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1、 2-1考慮形狀任意的物體。如果沿著物體表面的壓力分布為常值，是證明壓力在物面上的合力為零。 解：因沿著形狀任意的物體表面的壓力分布為常值，故流場中壓力分布均勻，即 由高斯公式得：壓力在物體表面的合力為 2-2 考慮如下速度場，其x，y向的速度分量分別為，其中c為常數(shù)。試求流線方程。 解：流線的控制方程為，積分得： 2-3考慮如下速度場，其x，y向的速度分量分別為，其中c為常數(shù)。試求流線方程。 解：流線的控制方程為，積分得： 2-4 考慮如下流場，其x，y向的速度分量分別為，其中c為常數(shù)。試求流線方程。 解：流線的控制方程為，積分得： 2-5 習(xí)題2-2中的流場被稱為點

2、源。對于點源，試計算： （a） 單位體積的微元其體積隨時間的變化率； （b） 流場的旋度。 解：速度柱坐標(biāo)系下表達式為： 利用極坐標(biāo)系下散度公式： 或利用柱坐標(biāo)系下旋度公式： 2-6 習(xí)題2-3中的流場被稱為點渦，試對點渦計算： （a） 單位體積的微元其體積隨時間的變化率； （b） 流場的旋度。 提示：2-5、2-6兩題在極坐標(biāo)下求解更方便。 解：速度極坐標(biāo)系下表達式為： 利用極坐標(biāo)系下散度公式： 或利用柱坐標(biāo)系下旋度公式： 2-7已知一速度場為，試問這一運動是否是剛體運動？ 解：，，，無線變形。 ，，，無角變形。 故為剛體運動。 2-8 現(xiàn)有

3、二維定常流場分布。那么 （a） 該流場是否可壓縮？ （b） 試求通過（0，0）點和（L，L）之間的體積流量。 解：，不可壓縮 2-9闡述流線和流管的概念。并解釋流線和跡線的區(qū)別。 解：流線是某瞬時在流場中的一條空間幾何曲線，該曲線上任意一點的切線方向和該點的流體質(zhì)點速度方向平行。 由通過空間某封閉曲線（非流線）的所有流線圍成的管叫做流管。 流線是歐拉觀點下描述流動的曲線，是由同一時刻不同質(zhì)點組成的；跡線是拉格朗日觀點下描述流動的曲線，是給定質(zhì)點在空間走過的軌跡。 2-10 現(xiàn)有二維定常不可壓流動的速度場試求其勢函數(shù)并畫出流譜。 解：，積分得 流線控制方程為，積分得 2

4、-11 現(xiàn)有平面流場(k為正的常數(shù))試分析求解流場的以下運動特性： 流線方程、線變形率、角變形率、旋轉(zhuǎn)角速度，畫出流線圖和相應(yīng)的流體運動分解示意圖。 解：流線控制方程為，積分得 ，，無線變形。 ，有角變形。 ，有旋轉(zhuǎn) 2-12已知在拉格朗日觀點下和歐拉觀點下分別有速度函數(shù) 和 試說明各自的物理意義和他們的差異。 解：拉格朗日觀點：描述t時刻給定質(zhì)點（標(biāo)示符一般選擇為某一初始時刻質(zhì)點坐標(biāo)(a,b)）的運動速度，質(zhì)點坐標(biāo)(a,b)隨質(zhì)點運動而發(fā)生變化。 歐拉觀點：描述t時刻通過給定空間點坐標(biāo)（x,y）的質(zhì)點運動速度，空間點坐標(biāo)（x,y）與時間獨立。 2-1

5、3試推導(dǎo)一維定常無粘的動量方程（不計質(zhì)量力）。 解： 一維定常流動無粘，對任意一條流線的Bernuli方程成立 故 2-14 直角坐標(biāo)系下流暢的速度分布為：，試證過電（1，7）的流線方程為 證明： 流線的控制方程為 （1） 將題中的表達式帶入（1）中，有 （2） 對（2）進行整理，可得 （3） 對（3）進行積分，可得 （4） 將點（1,7）的坐標(biāo)帶入（4）式可得。 從而過點（1,7）的流線方程為 （5） 2-15 設(shè)流場中速度的大小及流線的表達式為 ， 求速度分量的表達式。 解： 對流線表達式兩端取全微分，有 （1） 整理（1）式可

6、得 （2） （3） 流線的控制方程為 （4） 結(jié)合（3）式與（4）式，可得 （5） 對速度大小表達式兩邊取平方，可得 （6） 聯(lián)立求解方程（5）和（6），可得兩組速度分量的表達式 （7） 2-16 求2-15中x方向速度分量u的最大變化率及方向。 解： 速度分量的方向?qū)?shù)為 （1） 則其最大的變化率為，最大變化率的方向為。 2-17 試證在柱坐標(biāo)下，速度散度的表達式為 證明一（利用數(shù)學(xué)上散度的定義）： 在柱坐標(biāo)系下選取一個微元幾何體，其中心坐標(biāo)為，中心點的速度為，三邊的長度為，利用泰勒展開計算速度矢量通過控制體表面的通量為 （1） 利用數(shù)

7、學(xué)上散度的定義，則有 （2） 證明二（利用流體力學(xué)中拉格朗日觀點框架下散度的物理含義）： 流體力學(xué)中拉格朗日觀點框架下散度的物理含義：流體微團的相對體積膨脹率，即單位體積在單位時間內(nèi)的增長量。 在柱坐標(biāo)系下選取一個流體微團，在時刻，其中其一點的坐標(biāo)為，速度為，三邊的長度為，經(jīng)過時刻后該流體微團的三個邊的長度變?yōu)椋ɡ锰├照归_） （1） 則流體微團單位體積在單位時間內(nèi)的增長量為 （2） 證明三（根據(jù)數(shù)學(xué)上的坐標(biāo)變換）： 速度之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 （1） 坐標(biāo)之間的變換關(guān)系式為 （2） 將（1）（2）兩式分別代入速度偏導(dǎo)數(shù)的表達式 (3) (4) 將（3）（4）兩式

8、帶入直角坐標(biāo)系下的速度散度表達式中，有 （5） 2-18 在不可壓流動中，下列哪些流動滿足質(zhì)量守恒定律？ （a） （b） （c） （d） 解： 對于不可壓縮流動，，質(zhì)量守恒方程簡化為 （a），該流動滿足質(zhì)量守恒； （b），該流動不滿足質(zhì)量守恒； （c），該流動不滿足質(zhì)量守恒； （d）對流線方程兩邊取微分，可得 （1） 整理（1）可得 （2） 已知條件可轉(zhuǎn)換為 （3） 聯(lián)立求解（2）（3），可得 （4） 則速度場的梯度為 （5） 該流動滿足質(zhì)量守恒。 2-19 流體運動具有速度 問該流場是否有旋？若無旋，求出其速度勢函數(shù)。 解： （1

9、） 所以流動是無旋的，假設(shè)速度位函數(shù)為，則有 （2） 可得，速度位函數(shù)為 （3） 2-20 不可壓縮流體做定常運動，其速度場為 其中a為常數(shù)。試求： （a） 線變形率、角變形率； （b） 流場是否有旋； （c） 是否有勢函數(shù)？有的話求出。 解： （1） 線變形率為 （1） 角變形率為 （2） （2） 角速度為 （3） 所以流場是無旋的。 （3） 因為流場是無旋的，所以存在速度位函數(shù)，則有 （4） 可得，速度位函數(shù)為 （5） 2-21 二維流場的勢函數(shù)為,求曲線上的點（2，-1）的切向速度分量。 解： 將曲線進行變換，可得 （

10、1） 將（1）式的兩段對求全導(dǎo)數(shù)，可得 （2） 則曲線在點（2,-1）處的切向量為 （4） 流場在曲線上該點處的速度分量為 （5） 2-22 設(shè)下面的幾組函數(shù)代表流動的三個分量： （a） ; （b） ; （c） ; （d） ; （e） 。 其中k是常數(shù)，問哪一組速度分量能代表不可壓流動？ 解： （1） （2） （3） （4） （5） 可見，（1）（2）（4）為不可壓縮流動。 2-23 某一流場可描述為。問應(yīng)具有什么樣的形式，流場才能滿足連續(xù)條件？為什么？ 解： 對流線方程兩端取全微分，可得 利用 可轉(zhuǎn)換為 則速度場的梯度

11、為 可為任意形式。 2-24 某二維流動可描述為 ， 使用兩種方法求解下圖的面積上中面積分。 對流線表達式兩端取全微分，有 （1） 整理（1）式可得 （2） （3） 流線的控制方程為 （4） 結(jié)合（3）式與（4）式，可得 （5） 對速度大小表達式兩邊取平方，可得 （6） 聯(lián)立求解方程（5）和（6），可得兩組速度分量的表達式 （7） 其旋度為，暗影面積為2，故面積分為 環(huán)量積分： 2-25一速度場可用描述， （a） 求其加速度的歐拉描述 （b） 求流線。 解： 流線的控制方程為 積分得：， 2-26考慮一個簡單的

12、煙囪模型。煙囪外的空氣密度是常數(shù)，煙囪內(nèi)的空氣密度也是常數(shù)，且。試用、、重力加速度g和煙囪高度h表達出口速度。 解： 2-27有一水槍噴管如下。入口直徑D=10cm，噴口直徑d=3cm。水以1.5m3/min的流量射入空氣。設(shè)外界空氣為標(biāo)準(zhǔn)大氣。試求連接軟管和噴頭的接縫處需要施加多大的固緊力才能滿足要求。 解：流量 入口速度出口速度 入口壓強 X向動量變化： 這個力為水沖擊噴頭的力，方向向右。 噴頭受外面大氣壓力為，方向向左 故接縫處需 2-28一架小型飛機在海平面以180km/h的速度飛行，求駐點處的表壓以及相對流速為60m/s處的表壓。（表壓是指大于

13、大氣壓的部分） 解： 2-29 一個U形管，其內(nèi)徑是0.5m。氣體以100m/s的速度從管的一端進入，從管的另一端流出，流出的速度和流入速度大小相等，但是方向相反。入口和出口的壓強都等于外界大氣壓。試計算氣流對管的作用力。取空氣密度為1.23Kg/m3。 解：X向動量變化： 2-30有一滅火機的管道如下圖，出水口直徑7.5cm，入水口直徑30cm，流量為3640L/min，進水口水壓2×105N/m2。出水口與水平面的夾角為30°。求滅火機管道受的水的反作用力。 水不可壓，由質(zhì)量守恒知體積流量守恒。 入口速度： 出口速度： 動量定理： 水平方向動量變化=水平方向外力： 同理：