《數(shù)學(xué)建模論文 兩種隨機存貯管理模型的建立和求解》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)建模論文 兩種隨機存貯管理模型的建立和求解（25頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 兩種隨機存貯管理模型的建立和求解 摘 要： 本文建立了倉庫容量有限條件下單品種、多品種的允許缺貨隨機存貯模型。采用連續(xù)的時間變量更合理地描述了問題，簡化了模型的建立。模型的求解是一個以分段的平均損失費用函數(shù)作為目標(biāo)的帶約束最優(yōu)化問題。針對題目中的具體數(shù)據(jù)對隨機量送貨滯后時間的密度函數(shù)進(jìn)行了估計，解出了單品種、多品種條件下最優(yōu)訂貨點的值和存貯方案。 通過分情況討論把單品種存貯模型推廣為多品種（種）存貯模型，論證了目標(biāo)函數(shù)的獨立變量為個,使模型更加清晰、求解方便。類比控制論中的相關(guān)理論提出了一定條件下多品種存貯的最優(yōu)性原理，給出了證明

2、，指出該原理簡化模型和驗證模型求解結(jié)果的作用。 討論了銷售速率具有隨機性時的存貯模型，實際當(dāng)中調(diào)整修正訂貨點的方法，以及倉庫最大存貯量的一種預(yù)測辦法。最后指出了模型的優(yōu)缺點。 0問題重述 工廠生產(chǎn)需定期地定購各種原料，商家銷售要成批地購進(jìn)各種商品。無論是原料或商品，都有一個怎樣存貯的問題。存得少了無法滿足需求，影響利潤；存得太多，存貯費用就高。因此說存貯管理是降低成本、提高經(jīng)濟(jì)效益的有效途徑和方法。 問題1 某商場銷售的某種商品。市場上這種商品的銷售速率假設(shè)是不變的，記為；每次進(jìn)貨的訂貨費為常數(shù)與商品的數(shù)量和品種無關(guān)；使用自己的倉庫存貯商品時，單位商品每天的存貯費用記為，由于自己

3、的倉庫容量有限，超出時需要使用租借的倉庫存貯商品，單位商品每天的存貯費用記為，且；允許商品缺貨，但因缺貨而減少銷售要造成損失，單位商品的損失記為；每次訂貨，設(shè)貨物在天后到達(dá)，交貨時間是隨機的；自己的倉庫用于存貯該商品的最大容量為，每次到貨后使這種商品的存貯量補充到固定值為止，且；在銷售過程中每當(dāng)存貯量降到時即開始訂貨。 請你給出求使總損失費用達(dá)到最低的訂貨點（最優(yōu)訂貨點）的數(shù)學(xué)模型。 問題2 現(xiàn)給出來自某個大型超市的關(guān)于三種商品的真實數(shù)據(jù)，按你的模型分別計算出這三種商品各自相應(yīng)的最優(yōu)訂貨點。 問題3 問題1是只有一種商品需要訂貨的情形。實際上常遇到在庫存容量有限的情況下，有多種商品需要同時

4、訂貨的情形，這時需考慮充分利用存貯體積的問題。設(shè)有種商品需要訂貨，它們每次一同從一個供應(yīng)站訂貨，每次進(jìn)貨的訂貨費為常數(shù)與商品的數(shù)量和品種無關(guān)；訂購的貨物同時到達(dá)，到貨天數(shù)如問題1所述是隨機的。這種商品的銷售速率分別為（袋或盒/天），每袋（或盒）的體積分別為。使用自己的倉庫和租借的倉庫時單位體積商品每天的存貯費分別記成和，單位體積商品每天的缺貨損失記成，自己的倉庫用于存貯這種商品的總體積容量為，每次到貨后這種商品的存貯量總體積補充到固定體積容量為止，且。每當(dāng)這種商品的存貯量總體積降到時即開始訂貨。試通過建立數(shù)學(xué)模型說明應(yīng)如何確定最優(yōu)訂貨點和自己的倉庫用于存貯這種商品的各自體積容量以及在訂貨到達(dá)時

5、使這種商品各自存貯量補充到的固定體積 ，才能使總損失費用達(dá)到最低？ 問題4 如果把問題2中的三種商品按問題3的方法同時訂貨，其中立方米，立方米，立方米，自己的倉庫用于存貯這3種商品的總體積容量立方米，每次到貨后這3種商品的存貯量總體積補充到固定體積容量立方米為止，且該供應(yīng)站從接到訂貨通知到貨物送達(dá)商場的天數(shù)服從在1天到3天之間的均勻分布。其余數(shù)據(jù)同問題2中相應(yīng)的商品中所列出的數(shù)據(jù)。試按問題3的模型求出這3種商品的最優(yōu)訂貨點和自己的倉庫用于存貯這3種商品的各自體積容量以及在訂貨到達(dá)時使這3種商品各自存貯量補充到的固定體積 。 問題5商品的銷售經(jīng)常是隨機的、訂貨情況在一段時間后是會發(fā)生變化的，

6、相應(yīng)地商家就應(yīng)該調(diào)整訂貨和存貯策略。你們能否對此建立數(shù)學(xué)模型加以討論。 1問題假設(shè) 1．不考慮商品銷售率的變化； 2．當(dāng)訂購貨物到達(dá)時，可無限量瞬時補充，直至，即不考慮供給方的供給能力限制； 3．時間是連續(xù)變化的； 4. 不考慮從倉庫到超市的時間延遲和運輸費用，即認(rèn)為倉庫和超市是一體的； 5．在多品種存貯問題中不考慮倉庫之間的動態(tài)調(diào)配； 2 單存貯隨機問題 2.1符號約定 商品的銷售速率：（）； 每次進(jìn)貨的訂貨費：（元）； 使用自己倉庫存貯時，單位商品每天的存貯費：（）； 租借倉庫存貯時，單位商品每天的存貯費：（）； 缺貨時單位商品的損失為：（） 每次訂貨交貨時間為

7、：（天）； 每次交貨時間為的概率密度：； 自己倉庫最大容量：（盒）； 商品存貯量達(dá)到的固定值：（盒）； 訂貨點：（盒） 2.2單品種存貯問題分析 問題1、2屬于運籌學(xué)中存貯論一支，是一個倉庫容量有限、單品種隨機存貯的最優(yōu)化問題?？梢酝ㄟ^建立起目標(biāo)規(guī)劃模型進(jìn)行求解。它以總損失費用最低作為目標(biāo)，訂貨點為要其中的變量。總損失費用由三個方面組成：訂貨費用、倉庫貯存費、缺貨費。 訂貨費用每次都是固定的，即不考慮訂貨費用與訂貨數(shù)量、品種的關(guān)系。 由于自己倉庫容量有限，所以要租借外面的倉庫存貯。存貯費用包括兩個方面：使用自己倉庫的存貯費和租借倉庫的存貯費。而租借倉庫存貯費用要高于自己倉庫費用

8、，即，所以在銷售時應(yīng)該先售出外倉庫內(nèi)存貯部分，再售出自己倉庫存貯部分。給定一個訂貨點，當(dāng)存貯量降到訂貨點時要發(fā)出訂貨單。 題中訂貨不是立即送到，而是需要一定時間的，在存貯論中將這段時間稱為滯后期，在后面的論文當(dāng)中都將采用該名詞來描述訂貨送到時間。 滯后期的取值是隨機的，因此不能保證在訂貨到達(dá)時商品一定還有剩余，而有可能出現(xiàn)訂貨未到時商品已全部售出，從而發(fā)生商品短缺現(xiàn)象。而商品的短缺直接造成了商家的損失，這一損失有因為減少銷售帶來的損失、商家信譽受損、客戶減少等。題中給出了缺貨時單位商品每天的損失費用，說明當(dāng)天缺少的商品其影響會延續(xù)到后面的時間中，直到得到補償。在此只考慮因為減少銷售帶來的損

9、失，缺貨量增加的速率為銷售速率。 題中指出，每次訂貨到達(dá)后將商品存貯量補充到固定值為止。所以對于滯后期內(nèi)的缺貨量，在補充貨物時不考慮進(jìn)行補償。滯后期的不確定，還使得訂貨到達(dá)時商品的剩余量是不確定的，即在訂貨時商家不能給出具體的訂貨量，而要在送貨到達(dá)時保證商品能夠補充到固定值，則送貨廠商必須要具有一定的供給能力，在題中將不考慮廠商供給能力的限制，而認(rèn)為它是無限大的，商品必能補充至。 因為每次訂、送貨情況不一樣，交貨時間是隨機的，使得唯一的訂貨點不能保證每次的損失都是最低的，故采用一個概率平均值來描述損失費用。在概率平均的情況下，以連續(xù)兩次收到補充訂貨的時間間隔作為一個時間周期。則應(yīng)取損失費=

10、，即用單位時間（題中取天）內(nèi)的平均損失費用來進(jìn)行評價。利用該損失值最小的約束條件來得出最優(yōu)訂貨點。 現(xiàn)先討論一個周期內(nèi)商品的總損失。商品的總損失由三部分組成： 1） 每次進(jìn)貨時的訂貨費用； 2） 商品在未賣出時需要存貯而由此產(chǎn)生的存貯費用； 3） 因缺貨減少了銷售量，由此造成的損失費。 則總費用表示為，其中、、分別表示上述各項的費用。 由題知，每次進(jìn)貨的訂貨量為常數(shù)，即是固定的，它不受送貨時間隨機性的影響。 存貨費用由兩部分組成：租借倉庫存貯費+自己倉庫存貯費，表示為。滯后期的改變會使得一個周期的長度改變，即商品存貯時間發(fā)生變化，這使的值是不固定的。是滯后期變化的。 缺貨損失費

11、用是由滯后期的隨機性引起的，它也是的函數(shù)。 故要使一周內(nèi)的總損失最小，只需考慮存貨費用和缺貨損失費的影響。下面將對它們進(jìn)行具體的討論分析，建立起總損失費用的具體模型。 2.3單品種存貯模型的建立 在問題2中給出的滯后期是一些離散數(shù)據(jù)，由之得到的滯后期隨機分布函數(shù)也是一些離散的值，但是考慮到實際情況缺貨半天和缺貨一天的損失肯定是不同的。以及我們已經(jīng)假設(shè)倉庫與超市是一體的，那么超市的貨物是隨時可以補充的，所以我們在建立模型的時候，將時間看作是連續(xù)的，采用連續(xù)的方法來進(jìn)行分析建模，將庫存量、缺貨量、庫存費用、缺貨費用、滯后期分布函數(shù)等在時間上進(jìn)行連續(xù)化。這樣對模型進(jìn)行分析和求解也比較簡單。

12、由于自己倉庫容量的限制，需要租借倉庫來進(jìn)行存貯，這與只存在就增加了問題的經(jīng)分析，根據(jù)訂貨點的取值將問題分為兩種情況：；。 1．，訂貨點大于自己倉庫的最大容量 這又可以分為兩種情況，分別如圖2-1中左、右所示。 圖2-1 時庫存量及日損失費隨時間的變化曲線 I：，即不會發(fā)生缺貨現(xiàn)象，在送貨到達(dá)時商品還有剩余或恰好售完。 這一情況如圖2-1中左邊部分所示?？醋笊蠄D，以每個周期開始時刻為0點，此時總的庫存量為，它以不變的銷售速率均勻減少。到時刻降為，也即租借倉庫內(nèi)的商品銷售完全。時刻庫存降至，此時發(fā)出訂貨單。在時刻，商品仍有庫存或恰好售完，而補充貨物送到，將其補充至，故也即下一周期的起

13、點。段長度即為滯后時間。 定義一個日損失費，它是指單位時間（天）內(nèi)除訂貨費之外其他損失費之和。這一值是隨著時間改變的。在一個周期的時間上對它進(jìn)行積分，可得到一個周期存貯和缺貨損失費之和。 在時段內(nèi)，單位時間內(nèi)自己倉庫內(nèi)的庫存不變，其單位時間內(nèi)的損失費用不變，為；而租借倉庫內(nèi)的商品以速率減少，其庫存費用的減少速率為，在左下圖中即表現(xiàn)為AB段的斜率為。在A即周期起點處，總庫存為，其中部分存在自己倉庫內(nèi)，部分存在租借倉庫內(nèi)，。在時段，庫存只剩下自己倉庫里的，日庫存費用從以速率減少，至?xí)r刻庫存降為。而點為該周期的終點，此時送貨到達(dá)，而。很直觀地，段的累積損失費為梯形A0B的面積，段累積損失費用為梯

14、形BC的面積，段的累積損失費用為梯形CD的面積。 計算如下： ： ： ： 則在無缺貨情況下， 一個周期內(nèi)總的損失費用是面積、、之和加上訂貨費，即： （2-1） II：，要發(fā)生缺貨的情況。 、段與I的情況相同，時刻庫存降至0，而訂貨尚未送到，此后時段都處于缺貨狀態(tài)，單位時間的缺貨費用（即缺貨費用的變化率）是由0開始按的速率增加。在時段，右上圖庫存量變化折線延伸到了0點以下，但它并不表示庫存量為負(fù)，而是為了體現(xiàn)出缺貨的狀態(tài)。到時刻訂貨送達(dá)，缺貨狀態(tài)解除，而此時缺貨費用增長到最高，。三角形DE的面積即該周期內(nèi)總的缺貨損失費。同上可計算得出： ： ： ： ： 故在有缺貨時，一

15、個周期內(nèi)總的損失費為面積、、、之和加上訂貨費。 （2-2） 觀察發(fā)現(xiàn)，I、II情況中求得的總損失費用表達(dá)式的右端存在著相同的部分，即其是相等的，表示租借倉庫存貯量至銷售完時所積累存貯費用與自己倉庫存貯量降至?xí)r積累存貯費之和。不同的只是滯后時間部分，該部分開始時間是存貯量降為的時刻，結(jié)束時間為送貨到達(dá)時刻。對于情況I，不包含缺貨費用，而II中多了缺貨費用一項。故可以把式子寫成： （2-3） 其中，，，。 在上面的式子當(dāng)中，費用是送貨時間的函數(shù)，即在每一個周期里，如果確定了，就能確定。而如題中所述，是一個隨機變量，對于

16、損失費用的評價最好使用一個概率平均值。在的密度函數(shù)已知情況下，可得到損失費用為 （2-4） 2．，訂貨點大于自己倉庫的最大容量 圖2-2 時庫存量及日損失費隨時間的變化曲線 如圖2-2所示，此時還要分三種情況考慮： I：，送貨到達(dá)時租借倉庫內(nèi)仍然存有商品，無缺貨； II：，送貨到達(dá)時租借倉庫內(nèi)已無存貯商品，而自己倉庫內(nèi)還存有部分商品，無缺貨； III：，送貨到達(dá)時租借倉庫和自己倉庫內(nèi)均空，有缺貨現(xiàn)象。 下面分別加以推導(dǎo)這三種情況下總損失費用表達(dá)式。 I： 由于分析過程與時相同，故以下只給出計算表達(dá)式，而不給出推導(dǎo)過程。 ；； ： ： 總的損失費

17、用為： （2-5） II： ；；； ： ： ： （2-6） III： ；；； ： ： ： ： （2-7） 觀察三種情況下的總費用的表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)它們有共同的一項，其相同。對總費用求其期望值得到如下： （2-8） 其中，， ， ， 至此，一個周期內(nèi)總損失費用的數(shù)學(xué)模型建立起來。要對總損失進(jìn)行評價，應(yīng)該取單位時間內(nèi)的平均總損失費用，故有，表示單位時間內(nèi)總損失費用的概率平均值

18、，為上面所求一個周期內(nèi)的總損失費用概率平均值，而周期取的是概率平均值，此處表示送貨時間的數(shù)值期望。 訂貨點在之下和訂貨點在之上有不同的表達(dá)式。表達(dá)式中除，和外所有其他量均為已知定值。為一積分變量，若、確定，則通過積分可消去。而的概率密度在具體的題目中可由多次訂送貨相關(guān)資料求得，在此視為已知量。這就說明，表達(dá)式中只有是變量，它的取值決定了總損失費用的大小。確定了，總損失費用就可以確定。得到一個目標(biāo)函數(shù)： （2-9） 在此目標(biāo)函數(shù)中具有積分項，它是一個非線性目標(biāo)優(yōu)化模型。通過求解該優(yōu)化模型可得出的最優(yōu)解即最低訂貨點，它使得總損失費用最小。至此，問題1得到解答。 2.4單品種存貯問題的求

19、解與結(jié)果 1．概率密度函數(shù)的確定： 題中指出為隨機變量，沒有具體給出其變化規(guī)律，但在問題2中各個具體商品卻提供了一些滯后期的數(shù)據(jù)。通過這些數(shù)據(jù)，可以確定出的分布函數(shù)，即其概率密度函數(shù)。 1）商品一：康師傅精裝巧碗香菇燉雞面 統(tǒng)計連續(xù)的36次訂貨后到達(dá)時間天數(shù)紀(jì)錄，得到表2-1。 表2-1 商品一交貨時間X在不同時間點的概率分布 時間/天 0 1 2 3 4 5 6 7 出現(xiàn)次數(shù) 2 4 5 15 5 3 1 1 概率 5.56% 11.11% 13.89% 41.67% 13.89% 8.33% 2.78% 2.78% 采用SA

20、S軟件對進(jìn)行正態(tài)分布的假設(shè)檢驗，其結(jié)果如圖2-3和圖2-4所示。由QQ圖可見各點基本在直線附近，說明分布的正態(tài)性較好。利用統(tǒng)計學(xué)中的參數(shù)估計得知該樣本符合均值為2.9722，方差為1.521的正態(tài)分布。 圖2-3 商品一交貨時間的概率密度圖 圖2-4 驗證商品一交貨時間是否正態(tài)分布的QQ圖 2）商品二：心相印手帕紙 統(tǒng)計連續(xù)的43次訂貨后到達(dá)時間天數(shù)紀(jì)錄，得到表2-2。 表2-2商品二交貨時間x在不同時間點的概率分布 時間天數(shù) 1 2 3 4 5 出現(xiàn)次數(shù) 2 23 12 5 1 概率 4.65% 53.49% 27.91% 11.63%

21、2.33% 由QQ圖可知商品二的交貨時間服從威布爾分布。其密度分布函數(shù)，由最大似然估計確定Welbull分布參數(shù)a=0.0380 ，b=3.1434。 圖2-5 商品二交貨時間的概率密度圖 圖2-6 驗證商品二交貨時間是否威布爾分布的QQ圖 3）商品三：中匯香米5KG裝 表2-3商品三交貨時間x在不同時間點的概率分布 時間天數(shù) 1 2 3 4 5 6 出現(xiàn)次數(shù) 27 20 8 3 2 1 概率 44.26% 32.79% 27.91% 13.11% 3.28% 1.64% 采用與（2）相同的方法得到圖2-7和2-8，圖2-8QQ圖可

22、知商品三的交貨時間也服從威布爾分布，其分布參數(shù)為a= 0.2312 ，b= 1.8424。 圖2-7商品三交貨時間的概率密度圖 圖2-8 驗證商品三交貨時間是否正態(tài)分布的QQ圖 2．求解方法和結(jié)果： 該問題是一個比較復(fù)雜的單變量求極值的問題，因為含有復(fù)雜而繁瑣的積分項，常用的通過求導(dǎo)找解析解的方法就難以適用。 對于問題2中給出的具體問題，由于數(shù)據(jù)取值均不大，可以采用遍歷搜索方法。從=0開始直至=，依次得出不同值下的總損失費用，比較選出其中最小值即為最低總損失費用，此時對應(yīng)的即為最低訂貨點。 另外，從優(yōu)化角度看，本題屬于非線性優(yōu)化問題，也可從利用matlab中的相關(guān)函數(shù)，將上

23、面列出的目標(biāo)函數(shù)及其約束條件代入求解。 表2-4中列出了三種商品在采用遍歷搜索和優(yōu)化方法求解的結(jié)果。可以看出兩者相差不大，但優(yōu)化方法能找到更精確的解。在附表中給出了遍歷搜索的過程。 表2-4 題目2的求解結(jié)果 遍歷搜索方法 優(yōu)化方法 訂貨點 周期 日平均損失費 訂貨點 周期 日平均損失費 康師傅 44 4.3056 3.3897 43.9966 4.3056 3.3897 心相印 44 3.6016 4.3469 44.4747 3.5699 4.3459 中匯香米 35 2.2008 11.3582 35.1535

24、2.1931 11.3580 3 多品種存貯問題 3.1符號約定 ：商品種類； ：第種商品的銷售速率（），； ：第種商品單個商品的體積（）； ：體積的銷售速率（），; ：每次進(jìn)貨的定貨費（元）； ：使用自己倉庫存貯時，第種商品每天的存貯費（），； ：租借倉庫存貯時，第種商品每天的存貯費（），； ：缺貨時第種商品的損失為（），； ：每次訂貨后交貨的滯后時間為（天）； ：的概率密度函數(shù)； ：自己倉庫最大容量（）； ：自己倉庫用于存貯第種商品的最大容量（），； ：商品存貯量達(dá)到的固定值（）； ：第種商品訂貨到達(dá)時存貯量達(dá)到的固定值（），； ：訂貨點（）；

25、 ：達(dá)到訂貨點時每種商品的庫存量（），； ：總?cè)站鶕p失費用； ：每種商品的日均損失費用， ； 3.2多品種存貯問題的分析和建模 1． 問題分析和模型建立 同第一題中的分析，這里仍然認(rèn)為時間和庫存量都是連續(xù)的變量?？倱p失費 用最低等價于單位時間（即天）的平均損失費用（即日均損失費用）最低。 當(dāng)有種商品同時訂貨時，單獨看每種商品的進(jìn)貨、存貯、銷售、訂貨、缺貨流程和第一題中建立的模型是相同的，故當(dāng)和時，的表達(dá)式推導(dǎo)過程與單品種模型中完全相同，這里就不再做討論了。在第一題中不會出現(xiàn)商品缺貨了還沒有訂貨的情況，同理在這個問題中也不會出現(xiàn)種商品都缺貨了還沒有訂貨的情況。但是也有兩點不同：

26、 1）這里的存貯費用和缺貨費用都是按體積衡量的，而不是按袋（盒）。 2）在這里由于目標(biāo)函數(shù)是多種商品的費用總和的平均，要進(jìn)行總體的規(guī)劃使總費用最小，當(dāng)某種商品的缺貨費用較低時也可能出現(xiàn)這種商品已經(jīng)缺貨，但別的商品仍在銷售，訂貨還沒有發(fā)出。即相對于第一題的模型，不僅可能出現(xiàn)，的情況，還可能出現(xiàn)的情況。類似于第一題，作圖進(jìn)行分析: 圖3-1 物品庫存量及日損失費隨時間的變化曲線 上圖3-1是一個周期內(nèi)物品庫存量和損失費用變化速率隨時間的變化曲線。對應(yīng)租借倉庫的貨恰銷售完，而自己倉庫庫存為的時刻；對應(yīng)物品存貯貨物全部售完的時刻；為總庫存降至訂貨點，發(fā)出訂貨單的時刻；為訂貨到達(dá)的時刻。在整

27、個周期內(nèi)，庫存量以速率減少。在段內(nèi)，物品保持缺貨狀態(tài)，但是訂貨單未發(fā)出。段長度為滯后期。 設(shè)，即從0時刻開始至發(fā)出訂貨單經(jīng)歷了時間。這一時間可由訂貨點不為0的物品求出。設(shè)物品有，則。 A點日損失費為，B點為，C點為0，D點。 與單物品存貯模型相同方法分析，算得： ： ： ： 則時，在一個周期內(nèi)的總損失費用為： （3-1） 這里沒有把訂貨費用寫進(jìn)，這是因為這種商品只付一次訂貨費用就可以了。這樣對第種商品，在一個周期內(nèi)的平均每天損失費用為 （3-2） 其中：下標(biāo)區(qū)分不同的商品種類，上標(biāo)區(qū)分的不同取值范圍,前兩種情形下的計算式完全類似于第一題中得到的計算

28、式，且有： 。 ， ， ， 得到這種商品平均損失費用為 （3-3） 對的說明： 記維向量，， 則的表達(dá)式與每一個分量的取值范圍都有關(guān)。其中每一個的取值范圍都有三種，根據(jù)排列組合理論的取值范圍有種，再減掉同時為0，即同時賣完貨時才訂貨的那種可能性，的表達(dá)式共有種可能。不同的表達(dá)式對應(yīng)的取值范圍不同，這種可能涵蓋了所有的取值。在的每一個取值范圍內(nèi)即的表達(dá)式是確定的，即是一個分段函數(shù)，它的表達(dá)式具體寫出為： （3-4） 其中，代表周期平均值，()的表達(dá)式見式（3-2）。 得到了目標(biāo)函數(shù)，再加上根據(jù)題意

29、得到的各個變量約束條件，則可以得到一個多變量的最優(yōu)化問題： （3-5） 2． 對于上述最優(yōu)化問題自由變量個數(shù)的討論 在上述最有化問題中，目標(biāo)函數(shù)中含有個變量，，。它們有隱含的互相決定關(guān)系。比如當(dāng)確定，確定時（個變量），所有的就是唯一確定的。這是因為各種商品的最初存貯體積確定，體積銷售速率已知，則每種商品的存貯量變化曲線是確定的，則總存貯量的變化曲線也是確定的（把各種商品的銷售曲線按相同時間點相加即可），則唯一地對應(yīng)于一個時刻，在每一種商品的銷售曲線上，對應(yīng)的存貯量就是。當(dāng)自己倉庫的存貯量（個變量）也確定時，

30、目標(biāo)函數(shù)的值即日均損失費用也就確定了。即自由變量為個。再根據(jù)模型中還有兩個等式約束，，得到所建立的最優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)的自由變量為個。 3． 模型的求解思路 解法一：用現(xiàn)成軟件的帶約束最優(yōu)化函數(shù)求解上面的最優(yōu)化模型，因為實際上商品的體積是離散的，不可能有半個商品出現(xiàn)，還需要再將得到的最優(yōu)解轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的離散最優(yōu)解。 解法二：分別寫出每一個取值范圍上的的表達(dá)式，和相應(yīng)的約束條件。選取合適的個變量目標(biāo)函數(shù)分別對它們求偏導(dǎo)，令結(jié)果為0，則可以解出此范圍內(nèi)使最小的解。將所有種情形都求解之后，進(jìn)行比較，最小的值對應(yīng)的就是這個問題的最優(yōu)解。但是這種方法只適用于取值小而且密度函數(shù)的表示比較簡單的情形。

31、 3.4多品種存貯問題的求解與結(jié)果 可以利用以上建立的多品種存貯模型來求解具體的問題。下面將對問題4進(jìn)行求解。 1． 具體問題的分析及模型簡化 針對題目四提供的相關(guān)數(shù)據(jù)，分析得到下表 所示的三重商品各類費用比較?？梢钥闯鋈魏我环N商品的缺貨費用都遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他費用。如果某種商品出現(xiàn)了缺貨，缺貨費的增加是其他存儲費的減少所不能抵消的；另一方面，缺貨的出現(xiàn)會使銷售周期增大，日平均訂貨費用會相應(yīng)減少，但是本題中一次訂貨、也就是一個周期內(nèi)的訂貨費用為10元，故日平均訂貨費用的減少也遠(yuǎn)不足以抵消缺貨費的增加。也就是說，本題中要實現(xiàn)總損失費用降低，在訂貨時各種商品都要有一定量的存儲，也即訂貨點都大于0

32、。 表3-1三種商品單位時間內(nèi)各類費用的比較 商品 （元/日） （元/日） （元/日） 康師傅面 0.24 0.12 11.4 心相印手帕紙 0.45 0.15 22.5 中匯香米 1.6 1.2 25 另外，如前面分析，3種商品有23-1=5個自由變量。這里取為、、、、，其他的參數(shù)可以通過這5個自由變量求?。河浻嗀洉r，各產(chǎn)品已銷售的時間為，易知，，，。 將、、代入式（3-2）得到商品一的損失費用，同理可得商品二、三的損失費用、，至此得到數(shù)學(xué)模型如下： (，，，，) （3-6） 2． 滯后期概率

33、密度 題中指出滯后期服從在1天到3天之間的均勻分布，我們采用連續(xù)的方法來處理問題，認(rèn)為的取值在1天至3天內(nèi)是連續(xù)的。在下圖給出了取1天至3天的概率密度，0~1之間表示1天，1~2表示2天，2~3表示3天。 圖3-2 滯后期的概率密度曲線 寫成表達(dá)式為： 3． 求解結(jié)果 Matlab優(yōu)化工具箱中有函數(shù)fmincon，它可以用于求解非線性帶約束條件最優(yōu)化問題。對于問題3中建立起來的模型，將問題4中給出的具體數(shù)據(jù)帶入，調(diào)用此函數(shù)得到的結(jié)果如下。 表3-2尋優(yōu)結(jié)果（單位：） 商品 康師傅面 1.4516 1.3717 2.0334 心相印手帕紙 1.4295

34、 1.3671 2.0114 中匯香米 4.0153 3.2614 5.9552 總計 6.8967 6 10 從表中看出，各個量的取值均精確到了小數(shù)點后四位，而、、，、、應(yīng)為的整數(shù)倍。所以要把表格中的各值調(diào)整到相應(yīng)的整數(shù)倍。于是得到表3-3。 表3-3調(diào)整結(jié)果（單位：） 商品 康師傅面 1.45 1.40 2.00 心相印手帕紙 1.44 1.40 2.00 中匯香米 4.0 3.2 6.0 總計 6.89 6 10 表中數(shù)據(jù)雖然不是數(shù)值上的最優(yōu)解，但是符合實際情況，是最貼近最優(yōu)數(shù)值解的真實解?？梢姡顑?yōu)訂貨點為，中匯香米

35、的存貯體積要比其他商品大，這是因為它的單位商品體積最大，而銷售速率最高。另外算得相應(yīng)的最低日平均損失為4.18元/日。 3.5多品種存貯問題的最優(yōu)性原理的提出和應(yīng)用 1． 原理的提出和證明 借鑒控制論中的最優(yōu)性原理的想法，我們提出如下最優(yōu)性原理： 若模型中有一個局部的小模型，它含有個變量，是原模型所含個變量的一部分。且局部模型的變量取值對模型的其他部分無影響，則原模型的最優(yōu)解必定是局部模型的最優(yōu)解。 證明：反證法 記為原模型的目標(biāo)函數(shù)，最優(yōu)解使取最小值。為局部模型的目標(biāo)函數(shù)，M為模型其他部分，它的值由最優(yōu)解中另外個變量決定，對它沒有影響。若原模型的最優(yōu)解的一部分，不是小模型的最優(yōu)解

36、，則求解小模型得到一個最優(yōu)解滿足： 則 這個結(jié)果與是最優(yōu)解矛盾。 故定理成立。 根據(jù)題意，我們想找到與其他部分的費用無關(guān)的局部模型，那么得到的最優(yōu)解必定也是使這個局部模型費用最低的最優(yōu)解?？紤]當(dāng)模型符合在貨物送達(dá)時租借倉庫的產(chǎn)品已經(jīng)全部賣完的特定情形下，這時租借倉庫中各種貨物所占的體積除了對租借倉庫比用自己的倉庫多花的那部分貯存費有影響之外，對其他的費用都沒有影響。從現(xiàn)實意義上理解這主要是因為多花的那部分費用相當(dāng)于用自己的倉庫免費、租倉庫的費率為時，存貯需要花的錢。在我們的前提假設(shè)下當(dāng)商品總量一定時貯存在那個倉庫對于銷售，缺貨等流程完全沒有影響。即這部分的費用與其他部分的費用是獨立

37、的。應(yīng)用上面提出的最優(yōu)性原理，得到（3-2）的最優(yōu)解應(yīng)使 ， （3-7） 也取最小值。將約束條件代入（3-2）式，則（3-2）式中含有個變量，分別對它們求偏導(dǎo)數(shù)可以得到個線性方程，解之就可以求得。 2． 最優(yōu)性原理的應(yīng)用 1） 在滿足原理前提條件時，和可以相互決定，自由變量減少個。 2） 對結(jié)果的驗證：在第四題中用計算機程序求解得到的值為6.4254，即訂貨在租借倉庫內(nèi)的商品將要賣完時發(fā)出，而到貨時間服從1天到3天的均勻分布，我們計算時將這段時間連續(xù)化為天。所以基本符合租借倉庫的商品賣完之后貨才送到的前提。將第

38、四題中數(shù)據(jù)帶入(3-7)式中求導(dǎo)之后解線性方程可得最優(yōu)解應(yīng)當(dāng)基本滿足如下一組關(guān)系式： ，， 列表比較如下： 表3-4：在最優(yōu)方案中租借倉庫存貯量計算值和驗證值的比較 商品種類 康師傅 心相印 中匯香米 計算值 0.7109 0.6989 2.5901 驗證值 0.7792 0.6234 2.5974 計算值與驗證值之間稍有差別，這是因為這是一個隨機模型，計算滯后時間時是從0開始取的，模型有大約3%的概率不符合原理的前提。兩組數(shù)據(jù)基本相符，這從另外一方面說明了本模型的計算結(jié)果是比較可信的。 4進(jìn)一步討論 對于問題5將進(jìn)行討論。題中對于銷售速率、訂貨費用、存貯費

39、用、缺貨費用等假定是固定的，這些都是做了一定的簡化。而實際的情況要復(fù)雜的多。以銷售速率為例，題中假設(shè)銷售速率固定，即單位時間內(nèi)銷售量不改變。而顯見的，在實際當(dāng)中，銷售情況不可能時時一樣，而是要變化三的。只能說它是以某個規(guī)律、某個分布函數(shù)隨機變化的。這一分布函數(shù)可以由商家在此前統(tǒng)計的資料進(jìn)行分析確定。假定銷售速率取值的概率密度函數(shù)為，的出現(xiàn)增加了問題的復(fù)雜度。在單品種存貯模型中，建立總損失費用的模型為： 取的是對的概率平均值，在考慮銷售速率的隨機性后，還應(yīng)該對取上的概率平均值，可得到： （3-8） 至此得到考慮了銷售速率隨機性的總損失費用模型： （3-9） 同樣，多品種存貯

40、模型里也可如上考慮。要取求得的總損失費用在上的概 率平均值，這才是最終的目標(biāo)函數(shù)。 求出的總損失費用是單位時間內(nèi)的平均值，它是長時間內(nèi)該值的一個趨勢。而實際的，隨著時間的變化，總損失費用是要發(fā)生變化的。商品的滯后期和銷售速率都是隨機變量，因此有可能隨著時間增加，模型變得偏離實際情況。此時就要對模型進(jìn)行修正。于是，在經(jīng)過某段時間后，商家應(yīng)根據(jù)此前搜集的各個變量的數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行調(diào)整。按照問題1、3的方法，重新確定例如變量、的概率密度函數(shù)。再將其帶入目標(biāo)函數(shù)中對模型求解，得出新的訂貨點。 銷售速率改變時，商品的最大存貯量也應(yīng)隨之改變。銷售速率大時，應(yīng)多存一些以備需求；銷售速率小時，應(yīng)少存一些以

41、避免不必要的存貯費。即存貯量要根據(jù)需求來確定。由商家的資料，可以得到銷售速率關(guān)于時間的函數(shù)，利用可以對接下來一個周期內(nèi)商品最大存貯量進(jìn)行預(yù)測?？紤]單品種模型。設(shè)、為接下來一個周期的起點和終點時刻，，在上對進(jìn)行積分，該積分值就是預(yù)測的下一周期的最大存貯量，即。需要說明的是，此處取周期是一個概率平均值，隨著、、、的變化，也要不時地進(jìn)行調(diào)整修正。 5模型評價 文中建立了倉庫容量有限條件下單品種隨機存貯模型和多品種隨機存貯模型。時間變量的連續(xù)化更合理地反映了實際情況。單品種問題建模時對總損失費用取滯后時間的概率平均值，比較合理地描述了隨機存貯模型。多品種問題建模時采用分情況討論的方法把單品種模型作

42、了推廣，并討論了目標(biāo)函數(shù)中自由變量的個數(shù)，使復(fù)雜模型清晰化，建模過程簡潔，求解方便。模型的穩(wěn)定性好，實用性強。 本模型的缺點是由于樣本點的取值比較少，概率分布密度函數(shù)估計的不夠精確，這可能會對求解結(jié)果造成比較大的影響。 參考文獻(xiàn) [1]黃潔綱，存貯論原理及其應(yīng)用，上?？茖W(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，1984 [2]胡運權(quán)，運籌學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用，哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2002 [3]韓宇鑫 孫暉 楊青雙，瞬時進(jìn)貨、允許缺貨的租賃庫存系統(tǒng)存貯模型，遼寧工學(xué)院學(xué)報，23:2，2003 [4]邢繼祥 張春蕊 徐洪澤，最優(yōu)控制應(yīng)用基礎(chǔ)，科學(xué)出版社，2003

43、 附表1 對康師傅面進(jìn)行L的遍歷搜索結(jié)果 1 2 3 4 5 6 7 7.8889 7.8056 7.7222 7.6389 7.5556 7.4722 7.3889 9.1437 8.8931 8.6470 8.4054 8.1686 7.9366 7.7095 8 9 10 11 12 13 14 7.3056 7.2222 7.1389 7.0556 6.9722 6.8889 6.8056 7.4875 7.2705 7.0588 6.8523 6.6513 6.4558

44、 6.2658 15 16 17 18 19 20 21 6.7222 6.6389 6.5556 6.4722 6.3889 6.3056 6.2222 6.0816 5.9030 5.7303 5.5635 5.4026 5.2477 5.0989 22 23 24 25 26 27 28 6.1389 6.0556 5.9722 5.8889 5.8056 5.7222 5.6389 4.9562 4.8196 4.6892 4.5650 4.4470 4.3353 4.2297

45、 29 30 31 32 33 34 35 5.5556 5.4722 5.3889 5.3056 5.2222 5.1389 5.0556 4.1304 4.0374 3.9505 3.8697 3.7952 3.7267 3.6643 36 37 38 39 40 41 42 4.9722 4.8889 4.8056 4.7222 4.6389 4.5556 4.4722 3.6079 3.5574 3.5129 3.4742 3.4414 3.4109 3.3914 43

46、44 45 46 47 48 49 4.3889 4.3056 4.2222 4.1389 4.0556 3.9722 3.8889 3.3904 3.3897 3.3921 3.3939 3.4178 3.4525 3.4990 50 51 52 53 54 55 56 3.8056 3.7222 3.6389 3.5556 3.4722 3.3889 3.3056 3.5586 3.6325 3.7222 3.8295 3.9562 4.1044 4.2765 57 58 59

47、60 3.2222 3.1389 3.0556 2.9722 4.4752 4.7034 4.9643 5.2615 附表2 對心相印面進(jìn)行L的遍歷搜索結(jié)果 1 2 3 4 5 6 7 6.4682 6.4016 6.3349 6.2682 6.2016 6.1349 6.0682 14.0537 13.6300 13.2133 12.8036 12.4012 12.0064 11.6193 8 9 10 11 12 13 14 6.0016 5.9

48、349 5.8682 5.8016 5.7349 5.6682 5.6016 11.2403 10.8695 10.5071 10.1535 9.8088 9.4734 9.1474 15 16 17 18 19 20 21 5.5349 5.4682 5.4016 5.3349 5.2682 5.2016 5.1349 8.8310 8.5245 8.2281 7.9420 7.6663 7.4013 7.1471 22 23 24 25 26 27 28 5.0682 5.0016

49、 4.9349 4.8682 4.8016 4.7349 4.6682 6.9039 6.6717 6.4508 6.2411 6.0427 5.8558 5.6802 29 30 31 32 33 34 35 4.6016 4.5349 4.4682 4.4016 4.3349 4.2682 4.2016 5.5160 5.3632 5.2217 5.0914 4.9722 4.8641 4.7668 36 37 38 39 40 41 42 4.1349 4.0682 4.0016

50、 3.9349 3.8682 3.8016 3.7349 4.6801 4.6040 4.5381 4.4823 4.4363 4.3999 4.3728 43 44 45 46 47 48 49 3.6682 3.6016 3.5349 3.4682 3.4016 3.3349 3.2682 4.3549 4.3469 4.3473 4.3558 4.3747 4.4035 4.4428 50 51 52 53 54 55 56 3.2016 3.1349 3.0682 3.0016

51、 2.9349 2.8682 2.8016 4.4932 4.5559 4.6320 4.7230 4.8307 4.9571 5.1046 57 58 59 60 2.7349 2.6682 2.6016 2.5349 5.2760 5.4744 5.7034 5.9670 附表3：對中匯香米進(jìn)行L的遍歷搜索結(jié)果 1 2 3 4 5 6 7 3.9008 3.8508 3.8008 3.7508 3.7008 3.6508 3.6008 18.8920

52、 18.5237 18.1621 17.8074 17.4598 17.1194 16.7865 8 9 10 11 12 13 14 3.5508 3.5008 3.4508 3.4008 3.3508 3.3008 3.2508 16.4612 16.1437 15.8341 15.5326 15.2393 14.9543 14.6777 15 16 17 18 19 20 21 3.2008 3.1508 3.1008 3.0508 3.0008 2.9508 2.9008 14.

53、4098 14.1505 13.9000 13.6584 13.4257 13.2022 12.9879 22 23 24 25 26 27 28 2.8508 2.8008 2.7508 2.7008 2.6508 2.6008 2.5508 12.7834 12.5893 12.4061 12.2344 12.0750 11.9284 11.7953 29 30 31 32 33 34 35 2.5008 2.4508 2.4008 2.3508 2.3008 2.2508 2.2008 11.6766 11.5730 11.4854 11.4147 11.3618 11.3278 11.3582 36 37 38 39 40 2.1508 2.1008 2.0508 2.0008 1.9508 11.3211 11.3509 11.4047 11.4839 11.5902