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1、
第十一章 《三角形》整章復習導航
三角形的知識是中考中重要的內容, 是今后學習的基礎, 試題中不僅有基本題, 而且有
綜合題,特別是近幾年,出現了說理證明題、閱讀型、條件或結論探索型等大量的新穎題 .
一、本章基本知識點:
1.三角形三邊的關系:三角形任意兩邊之和大于第三邊,三角形任意兩邊之差小于第
三邊;
2.三角形內角和定理:三角形三個內角的和等于 180°,直角三角形兩銳角互余;
3.三角形中的三條主要的線段: 三角形的三條角平分線交于一點, 三條中線交于一點,三角形的三條高所在的直線交于一點;
4. 全等三角形的性
2、質:全等三角形的對應邊相等,對應角相等;
5.三角形全等的判定: 三邊對應相等 的兩個三角形全等, 簡寫成 “邊邊邊” 或“ SSS”.
兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等,簡寫成“角邊角”或“ ASA”. 兩角和其中
一角的對邊對應相等的兩個三角形全等,簡寫成“角角
邊”或“
AAS”.
兩邊和它們的夾角
對應相等的兩個三角形全等,簡寫成“邊角邊”或“
SAS”;
6.直角三角形全等的判定:斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等,簡寫
成“斜邊、直角邊”或“ HL”.
3、
2006 年考試趨向將繼續(xù)考查與三角形有關的各個知識點,其中全等三角形的性質與判
定條件、 直角三角形的性質與判定,
相關計算與證明仍將是考試重點.
熟練掌握與三角形有
關的基本知識和基本技能;三角形全等的性質和判定條件、直角三角形的性質與判定條件,
并需注意將相關知識應用到綜合題的解題過程中去,如把某些問題化為三角形的問題求解;
能從復雜的圖形中尋求全等的三角形等.
二、應用舉例
例 1
如果三角形的兩邊長為
2 和 9,且周長為奇數, 那么滿足條件的三角形共有 ( )
.
A .1個 B .2個 C
4、.3個 D .4個
分析:
本題主要考查三角形三邊之間的關系,三角形任意兩邊之和大
于第三邊,三
角形任意兩邊之差小于第三邊
. 即 a-b
5、
大的直角三角板的直角頂點落在 A 點,兩條直角邊分別與 CD交于點 F,與 CB延長線交于點E.則四邊形 AECF的面積是 ______.
分析:本例看似是正方形的問題,其實質是考查全等三角形的判定.
由于∠ EAF=∠ BAD=90°可得出∠ EAB=∠ DAF,∠ ABE=∠ D=90°, AB=AD,△ ABE≌△ ADF,所以,四邊形 AECF的面積等于正方形 ABCD的面積等于 16.
EAB
DAF ,
解:因為∠ EAF=∠ BAD=90°,所以∠ EAB=∠ DAF,ABE
D, →
AB
AD
△ ABE≌△ A
6、DF→四邊形 AECF的面積等于正方形 ABCD的面積等于 16.
例 3 如圖 2,在△ ABC與△ DEF中, 給出以下六個條件: ①AB=DE;②BC=EF;③AC=DF; ④∠ A=∠ D;⑤∠ B=∠ E;⑥∠ C=∠ F,以其中三個條件 作為已知,不能判斷△ ABC 與△ DEF
全等的是 ( )
.
D
A.①⑤②
B
.①②③
A
C.④⑥①
D
.②③④
B
C E
F
圖 2
分析:三角形全等的判定方法有: “邊、邊、邊” 、“邊、
角、邊”、
7、“角、邊、角”或“角、角、邊”. 本題可采用排除法尋找答案
. “①、⑤、② ( 真)”
為“邊角邊”判定方
法;“①、②、③ ( 真) ”為“邊邊邊”判定方法; “④、⑥、① ( 真) ”
為“角角邊” 判定方法;“②、 ③、④ ( 假 ) ”,為兩邊和其中一邊的對角沒有這樣的判定方法,
因此,不能判斷△ ABC 與△ DEF 全等的是 D.
例 4
如圖 3,巳知: CE⊥ AD于 E,BF⊥AD于 F,你能說明△B DF 和△ CDE全等嗎 ? 若
能,請 你說明理由; 若不能 ,在不用增加輔助線的情況下,
請?zhí)砑?
其中一個適當的條件,這
8、個條件是
_______,說明這兩個三角形全
等,并寫出證明過程.
[
B
分析:題目要證明的兩個三角形全等已滿足兩組角對應相等,
圖 3
但三角形全等至少要有一組邊對應相等,因此,需要補充一組
邊對應相等 .
解:補充的條件為:
BD=CD, DE=DF或 BF=CE.
若補充 BD=CD證.明過程如下:
CE⊥ AD于 E, BF⊥ AD于 F,所以,∠ F=∠ CED.
F
CED ,
BDF
→ △ BDF≌△ CDE.
CDE ,
BD
CD
例 6 將一張矩形
9、紙片沿對角線剪開,得到兩張三角形紙片,再將這
兩張三角形紙片擺放成如圖5 的形式,使點 B、 F、C、 D 在同一條直線上.
(1) 求證: AB⊥ ED;
(2) 若 PB=BC,請找出圖中與此條件有關的一對全等三角形,并給予證明.
圖 5
分析:充分利用邊相等或角相等或互余的關系 .
( 1) 證明:由題意可知△ ABC≌△ DEF,因而∠ A=∠ D,而∠ A+∠ B=90°,故∠ D+∠ B=90°,即∠ BPD=90°,所以, AB⊥ ED.
也可以利用兩直線平行,內錯角相等證明∠ A=∠ D.
(2) 若 PB=BC,則有△ ABC≌△ DBP.
B B,
A D ,→ △ ABC≌△ DBP.
BP BC
注:圖中與此條件有關的全等三角形還有如下幾對:△ APN≌△ DCN;△ DEF≌△ DBP;
△ EPM≌△ BFM.