖象經(jīng)過點(0,0)和點(1,1)，在第一象限的部分“上升”；當(dāng)α<0時，圖象不過點(0,0)，經(jīng)過點(1,1)，在第一象限的部分“下降”； (2)曲線在第一象限的凹凸性：當(dāng)α>1時曲線下凹；當(dāng)0<α<1

6、時曲線上凸，當(dāng)α<0時曲線下凹； (3)函數(shù)的奇偶性：一般先將函數(shù)式化為正指數(shù)冪或根式形式，再根據(jù)函數(shù)定義域和奇偶性定義判斷其奇偶性． 2．在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較． 考點2　求二次函數(shù)的解析式 二次函數(shù)解析式的三種形式 (1)一般式：f(x)＝____________； (2)頂點式：f(x)＝____________； (3)零點式：f(x)＝____________. 答案：(1)ax2＋bx＋c(a≠0)　(2)a(x－m)2＋n(a≠0)　(3)a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 二次函數(shù)對稱

7、軸的判斷方法：中值法；結(jié)論法． (1)對于二次函數(shù)y＝f(x)，如果定義域內(nèi)有不同兩點x1，x2且f(x1)＝f(x2)，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線________對稱． (2)“二次函數(shù)y＝f(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立”的充要條件是“函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線________對稱”(a為常數(shù))． 答案：(1)x＝　(2)x＝a 解析：(1)作出二次函數(shù)y＝f(x)的圖象(圖略)，由圖可知，當(dāng)f(x1)＝f(x2)時， 點P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))關(guān)于直線x＝對稱． 由x1，x2的任意性，可得函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于

8、直線x＝對稱． (2)由(1)可知，y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱(a為常數(shù)). [典題2]　已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式． [解]　解法一(利用一般式)： 設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由題意得解得 ∴所求二次函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 解法二(利用頂點式)： 設(shè)f(x)＝a(x－m) 2＋n. ∵f(2)＝f(－1)， ∴拋物線的對稱軸為x＝＝， ∴m＝. 又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值8，∴n＝8， ∴y＝f(x)＝a2＋8. ∵f(2)＝－1，

9、∴a2＋8＝－1， 解得a＝－4， ∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 解法三(利用零點式)： 由已知f(x)＋1＝0兩根為x1＝2，x2＝－1， 故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函數(shù)的最大值為ymax＝8，即＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)． ∴所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7. [點石成金]　求二次函數(shù)解析式的方法 根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下： (1)已知三個點坐標(biāo)，宜選用一般式； (2)已知頂點坐標(biāo)、對稱軸、最大(小)值等，宜選用頂點式； (3)

10、已知圖象與x軸兩交點的坐標(biāo)，宜選用零點式. 為了美觀，在加工太陽鏡時將下半部分輪廓制作成二次函數(shù)圖象的形狀(如圖所示)．若對應(yīng)的兩條曲線關(guān)于y軸對稱，AE∥x軸，AB＝4 cm，最低點C在x軸上，高CH＝1 cm，BD＝2 cm，則右輪廓線DFE所在的二次函數(shù)的解析式為(　　) 　 A．y＝(x＋3)2 B．y＝－(x－3) 2 C．y＝－(x＋3) 2 D．y＝(x－3) 2 答案：D 解析：由題圖可知，對應(yīng)的兩條曲線關(guān)于y軸對稱，AE∥x軸，AB＝4 cm，最低點C在x軸上，高CH＝1 cm，BD＝2 cm，所以點C的縱坐標(biāo)為0，橫坐標(biāo)的絕對值為＋＝3，即C(－3,0)

11、．因為點F與點C關(guān)于y軸對稱，所以F(3,0)，因為點F是右輪廓線DFE所在的二次函數(shù)圖象的頂點，所以設(shè)該二次函數(shù)為y＝a(x－3) 2 (a>0)，將點D(1,1)代入得，a＝，即y＝(x－3) 2. 考點3　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) f(x)＝ax2＋bx＋c a>0 a<0 圖象 定義域 R 值域 單調(diào)性 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 奇偶性 當(dāng)b＝0時為偶函數(shù)；當(dāng)b≠0時既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 圖象特點 ①對稱軸：x＝－； ②頂點： (1)[教材習(xí)題改編]若函數(shù)f(

12、x)＝4x2－kx－8在[－1,2]上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是________． 答案：(－∞，－8]∪[16，＋∞) 解析：f(x)圖象的對稱軸方程是x＝，故≤－1或≥2，即k≤－8或k≥16.故所求k的取值范圍是(－∞，－8]∪[16 ，＋∞)． (2)[教材習(xí)題改編]已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是________． 答案： 解析：由題意，得 解得a>. 二次函數(shù)單調(diào)性的求解誤區(qū)：單調(diào)區(qū)間；在區(qū)間上單調(diào)． 已知二次函數(shù)f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3. (1)若函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，2]，則k＝_______

13、_； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，2]上單調(diào)遞增，則k滿足________． 答案：(1)±　(2)≤k<1或－1

14、2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點A(－3,0)，對稱軸為x＝－1.給出下面四個結(jié)論： ①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b. 其中正確的是(　　) A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ [答案]　B [解析]　因為圖象與x軸交于兩點，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正確； 對稱軸為x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②錯誤； 結(jié)合圖象，當(dāng)x＝－1時，y＞0，即a－b＋c＞0，③錯誤； 由對稱軸為x＝－1知，b＝2a. 又函數(shù)圖象開口向下，所以a＜0， 所以5a＜2a，即5a＜b，④正確． 角度二 二次函數(shù)的單調(diào)性問題 [典題4

15、]　已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)若y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍； (2)當(dāng)a＝1時，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間． [解]　(1)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4. 所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－6]∪[4，＋∞)． (2)當(dāng)a＝1時，f(x)＝x2＋2x＋3， 所以f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此時定義域為x∈[－6,6]， 且f(x)＝ 所以f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6]，單調(diào)遞減區(qū)間是[－6

16、,0]． 角度三 二次函數(shù)的最值問題 [題型1]　軸定，區(qū)間動類型 [典題5]　若函數(shù)y＝x2－2x＋3在區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，求實數(shù)m的取值范圍． [解]　作出函數(shù)y＝x2－2x＋3的圖象如圖． 由圖象可知，要使函數(shù)在[0，m]上取得最小值2，則1∈[0，m]，從而m≥1， 當(dāng)x＝0時，y＝3； 當(dāng)x＝2時，y＝3， 所以要使函數(shù)取得最大值為3，則m≤2， 故所求m的取值范圍為[1,2]． [題型2]　軸動，區(qū)間定類型 [典題6]　求函數(shù)f(x)＝ax2－2x在區(qū)間[0,1]上的最小值． [解]　f(x)＝a2－. (1)當(dāng)a＝0時，f(x)＝

17、－2x在[0,1]上遞減， ∴f(x)min＝f(1)＝－2. (2)當(dāng)a＞0時，函數(shù)f(x)的圖象的開口方向向上，且對稱軸為x＝. 當(dāng)≤1，即a≥1時，函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸在[0,1]內(nèi)， ∴f(x)在上遞減，在上遞增． ∴f(x)min＝f＝－. 當(dāng)＞1，即0＜a＜1時，函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸在[0,1]的右側(cè)，∴f(x)在[0,1]上遞減． ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. (3)當(dāng)a＜0時，函數(shù)f(x)的圖象的開口方向向下，且對稱軸x＝＜0，在y軸的左側(cè)， ∴f(x)在[0,1]上遞減． ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. 綜上所述，f(x)min

18、＝ [題點發(fā)散]　若將本例中的函數(shù)改為f(x)＝x2－2ax，其他不變，應(yīng)如何求解？ 解：f(x)＝x2－2ax＝(x－a)2－a2，對稱軸為x＝a. 當(dāng)a＜0時，f(x)在[0,1]上是增函數(shù)， ∴f(x)min＝f(0)＝0； 當(dāng)0≤a≤1時，f(x)min＝f(a)＝－a2； 當(dāng)a＞1時，f(x)在[0,1]上是減函數(shù)， ∴f(x)min＝f(1)＝1－2a. 綜上所述，f(x)min＝ 角度四 二次函數(shù)中的恒成立及零點問題 [典題7]　(1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，則實數(shù)m的取值范圍是_______

19、_． [答案]　 [解析]　作出二次函數(shù)f(x)的草圖，對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0， 則有 即 解得－＜m＜0. (2)若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的兩根中，一根在0和1之間，另一根在1和2之間，則實數(shù)k的取值范圍是________． [答案]　 [解析]　設(shè)f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，由題意知即 解得

20、點要標(biāo)清楚，這樣在解題時才不易出錯． 2．二次函數(shù)最值問題的三種類型及解題思路 (1)類型：①對稱軸、區(qū)間都是給定的；②對稱軸動、區(qū)間固定；③對稱軸定、區(qū)間變動． (2)思路：抓“三點一軸”，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸． 3．由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的兩大思路及一個關(guān)鍵 (1)兩大思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)． (2)一個關(guān)鍵：兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離．這兩個思路的依據(jù)是：a≥f(x)?a≥f(x)max，a≤f(x)?a≤f(x)min. [方法技巧]　1.二次函數(shù)的三種形式 (1)已

21、知三個點的坐標(biāo)時，宜用一般式． (2)已知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)的量時，常使用頂點式． (3)已知二次函數(shù)與x軸有兩個交點，且橫坐標(biāo)已知時，選用零點式求f(x)更方便． 2．二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間相互轉(zhuǎn)化的一般規(guī)律 (1)在研究一元二次方程根的分布問題時，常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來解，一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析． (2)在研究一元二次不等式的有關(guān)問題時，一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解． 3．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)圖象的特征 當(dāng)α>0時，圖象過原點和點(1,1)，在第一象限的圖象上升

22、；當(dāng)α<0時，圖象不過原點，在第一象限的圖象下降，反之也成立． [易錯防范]　1.對于函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a≠0，當(dāng)題目條件中未說明a≠0時，就要討論a＝0和a≠0兩種情況． 2．冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點． 真題演練集訓(xùn) 1．[2016·新課標(biāo)全國卷Ⅲ]已知a＝2，b＝4，c＝25，則(　　) A．b

23、解析：因為a＝2＝16，b＝4 ＝16，c＝25，且冪函數(shù)y＝x在R上單調(diào)遞增，指數(shù)函數(shù)y＝16x在R上單調(diào)遞增，所以b

24、12. 又2m＋n≥2，∴ 2≤12， ∴ mn≤18. 當(dāng)2m＝n＝6，即m＝3，n＝6時取等號， ∴ mn的最大值為18. b．當(dāng)m＜2時，拋物線開口向下， ∵ f(x)在上單調(diào)遞減， ∴－≤，即m＋2n≤18，即n≤9－m. 又∵ 0≤m＜2，n≥0， ∴ mn≤9m－m2＝－(m－9)2＋＜ －(2－9)2＋＝16. 綜上所述，mn的最大值為18，故選B. 3．[2014·浙江卷]在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的圖象可能是(　　) 　A　　　　　　　　B 　C　　　　　　　　D 答案：D 解析：當(dāng)a>1

25、時，函數(shù)f(x)＝xa(x>0)單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)＝logax單調(diào)遞增，且過點(1,0)，由冪函數(shù)的圖象性質(zhì)可知C錯；當(dāng)00)單調(diào)遂增，函數(shù)g(x)＝logax單調(diào)遞減，且過點(1,0)，排除A，又由冪函數(shù)的圖象性質(zhì)可知B錯，故選D. 4．[2013·重慶卷](－6≤a≤3)的最大值為(　　) A. 9 B． C. 3 D． 答案：B 解析：易知函數(shù)y＝(3－a)(a＋6)的兩個零點是3，－6，對稱軸為a＝－，y＝(3－a)(a＋6)的最大值為y＝＝2，則的最大值為，故選B. 5．[2014·遼寧卷]對于c＞0，當(dāng)非零實數(shù)a，b滿足4a2

26、－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大時，－＋的最小值為________． 答案：－2 解析：設(shè)2a＋b＝x，則2a＝x－b， ∴(x－b)2－b(x－b)＋4b2－c＝0， x2－3bx＋6b2－c＝0，即6b2－3xb＋x2－c＝0. ∴Δ＝9x2－4×6×(x2－c)≥0， ∴3x2－8x2＋8c≥0，∴x2≤c. 當(dāng)|2a＋b|＝|x|取最大時，有(2a＋b)2＝c， ∴4a2＋4ab＋b2＝c. 又∵4a2－2ab＋4b2＝c，① ∴＝，∴b＝a. 將b＝a代入①，得 4a2－2a·a＋a2·4＝c， ∴a＝，b＝或a＝－，b＝－. 當(dāng)a＝，b＝時，

27、有 －＋＝－＋ ＝－＋＝52－2≥－2， 當(dāng)＝，即c＝時等號成立． 此時a＝，b＝. 當(dāng)a＝－，b＝－時， －＋＝－＋＋＝＋＞0， 綜上可知，當(dāng)c＝，a＝，b＝時， min＝－2. 課外拓展閱讀 構(gòu)造二次函數(shù)解決問題 二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要知識，它與一元二次不等式、一元二次方程的聯(lián)系是諸多命題者的關(guān)注點．對于有些問題若能充分利用二次函數(shù)的性質(zhì)，則會迎刃而解．下面就給出幾種構(gòu)造二次函數(shù)解決問題的例題． 1．構(gòu)造二次函數(shù)求根式函數(shù)的最值 [典例1]　求函數(shù)y＝x2＋的最值． [思路分析]　利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值． [解]　令＝u，則x2＝1－u2，

28、 且0≤u≤1. 所以y＝1－u2＋u＝－2＋， 所以1≤y≤，故ymin＝1，ymax＝. 2．構(gòu)造二次函數(shù)解不等式 (1)從結(jié)論的外形結(jié)構(gòu)作形式聯(lián)想進(jìn)行構(gòu)造 [典例2]　已知a

29、 [證明]　令A(yù)＝a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)＝(b－c)a2＋(c2－b2)a＋(b2c－bc2)． 設(shè)f(x)＝(b－c)x2＋(c2－b2)x＋(b2c－bc2)＝(b－c)(x－b)(x－c)， 因為bc時，f(x)<0.又a

30、所證不等式的左邊可看作是關(guān)于x的二次函數(shù)，只要證此二次函數(shù)的最小值是 即可． [證明]　設(shè)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋(a＋a＋…＋a)． 因為n>0，所以對于二次函數(shù)f(x)， 當(dāng)x＝時，f(x)有最小值， 且f(x)min＝. 所以f(x)≥，故原不等式成立． (3)利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造二次函數(shù) [典例4]　已知a>，b>，ab＝，求證：a＋b<1. [思路分析]　已知條件出現(xiàn)了ab＝，而結(jié)論中有a＋b，若設(shè)a＋b＝t，則a，b為二次函數(shù)f(x)＝x2－tx＋的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，由于a>，b>，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，易證t<1. [證明]　設(shè)t＝a＋b，又ab＝， 則a，b為二次函數(shù)f(x)＝x2－tx＋的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)． 由于a>，b>，二次函數(shù)的圖象開口向上， 所以有f>0，即－t＋>0， 解得t<1，即a＋b<1. - 17 -