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1、
第33講 不等式的證明方法
【知識(shí)要點(diǎn)】
不等式的證明常用的有六種方法(不等式證明六法:比綜分放數(shù)反)
一、比較法
包括比差和比商兩種方法.
比差的一般步驟是:作差→變形(配方、因式分解、通分等)→與零比→下結(jié)論;比商的一般步驟是:作商→變形(配方、因式分解、通分等)→與1比→下結(jié)論.
如果兩個(gè)數(shù)都是正數(shù),一般用比商,其它一般用比差.
二、綜合法
證明不等式時(shí),從命題的已知條件出發(fā),利用公理、定理、法則等,逐步推導(dǎo)出要證明的命題的方法稱為綜合法,它是由因?qū)Ч姆椒?
三、分析法
證明不等式時(shí),從待證命題出發(fā),分析使其成立的充分條件,利用已知的一些基本原理,逐步探索,最后
2、將命題成立的條件歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)證明過的定理、簡單事實(shí)或題設(shè)的條件,這種證明的方法稱為分析法,它是執(zhí)果索因的方法.
用分析法證明時(shí),要注意格式,一般格式是“要證明,只需證明……”.
一般用分析法尋找思路,用綜合法寫出證明過程.
四、放縮法
證明不等式時(shí),有時(shí)根據(jù)需要把需證明的不等式的值適當(dāng)放大或縮小,使其化繁為簡,化難為易,達(dá)到證明的目的,這種方法稱為放縮法.
放縮的常見技巧:
①添加或舍去一些項(xiàng),如:
②將分子或分母放大或縮小,如:
③利用基本不等式等,如:
五、數(shù)學(xué)歸納法
用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,要注意兩步一結(jié)論.
在證明第二步時(shí),一般多用到比較法、放縮法和分析法.
3、
六、反證法
證明不等式時(shí),首先假設(shè)要證明的命題的反面成立,把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起,利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個(gè)與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡單事實(shí)相矛盾的結(jié)論,以此說明原假設(shè)的結(jié)論不成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法.
如果命題中含有“至少”或“唯一”或其它否定詞時(shí),一般用反證法.
【方法講評(píng)】
方法一
比較法
使用情景
一般是兩個(gè)實(shí)數(shù)
解題方法
包括比差和比商兩種方法.
比差的一般步驟是:作差→變形(配方、因式分解、通分等)→與零比→下結(jié)論;比商的一般步驟是:作商→變形(配方、因式分解、通分等)→與1比→下結(jié)論.
如果
4、兩個(gè)數(shù)都是正數(shù),一般用比商,其它一般用比差.
【例1】已知,則.
【方法點(diǎn)評(píng)】比差的一般步驟是:作差→變形(配方、因式分解、通分等)→與零比→下結(jié)論.
【例2】設(shè),求證:
【證明】作商:
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
∴
【點(diǎn)評(píng)】比商的一般步驟是:作商→變形(配方、因式分解、通分等)→與1比→下結(jié)論.
【反饋檢測1】已知、、是實(shí)數(shù),試比較與的大?。?
方法二
綜合法
使用情景
一般題設(shè)較簡單,題目較簡單.
解題方法
證明不等式時(shí),從命題的已知條件出發(fā),利用公理、定理、法則等,逐步推導(dǎo)出要證明的命題的方法稱為綜合法,它是由因?qū)Ч姆椒?
【例
5、3】 設(shè)為正實(shí)數(shù),求證:.
【點(diǎn)評(píng)】該題主要是利用三元均值不等式和二元均值不等式解答.
【反饋檢測2】已知是不全相等的正數(shù),求證:
方法三
分析法
使用情景
一般從題設(shè)入手比較難.
解題方法
證明不等式時(shí),從待證命題出發(fā),分析使其成立的充分條件,利用已知的一些基本原理,逐步探索,最后將命題成立的條件歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)證明過的定理、簡單事實(shí)或題設(shè)的條件,這種證明的方法稱為分析法,它是執(zhí)果索因的方法.
【例4】求證: ,求證:
【點(diǎn)評(píng)】用分析法證明時(shí),要注意格式,一般格式是“要證明,只需證明……”.一般用分析法尋找思路,用綜合法寫出證明過程.
【反饋
6、檢測3】設(shè)為實(shí)數(shù),求證:
方法四
放縮法
使用情景
一般不方便用其它方法,用放縮法比較簡單.
解題方法
證明不等式時(shí),有時(shí)根據(jù)需要把需證明的不等式的值適當(dāng)放大或縮小,使其化繁為簡,化難為易,達(dá)到證明的目的.
【例5】設(shè),
求證:
【證明】
【點(diǎn)評(píng)】由于這是一個(gè)數(shù)列的問題,所以先要對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行放縮.
【例6】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)證明:對(duì)一切正整數(shù),有
(2)證明:當(dāng);
當(dāng);
7、
【點(diǎn)評(píng)】本題的放縮是一個(gè)難點(diǎn),放縮一定要適當(dāng),有時(shí)需要數(shù)列的第一項(xiàng)不放縮其他項(xiàng)放縮,有時(shí)需要數(shù)列的前兩項(xiàng)不放縮其他項(xiàng)放縮,有時(shí)需要數(shù)列的前三項(xiàng)不放縮其他項(xiàng)放縮,……,才能放縮出要證明的結(jié)果.這需要大家平時(shí)的訓(xùn)練和積累.
【反饋檢測4】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性與極值點(diǎn);
(2)若,證明:當(dāng)時(shí),的圖象恒在的圖象上方;
(3)證明:.
方法五
數(shù)學(xué)歸納法
使用情景
一般是與正整數(shù)有關(guān)的命題.
解題方法
用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,要注意兩步一結(jié)論.
在證明第二步時(shí),一般多用到比較法、放縮法和分析法.
【例7】證明不等式()
【證明】(1)當(dāng)?shù)?/p>
8、于1時(shí),不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立;
(2)假設(shè)()時(shí),不等式成立,即1+<2,
∴當(dāng)時(shí),不等式成立.
綜合(1)、(2)得:當(dāng)時(shí),都有1+<2.
【點(diǎn)評(píng)】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,要注意兩步一結(jié)論.在證明第二步時(shí),一般多用到比較法、放縮法和分析法.是證明的關(guān)鍵.
【反饋檢測5】數(shù)列{}由下列條件決定:
(1)證明:對(duì) 總有
(2)證明:對(duì) 總有.
方法六
反證法
使用情景
一般從正面著手比較困難.
解題方法
證明不等式時(shí),首先假設(shè)要證明的命題的反面成立,把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起,利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個(gè)
9、與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡單事實(shí)相矛盾的結(jié)論,以此說明原假設(shè)的結(jié)論不成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法.
【例7】 已知,,,求證:,,中至少有一個(gè)小于等于.
【點(diǎn)評(píng)】如果命題中含有“至少”或“唯一”或其它否定詞時(shí),一般用反證法.
【反饋檢測6】已知中至少有一個(gè)小于2.
高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第33講:
不等式的證明方法參考答案
【反饋檢測1答案】見解析
【反饋檢測1詳細(xì)解析】
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,
∴.
【反饋檢測2答案】見解析
【反饋檢測3答案】見解析
【反饋檢測3詳細(xì)解析】當(dāng)時(shí),∵,∴成立.
當(dāng)時(shí),
10、用分析法證明如下:
要證,只需證,
即證,即證:,
∵對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立,∴成立.
綜上所述,對(duì)任意實(shí)數(shù)不等式都成立.
【反饋檢測4答案】(1)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
為極大值點(diǎn),為極小值點(diǎn);(2)見解析;(3)見解析.
(2)當(dāng)時(shí),令,
,當(dāng)時(shí),,時(shí),,
∴在上遞減,在上遞增,∴,∴時(shí),恒成立.
即時(shí),恒成立,∴當(dāng)時(shí),的圖象恒在的圖象上方.
(3)由(2)知,即,∵,∴,
令,則,∴
∴
∴不等式成立.
【反饋檢測5答案】見解析
【反饋檢測6答案】見解析
【反饋檢測6詳細(xì)解析】假設(shè) 都不小于2,則
因?yàn)?,所以?
所以
即,這與已知相矛盾,故假設(shè)不成立.
所以中至少有一個(gè)小于2.
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