《高考數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量 10.9 離散型隨機變量的均值與方差課件 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量 10.9 離散型隨機變量的均值與方差課件 理（95頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第九節(jié)離散型隨機變量的均值與方差【知識梳理【知識梳理】1.1.離散型隨機變量離散型隨機變量X X的分布列的分布列X Xx x1 1x x2 2x xi ix xn nP Pp p1 1p p2 2p pi ip pn n2.2.離散型隨機變量離散型隨機變量X X的均值與方差的均值與方差均值均值( (數(shù)學期望數(shù)學期望) )方差方差計計算算公公式式E(X)=_E(X)=_D(X)=_D(X)=_ n2iii 1xE Xpx x1 1p p1 1+x+x2 2p p2 2+x+xi ip pi i+x+xn np pn n均值均值( (數(shù)學期望數(shù)學期望) )方差方差作作用用反映了離散型隨機變量反映了

2、離散型隨機變量取值的取值的_刻畫了隨機變量刻畫了隨機變量X X與其均與其均值值E(X)E(X)的的_標標準準差差方差的方差的_為隨機變量為隨機變量X X的標準差的標準差 平均水平平均水平平均偏離程度平均偏離程度算術(shù)平方根算術(shù)平方根D(X)3.3.均值與方差的性質(zhì)均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=_(a,b(1)E(aX+b)=_(a,b為常數(shù)為常數(shù)).).(2)D(aX+b)=_(a,b(2)D(aX+b)=_(a,b為常數(shù)為常數(shù)).).4.4.兩點分布的均值與方差兩點分布的均值與方差若隨機變量若隨機變量X X服從兩點分布服從兩點分布, ,則則E(X)=_,D(X)=_.E(X)=_,D(

3、X)=_.aE(X)+baE(X)+ba a2 2D(X)D(X)p pp(1-p)p(1-p)5.5.二項分布的均值與方差二項分布的均值與方差若隨機變量若隨機變量X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為n,pn,p的二項分布的二項分布, ,即即X XB(n,pB(n,p),),則則E(X)=_,D(X)=_.E(X)=_,D(X)=_.npnpnp(1-p)np(1-p)【特別提醒【特別提醒】1.1.隨機變量隨機變量X X與其均值的關系與其均值的關系均值均值E(X)E(X)由由X X的分布列唯一確定的分布列唯一確定, ,即即X X作為隨機變量是可作為隨機變量是可變的變的, ,而而E(X)E(X)是不變的是

4、不變的, ,它描述它描述X X值的取值平均水平值的取值平均水平. .2.2.均值與方差的關系均值與方差的關系D(X)=E(XD(X)=E(X2 2)-E)-E2 2(X).(X).3.3.超幾何分布的均值超幾何分布的均值若若X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為N,M,nN,M,n的超幾何分布的超幾何分布, ,則則E(X)=E(X)=nM.N【小題快練【小題快練】鏈接教材練一練鏈接教材練一練1.(1.(選修選修2-3P682-3P68練習練習T1T1改編改編) )已知已知X X的分布列為的分布列為X X-1-10 01 1P P121316設設Y=2X+3,Y=2X+3,則則E(Y)E(Y)的值為的值為(

5、 () )A. B.4 C.-1 A. B.4 C.-1 D.1D.1【解析【解析】選選A.E(X)=A.E(X)=E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=731112 63 ，273.33 2.(2.(選修選修2-3P642-3P64練習練習T4T4改編改編) )甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個隨機變量中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個隨機變量X,Y,X,Y,其分布列分其分布列分別為別為: :X X0 01 12 23 3P P0.40.40.30.30.20.20.10.1Y Y0 01 12 2P P0.30.30.5

6、0.50.20.2若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等, ,則甲、乙兩人中技術(shù)較好則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是的是_._.【解析【解析】甲、乙一天中出現(xiàn)廢品數(shù)的均值分別為甲、乙一天中出現(xiàn)廢品數(shù)的均值分別為E(X)=0E(X)=00.4+10.4+10.3+20.3+20.2+30.2+30.1=1,0.1=1,E(Y)=0E(Y)=00.3+10.3+10.5+20.5+20.2=0.9,0.2=0.9,所以所以E(X)E(Y),E(X)E(Y),故乙的技術(shù)較好故乙的技術(shù)較好. .答案答案: :乙乙感悟考題試一試感悟考題試一試3.(20163.(2016武漢模擬武漢模擬) )如圖如圖

7、, ,將一個各面都涂了油漆的正將一個各面都涂了油漆的正方體方體, ,切割為切割為125125個同樣大小的小正方體個同樣大小的小正方體, ,經(jīng)過攪拌后經(jīng)過攪拌后, ,從中隨機取一個小正方體從中隨機取一個小正方體, ,記它的油漆面數(shù)為記它的油漆面數(shù)為X,X,則則X X的的均值均值E(X)=E(X)=( () )12661687A.B.CD.12551255【解析【解析】選選B.P(X=3)= B.P(X=3)= ，P(X=2)=P(X=2)=P(X=1)= ,P(X=0)=P(X=1)= ,P(X=0)=E(X)=E(X)=812536125，5412527,12524725460.125 125

8、 1255 4.(20164.(2016洛陽模擬洛陽模擬) )一個人將編號為一個人將編號為1,2,3,41,2,3,4的四個小的四個小球隨機放入編號為球隨機放入編號為1,2,3,41,2,3,4的四個盒子的四個盒子, ,每個盒子放一每個盒子放一個小球個小球, ,球的編號與盒子的編號相同時叫做放對了球的編號與盒子的編號相同時叫做放對了, ,否否則叫做放錯了則叫做放錯了. .設放對個數(shù)記為設放對個數(shù)記為,則則的期望的值為的期望的值為( () )A. B. A. B. C.1 D.2C.1 D.21223【解析【解析】選選C.C.將四個不同小球放入四個不同盒子，每將四個不同小球放入四個不同盒子，每個

9、盒子放一個小球，共有個盒子放一個小球，共有 種不同放法，放對的個數(shù)種不同放法，放對的個數(shù)可取的值有可取的值有0 0，1 1，2 2，4 4，其中，其中P(P(=0)=0)=44A4493A8 ，12444444C2C11P(1)P(2),A3A4， 44113111P(4),E01241.A2483424 5.(20155.(2015廣東高考廣東高考) )已知隨機變量已知隨機變量X X服從二項分布服從二項分布B(n,pB(n,p) )，若，若E(X)=30,D(X)=20E(X)=30,D(X)=20，則，則p=_.p=_.【解析【解析】依題意可得依題意可得E(X)=npE(X)=np=30=

10、30且且D(X)=np(1-p)=20D(X)=np(1-p)=20，解得，解得p= .p= .答案：答案：1313考向一考向一離散型隨機變量的均值離散型隨機變量的均值( (數(shù)學期望數(shù)學期望) )與方差與方差【考情快遞【考情快遞】 命題方向命題方向命題視角命題視角求均值與方求均值與方差問題差問題主要考查根據(jù)題目的條件求某離散型隨機變主要考查根據(jù)題目的條件求某離散型隨機變量的分布列、均值與方差量的分布列、均值與方差, ,屬低中檔題屬低中檔題均值與方差均值與方差的應用問題的應用問題根據(jù)均值或方差的大小根據(jù)均值或方差的大小, ,求某些參數(shù)的問題求某些參數(shù)的問題【考題例析【考題例析】命題方向命題方向1

11、:1:求均值與方差問題求均值與方差問題【典例【典例1 1】(2015(2015山東高考山東高考) )若若n n是一個三位正整數(shù)是一個三位正整數(shù), ,且且n n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字的個位數(shù)字大于十位數(shù)字, ,十位數(shù)字大于百位數(shù)字十位數(shù)字大于百位數(shù)字, ,則則稱稱n n為為“三位遞增數(shù)三位遞增數(shù)”( (如如137,359,567137,359,567等等).).在某次數(shù)學趣味活動中在某次數(shù)學趣味活動中, ,每位參加者需從所有的每位參加者需從所有的“三位三位遞增數(shù)遞增數(shù)”中隨機抽取中隨機抽取1 1個數(shù)個數(shù), ,且只能抽取一次且只能抽取一次, ,得分規(guī)則得分規(guī)則如下如下: :若抽取的若抽取的“三位遞

12、增數(shù)三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被的三個數(shù)字之積不能被5 5整除整除, ,參加者得參加者得0 0分分; ;若能被若能被5 5整除整除, ,但不能被但不能被1010整除整除, ,得得-1-1分分; ;若能被若能被1010整除整除, ,得得1 1分分. .(1)(1)寫出所有個位數(shù)字是寫出所有個位數(shù)字是5 5的的“三位遞增數(shù)三位遞增數(shù)”. .(2)(2)若甲參加活動若甲參加活動, ,求甲得分求甲得分X X的分布列和數(shù)學期望的分布列和數(shù)學期望E(X).E(X).【解題導引【解題導引】(1)(1)分十位數(shù)字是分十位數(shù)字是2,3,42,3,4討論討論.(2).(2)先求先求X X的的可能取值及對應概率

13、可能取值及對應概率, ,再求分布列及數(shù)學期望再求分布列及數(shù)學期望. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)若十位數(shù)字是若十位數(shù)字是4,4,有有145,245,345;145,245,345;若十若十位數(shù)字是位數(shù)字是3,3,有有135,235;135,235;若十位數(shù)字是若十位數(shù)字是2,2,有有125.125.所以個所以個位數(shù)字是位數(shù)字是5 5的的“三位遞增數(shù)三位遞增數(shù)”有有145,245,345,135, 145,245,345,135, 235,125235,125共共6 6個個. .(2)(2)個位數(shù)字是個位數(shù)字是3 3時時, ,有有1 1個個; ;個位數(shù)字是個位數(shù)字是4 4時時, ,有有3

14、 3個個; ;個位個位數(shù)字是數(shù)字是5 5時時, ,有有6 6個個; ;個位數(shù)字是個位數(shù)字是6 6時時, ,有有1010個個; ;個位數(shù)字是個位數(shù)字是7 7時時, ,有有1515個個; ;個位數(shù)字是個位數(shù)字是8 8時時, ,有有2121個個; ;個位數(shù)字是個位數(shù)字是9 9時時, ,有有2828個個, ,共共8484個個. .三個數(shù)字之積能被三個數(shù)字之積能被1010整除的有整除的有2222個個, ,三個數(shù)字之積能被三個數(shù)字之積能被5 5整除整除, ,但不能被但不能被1010整除的有整除的有6 6個個, ,三個數(shù)字之積不能被三個數(shù)字之積不能被5 5整除的有整除的有5656個個. .X X的可能取值為

15、的可能取值為-1,0,1,-1,0,1,P(X=-1)= ;P(X=0)= ;P(X=1)=P(X=-1)= ;P(X=0)= ;P(X=1)=所以所以X X的分布列為的分布列為所以所以X X的數(shù)學期望的數(shù)學期望E(X)=E(X)=6184145628432211.8442X X-1-10 01 1P P1142311421114.14 4221【易錯警示【易錯警示】解答本題解答本題(2)(2)會出現(xiàn)以下錯誤會出現(xiàn)以下錯誤: :(1)(1)將將X X取值為取值為-1,0,1-1,0,1時對應的時對應的“三位遞增數(shù)三位遞增數(shù)”的個數(shù)的個數(shù)確定錯確定錯, ,從而導致從而導致P(X=-1)P(X=-

16、1)或或P(X=0),P(X=1)P(X=0),P(X=1)計算錯誤計算錯誤, ,而致誤而致誤. .(2)(2)將將E(X)E(X)的計算公式記錯而致誤的計算公式記錯而致誤. .(3)(3)在計算在計算E(X)E(X)的過程中計算錯誤而致誤的過程中計算錯誤而致誤. .命題方向命題方向2:2:均值與方差的應用問題均值與方差的應用問題【典例【典例2 2】(2016(2016鄭州模擬鄭州模擬) )設袋子中裝有設袋子中裝有a a個紅球個紅球,b,b個黃球個黃球,c,c個藍球個藍球, ,且規(guī)定且規(guī)定: :取出一個紅球得取出一個紅球得1 1分分, ,取出一取出一個黃球得個黃球得2 2分分, ,取出一個藍球

17、得取出一個藍球得3 3分分. .(1)(1)當當a=3,b=2,c=1a=3,b=2,c=1時時, ,從該袋子中任取從該袋子中任取( (有放回有放回, ,且每球且每球取到的機會均等取到的機會均等)2)2個球個球, ,記隨機變量記隨機變量為取出此為取出此2 2球所球所得分數(shù)之和得分數(shù)之和, ,求求的分布列的分布列. .(2)(2)從該袋子中任取從該袋子中任取( (每球取到的機會均等每球取到的機會均等)1)1個球個球, ,記隨記隨機變量機變量為取出此球所得分數(shù)為取出此球所得分數(shù). .若若E()= ,D(E()= ,D()= ,)= ,求求abcabc. .5359【解題導引【解題導引】(1)(1)

18、在分析取到兩球的顏色時在分析取到兩球的顏色時, ,要注意是要注意是有放回地抽取有放回地抽取, ,即同一個球可能兩次都能抽到即同一個球可能兩次都能抽到.(2).(2)根據(jù)根據(jù)計算數(shù)學期望與方差的公式計算計算數(shù)學期望與方差的公式計算, ,尋找尋找a,b,ca,b,c之間的關之間的關系系. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由題意得由題意得,=2,3,4,5,6,=2,3,4,5,6,故故P(P(=2)=2)=P(P(=3)=3)=P(P(=4)=4)=P(P(=5)=5)=P(P(=6)=6)=3 316 64，2 3 216 63 ，2 3 1 2 256 618 ，2 2 116 69 ，1

19、 116 636，所以所以的分布列為的分布列為(2)(2)由題意知由題意知的分布列為的分布列為2 23 34 45 56 6P P1413518191361 12 23 3P Paa b c ba b c ca b c 所以所以E(E()=)=D(D()=)=化簡得化簡得 解得解得所以所以abcabc=321.=321.a2b3c5a b ca b ca b c3 ，2225a5b5c5(1)(2)(3)3a b c3a b c3a b c9 ，2a b 4c 0a 4b 11c 0 ，a 3c,b 2c，【母題變式【母題變式】1.1.在本例題在本例題(1)(1)的條件下求的條件下求E(E()

20、 )，D(D().).【解析【解析】由由(1)(1)解得解得E(E()=)= D( D()=)=11511234564318936 103，2222101101105101(2)(3)(4)(5)343331839 210110(6).3369 2.2.在本例題在本例題(2)(2)的條件下的條件下, ,若若X=3+5,X=3+5,求求E(X),D(X).E(X),D(X).【解析【解析】由已知得由已知得E(X)=3E()+5=3E(X)=3E()+5=3 +5=10, +5=10,D(X)=3D(X)=32 2D()=9D()=9 =5. =5.5359【技法感悟【技法感悟】1.1.求離散型隨

21、機變量求離散型隨機變量的均值與方差的步驟的均值與方差的步驟(1)(1)理解理解的意義的意義, ,寫出寫出可能的全部值可能的全部值. .(2)(2)求求取每個值的概率取每個值的概率. .(3)(3)寫出寫出的分布列的分布列. .(4)(4)由均值的定義求由均值的定義求E(E().).(5)(5)由方差的定義求由方差的定義求D(D().).2.2.由均值與方差情況求參數(shù)問題的求解思路由均值與方差情況求參數(shù)問題的求解思路先根據(jù)題設條件將均值、方差用待求參數(shù)表示先根據(jù)題設條件將均值、方差用待求參數(shù)表示, ,再由已再由已知均值與方差構(gòu)建關于參數(shù)的方程知均值與方差構(gòu)建關于參數(shù)的方程( (組組),),然后求

22、解然后求解. .【題組通關【題組通關】1.(20161.(2016武漢模擬武漢模擬) )已知隨機變量已知隨機變量的分布列是的分布列是其中其中(0, )(0, )，則，則E(E()=( )=( )-1-10 02 2P Pcoscossin4sin4211A.2cossinB.cossinC.0D.142【解析【解析】選選D.D.由題意可知由題意可知所以所以 +cos =1+cos =1，sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1，解得，解得sin = ,cos = sin = ,cos = ，E(E()=)=+2cos =2cos - sin =+2cos =2cos - sin =si

23、n sin cos 144 ，sin 24535sin sin 1044 143 1 421.5 4 5 2.(20142.(2014浙江高考浙江高考) )隨機變量隨機變量的取值為的取值為0,1,2,0,1,2,若若P(=0)= ,E(P(=0)= ,E()=1,)=1,則則D(D()=_.)=_.15【解析【解析】設設=1=1時的概率為時的概率為p,p,則則E(E()=0)=0 +1+1p+p+2 2(1-p- )(1-p- )=1,=1,解得解得p= ,p= ,故故D(D()=(0-1)=(0-1)2 2 +(1-+(1-1)1)2 2 +(2-1)+(2-1)2 2 = .= .答案答案

24、: :15153515351525253.(20163.(2016合肥模擬合肥模擬) )一個不透明的盒子中關有蝴蝶、一個不透明的盒子中關有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三種昆蟲共蜜蜂和蜻蜓三種昆蟲共1111只只, ,現(xiàn)在盒子上開一小孔現(xiàn)在盒子上開一小孔, ,每每次只能飛出次只能飛出1 1只昆蟲只昆蟲( (假設任意假設任意1 1只昆蟲等可能地飛出只昆蟲等可能地飛出).).若有若有2 2只昆蟲先后任意飛出只昆蟲先后任意飛出( (不考慮順序不考慮順序),),則飛出的是則飛出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是蝴蝶或蜻蜓的概率是21.55(1)(1)求盒子中蜜蜂有幾只求盒子中蜜蜂有幾只. .(2)(2)若從盒子中先后任意飛出若從

25、盒子中先后任意飛出3 3只昆蟲只昆蟲( (不考慮順序不考慮順序),),記記飛出蜜蜂的只數(shù)為飛出蜜蜂的只數(shù)為X,X,求隨機變量求隨機變量X X的分布列與數(shù)學期望的分布列與數(shù)學期望E(X).E(X).【解析【解析】(1)(1)設設“2 2只昆蟲先后任意飛出只昆蟲先后任意飛出, ,飛出的是蝴蝶飛出的是蝴蝶或蜻蜓或蜻蜓”為事件為事件A,A,設盒子中蜜蜂為設盒子中蜜蜂為x x只只, ,則由題意則由題意, ,得得P(A)= P(A)= 所以所以(11-x)(10-x)=42,(11-x)(10-x)=42,解之得解之得x=4x=4或或x=17(x=17(舍去舍去),),故盒子中蜜蜂有故盒子中蜜蜂有4 4只

26、只. .211 x211C21C55，(2)(2)由由(1)(1)知，盒子中蜜蜂有知，盒子中蜜蜂有4 4只，則只，則X X的取值可為的取值可為0 0，1 1，2 2，3 3，P(X=0)= P(X=0)= ，P(X=1)=P(X=1)=P(X=2)= P(X=2)= ，P(X=3)=P(X=3)=故故X X的分布列為的分布列為37311C7C331247311CC28C55，2147311CC14C5534311C4.C165X X0 01 12 23 3P P733285514554165數(shù)學期望數(shù)學期望E(X)=E(X)=728144120123.33555516511 考向二考向二與二項

27、分布有關的均值與方差與二項分布有關的均值與方差【典例【典例3 3】(1)(2016(1)(2016成都模擬成都模擬) )已知已知X+X+=8,=8,若若X XB(10,0.6),B(10,0.6),則則E(E() )和和D(D() )分別是分別是( () )A.6A.6和和2.4 B.22.4 B.2和和2.42.4C.2C.2和和5.6 5.6 D.6D.6和和5.65.6(2)(2016(2)(2016蘭州模擬蘭州模擬) )翡翠市場流行一種賭石翡翠市場流行一種賭石“游戲規(guī)游戲規(guī)則則”: :翡翠在開采出來時有一層風化皮包裹著翡翠在開采出來時有一層風化皮包裹著, ,無法知無法知道其內(nèi)的好壞道其

28、內(nèi)的好壞, ,須切割后方能知道翡翠的價值須切割后方能知道翡翠的價值, ,參加者參加者先繳納一定金額后可得到一塊翡翠石塊并現(xiàn)場開石驗先繳納一定金額后可得到一塊翡翠石塊并現(xiàn)場開石驗證其具有的收藏價值證其具有的收藏價值. .某舉辦商在賭石游戲中設置了某舉辦商在賭石游戲中設置了甲、乙兩種賭石規(guī)則甲、乙兩種賭石規(guī)則, ,規(guī)則甲的賭中率為規(guī)則甲的賭中率為 , ,賭中后可賭中后可23獲得獲得2020萬元萬元; ;規(guī)則乙的賭中率為規(guī)則乙的賭中率為p p0 0(0p(0p0 01),E(30X)E(30X2 2),),則則 60p60p0 0, ,解得解得0p0p0 0 若若E(20XE(20X1 1)E(30

29、X)E(30X2 2),),則則 60p60p0 0, ,解得解得 pp0 01;1;若若E(20XE(20X1 1)=E(30X)=E(30X2 2),),則則 =60p=60p0 0, ,解得解得p p0 0= .= .4802033 ，80380380349；4949綜上所述綜上所述, ,當當0p0p0 0 時時, ,他們都選擇規(guī)則甲進行賭石時他們都選擇規(guī)則甲進行賭石時, ,累計得到的金額的數(shù)學期望最大累計得到的金額的數(shù)學期望最大; ;當當 pp0 011時時, ,他們都選擇規(guī)則乙進行賭石時他們都選擇規(guī)則乙進行賭石時, ,累計得到累計得到的金額的數(shù)學期望最大的金額的數(shù)學期望最大; ;當當

30、p p0 0= = 時時, ,他們都選擇規(guī)則甲或規(guī)則乙進行賭石時他們都選擇規(guī)則甲或規(guī)則乙進行賭石時, ,累累計得到的金額的數(shù)學期望相等計得到的金額的數(shù)學期望相等. .494949【規(guī)律方法【規(guī)律方法】與二項分布有關的期望、方差的求法與二項分布有關的期望、方差的求法(1)(1)求隨機變量求隨機變量的期望與方差時的期望與方差時, ,可首先分析可首先分析是否是否服從二項分布服從二項分布, ,如果如果B(n,pB(n,p),),則用公式則用公式E()=np,D(E()=np,D()=np(1-p)=np(1-p)求解求解, ,可大大減少計算量可大大減少計算量. .(2)(2)有些隨機變量雖不服從二項分

31、布有些隨機變量雖不服從二項分布, ,但與之具有線性但與之具有線性關系的另一隨機變量服從二項分布關系的另一隨機變量服從二項分布, ,這時這時, ,可以綜合應可以綜合應用用E(a+b)=aE()+bE(a+b)=aE()+b以及以及E()=npE()=np求出求出E(a+bE(a+b),),同同樣還可求出樣還可求出D(a+bD(a+b).).【變式訓練【變式訓練】1.(20161.(2016廣州模擬廣州模擬) )若若X XB(n,pB(n,p),),且且E(X)=6,D(X)=3,E(X)=6,D(X)=3,則則P(X=1)P(X=1)的值為的值為( () )A.3A.32 2-2-2 B.2 B

32、.2-4-4 C.3C.32 2-10-10 D.2D.2-8-8【解析【解析】選選C.C.因為因為E(X)=npE(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3,=6,D(X)=np(1-p)=3,所以所以p= ,n=12,p= ,n=12,則則P(X=1)=P(X=1)=1211110121 1C ( )( )32 .2 2 2.2.某學科測試中要求考生從某學科測試中要求考生從A,B,CA,B,C三道題中任選一題作三道題中任選一題作答答, ,考試結(jié)束后考試結(jié)束后, ,統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示共有統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示共有600600名學生參加測試名學生參加測試, ,選擇選擇A,B,CA,B,C三題答卷數(shù)如下表三

33、題答卷數(shù)如下表: :題題A AB BC C答卷數(shù)答卷數(shù)180180300300120120(1)(1)某教師為了解參加測試的學生答卷情況某教師為了解參加測試的學生答卷情況, ,現(xiàn)用分層現(xiàn)用分層抽樣的方法從抽樣的方法從600600份答卷中抽出若干份答卷份答卷中抽出若干份答卷, ,其中從選其中從選擇擇A A題作答的答卷中抽出了題作答的答卷中抽出了3 3份份, ,則應分別從選擇則應分別從選擇B,CB,C題題作答的答卷中各抽出多少作答的答卷中各抽出多少? ?(2)(2)若在若在(1)(1)問被抽出的答卷中問被抽出的答卷中,A,B,C,A,B,C三題答卷得優(yōu)的三題答卷得優(yōu)的份數(shù)都是份數(shù)都是2,2,從被抽

34、出的從被抽出的A,B,CA,B,C三題答卷中再各抽出三題答卷中再各抽出1 1份份, ,求這求這3 3份答卷中恰有份答卷中恰有1 1份得優(yōu)的概率份得優(yōu)的概率. .(3)(3)測試后的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示測試后的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示,B,B題的答卷得優(yōu)的有題的答卷得優(yōu)的有100100份份, ,若以頻率作為概率若以頻率作為概率, ,在在(1)(1)問中被抽出的選擇問中被抽出的選擇B B題作答的題作答的答卷中答卷中, ,記其中得優(yōu)的份數(shù)為記其中得優(yōu)的份數(shù)為X,X,求求X X的分布列及其數(shù)學的分布列及其數(shù)學期望期望E(X).E(X).【解析【解析】(1)(1)由題意可得由題意可得: :應分別從選擇應分別從選擇B,CB,

35、C題作答的答卷中抽出題作答的答卷中抽出5 5份份,2,2份份. .題題A AB BC C答卷數(shù)答卷數(shù)180180300300120120抽出的答卷數(shù)抽出的答卷數(shù)3 35 52 2(2)(2)記事件記事件M:M:從被抽出的從被抽出的A,B,CA,B,C三種答卷中分別再任取三種答卷中分別再任取出出1 1份份, ,這這3 3份答卷中恰有份答卷中恰有1 1份得優(yōu)份得優(yōu), ,可知只能可知只能C C題答卷為題答卷為優(yōu)優(yōu), ,依題意依題意P(M)=P(M)=1 311.3 55 (3)(3)由題意可知由題意可知,B,B題答卷得優(yōu)的概率為題答卷得優(yōu)的概率為 , ,顯然被抽出的顯然被抽出的B B題的答卷中得優(yōu)的

36、份數(shù)題的答卷中得優(yōu)的份數(shù)X X的可能取值為的可能取值為0,1,2,3,4,5,0,1,2,3,4,5,且且X XB(5B(5， ),),P(X=0)=P(X=0)=P(X=1)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=2)=1300551232C ( ) ( )33243；11451280C ( ) ( )33243；22351280C ( ) ( )33243；13P(X=3)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=5)=隨機變量隨機變量X X的分布列為的分布列為33251240C ( ) ( )33243；44151210C ( ) ( )33243；5505121C

37、 ( ) ( ).33243X X0 01 12 23 34 45 5P P32243802438024340243102431243所以所以E(X)=E(X)=328080401015012345.2432432432432432433 【加固訓練【加固訓練】1.1.某籃球隊與其他某籃球隊與其他6 6支籃球隊依次進行支籃球隊依次進行6 6場比賽場比賽, ,每場均每場均決出勝負決出勝負, ,設這支籃球隊與其他籃球隊比賽勝場的事件設這支籃球隊與其他籃球隊比賽勝場的事件是獨立的是獨立的, ,并且勝場的概率是并且勝場的概率是 . .(1)(1)求這支籃球隊首次勝場前已經(jīng)負了兩場的概率求這支籃球隊首次

38、勝場前已經(jīng)負了兩場的概率. . 13(2)(2)求這支籃球隊在求這支籃球隊在6 6場比賽中恰好勝了場比賽中恰好勝了3 3場的概率場的概率. .(3)(3)求這支籃球隊在求這支籃球隊在6 6場比賽中勝場數(shù)的數(shù)學期望和方場比賽中勝場數(shù)的數(shù)學期望和方差差. .【解析【解析】(1)P=(1)P=所以這支籃球隊首次勝場前已負兩場的概率為所以這支籃球隊首次勝場前已負兩場的概率為 (2)6(2)6場勝場勝3 3場的情況有場的情況有 種，種，所以所以P=P=所以這支籃球隊在所以這支籃球隊在6 6場比賽中恰勝場比賽中恰勝3 3場的概率為場的概率為2114(1).3327 4.2736C33361118160C

39、( ) (1)20.3327 27729160.729(3)(3)由于由于服從二項分布，即服從二項分布，即B(6, )B(6, )，所以所以E(E()=6)=6 =2 =2，D(D()=)=所以在所以在6 6場比賽中這支籃球隊勝場的數(shù)學期望為場比賽中這支籃球隊勝場的數(shù)學期望為2 2，方，方差為差為13131146(1).333 4.32.2.質(zhì)地均勻的正四面體玩具的質(zhì)地均勻的正四面體玩具的4 4個面上分別刻著數(shù)字個面上分別刻著數(shù)字1,2,3,4,1,2,3,4,將將4 4個這樣的玩具同時拋擲于桌面上個這樣的玩具同時拋擲于桌面上. .(1)(1)求與桌面接觸的求與桌面接觸的4 4個面上的個面上的

40、4 4個數(shù)的乘積不能被個數(shù)的乘積不能被4 4整整除的概率除的概率. .(2)(2)設設為與桌面接觸的為與桌面接觸的4 4個面上數(shù)字中偶數(shù)的個數(shù)個面上數(shù)字中偶數(shù)的個數(shù), ,求求的分布列及期望的分布列及期望E(E().).【解析【解析】(1)(1)不能被不能被4 4整除的有兩種情形整除的有兩種情形: :4 4個數(shù)均為奇數(shù)個數(shù)均為奇數(shù), ,概率為概率為P P1 1= =4 4個數(shù)中有個數(shù)中有3 3個奇數(shù)個奇數(shù), ,另一個為另一個為2,2,概率為概率為P P2 2= =這兩種情況是互斥的這兩種情況是互斥的, ,故所求的概率為故所求的概率為P=P=411( )216；334111C ( )248，113

41、.16 8 16 (2)(2)為與桌面接觸的為與桌面接觸的4 4個面上數(shù)字中偶數(shù)的個數(shù)，由個面上數(shù)字中偶數(shù)的個數(shù)，由題意知題意知的可能取值是的可能取值是0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，根據(jù)符合二項，根據(jù)符合二項分布，得到分布，得到P(P(=k)= (k=0=k)= (k=0，1 1，2 2，3 3，4)4)，的的分布列為分布列為k441C ( )20 01 12 23 34 4P P116143814116因為因為服從二項分布服從二項分布B(4B(4， ) )，所以所以E(E()=4)=4 =2. =2. 1212考向三考向三利用均值與方差解決實際問題利用均值與方差解決實際問題【典例【

42、典例4 4】(2014(2014福建高考福建高考) )為回饋顧客為回饋顧客, ,某商場擬通某商場擬通過摸球兌獎的方式對過摸球兌獎的方式對10001000位顧客進行獎勵位顧客進行獎勵, ,規(guī)定規(guī)定: :每位每位顧客從一個裝有顧客從一個裝有4 4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出出2 2個球個球, ,球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額. .(1)(1)若袋中所裝的若袋中所裝的4 4個球中有個球中有1 1個所標的面值為個所標的面值為5050元元, ,其其余余3 3個均為個均為1010元元, ,求求顧客所獲的獎勵額為顧客所獲的獎

43、勵額為6060元的概率元的概率; ;顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望. .(2)(2)商場對獎勵總額的預算是商場對獎勵總額的預算是6000060000元元, ,并規(guī)定袋中的并規(guī)定袋中的4 4個球只能由標有面值個球只能由標有面值1010元和元和5050元的兩種球組成元的兩種球組成, ,或標有或標有面值面值2020元和元和4040元的兩種球組成元的兩種球組成. .為了使顧客得到的獎勵為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡相對均衡, ,請對袋中的請對袋中的4 4個球的面值給出一個合適

44、的設個球的面值給出一個合適的設計計, ,并說明理由并說明理由. .【解題導引【解題導引】(1)(1)列分布表列分布表, ,再按公式求期望再按公式求期望.(2).(2)欲讓欲讓每位顧客所獲得的獎勵相對平衡每位顧客所獲得的獎勵相對平衡, ,則應求方差則應求方差, ,方差小方差小的為最佳方案的為最佳方案. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)設顧客所獲的獎勵額為設顧客所獲的獎勵額為X.X.依題意依題意, ,得得P(X=60)=P(X=60)=即顧客所獲的獎勵額為即顧客所獲的獎勵額為6060元的概率為元的概率為依題意依題意, ,得得X X的所有可能取值為的所有可能取值為20,60.20,60.P(X=

45、60)= ,P(X=20)=P(X=60)= ,P(X=20)=111324CC1,C21.2122324C1,C2即即X X的分布列為的分布列為所以顧客所獲得的獎勵額的期望為所以顧客所獲得的獎勵額的期望為E(X)=20E(X)=200.5+600.5+600.5=40(0.5=40(元元).).X X20206060P P0.50.50.50.5(2)(2)根據(jù)商場的預算根據(jù)商場的預算, ,每個顧客的平均獎勵額為每個顧客的平均獎勵額為6060元元. .所所以以, ,先尋找期望為先尋找期望為6060元的可能方案元的可能方案. .對于面值由對于面值由1010元和元和5050元組成的情況元組成的情

46、況, ,如果選擇如果選擇(10,10, (10,10, 10,50)10,50)的方案的方案, ,因為因為6060元是面值之和的最大值元是面值之和的最大值, ,所以期所以期望不可能為望不可能為6060元元; ;如果選擇如果選擇(50,50,50,10)(50,50,50,10)的方案的方案, ,因為因為6060元是面值之和的最小值元是面值之和的最小值, ,所以期望也不可能為所以期望也不可能為6060元元, ,因此可能的方案是因此可能的方案是(10,10,50,50),(10,10,50,50),記為方案記為方案1.1.對于面值由對于面值由2020元和元和4040元組成的情況元組成的情況, ,同

47、理可排除同理可排除(20,20,20,40)(20,20,20,40)和和(40,40,40,20)(40,40,40,20)的方案的方案, ,所以可能的方所以可能的方案是案是(20,20,40,40),(20,20,40,40),記為方案記為方案2.2.以下是對兩個方案的分析以下是對兩個方案的分析: :對于方案對于方案1,1,即方案即方案(10,10,50,50),(10,10,50,50),設顧客所獲的獎勵設顧客所獲的獎勵額為額為X X1 1, ,則則X X1 1的分布列為的分布列為X X1 1的期望為的期望為E(XE(X1 1)=20)=20 +60 +60 +100 +100 =60.

48、 =60.X X1 1的方差為的方差為D(XD(X1 1)=(20-60)=(20-60)2 2 +(60-60) +(60-60)2 2 +(100- +(100-60)60)2 2 = =X X1 120206060100100P P1623161616232316161600.3X X2 2的期望為的期望為E(XE(X2 2)=40)=40 +60 +60 +80 +80 =60. =60.X X2 2的方差為的方差為D(XD(X2 2)=(40-60)=(40-60)2 2 +(60-60) +(60-60)2 2 +(80- +(80-60)60)2 2 = =X X2 240406

49、0608080P P162316161623231616400.3對于方案對于方案2 2，即方案，即方案(20(20，2020，4040，40)40)，設顧客所獲，設顧客所獲的獎勵額為的獎勵額為X X2 2，則，則X X2 2的分布列為的分布列為由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求, ,但方案但方案2 2獎獎勵額的方差比方案勵額的方差比方案1 1的小的小, ,所以應該選擇方案所以應該選擇方案2.2.【規(guī)律方法【規(guī)律方法】利用均值與方差解決實際問題的方法利用均值與方差解決實際問題的方法(1)(1)對實際問題進行具體分析對實際問題進行具體分析, ,將實際問題轉(zhuǎn)化

50、為數(shù)學將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題問題, ,并將問題中的隨機變量設出來并將問題中的隨機變量設出來. .(2)(2)依據(jù)隨機變量取每一個值時所表示的具體事件依據(jù)隨機變量取每一個值時所表示的具體事件, ,求求出其相應的概率出其相應的概率. .(3)(3)依據(jù)均值與方差的定義、公式求出相應的均值與方依據(jù)均值與方差的定義、公式求出相應的均值與方差值差值. .(4)(4)依據(jù)均值與方差的意義對實際問題作出決策或給出依據(jù)均值與方差的意義對實際問題作出決策或給出合理的解釋合理的解釋. .【變式訓練【變式訓練】(2016(2016長春模擬長春模擬) )在在20152015年全國高校自年全國高校自主招生考試中主招生

51、考試中, ,某高校設計了一個面試考查方案某高校設計了一個面試考查方案: :考生考生從從6 6道備選題中一次性隨機抽取道備選題中一次性隨機抽取3 3題題, ,按照題目要求獨立按照題目要求獨立回答全部問題回答全部問題. .規(guī)定規(guī)定: :至少正確回答其中至少正確回答其中2 2題的便可通過題的便可通過. .已知已知6 6道備選題中考生甲有道備選題中考生甲有4 4題能正確回答題能正確回答,2,2題不能回題不能回答答; ;考生乙每題正確回答的概率都為考生乙每題正確回答的概率都為 , ,且每題正確回且每題正確回答與否互不影響答與否互不影響. .23(1)(1)分別寫出甲、乙兩考生正確回答題數(shù)的分布列分別寫出

52、甲、乙兩考生正確回答題數(shù)的分布列, ,并并計算其數(shù)學期望計算其數(shù)學期望. .(2)(2)試用統(tǒng)計知識分析比較兩考生的通過能力試用統(tǒng)計知識分析比較兩考生的通過能力. .【解析【解析】(1)(1)設考生甲、乙正確回答的題目個數(shù)分別為設考生甲、乙正確回答的題目個數(shù)分別為, , ,則則的可能取值為的可能取值為1,2,3,1,2,3,P(=1)= ,P(P(=1)= ,P(=2)=2)=P(P(=3)=3)=所以考生甲正確回答題數(shù)的分布列為所以考生甲正確回答題數(shù)的分布列為124236CC1C5214236CC3,C5304236CC1,C51 12 23 3P P153515E(E()=1)=1 +2

53、+2 +3 +3 =2. =2.又又B(3B(3， ),),其分布列為其分布列為所以所以E()=npE()=np=3=3 =2. =2.153515230 01 12 23 3P P127294982723(2)(2)因為因為D(D()=(2-1)=(2-1)2 2 +(2-2) +(2-2)2 2 +(2-3) +(2-3)2 2 = = ，D(D()=np(1-p)=)=np(1-p)=所以所以D()D(D()P(2).P(2)P(2).153515252 123,3 33 3 10.85 5 ，1280.742727，從回答對題數(shù)的數(shù)學期望考查從回答對題數(shù)的數(shù)學期望考查, ,兩人水平相當兩人水平相當; ;從回答從回答對題數(shù)的方差考查對題數(shù)的方差考查, ,甲較穩(wěn)定甲較穩(wěn)定; ;從至少完成從至少完成2 2題的概率考題的概率考查查, ,甲通過的可能性大甲通過的可能性大. .因此可以判斷甲的通過能力較因此可以判斷甲的通過能力較強強. .