《備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學 解答題高分寶典 專題05 解析幾何（核心考點）理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學 解答題高分寶典 專題05 解析幾何（核心考點）理（12頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 專題05解析幾何 核心考點一直線與圓錐曲線的位置關系 直線與圓錐曲線的位置關系是圓錐曲線中的重要問題,也是高考考查的熱點,研究此類一般要用到方程思想,常見類型為交點個數(shù)、切線、弦長、對稱等問題. 【經典示例】在直角坐標系xOy中,直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點M,交拋物線C：y2＝2px(p>0)于點P,M關于點P的對稱點為N,連接ON并延長交C于點H. (1)求； (2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點？說明理由． 答題模板 解決直線與圓錐曲線的位置關系的一般步驟 第一步,聯(lián)立方程,得關于x或y的一元二次方程； 第二步,寫出根與系數(shù)的關系,并求出Δ>0時參數(shù)范

2、圍(或指出直線過曲線內一點)； 第三步,根據題目要求列出關于x1x2,x1＋x2(或y1y2,y1＋y2)的關系式,求得結果； 第四步,反思回顧,查看有無忽略特殊情況. 【滿分答案】(1)由已知得M(0,t),P, 又N為M關于點P的對稱點,故N,ON的方程為y＝x,代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0,解得x1＝0,x2＝,因此H. 所以N為OH的中點,即＝2. (2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點,理由如下： 直線MH的方程為y－t＝x,即x＝(y－t)． 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0,解得y1＝y(tǒng)2＝2t,即直線MH與C只有一個公共點,所以除H以

3、外直線MH與C沒有其他公共點． 【解題技巧】 1.將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,消去一個變量得到關于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． 若a≠0,可考慮一元二次方程的判別式Δ,有 ①Δ>0?直線與圓錐曲線相交； ②Δ＝0?直線與圓錐曲線相切； ③Δ<0?直線與圓錐曲線相離． 2.判斷直線與圓錐曲線的交點個數(shù)時,可直接求解相應方程組得到交點坐標,也可利用消元后的一元二次方程根的判別式來確定,需注意利用判別式的前提是二次項系數(shù)不為0. 3.依據直線與圓錐曲線的交點個數(shù)求參數(shù)時,聯(lián)立方程并消元,得到一元方程,此時注意觀察方程的二次項系數(shù)是否為0,若

4、為0,則方程為一次方程；若不為0,則將方程解的個數(shù)轉化為判別式與0的大小關系求解． 4.設斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則|AB|＝|x2－x1|＝|y2－y1|. 5.有關圓錐曲線弦長問題的求解方法 涉及弦長的問題中,應熟練的利用根與系數(shù)的關系、設而不求法計算弦長；涉及垂直關系時也往往利用根與系數(shù)的關系、設而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題,可考慮用圓錐曲線的定義求解． 6.處理中點弦問題常用的求解方法 (1)點差法：即設出弦的兩端點坐標后,代入圓錐曲線方程,并將兩式相減,式中含有x1＋x2,y1＋y2,三個未知量,這樣就直

5、接聯(lián)系了中點和直線的斜率,借用中點公式即可求得斜率． (2)根與系數(shù)的關系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組,化為一元二次方程后,由根與系數(shù)的關系求解． (3)解決對稱問題除掌握解決中點弦問題的方法外,還要注意：如果點A,B關于直線l對稱,則l垂直直線AB且A,B的中點在直線l上的應用． 模擬訓練 1．已知點P是圓O：x2＋y2＝1上任意一點,過點P作PQ⊥y軸于點Q,延長QP到點M,使＝. (1)求點M的軌跡E的方程； (2)過點C(m,0)作圓O的切線l,交(1)中曲線E于A,B兩點,求△AOB面積的最大值． (2)由題意可知直線l不與y軸垂直, 故可設l：x＝t

6、y＋m,t∈R,A(x1,y1),B(x2,y2)． ∵l與圓O：x2＋y2＝1相切,∴＝1,即m2＝t2＋1.① 聯(lián)立消去x,得(t2＋4)y2＋2mty＋m2－4＝0. 其中Δ＝(2mt)2－4(t2＋4)(m2－4)＝16(t2－m2)＋64＝48>0. ∴y1＋y2＝－,y1y2＝.② ∴|AB|＝＝＝. 將①②代入上式得 |AB|＝＝,|m|≥1, ∴S△AOB＝|AB|·1＝×＝≤＝1, 當且僅當|m|＝,即m＝±時,等號成立．∴(S△AOB)max＝1. 核心考點二圓錐曲線中的定點、定值問題 以直線與圓錐曲線為載體,結合其他條件探究直線或曲線過定點,或與動點

7、有關的定值問題,一般常出現(xiàn)在解答題第二問中,難度多為中等. 【經典示例】已知橢圓＋＝1(a>0,b>0)過點(0,1),其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列．直線l與x軸正半軸和y軸分別交于點Q、P,與橢圓分別交于點M、N,各點均不重合且滿足＝λ1,＝λ2. (1)求橢圓的標準方程； (2)若λ1＋λ2＝－3,試證明：直線l過定點并求此定點． 答題模板 證明直線過定點的步驟： 第一步,設出直線方程為(或)；. 第二步,證明 (或)；. 第三步,確定直線過點 (或). 【滿分答案】(1)設橢圓的焦距為2c,由題意知b＝1,且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2, 又a2

8、＝b2＋c2,∴a2＝3. ∴橢圓的方程為＋y2＝1. (2)證明　由題意設P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1), N(x2,y2),設l方程為x＝t(y－m), 由＝λ1知(x1,y1－m)＝λ1(x0－x1,－y1), ∴y1－m＝－y1λ1,由題意y1≠0,∴λ1＝－1. 同理由＝λ2知λ2＝－1. ∵λ1＋λ2＝－3,∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0,① 聯(lián)立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0, ∴由題意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0,② 且有y1＋y2＝,y1y2＝,③ ③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0, ∴

9、(mt)2＝1, 由題意mt<0,∴mt＝－1,滿足②, 得直線l方程為x＝ty＋1,過定點(1,0),即Q為定點． 【解題技巧】 1.圓錐曲線中定點問題的兩種解法 (1)引進參數(shù)法：引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關系,找到定點． (2)特殊到一般法：根據動點或動線的特殊情況探索出定點,再證明該定點與變量無關． 2.圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略 (1)求代數(shù)式為定值．依題意設條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關的等式,代入代數(shù)式、化簡即可得出定值； (2)求點到直線的距離為定值．利用點到直線的距離公式得出距離的解析式,再利用題設條件

10、化簡、變形求得； (3)求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式,再依據條件對解析式進行化簡、變形即可求得． 模擬訓練 2．如圖,在平面直角坐標系xOy中,點F(,0),直線l：x＝－,點P在直線l上移動,R是線段PF與y軸的交點,RQ⊥FP,PQ⊥l. (1)求動點Q的軌跡C的方程； (2)設圓M過A(1,0),且圓心M在曲線C上,TS是圓M在y軸上截得的弦,當M運動時,弦長|TS|是否為定值？請說明理由． (2)弦長|TS|為定值．理由如下： 取曲線C上點M(x0,y0),M到y(tǒng)軸的距離為d＝|x0|＝x0,圓的半徑r＝|MA|＝, 則|TS|＝2＝2, ∵點

11、M在曲線C上,∴x0＝, ∴|TS|＝2＝2是定值． 核心考點三圓錐曲線中的最值、范圍問題 以直線與圓錐曲線為載體,結合其他條件求某些量的最值與范圍,一般常出現(xiàn)在解答題第二問中,最值問題是高考中的熱點問題,常涉及不等式、函數(shù)的值域問題,綜合性比較強,解法靈活多變,求解此類問題一般把所求量表示為某些量的函數(shù),轉化為函數(shù)求值域或利用基本不等式求最值,此類問題一般運算量較大,要注意運算的準確性. 【經典示例】已知△ABP的三個頂點都在拋物線C：x2＝4y上,F為拋物線C的焦點,點M為AB的中點,＝3. (1)若|PF|＝3,求點M的坐標； (2)求△ABP面積的最大值． 答題模板

12、 求△ABP面積的最大值的步驟 第一步,設直線AB的方程為y＝kx＋m,并確定k,m的關系； 第二步,把面積表示為m的函數(shù)； 第三步,求最大值； 第四步,由最大值確定△ABP面積的最大值. 【滿分答案】(1)由題意知焦點F(0,1),準線方程為y＝－1. 設P(x0,y0),由拋物線定義知|PF|＝y(tǒng)0＋1,得y0＝2, 所以P(2,2)或P(－2,2), 由＝3,得M或M. (2)設直線AB的方程為y＝kx＋m,點A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 由得x2－4kx－4m＝0. 于是Δ＝16k2＋16m>0,x1＋x2＝4k,x1x2＝－4m, 所

13、以AB中點M的坐標為(2k,2k2＋m)． 由＝3,得(－x0,1－y0)＝3(2k,2k2＋m－1), 所以 由x＝4y0得k2＝－m＋, 由Δ>0,k2≥0,得－f＝. 所以當m＝時,f(m)取到最大值,此時k＝±. 所以△ABP面積的最大值為. 【解題技巧】 1.解

14、決圓錐曲線中的取值范圍問題應考慮的五個方面 (1)利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系,從而確定參數(shù)的取值范圍； (2)利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關系； (3)利用隱含的不等關系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍； (4)利用已知的不等關系構造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍； (5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍． 2.處理圓錐曲線最值問題的求解方法 圓錐曲線中的最值問題類型較多,解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法,即通過利用曲線的定義、幾何性質以及平面

15、幾何中的定理、性質等進行求解；二是利用代數(shù)法,即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式),然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解． 模擬訓練 3．已知橢圓M：＋＝1(a>0)的一個焦點為F(－1,0),左、右頂點分別為A,B.經過點F的直線l與橢圓M交于C,D兩點． (1)當直線l的傾斜角為45°時,求線段CD的長； (2)記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2,求|S1－S2|的最大值． 消去y,得7x2＋8x－8＝0, 設C(x1,y1),D(x2,y2),Δ＝288,x1＋x2＝－,x1x2＝－, 所以|CD|＝|x1－x2|＝＝. (2

16、)當直線l的斜率不存在時,直線方程為x＝－1, 此時△ABD與△ABC面積相等,|S1－S2|＝0； 當直線l的斜率存在時,設直線方程為y＝k(x＋1)(k≠0), 聯(lián)立方程,得 消去y,得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0, Δ>0,且x1＋x2＝－,x1x2＝, 此時|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y2＋y1|＝2|k(x2＋1)＋k(x1＋1)|＝2|k(x2＋x1)＋2k|＝, 因為k≠0,上式＝≤＝＝當且僅當k＝±時等號成立, 所以|S1－S2|的最大值為. 核心考點四軌跡問題 軌跡問題一般出現(xiàn)在解答題的第一問,難度中等或中等以下,求解軌

17、跡問題關鍵是建立關于x,y的等式,求解過程中要注意變形的等價性,同時需注意軌跡的完備性. 【經典示例】如圖所示,拋物線C1：x2＝4y,C2：x2＝－2py(p>0)．點M(x0,y0)在拋物線C2上,過M作C1的切線,切點為A,B(M為原點O時,A,B重合于O)．當x0＝1－時,切線MA的斜率為－. (1)求p的值； (2)當M在C2上運動時,求線段AB中點N的軌跡方程(A,B重合于O時,中點為O)． 答題模板 “相關點法”的基本步驟利用向量求空間角的步驟 第一步,設點：設被動點坐標為(x,y),主動點坐標為(x1,y1)； 第二步,求關系式：求出兩個動點坐標之間的關系式；

18、 第三步,代換：將上述關系式代入已知曲線方程,便可得到所求動點的軌跡方程 第四步,反思回顧．查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)范 【滿分答案】(1)因為拋物線C1：x2＝4y上任意一點(x,y)的切線斜率為y′＝, 且切線MA的斜率為－, 所以點A的坐標為(－1,), 故切線MA的方程為y＝－(x＋1)＋. 因為點M(1－,y0)在切線MA及拋物線C2上, 所以y0＝－×(2－)＋ ＝－,① y0＝－＝－.② 由①②得p＝2. (2)設N(x,y),A(x1,),B(x2,),x1≠x2. 由N為線段AB的中點,知 x＝,③ y＝.④ 所以切線MA,MB的方程分別為

19、y＝(x－x1)＋,⑤ y＝(x－x2)＋.⑥ 由⑤⑥得MA,MB的交點M(x0,y0)的坐標為 x0＝,y0＝. 因為點M(x0,y0)在C2上,即x＝－4y0, 所以x1x2＝－.⑦ 由③④⑦得x2＝y(tǒng),x≠0. 當x1＝x2時,A,B重合于原點O, AB的中點N為點O,坐標滿足x2＝y(tǒng). 因此AB的中點N的軌跡方程是x2＝y(tǒng). 【解題技巧】 1.直接法求曲線方程時最關鍵的就是把幾何條件或等量關系翻譯為代數(shù)方程,要注意翻譯的等價性．通常將步驟簡記為建系設點、列式、代換、化簡、證明這五個步驟,但最后的證明可以省略,如果給出了直角坐標系則可省去建系這一步,求出曲線的方程后

20、還需注意檢驗方程的純粹性和完備性． 2.應用定義法求軌跡方程的關鍵在于由已知條件推出關于動點的等量關系式,由等量關系結合曲線定義判斷是何種曲線,再設出標準方程,用待定系數(shù)法求解 模擬訓練 4．如圖,已知圓E：(x＋)2＋y2＝16,點F(,0),P是圓E上任意一點,線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于點Q. (1)求動點Q的軌跡Γ的方程； (2)設直線l與(1)中軌跡Γ相交于A,B兩點,直線OA,l,OB的斜率分別為k1,k,k2(其中k>0),△OAB的面積為S,以OA,OB為直徑的圓的面積分別為S1,S2,若k1,k,k2恰好構成等比數(shù)列,求的取值范圍． 【解析】(1)連接

21、QF,根據題意, |QP|＝|QF|, 則|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP| ＝4>|EF|＝2, 故動點Q的軌跡Γ是以E,F為焦點, 長軸長為4的橢圓． 設其方程為＋＝1(a>b>0), 可知a＝2,c＝＝,則b＝1, ∴點Q的軌跡Γ的方程為＋y2＝1. ∵k1,k,k2構成等比數(shù)列, ∴k2＝k1k2＝, 整理得km(x1＋x2)＋m2＝0, ∴＋m2＝0,解得k2＝. ∵k>0,∴k＝. 此時Δ＝16(2－m2)>0, 解得m∈(－,)． 又由A,O,B三點不共線得m≠0, 從而m∈(－,0)∪(0,)． 故S＝|AB|d＝|x1－x2|· ＝ ＝|m|. 又＋y＝＋y＝1, 則S1＋S2＝(x＋y＋x＋y) ＝(x＋x＋2) ＝ [(x1＋x2)2－2x1x2]＋＝為定值． ∴＝×≥, 當且僅當m＝±1時等號成立． 綜上,∈[,＋∞)． 12