《（浙江專用）2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 6.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和教師用書》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 6.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和教師用書（13頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 （浙江專用）2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 6.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和教師用書 1．等比數(shù)列的定義 一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an＝a1·qn－1. 3．等比中項(xiàng) 如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)． 4．等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若

2、{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an. (3)若{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比數(shù)列． 5．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，其前n項(xiàng)和為Sn， 當(dāng)q＝1時，Sn＝na1； 當(dāng)q≠1時，Sn＝＝. 6．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn. 【知識拓展】 等比數(shù)列{an}的單調(diào)性 (1)滿足或時，{an}是遞增數(shù)列． (2)滿足或時

3、，{an}是遞減數(shù)列． (3)當(dāng)時，{an}為常數(shù)列． (4)當(dāng)q<0時，{an}為擺動數(shù)列． 【思考辨析】 判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢? (1)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(　×　) (2)G為a，b的等比中項(xiàng)?G2＝ab.(　×　) (3)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列．(　×　) (4)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{ln an}是等差數(shù)列．(　×　) 1．(教材改編)已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則公比q等于(　　) A．－ B．－

4、2 C．2 D. 答案　D 解析　由題意知q3＝＝，∴q＝. 2．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝3，S4＝15，則S6等于(　　) A．31 B．32 C．63 D．64 答案　C 解析　根據(jù)題意知，等比數(shù)列{an}的公比不是－1.由等比數(shù)列的性質(zhì)，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故選C. 3．(教材改編)在9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的兩個數(shù)分別為________． 答案　27,81 解析　設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知， 243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3

5、. ∴插入的兩個數(shù)分別為9×3＝27,27×3＝81. 4．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則＝________. 答案　－11 解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， ∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0. ∴q3＋8＝0，∴q＝－2， ∴＝· ＝＝＝－11. 題型一　等比數(shù)列基本量的運(yùn)算 例1　(1)(2015·課標(biāo)全國Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，則a2等于(　　) A．2 B．1 C. D. (2)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2，a4＋2，a5成等差數(shù)列，a1＝2，Sn是數(shù)列{an}

6、的前n項(xiàng)的和，則S10－S4等于(　　) A．1 008 B．2 016 C．2 032 D．4 032 答案　(1)C　(2)B 解析　(1)由{an}為等比數(shù)列，得a3a5＝a， 又a3a5＝4(a4－1)，所以a＝4(a4－1)， 解得a4＝2.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 則由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2， 所以a2＝a1q＝.故選C. (2)由題意知2(a4＋2)＝a2＋a5，即2(2q3＋2)＝2q＋2q4＝q(2q3＋2)，得q＝2，所以an＝2n，S10＝＝211－2＝2 046，S4＝＝25－2＝30， 所以S10－S4＝2 016.故

7、選B. 思維升華　等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解． 　(1)(2016·諸暨市質(zhì)檢)已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，且a2，a4，a3成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的公比q＝________，數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和S4＝________. (2)(2015·湖南)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝________. 答案　(1)1或－　4或　(2)3n－1 解析　(1)由a2，a4，a3成等差數(shù)列得2a1q3＝a1q＋a1q

8、2， 即2q3＝q＋q2，解得q＝1或q＝－. 當(dāng)q＝1時，S4＝4a1＝4， 當(dāng)q＝－時，S4＝＝. (2)由3S1,2S2，S3成等差數(shù)列知，4S2＝3S1＋S3， 可得a3＝3a2，所以公比q＝3， 故等比數(shù)列的通項(xiàng)an＝a1qn－1＝3n－1. 題型二　等比數(shù)列的判定與證明 例2　設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (1)證明　由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2， 得a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝

9、3. 又 由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)， 故{bn}是首項(xiàng)b1＝3，公比為2的等比數(shù)列． (2)解　由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1， ∴－＝， 故{}是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列． ∴＝＋(n－1)·＝， 故an＝(3n－1)·2n－2. 引申探究 若將例2中“Sn＋1＝4an＋2”改為“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不變，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解　由已知得n≥2時，Sn＝2Sn－1＋n. ∴Sn＋1－Sn

10、＝2Sn－2Sn－1＋1， ∴an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)，n≥2， 又a1＝1，S2＝a1＋a2＝2a1＋2，a2＝3， 當(dāng)n＝1時上式也成立， 故{an＋1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列， ∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1. 思維升華　(1)證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．(2)利用遞推關(guān)系時要注意對n＝1時的情況進(jìn)行驗(yàn)證． 　已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1. (1)證明：{an＋}是等比

11、數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式； (2)證明：＋＋…＋<. 證明　(1)由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋＝3(an＋)． 又a1＋＝， 所以{an＋}是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列． 所以an＋＝，因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝. (2)由(1)知＝. 因?yàn)楫?dāng)n≥1時，3n－1≥2×3n－1，所以≤. 于是＋＋…＋≤1＋＋…＋ ＝(1－)<， 所以＋＋…＋<. 題型三　等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 例3　（1）若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________. (2)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為

12、Sn，若＝，則＝________. 答案　(1)50　(2) 解析　(1)因?yàn)閍10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5， 所以a10a11＝e5. 所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20) ＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)] ＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11) ＝10ln e5＝50ln e＝50. (2)方法一　∵S6∶S3＝1∶2，∴{an}的公比q≠1. 由÷＝，得q3＝－， ∴＝＝. 方法二　∵{an}是等比數(shù)列，且＝，∴公比q≠－1， ∴S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列

13、，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)， 將S6＝S3代入得＝. 思維升華　等比數(shù)列常見性質(zhì)的應(yīng)用 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為三類：(1)通項(xiàng)公式的變形；(2)等比中項(xiàng)的變形；(3)前n項(xiàng)和公式的變形．根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口． 　(1)已知在等比數(shù)列{an}中，a1a4＝10，則數(shù)列{lg an}的前4項(xiàng)和等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 (2)設(shè)等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝8，S6＝7，則a7＋a8＋a9等于(　　) A. B．－ C. D. 答案　(1)C　(2)A 解析　(1)前4

14、項(xiàng)和S4＝lg a1＋lg a2＋lg a3＋lg a4＝lg(a1a2a3a4)，又∵等比數(shù)列{an}中，a2a3＝a1a4＝10， ∴S4＝lg 100＝2. (2)因?yàn)閍7＋a8＋a9＝S9－S6，且公比不等于－1，在等比數(shù)列中，S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，即8，－1，S9－S6成等比數(shù)列，所以有8(S9－S6)＝(－1)2，S9－S6＝，即a7＋a8＋a9＝. 14．分類討論思想在等比數(shù)列中的應(yīng)用 典例　(15分)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)

15、證明：Sn＋≤(n∈N*)． 思想方法指導(dǎo)　(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出等比數(shù)列的公比，寫出通項(xiàng)公式； (2)求出前n項(xiàng)和，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明． 規(guī)范解答 (1)解　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 因?yàn)椋?S2，S3,4S4成等差數(shù)列， 所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4， 可得2a4＝－a3，于是q＝＝－. [3分] 又a1＝，所以等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an＝×n－1＝(－1)n－1·. [5分] (2)證明　由(1)知，Sn＝1－n， Sn＋＝1－n＋ ＝ [8分] 當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＋隨n

16、的增大而減小， 所以Sn＋≤S1＋＝. [11分] 當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＋隨n的增大而減小， 所以Sn＋≤S2＋＝. [13分] 故對于n∈N*，有Sn＋≤（n∈N*）. [15分] 1．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，則a＋2a2a6＋a3a7等于(　　) A．4 B．6 C．8 D．8－4 答案　C 解析　在等比數(shù)列中，a3a7＝a，a2a6＝a3a5，所以a＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(－1＋＋1)2＝(2)2＝8. 2．(2016·珠海模擬)在等比數(shù)列{a

17、n}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，則公比q等于(　　) A. B. C．－ D.或－ 答案　C 解析　由解得或 又a1<0，因此q＝－. 3．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n等于(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 答案　C 解析　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q， 由a1a2a3＝4＝aq3與a4a5a6＝12＝aq12， 可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324， 因此q3n－6＝81＝34＝q36， 所以n＝14，故選C. 4．(2016·紹興期末

18、)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＝2，且a2，a4＋2，a5成等差數(shù)列，記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S5等于(　　) A．32 B．62 C．27 D．81 答案　B 解析　設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q>0， 由a2，a4＋2，a5成等差數(shù)列，得a2＋a5＝2(a4＋2)， 即2q＋2q4＝2(2q3＋2)，(q－2)(1＋q3)＝0， 解得q＝2或q＝－1(舍去)， ∴S5＝＝62，故選B. 5．已知數(shù)列{an}滿足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，則的值是(　　) A．－ B．－5 C．5 D

19、. 答案　B 解析　由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)， 得log3an＋1－log3an＝1，即log3＝1， 解得＝3，所以數(shù)列{an}是公比為3的等比數(shù)列． 因?yàn)閍5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3， 所以a5＋a7＋a9＝9×33＝35. 所以＝＝－5. 6．(2016·銅仁質(zhì)量檢測)在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5＝3π，則sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值為(　　) A. B. C．1 D．－ 答案　B 解析　因?yàn)閍3a4a5＝3π＝a，所以 log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝

20、log3(a1a2…a7) ＝log3a＝＝， 所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝. 7．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，則公比q＝________. 答案　4 解析　因?yàn)? 由①－②，得3a3＝a4－a3，即4a3＝a4， 則q＝＝4. 8．設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}，Sn為前n項(xiàng)和且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________. 答案　150 解析　依題意，知數(shù)列{an}的公比q≠－1，數(shù)列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，因此有(S20－S10)2＝S

21、10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30；又S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，S40＝150. 9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋Sn＝1(n∈N*)，則通項(xiàng)an＝________. 答案　 解析　∵an＋Sn＝1， ① ∴a1＝，an－1＋Sn－1＝1(n≥2)， ② 由①－②，得an－an－1＋an＝0，即＝(n≥2)， ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 則an＝×()n－1＝. 10．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，數(shù)

22、列{bn}為等比數(shù)列且bn＝，若b10·b11＝2，則a21＝________. 答案　1 024 解析　∵b1＝＝a2，b2＝， ∴a3＝b2a2＝b1b2，∵b3＝， ∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3·…·bn－1， ∴a21＝b1b2b3·…·b20＝(b10b11)10＝210＝1 024. 11．已知{an}是等差數(shù)列，滿足a1＝3，a4＝12，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}是等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． 解　(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d， 由題意得d＝＝＝3， 所以a

23、n＝a1＋(n－1)d＝3n(n∈N*)． 設(shè)等比數(shù)列{bn－an}的公比為q， 由題意得q3＝＝＝8，解得q＝2. 所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1. 從而bn＝3n＋2n－1(n∈N*)． (2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n∈N*)， 數(shù)列{3n}的前n項(xiàng)和為n(n＋1)， 數(shù)列{2n－1}的前n項(xiàng)和為1×＝2n－1. 所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為n(n＋1)＋2n－1. 12．(2016·全國丙卷)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通項(xiàng)公式． 解　

24、(1)由題意，得a2＝，a3＝. (2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得 2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)． 因?yàn)閧an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以＝. 故{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列， 因此an＝. 13．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，記T2n為{an}的前2n項(xiàng)的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*. (1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并求出bn； (2)求T2n. 解　(1)∵an·an＋1＝n， ∴an＋1·an＋2＝n＋1， ∴＝，即an＋2＝an. ∵bn＝a2n＋a2n－1， ∴＝＝＝， ∵a1＝1，a1·a2＝， ∴a2＝?b1＝a1＋a2＝. ∴{bn}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列． ∴bn＝×n－1＝. (2)由(1)可知，an＋2＝an， ∴a1，a3，a5，…是以a1＝1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列；a2，a4，a6，…是以a2＝為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列， ∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n) ＝＋＝3－. 13