《高考數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量 10.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課件 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量 10.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課件 理（69頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第一節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理【知識梳理【知識梳理】兩個計數(shù)原理兩個計數(shù)原理: :完成一件事的策略完成一件事的策略完成這件事完成這件事共有的方法共有的方法分類加法分類加法計數(shù)原理計數(shù)原理有兩類不同方案有兩類不同方案, ,在第在第1 1類方類方案中有案中有m m種不同的方法種不同的方法, ,在第在第2 2類方案中有類方案中有n n種不同的方法種不同的方法N=_N=_種不同的方法種不同的方法分步乘法分步乘法計數(shù)原理計數(shù)原理需要兩個步驟需要兩個步驟, ,做第做第1 1步有步有m m種種不同的方法不同的方法, ,做第做第2 2步有步有n n種不種不同的

2、方法同的方法N=_N=_種不同的方法種不同的方法m+nm+nmnmn【特別提醒【特別提醒】1.1.分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān)分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān), ,各種方法相互獨立各種方法相互獨立, ,用其中的任意一種方法都可以完成這件事用其中的任意一種方法都可以完成這件事. .2.2.分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān), ,各個步驟相互依存各個步驟相互依存, ,只有各個步驟都完成了只有各個步驟都完成了, ,這件事才算完成這件事才算完成. .【小題快練【小題快練】鏈接教材練一練鏈接教材練一練1.(1.(選修選修2-3P122-3P12習題習題1.1A1.1A組組T1T1改編改編) )

3、一購物中心銷售某一購物中心銷售某種型號的智能手機種型號的智能手機, ,其中國產(chǎn)的品牌有其中國產(chǎn)的品牌有2020種種, ,進口的品進口的品牌有牌有1010種種, ,小明要買一部這種型號的手機小明要買一部這種型號的手機, ,則不同的選則不同的選法有法有( () )A.20A.20種種 B.10B.10種種 C.30C.30種種 D.200D.200種種【解析【解析】選選C.C.分類完成此事分類完成此事, ,一類是買國產(chǎn)品牌一類是買國產(chǎn)品牌, ,有有2020種選法種選法, ,另一類是買進口品牌另一類是買進口品牌, ,有有1010種選法種選法. .由分類加法由分類加法計數(shù)原理可知計數(shù)原理可知, ,共有

4、共有20+10=30(20+10=30(種種) )選法選法. .2.(2.(選修選修2-3P10T12-3P10T1改編改編) )乘積乘積(a+b+c)(d+e+f+h)(i+j+k+(a+b+c)(d+e+f+h)(i+j+k+l+m+m) )展開后共有展開后共有項項. .【解析【解析】由由(a+b+c)(d+e+f+h)(i+j+k+(a+b+c)(d+e+f+h)(i+j+k+l+m+m) )展開式各項展開式各項都是從每個因式中選一個字母的乘積都是從每個因式中選一個字母的乘積, ,由分步乘法計數(shù)由分步乘法計數(shù)原理可得原理可得: :其展開式共有其展開式共有3 34 45=60(5=60(項

5、項).).答案答案: :60603.(3.(選修選修2-3P122-3P12習題習題1.1A1.1A組組T2T2改編改編) )如圖如圖, ,從從A A城到城到B B城有城有3 3條路條路; ;從從B B城到城到D D城有城有4 4條路條路; ;從從A A城到城到C C城有城有4 4條路條路, ,從從C C城到城到D D城有城有5 5條路條路, ,則某旅客從則某旅客從A A城到城到D D城共有城共有條不同的路線條不同的路線. .【解析【解析】不同路線共有不同路線共有3 34+44+45=32(5=32(條條).).答案答案: :3232感悟考題試一試感悟考題試一試4.(20164.(2016鄭州

6、模擬鄭州模擬) )某項測試要過兩關(guān)某項測試要過兩關(guān), ,第一關(guān)有第一關(guān)有3 3種種測試方案測試方案, ,第二關(guān)有第二關(guān)有5 5種測試方案種測試方案, ,某人參加該項測試某人參加該項測試, ,不同的測試方法種數(shù)為不同的測試方法種數(shù)為( () )A.3+5A.3+5 B.3 B.35 5C.3C.35 5 D.5 D.53 3【解析【解析】選選B.B.根據(jù)題意根據(jù)題意, ,某人參加該項測試某人參加該項測試, ,第一關(guān)有第一關(guān)有3 3種測試方案種測試方案, ,即有即有3 3種測試方法種測試方法, ,第二關(guān)有第二關(guān)有5 5種測試方案種測試方案, ,即有即有5 5種測試方法種測試方法, ,則有則有3 3

7、5 5種不同的測試方法種不同的測試方法. .5.(20165.(2016洛陽模擬洛陽模擬) )某位同學逛書店某位同學逛書店, ,發(fā)現(xiàn)有三本發(fā)現(xiàn)有三本喜歡的書喜歡的書, ,決定至少買其中一本決定至少買其中一本, ,則購買的方案有則購買的方案有種種. .【解析【解析】至少買其中一本的實質(zhì)是買一本或買兩本或至少買其中一本的實質(zhì)是買一本或買兩本或買三本買三本, ,故分三類完成故分三類完成. .第一類第一類: :買一本有買一本有3 3種種; ;第二類第二類: :買兩本有買兩本有3 3種種; ;第三類第三類: :買三本有買三本有1 1種種. .共有共有3+3+1=7(3+3+1=7(種種) )買法買法.

8、.答案答案: :7 76.(20166.(2016廣州模擬廣州模擬) )在三位正整數(shù)中在三位正整數(shù)中, ,若十位數(shù)字小若十位數(shù)字小于個位和百位數(shù)字于個位和百位數(shù)字, ,則稱該數(shù)為則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)駝峰數(shù)”. .比如比如“102”,“546”102”,“546”為為“駝峰數(shù)駝峰數(shù)”, ,由數(shù)字由數(shù)字1,2,3,41,2,3,4可構(gòu)可構(gòu)成無重復數(shù)字的成無重復數(shù)字的“駝峰數(shù)駝峰數(shù)”有有個個. .【解析【解析】十位上的數(shù)為十位上的數(shù)為1 1時時, ,有有213,214,312,314,213,214,312,314,412,413,412,413,共共6 6個個, ,十位上的數(shù)為十位上的數(shù)為2 2時時

9、, ,有有324,423,324,423,共共2 2個個, ,所以共有所以共有6+2=8(6+2=8(個個).).答案答案: :8 8考向一考向一分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用【典例【典例1 1】(1)(2016(1)(2016衡水模擬衡水模擬) )滿足滿足a,a,b-1,0,1,2,b-1,0,1,2,且關(guān)于且關(guān)于x x的方程的方程axax2 2+2x+2x+b=0+b=0有實數(shù)解的有序數(shù)對有實數(shù)解的有序數(shù)對(a,b(a,b) )的個數(shù)為的個數(shù)為. .(2)(2016(2)(2016太原模擬太原模擬) )在所有的兩位數(shù)中在所有的兩位數(shù)中, ,個位數(shù)字大個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位

10、數(shù)的個數(shù)為于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為. .【解題導引【解題導引】(1)(1)分分a=0a=0和和a0a0兩類情況討論兩類情況討論. .(2)(2)按十位數(shù)字分八類進行計算按十位數(shù)字分八類進行計算. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由于由于a,b-1,0,1,2,a,b-1,0,1,2,當當a=0a=0時時, ,有有 為實根為實根, ,則則b b可取可取-1,0,1,2,-1,0,1,2,有有4 4種可能種可能. .bx2當當a0a0時時, ,方程有實根方程有實根, ,所以所以=4-4ab0,=4-4ab0,所以所以ab1.(ab1.(* *) )當當a=-1a=-1時時, ,滿足滿足( (

11、* *) )式的式的b b可取可取-1,0,1,2,-1,0,1,2,有有4 4種可能種可能. .當當a=1a=1時時,b,b可取可取-1,0,1,-1,0,1,有有3 3種可能種可能. .當當a=2a=2時時,b,b可取可取-1,0,-1,0,有有2 2種可能種可能. .所以由分類加法計數(shù)原理所以由分類加法計數(shù)原理, ,有序數(shù)對有序數(shù)對(a,b(a,b) )共有共有4+4+3+2=13(4+4+3+2=13(個個).).答案答案: :1313(2)(2)根據(jù)題意根據(jù)題意, ,將十位上的數(shù)字按將十位上的數(shù)字按1,2,3,4,5,6,7,81,2,3,4,5,6,7,8的情的情況分成況分成8 8

12、類類, ,在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8 8個個,7,7個個,6,6個個,5,5個個,4,4個個,3,3個個,2,2個個,1,1個個. .由分類加法計數(shù)原理知由分類加法計數(shù)原理知, ,符合條件的兩位數(shù)共有符合條件的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(8+7+6+5+4+3+2+1=36(個個).).故共有故共有3636個個. .答案答案: :3636【一題多解【一題多解】解答本題解答本題, ,還有以下解法還有以下解法: :分析個位數(shù)字分析個位數(shù)字, ,可分以下幾類可分以下幾類: :個位是個位是9,9,則十位可以是則十位可以是1,2,3,1

13、,2,3,8,8中的一個中的一個, ,故共有故共有8 8個個; ;個位是個位是8,8,則十位可以是則十位可以是1,2,3,1,2,3,7,7中的一個中的一個, ,故共有故共有7 7個個; ;同理個位是同理個位是7 7的有的有6 6個個; ;個位是個位是2 2的有的有1 1個個. .由分類加法計數(shù)原理知由分類加法計數(shù)原理知, ,符合條件的兩位數(shù)共有符合條件的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(8+7+6+5+4+3+2+1=36(個個).).故共有故共有3636個個. .答案答案: :3636【易錯警示【易錯警示】解答本例題解答本例題(1)(1)有三點容易出錯有三點容易出錯(1)(1

14、)將方程將方程axax2 2+2x+b=0+2x+b=0誤認為二次方程誤認為二次方程, ,沒有討論沒有討論當當a=0a=0時的情況時的情況. .(2)(2)容易漏掉容易漏掉a a與與b b相等的情況相等的情況. .(3)(3)不能分清是分步還是分類不能分清是分步還是分類, ,造成結(jié)論錯誤造成結(jié)論錯誤. .【母題變式【母題變式】1.1.若本例題若本例題(2)(2)條件變?yōu)闂l件變?yōu)椤皞€位數(shù)字不小于十位數(shù)字個位數(shù)字不小于十位數(shù)字”, ,則兩位數(shù)的個數(shù)為則兩位數(shù)的個數(shù)為. .【解析【解析】分兩類分兩類: :一類一類: :個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)數(shù); ;由本例由本例(2)(

15、2)知共有知共有3636個個; ;另一類另一類: :個位數(shù)字與十位數(shù)個位數(shù)字與十位數(shù)字相同的有字相同的有11,22,33,44,55,66,77,88,99,11,22,33,44,55,66,77,88,99,共共9 9個個. .由分由分類加法計數(shù)原理知類加法計數(shù)原理知, ,共有共有36+9=45(36+9=45(個個).).答案答案: :45452.2.若本例題若本例題(2)(2)條件變?yōu)闂l件變?yōu)椤皞€位數(shù)字小于十位數(shù)字個位數(shù)字小于十位數(shù)字”, ,則這樣的兩位數(shù)的個數(shù)為則這樣的兩位數(shù)的個數(shù)為. .【解析【解析】根據(jù)題意根據(jù)題意, ,將個位上的數(shù)字按將個位上的數(shù)字按0,1,2,3,4,5,0,

16、1,2,3,4,5,6,7,86,7,8的情況分成的情況分成9 9類類, ,在每一類中滿足題目條件的兩在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是位數(shù)分別是9 9個個,8,8個個,7,7個個,6,6個個,5,5個個,4,4個個,3,3個個,2,2個個,1,1個個, ,由分類加法計數(shù)原理知由分類加法計數(shù)原理知, ,符合條件的兩位數(shù)共有符合條件的兩位數(shù)共有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(個個).).答案答案: :4545【規(guī)律方法【規(guī)律方法】1.1.分類加法計數(shù)原理的用法及要求分類加法計數(shù)原理的用法及要求(1)(1)用法用法: :應(yīng)用分類加法計數(shù)原理進行

17、計數(shù)時應(yīng)用分類加法計數(shù)原理進行計數(shù)時, ,需要根據(jù)需要根據(jù)完成事件的特點完成事件的特點, ,將要完成一件事的方法進行將要完成一件事的方法進行“分類分類”計算計算. .(2)(2)要求要求: :各類的方法相互獨立各類的方法相互獨立, ,每類中的各種方法也相每類中的各種方法也相互獨立互獨立, ,用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事這件事. .2.2.使用分類加法計數(shù)原理遵循的原則使用分類加法計數(shù)原理遵循的原則有時分類的劃分標準有多個有時分類的劃分標準有多個, ,但不論是以哪一個為標準但不論是以哪一個為標準, ,都應(yīng)遵循都應(yīng)遵循“標準要明確標準要明確

18、, ,不重不漏不重不漏”的原則的原則. .提醒提醒: :對于分類類型較多對于分類類型較多, ,而其對立事件包含的類型較而其對立事件包含的類型較少的可用間接法求解少的可用間接法求解. .【變式訓練【變式訓練】小明有小明有4 4枚完全相同的硬幣枚完全相同的硬幣, ,每枚硬幣都每枚硬幣都分正反兩面分正反兩面, ,他想把他想把4 4枚硬幣擺成一摞枚硬幣擺成一摞, ,且滿足相鄰兩且滿足相鄰兩枚硬幣的正面與正面不相對枚硬幣的正面與正面不相對, ,不同的擺法有不同的擺法有( () )A.4A.4種種 B.5B.5種種C.6C.6種種 D.9D.9種種【解析【解析】選選B.B.記反面為記反面為1,1,正面為正

19、面為2,2,則正反依次相則正反依次相對有對有12121212,2121212112121212,21212121兩種兩種; ;有兩枚反面相對有有兩枚反面相對有21121212,21211212,2121211221121212,21211212,21212112三種三種, ,共有共有3+2=5(3+2=5(種種) )擺法擺法. .【加固訓練【加固訓練】1.1.從集合從集合1,2,3,1,2,3,10,10中任意選出三個不同的數(shù)中任意選出三個不同的數(shù), ,使這三個數(shù)成等比數(shù)列使這三個數(shù)成等比數(shù)列, ,這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為 ( () )A.3 B.4 C.6 D.8A.3

20、B.4 C.6 D.8【解析【解析】選選D.D.當公比為當公比為2 2時時, ,等比數(shù)列可為等比數(shù)列可為1,2,41,2,4或或2,4,8;2,4,8;當公比為當公比為3 3時時, ,等比數(shù)列可為等比數(shù)列可為1,3,9;1,3,9;當公比為當公比為 時時, ,等比數(shù)列可為等比數(shù)列可為4,6,9.4,6,9.同理同理, ,公比為公比為 時時, ,也有也有4 4個個. .故共有故共有2+1+1+4=8(2+1+1+4=8(個個).).321 1 22 3 3，2.2.若若x,yNx,yN* *, ,且且x+y6,x+y6,則有序自然數(shù)對則有序自然數(shù)對(x,y(x,y) )共有共有個個. .【解析【

21、解析】當當x=1x=1時時,y,y可取的值為可取的值為5,4,3,2,1,5,4,3,2,1,共共5 5個個; ;當當x=2x=2時時,y,y可取的值為可取的值為4,3,2,1,4,3,2,1,共共4 4個個; ;當當x=3x=3時時,y,y可取的值為可取的值為3,2,1,3,2,1,共共3 3個個; ;當當x=4x=4時時,y,y可取的值為可取的值為2,1,2,1,共共2 2個個; ;當當x=5x=5時時,y,y可取的值為可取的值為1,1,共共1 1個個. .即當即當x=1,2,3,4,5x=1,2,3,4,5時時,y,y的值依次有的值依次有5,4,3,2,15,4,3,2,1個個, ,由分

22、類加法計數(shù)原理由分類加法計數(shù)原理, ,得不同的數(shù)對得不同的數(shù)對(x,y(x,y) )共有共有5+4+3+2+1=15(5+4+3+2+1=15(個個).).答案答案: :1515考向二考向二分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用【典例【典例2 2】(1)5(1)5名應(yīng)屆畢業(yè)生報考三所高校名應(yīng)屆畢業(yè)生報考三所高校, ,每人報且每人報且僅報一所院校僅報一所院校, ,則不同的報名方法的種數(shù)是則不同的報名方法的種數(shù)是( () )A.3A.35 5 B.5 B.53 3C.C. D.D.35A35C(2)(2016(2)(2016哈爾濱模擬哈爾濱模擬) )用用0,1,0,1,9,9十個數(shù)字十個數(shù)字

23、, ,可以可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為( () )A.243A.243 B.252 B.252C.261C.261 D.279 D.279【解題導引【解題導引】(1)(1)從第一個學生報名到第五個學生報名從第一個學生報名到第五個學生報名可分五步來完成可分五步來完成, ,每一步有每一步有3 3種報名方法種報名方法. .(2)(2)用分步乘法計數(shù)原理分別求出能夠組成的三位數(shù)的用分步乘法計數(shù)原理分別求出能夠組成的三位數(shù)的個數(shù)與能夠組成的無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)個數(shù)與能夠組成的無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù), ,從而間從而間接獲得所求接獲得所求. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】

24、(1)(1)選選A.A.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知, ,每個每個學生都有學生都有3 3個可能報名的學校個可能報名的學校, ,故應(yīng)該是故應(yīng)該是3 33 33 33 33=33=35 5( (種種) )方法方法. .(2)(2)選選B.B.由分步乘法計數(shù)原理得由分步乘法計數(shù)原理得, ,能夠組成的三位數(shù)的能夠組成的三位數(shù)的個數(shù)是個數(shù)是9 9101010=900,10=900,能夠組成無重復數(shù)字的三位數(shù)能夠組成無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是的個數(shù)是9 99 98=648,8=648,故能夠組成有重復數(shù)字的三位故能夠組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是數(shù)的個數(shù)是900-648=252.900-6

25、48=252.【易錯警示【易錯警示】解答本例解答本例(1)(1)有三點容易出錯有三點容易出錯(1)(1)按學校來分步得出按學校來分步得出5 53 3, ,誤選誤選B,B,因為每人報且僅報一因為每人報且僅報一所院校所院校, ,若按學校分若按學校分, ,則會出現(xiàn)一個學生報多所學校的則會出現(xiàn)一個學生報多所學校的情況情況. .(2)(2)誤以為誤以為5 5名學生選名學生選3 3個學校的排列問題個學校的排列問題, ,錯選錯選C.C.(3)(3)誤以為誤以為5 5名學生選名學生選3 3個學校的組合問題個學校的組合問題, ,錯選錯選D.D.【規(guī)律方法【規(guī)律方法】1.1.分步乘法計數(shù)原理的用法及要求分步乘法計

26、數(shù)原理的用法及要求(1)(1)用法用法: :應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理時應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理時, ,需要根據(jù)要完成事需要根據(jù)要完成事件的發(fā)生過程進行件的發(fā)生過程進行“分步分步”計算計算. .(2)(2)要求要求: :每個步驟相互依存每個步驟相互依存, ,其中的任何一步都不能單其中的任何一步都不能單獨完成這件事獨完成這件事, ,只有當各個步驟都完成只有當各個步驟都完成, ,才算完成這件才算完成這件事事. .2.2.應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理的注意點應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理的注意點(1)(1)明確題目中所指的明確題目中所指的“完成一件事完成一件事”是什么事是什么事, ,必須必須要經(jīng)過幾步才能完成這件事要經(jīng)過幾步才

27、能完成這件事. .(2)(2)解決分步問題時要合理設(shè)計步驟、順序解決分步問題時要合理設(shè)計步驟、順序, ,使各步互使各步互不干擾不干擾, ,還要注意元素是否可以重復選取還要注意元素是否可以重復選取. .【變式訓練【變式訓練】(2016(2016蘭州模擬蘭州模擬) )如圖如圖, ,電路中共有電路中共有7 7個個電阻與一個電燈電阻與一個電燈A,A,若燈若燈A A不亮不亮, ,分析因電阻斷路的可能分析因電阻斷路的可能性共有性共有種情況種情況. .【解析【解析】每個電阻都有斷路與通路兩種狀態(tài)每個電阻都有斷路與通路兩種狀態(tài), ,圖中從上圖中從上到下的三條支線到下的三條支線, ,分別記為支線分別記為支線a,

28、b,ca,b,c, ,支線支線a,ba,b中至少中至少有一個電阻斷路的情況都有有一個電阻斷路的情況都有2 22 2-1=3-1=3種種; ;支線支線c c中至少有一個電阻斷路的情況有中至少有一個電阻斷路的情況有2 23 3-1=7-1=7種種, ,每條支線至少有一個電阻斷路每條支線至少有一個電阻斷路, ,燈燈A A就不亮就不亮, ,因此燈因此燈A A不亮的情況共有不亮的情況共有3 33 37=63(7=63(種種) )情況情況. .答案答案: :6363【加固訓練【加固訓練】1.1.從正方體的從正方體的6 6個面中選取個面中選取3 3個面?zhèn)€面, ,其中有其中有2 2個面不相鄰個面不相鄰的選法共

29、有的選法共有( () )A.8A.8種種 B.12B.12種種 C.16C.16種種 D.20D.20種種【解析【解析】選選B.B.完成這件事可先選取完成這件事可先選取2 2個不相鄰的平面?zhèn)€不相鄰的平面, ,有有2 2個面不相鄰即有一組對面?zhèn)€面不相鄰即有一組對面, ,共有共有3 3組組, ,然后再取與這然后再取與這兩個平面都相交的平面兩個平面都相交的平面, ,共有共有4 4個個. .由分步乘法計數(shù)原理由分步乘法計數(shù)原理可知可知, ,選法為選法為3 34=12(4=12(種種).).2.2.設(shè)集合設(shè)集合A=-1,0,1,A=-1,0,1,集合集合B=0,1,2,3,B=0,1,2,3,定義定義A

30、 A* *B B=(x,y)|xAB,yAB=(x,y)|xAB,yAB,則則A A* *B B中元素的個數(shù)中元素的個數(shù)是是( () )A.7A.7B.10B.10C.2C.25 5D.5D.52 2【解析【解析】選選B.B.由題意知本題是一個分步乘法計數(shù)原由題意知本題是一個分步乘法計數(shù)原理理, ,因為集合因為集合A=-1,0,1,A=-1,0,1,集合集合B=0,1,2,3,B=0,1,2,3,所以所以AB=0,1,AB=-1,0,1,2,3,AB=0,1,AB=-1,0,1,2,3,所以所以x x有有2 2種取法種取法, ,y y有有5 5種取法種取法, ,所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得所以根

31、據(jù)分步乘法計數(shù)原理得2 25=10.5=10.考向三考向三兩個原理的綜合應(yīng)用兩個原理的綜合應(yīng)用【考情快遞【考情快遞】 命題方向命題方向命題視角命題視角組數(shù)、組點、組線、組數(shù)、組點、組線、組隊及抽取問題組隊及抽取問題主要考查綜合應(yīng)用兩個原理計算組主要考查綜合應(yīng)用兩個原理計算組數(shù)、組點問題的個數(shù)及組隊、抽取數(shù)、組點問題的個數(shù)及組隊、抽取問題的方法種數(shù)問題的方法種數(shù), ,屬中、高檔題屬中、高檔題涂色、種植問題涂色、種植問題主要考查綜合應(yīng)用兩個原理分步、主要考查綜合應(yīng)用兩個原理分步、分類解決涂色、種植問題的方案種分類解決涂色、種植問題的方案種數(shù)數(shù)【考題例析【考題例析】命題方向命題方向1:1:組數(shù)、組點

32、、組線、組隊及抽取問題組數(shù)、組點、組線、組隊及抽取問題【典例【典例3 3】(2015(2015湖北高考湖北高考) )已知集合已知集合A=(x,y)|xA=(x,y)|x2 2+y+y2 21,x,yZ,B=(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ,1,x,yZ,B=(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ,定義集合定義集合AB=(xAB=(x1 1+x+x2 2,y,y1 1+y+y2 2)|(x)|(x1 1,y,y1 1)A,(x)A,(x2 2,y,y2 2)B,)B,則則ABAB中中元素的個數(shù)為元素的個數(shù)為( () )A.77A.77 B.49 B.49 C.45 C.45 D.30 D.

33、30 ( (本題源自本題源自A A版版2-3P12A2-3P12A組組T5)T5)【解題導引【解題導引】先化集合先化集合A,BA,B為最簡形式為最簡形式, ,分別求出分別求出x x1 1+x+x2 2與與y y1 1+y+y2 2的值的值, ,然后根據(jù)所給信息然后根據(jù)所給信息, ,利用分步乘法計數(shù)原利用分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理確定理和分類加法計數(shù)原理確定ABAB中元素的個數(shù)中元素的個數(shù). .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】選選C.C.由題意知由題意知,A=(x,y)|x,A=(x,y)|x2 2+y+y2 21,1,x,yZx,yZ=(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),B=(x

34、,=(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),B=(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ,y)|x|2,|y|2,x,yZ,所以由新定義集合所以由新定義集合ABAB可知可知,x,x1 1= =1,y1,y1 1=0=0或或x x1 1=0,y=0,y1 1= =1.1.當當x x1 1= =1,1,y y1 1=0=0時時,x,x1 1+x+x2 2=-3,-2,-1,0,1,2,3,y=-3,-2,-1,0,1,2,3,y1 1+y+y2 2=-2,-1,=-2,-1,0,1,2,0,1,2,所以此時所以此時ABAB中元素的個數(shù)由分步乘法中元素的個數(shù)由分步乘法計數(shù)原理得計數(shù)原理得,

35、 ,有有:7:75=355=35個個; ;當當x x1 1=0,y=0,y1 1= =1 1時時,x,x1 1+x+x2 2= =-2,-1,0,1,2,y-2,-1,0,1,2,y1 1+y+y2 2=-3,-2,-1,0,1,2,3,=-3,-2,-1,0,1,2,3,這種情形下和這種情形下和第一種情況下除第一種情況下除y y1 1+y+y2 2的值取的值取-3-3或或3 3外均相同外均相同, ,此時由分此時由分步乘法計數(shù)原理得步乘法計數(shù)原理得, ,有有5 52=102=10個個, ,由分類加法計數(shù)原理由分類加法計數(shù)原理知知,AB,AB中元素的個數(shù)為中元素的個數(shù)為35+10=4535+10

36、=45個個. .命題方向命題方向2:2:涂色、種植問題涂色、種植問題【典例【典例4 4】(2016(2016珠海模擬珠海模擬) )如圖如圖, ,用用6 6種不種不同的顏色把圖中同的顏色把圖中A,B,C,DA,B,C,D四塊區(qū)域分開四塊區(qū)域分開, ,若若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色, ,則不同的涂法則不同的涂法共有共有( () )A.400A.400種種 B.460B.460種種C.480C.480種種 D.496D.496種種【解題導引【解題導引】可按使用顏色的種數(shù)分類來完成此事可按使用顏色的種數(shù)分類來完成此事. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】選選C.C.完成此事可能使用完成此事

37、可能使用4 4種顏色種顏色, ,也可能也可能使用使用3 3種顏色種顏色. .當使用當使用4 4種顏色時種顏色時: :從從A A開始開始, ,有有6 6種方法種方法, ,B B有有5 5種種,C,C有有4 4種種,D,D有有3 3種種, ,完成此事共有完成此事共有6 65 54 43 3=360(=360(種種) )方法方法; ;當使用當使用3 3種顏色時種顏色時:A,D:A,D使用同一種顏色使用同一種顏色, ,從從A,DA,D開始開始, ,有有6 6種方法種方法,B,B有有5 5種種,C,C有有4 4種種, ,完成此事共有完成此事共有6 65 54=120(4=120(種種) )方法方法. .

38、由分類加法計數(shù)原理可知由分類加法計數(shù)原理可知: :不同不同涂法有涂法有360+120=480(360+120=480(種種).).【技法感悟【技法感悟】1.1.組數(shù)、組點、組線、組隊及抽取問題的解題思路組數(shù)、組點、組線、組隊及抽取問題的解題思路(1)(1)組數(shù)、組點、組線、組隊問題組數(shù)、組點、組線、組隊問題: :一般按特殊位置由一般按特殊位置由誰占領(lǐng)分類誰占領(lǐng)分類, ,每類中再分步計數(shù)每類中再分步計數(shù), ,當分類較多時當分類較多時, ,也可用也可用間接法求解間接法求解. .(2)(2)有限制條件的抽取問題有限制條件的抽取問題: :一般根據(jù)抽取的順序分步一般根據(jù)抽取的順序分步或根據(jù)選取的元素特點

39、分類或根據(jù)選取的元素特點分類, ,當數(shù)目不大時當數(shù)目不大時, ,可用枚舉可用枚舉法法, ,當數(shù)目較大時當數(shù)目較大時, ,可用間接法求解可用間接法求解. .2.2.涂色、種植問題的解題關(guān)注點和關(guān)鍵涂色、種植問題的解題關(guān)注點和關(guān)鍵(1)(1)關(guān)注點關(guān)注點: :分清元素的數(shù)目分清元素的數(shù)目, ,其次分清在不相鄰的區(qū)域其次分清在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用同類元素內(nèi)是否可以使用同類元素. .(2)(2)關(guān)鍵是對每個區(qū)域逐一進行關(guān)鍵是對每個區(qū)域逐一進行, ,分步處理分步處理. .提醒提醒: :對于較復雜的兩個原理綜合應(yīng)用的問題對于較復雜的兩個原理綜合應(yīng)用的問題, ,可恰當可恰當畫出示意圖或列出表格畫出示意

40、圖或列出表格, ,使問題形象化、直觀化使問題形象化、直觀化, ,以圖以圖助解助解. .【題組通關(guān)【題組通關(guān)】1.(20161.(2016長春模擬長春模擬) )現(xiàn)從甲、乙、丙等現(xiàn)從甲、乙、丙等6 6名工人中安排名工人中安排4 4人分別照看一道工序人分別照看一道工序, ,第一道工序只能從甲、乙兩工第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排人中安排1 1人人, ,第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1 1人人, ,則不同的安排方案共有則不同的安排方案共有( () )A.24A.24種種B.36B.36種種C.48C.48種種D.72D.72種種【解析【解析】選選B.B.分兩類

41、分兩類: :(1)(1)第一道工序安排甲時有第一道工序安排甲時有1 11 14 43=12(3=12(種種).).(2)(2)第一道工序不安排甲時有第一道工序不安排甲時有1 12 24 43=24(3=24(種種).).所以共有所以共有12+24=36(12+24=36(種種).).2.(20152.(2015四川高考四川高考) )用數(shù)字用數(shù)字0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5組成沒有重組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)復數(shù)字的五位數(shù), ,其中比其中比4000040000大的偶數(shù)共有大的偶數(shù)共有( () )A.144A.144個個 B.120B.120個個 C.96C.96個個 D.72D.7

42、2個個【解析【解析】選選B.B.首位為首位為5,5,末位為末位為0:40:43 32=24(2=24(個個););首位為首位為5,5,末位為末位為2:42:43 32=24(2=24(個個););首位為首位為5,5,末位為末位為4:44:43 32=24(2=24(個個););首位為首位為4,4,末位為末位為0:40:43 32=24(2=24(個個););首位為首位為4,4,末位為末位為2:42:43 32=24(2=24(個個).).由分類加法計數(shù)原理由分類加法計數(shù)原理, ,得共有得共有24+24+24+24+24=120(24+24+24+24+24=120(個個).).3.(20143

43、.(2014福建高考福建高考) )用用a a代表紅球代表紅球,b,b代表藍球代表藍球,c,c代表黑代表黑球球, ,由加法原理及乘法原理由加法原理及乘法原理, ,從從1 1個紅球和個紅球和1 1個藍球中取個藍球中取出若干個球的所有取法可由出若干個球的所有取法可由 的展開式的展開式1+a+b+ab1+a+b+ab表示出來表示出來, ,如如:“1”:“1”表示一個球都不取、表示一個球都不取、“a”a”表示取出一個紅球表示取出一個紅球, ,而而“abab”則表示把紅球和藍則表示把紅球和藍球都取出來球都取出來. .依此類推依此類推, ,下列各式中下列各式中, ,其展開式可用來表其展開式可用來表1 a 1

44、 b示從示從5 5個無區(qū)別的紅球、個無區(qū)別的紅球、5 5個無區(qū)別的藍球、個無區(qū)別的藍球、5 5個有區(qū)別個有區(qū)別的黑球中取出若干個球的黑球中取出若干個球, ,且所有的藍球都取出或都不取且所有的藍球都取出或都不取出的所有取法的是出的所有取法的是( () )523455552345523455552345A. 1 a aaaa1 b1 cB. 1 a (1 b bbbb ) 1 cC. 1 a1 b bbbb1 cD. 1 a1 b1 c cccc 【解析【解析】選選A.A.因為無區(qū)別因為無區(qū)別, ,所以取紅球的方法數(shù)所以取紅球的方法數(shù)為為1+a+a1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+

45、a5 5; ;因為藍球要都取出因為藍球要都取出, ,或都不或都不取出取出, ,所以方法為所以方法為1+b1+b5 5, ,因為黑球有區(qū)別因為黑球有區(qū)別, ,因此因此, ,取黑球的方法數(shù)為取黑球的方法數(shù)為(1+c)(1+c)5 5, ,所以所有取法數(shù)為所以所有取法數(shù)為(1+a+a(1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5)(1+b)(1+b5 5)(1+c)(1+c)5 5. .4.(20164.(2016南陽模擬南陽模擬) )如圖所示的五個區(qū)域如圖所示的五個區(qū)域中中, ,現(xiàn)有四種顏色可供選擇現(xiàn)有四種顏色可供選擇, ,要求每一個區(qū)要求每一個區(qū)域只涂一種顏色域只涂一種顏色, ,相

46、鄰區(qū)域所涂顏色不同相鄰區(qū)域所涂顏色不同, ,則不同的涂則不同的涂色方法種數(shù)為色方法種數(shù)為( () )A.24A.24種種B.48B.48種種C.72C.72種種D.96D.96種種【解析【解析】選選C.C.分兩種情況分兩種情況: :(1)A,C(1)A,C不同色不同色, ,先涂先涂A A有有4 4種種,C,C有有3 3種種,E,E有有2 2種種,B,D,B,D有有1 1種種, ,有有4 43 32=24(2=24(種種).).(2)A,C(2)A,C同色同色, ,先涂先涂A A有有4 4種種,E,E有有3 3種種,C,C有有1 1種種,B,D,B,D各有各有2 2種種, ,有有4 43 32

47、22=48(2=48(種種).).共有共有7272種種. .【加固訓練【加固訓練】某城市在中心廣場建造一個花圃某城市在中心廣場建造一個花圃, ,花圃分為花圃分為6 6個部分個部分( (如圖如圖).).現(xiàn)要栽種現(xiàn)要栽種4 4種不同顏色的花種不同顏色的花, ,每部分栽種一種每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花, ,不同的栽種方法不同的栽種方法有有種種( (用數(shù)字作答用數(shù)字作答).).【解析【解析】從題意來看從題意來看6 6部分種部分種4 4種顏色的花種顏色的花, ,又從圖形又從圖形看知必有看知必有2 2組同顏色的花組同顏色的花, ,從同顏色的花入手分類求從同顏

48、色的花入手分類求. .(1)(1)與與同色同色, ,則則也同色或也同色或也同色也同色, ,所以共有所以共有N N1 1=4=43 32 22 21=48(1=48(種種).).(2)(2)與與同色同色, ,則則或或同色同色, ,所以共有所以共有N N2 2=4=43 32 22 21=48(1=48(種種).).(3)(3)與與且且與與同色同色, ,則共有則共有N N3 3=4=43 32 21=24(1=24(種種).).所以共有所以共有N=NN=N1 1+N+N2 2+N+N3 3=48+48+24=120(=48+48+24=120(種種).).答案答案: :120120【一題多解【一題多解】本題還可用以下方法求解本題還可用以下方法求解. .記不同顏色的記不同顏色的花為花為A,B,C,D,A,B,C,D,先安排先安排, , ,有有4 43 32 2種不同的栽法種不同的栽法. .不妨設(shè)不妨設(shè), , ,已分別栽種已分別栽種A,B,C,A,B,C,則則, , ,栽種方栽種方法共法共5 5種種, ,由以下樹狀圖清晰可見由以下樹狀圖清晰可見. .根據(jù)分步乘法計數(shù)原理根據(jù)分步乘法計數(shù)原理, ,不同栽種不同栽種方法有方法有N=4N=43 32 25=120.5=120.答案答案: :120120