(課標(biāo)通用)2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)與解三角形 4.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案 理.doc
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1、 §4.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式 考綱展示? 1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin2x+cos2x=1,=tan x. 2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出±α,π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式. 考點(diǎn)1 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 誘導(dǎo)公式 組序 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+ α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α ______ 余弦 cos α -cos α cos α _____
2、_ sin α -sin α 續(xù)表 組序 一 二 三 四 五 六 正切 tan α tan α -tan α ______ 口訣 函數(shù)名不變 符號(hào)看象限 函數(shù)名改變 符號(hào)看象限 記憶 規(guī)律 奇變偶不變,符號(hào)看象限 答案:cos α -cos α?。璽an α (1)[教材習(xí)題改編]已知f(x)=sin+2sin-4cos 2x+3cos,則f的值為( ) A.0 B.1 C.-5 D.-9 答案:C (2)[教材習(xí)題改編]已知cos α=-,則sin=________. 答案:- 解析:sin=cos α
3、=-. 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則:負(fù)化正,大化小,化到銳角為終了. sin(-2 010°)的值是________. 答案: 解析:sin(-2 010°)=-sin 2 010°=-sin(5×360°+210°)=-sin 210°=-sin(180°+30°)=sin 30°=. [典題1] (1)[2017·浙江臺(tái)州中學(xué)高三月考]已知sin=,則cos=( ) A. B.- C. D.- [答案] D [解析] 根據(jù)誘導(dǎo)公式可知, sin =-cos?cos=-,故選D. (2)sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)
4、sin(-1 050°)=________. [答案] 1 [解析] 原式=-sin 1 200°cos 1 290°-cos 1 020°· sin 1 050° =-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°) =-sin 120°cos 210°-cos 300°sin 330° =-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°) =sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30° =×+×=1. (3)設(shè)f(α)
5、=,其中1+2sin α≠0,則f=________. [答案] [解析] ∵f(α)= ===, ∴f== ==. [點(diǎn)石成金] 利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)的基本思路和化簡(jiǎn)要求: (1)基本思路:①分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn),選擇恰當(dāng)公式;②利用公式化成單角三角函數(shù);③整理得最簡(jiǎn)形式. (2)化簡(jiǎn)要求:①化簡(jiǎn)過(guò)程是恒等變形;②結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單,能求值的要求出值. 考點(diǎn)2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 (1)平方關(guān)系 sin2α+cos2α=________; (2)商數(shù)關(guān)系
6、tan α=. 答案:(1)1 (1)[教材習(xí)題改編]已知cos α=,且α是第四象限角,則sin α的值為_(kāi)_______. 答案:- 解析:由于α是第四象限角, 故sin α=-=-. (2)[教材習(xí)題改編]已知tan α=-2,則=________. 答案:-2 1.基本關(guān)系式的誤區(qū):公式形式誤區(qū);角的范圍誤區(qū). 下列命題正確的有________.(填序號(hào)) ①若α,β為銳角,則sin2α+cos2β=1; ②若α∈R,則tan α=恒成立; ③sin2α+cos2α=sin2θ+cos2θ. 答案:③ 解析:①只有當(dāng)α=β時(shí),才有sin2α+co
7、s2β=1; ②因?yàn)閏os α≠0,則α≠+kπ,k∈Z; ③根據(jù)平方關(guān)系式,可得③正確. 2.誘導(dǎo)公式應(yīng)用的常見(jiàn)兩種錯(cuò)誤:符號(hào);函數(shù)名. (1)若sin(3π+θ)=,則sin θ=________. (2)若cos=m,則sin α=________. 答案:(1)- (2)-m 解析:(1)先應(yīng)用誘導(dǎo)公式一,得 sin(3π+θ)=sin(2π+π+θ)=sin(π+θ); 再應(yīng)用公式二,得sin(π+θ)=-sin θ, 故sin θ=-. (2)因?yàn)椋量煽醋魇堑诙笙藿牵? 所以cos=-sin α,故sin α=-m. 有關(guān)結(jié)論. (1)=_____
8、___. 答案:cos2α 解析:由sin2α+cos2α=1和=tan α,得tan2αcos2α+cos2α=1,故=cos2α. (2)=________. 答案:|sin α-cos α| 解析:因?yàn)?-sin 2α=sin2α+cos2α-2sin αcos α=(sin α-cos α)2,所以=|sin α-cos α|. [典題2] (1)[2017·甘肅蘭州診斷]已知sin(π-α)=log8 ,且α∈,則tan(2π-α)的值為( ) A.- B. C.± D. [答案] B [解析] sin(π-α)=sin α=log8 =-, 又因?yàn)棣?/p>
9、∈, 則cos α==, 所以tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=-=. (2)已知sin α+cos α=,且0<α<π,則tan α=________. [答案]?。? [解析] 解法一:聯(lián)立方程 由①得cos α=-sin α, 將其代入②,整理得 25sin2α-5sin α-12=0. ∵α是三角形的內(nèi)角, ∴ ∴tan α=-. 解法二:∵sin α+cos α=, ∴(sin α+cos α)2=2, 即1+2sin αcos α=, ∴2sin αcos α=-, ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+=
10、. ∵sin αcos α=-<0且0<α<π, ∴sin α>0,cos α<0, ∴sin α-cos α>0. ∴sin α-cos α=. 由 得 ∴tan α=-. [題點(diǎn)發(fā)散1] 保持本例(2)中條件不變, 求:(1); (2)sin2α+2sin αcos α的值. 解:由母題,可知 tan α=-. (1)= ==. (2)sin2α+2sin αcos α= ===-. [題點(diǎn)發(fā)散2] 若本例(2)中條件變?yōu)椤埃?”,求tan α的值. 解:解法一:由=5,得 =5,即tan α=2. 解法二:由=5,得 sin α+3cos α=1
11、5cos α-5sin α, ∴6sin α=12cos α,即tan α=2. [題點(diǎn)發(fā)散3] 若本例(2)中的條件和結(jié)論互換:已知α是三角形的內(nèi)角,且tan α=-,求 sin α+cos α的值. 解:由tan α=-,得sin α=-cos α, 將其代入 sin2α+cos2α=1,得cos2α=1, ∴cos2α=,易知cos α<0, ∴cos α=-,sin α=, 故 sin α+cos α=-. [點(diǎn)石成金] 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧 技巧 解讀 適合題型 切弦 互化 主要利用公式tan θ=化成正弦、余弦,或者利用公式=tan θ化成正
12、切 表達(dá)式中含有sin θ,cos θ與tan θ “1”的 變換 1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan =(sin θ±cos θ)2?2sin θcos θ 表達(dá)式中需要利用“1”轉(zhuǎn)化 和積 轉(zhuǎn)換 利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化 表達(dá)式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ 1.若3sin α+cos α=0,則的值為( ) A. B. C. D.-2 答案:A 解析:3sin α+cos α=0?cos α≠0 ?tan α=-, = ===.
13、2.[2017·四川雅安模擬]已知sin θ+cos θ=,θ∈,則sin θ-cos θ 的值為( )
A. B.
C.- D.-
答案:C
解析:由題意,知(sin θ+cos θ)2=,
∴1+2sin θcos θ=,∴2sin θcos θ=,
由(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-=,
可得sin θ-cos θ=±.
又∵θ∈,sin θ 14、解析] 由題意知,cos=cos=-cos=-a.
sin=sin
=cos=a,
∴cos+sin=0.
(2)已知sin=,則cos=________.
[答案]
[解析] ∵+=,
∴cos=cos
=sin=.
[點(diǎn)石成金] 巧用相關(guān)角的關(guān)系會(huì)簡(jiǎn)化解題過(guò)程.常見(jiàn)的互余關(guān)系有-α與+α;+α與-α;+α與-α等,常見(jiàn)的互補(bǔ)關(guān)系有+θ與-θ;+θ與-θ等.
1.已知sin=,則cos=________.
答案:-
解析:cos=cos
=cos=-cos,
而sin=sin=cos=,
15、所以cos=-.
2.若tan(π+α)=-,則tan(3π-α)=________.
答案:
解析:因?yàn)閠an(π+α)=tan α=-,
所以tan(3π-α)=tan(π-α)=-tan α=.
[方法技巧] 1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系可用于統(tǒng)一函數(shù).誘導(dǎo)公式主要用于統(tǒng)一角,其主要作用是進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明,如已知一個(gè)角的某一三角函數(shù)值,求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值時(shí),要特別注意平方關(guān)系的使用.
2.三角函數(shù)求值與化簡(jiǎn)的常用方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=化成正、余弦.
(2)和積轉(zhuǎn)換法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos 16、θ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化.
(3)巧用“1”的變換:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan =…
[易錯(cuò)防范] 1.利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí),先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù),其步驟為:去負(fù)—脫周—化銳.
2.在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí),若開(kāi)方,要特別注意判斷符號(hào).
3.注意求值與化簡(jiǎn)后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化.
真題演練集訓(xùn)
1.[2016·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ]若tan α=,則cos2α+2sin 2α=( )
A. B.
C.1 D.
答案:A
解析:解法一:由tan α==,cos2α+sin2α=1,得 17、或
則sin 2α=2sin αcos α=,
則cos2α+2sin 2α=+=.
解法二:cos2α+2sin 2α=
===.
2.[2014·大綱全國(guó)卷]設(shè)a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,則( )
A.a(chǎn)>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.c>a>b
答案:C
解析:∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°,
c=tan 35°=,
又0 18、答案:-1
解析:由sin α+2cos α=0,得tan α=-2.
所以2sin αcos α-cos2α=
===-1.
課外拓展閱讀
分類(lèi)討論思想在三角函數(shù)求值化簡(jiǎn)中的應(yīng)用
[典例] (1)已知A=+(k∈Z),則A的值構(gòu)成的集合是( )
A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1}
C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2}
(2)在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cos A=-cos(π-B),則C=________.
[思路分析] (1)角中有整數(shù)k,應(yīng)對(duì)k是奇數(shù)還是偶數(shù)進(jìn)行討論;(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系 19、式的平方關(guān)系時(shí),要對(duì)開(kāi)方的結(jié)果進(jìn)行討論.
[解析] (1)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),A=+=2;
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),A=-=-2.
所以A的值構(gòu)成的集合是{2,-2}.
(2)由已知,得
①2+②2,得2cos2A=1,即cos A=±,
當(dāng)cos A=時(shí),cos B=,
又A,B是三角形的內(nèi)角,所以A=,B=,
所以C=π-(A+B)=.
當(dāng)cos A=-時(shí),cos B=-.
又A,B是三角形的內(nèi)角,
所以A=,B=,不合題意.綜上,C=.
[答案] (1)C (2)
溫馨提示
(1)本題在三角函數(shù)的求值化簡(jiǎn)過(guò)程中,體現(xiàn)了分類(lèi)討論思想,即使討論的某種情況不合題意,也不能省略討論的步驟;(2)三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題,要注意隱含條件的挖掘以及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用.
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