《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量與解三角形 5.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示課件》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量與解三角形 5.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示課件（38頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第五章 平面向量與解三角形5.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué) (浙江專用)考點(diǎn)一平面向量的線性運(yùn)算及幾何意義考點(diǎn)一平面向量的線性運(yùn)算及幾何意義1.(2017課標(biāo)全國(guó)文,4,5分)設(shè)非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則()A.abB.|a|=|b|C.abD.|a|b|五年高考答案答案 A本題考查向量的有關(guān)概念.由|a+b|=|a-b|的幾何意義知,以向量a、b為鄰邊的平行四邊形為矩形,所以ab.故選A.一題多解一題多解將|a+b|=|a-b|兩邊分別平方得|a|2+2ab+|b|2=|a|2-2ab+|b|2,即ab=0,故ab.故選A.2.(

2、2017北京理,6,5分)設(shè)m,n為非零向量,則“存在負(fù)數(shù),使得m=n”是“mn0”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案答案 A由存在負(fù)數(shù),使得m=n,可得m、n共線且反向,夾角為180,則mn=-|m|n|0,故充分性成立.由mn0,可得m,n的夾角為鈍角或180,故必要性不成立.故選A.3.(2015課標(biāo),7,5分)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn), =3 ,則()A.=-+B.=-C.=+D.=-BCCDAD13AB43ACAD13AB43ACAD43AB13ACAD43AB13AC答案答案A=+=+=+=+(-)=-+.故選A.ADABB

3、DABBCCDAB43BCAB43ACAB13AB43AC4.(2015陜西,7,5分)對(duì)任意向量a,b,下列關(guān)系式中的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2不恒成立答案答案B|ab|=|a|b|cos|a|b|,故A正確;由向量的運(yùn)算法則知C,D也正確;當(dāng)b=-a0時(shí),|a-b|a|-|b|,B錯(cuò)誤.故選B.評(píng)析評(píng)析本題考查向量的運(yùn)算法則等知識(shí),考查邏輯推理能力.5.(2015四川,7,5分)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形,|=6,|=4.若點(diǎn)M,N滿足=3 , =2 ,則 =()A.20B.15C.9D.6ABA

4、DBMMCDNNCAMNM答案答案C依題意有=+=+,=+=-=-,所以=-=9.故選C.AMABBMAB34BCNMNCCM13DC14BC13AB14BCAMNM34ABBC1134ABBC132AB3162BC6.(2014福建,8,5分)在下列向量組中,可以把向量a=(3,2)表示出來的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案答案B設(shè)a=k1e1+k2e2,A項(xiàng),(3,2)=(k2,2k2),無解.B項(xiàng),(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),解之

5、得故B中的e1,e2可把a(bǔ)表示出來.同理,C,D項(xiàng)同A項(xiàng),無解.223,22,kk121253,222,kkkk122,1.kk7.(2013遼寧,3,5分)已知點(diǎn)A(1,3),B(4,-1),則與向量同方向的單位向量為()A.B.C.D.AB34,5543,553 4,5 54 3,5 5答案答案A=(3,-4),|=5.與同方向的單位向量為=,故選A.ABABAB|ABAB34,558.(2017天津文,14,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若=2 ,= -(R),且=-4,則的值為.BDDCAEACABADAE答案答案311解析解析本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積

6、運(yùn)算.由=2得=+,所以=(-)=-+-,又=32cos60=3,=9,=4,所以=-3+-2=-5=-4,解得=.BDDCAD13AB23ACADAE1233ABACACAB13ABAC132AB232AC23ABACABAC2AB2ACADAE83113311思路分析思路分析根據(jù)=2得=+,利用=-4以及向量的數(shù)量積建立關(guān)于的方程,從而求得的值.BDDCAD13AB23ACADAE一題多解一題多解以A為原點(diǎn),AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,因?yàn)锳B=3,AC=2,A=60,所以B(3,0),C(1,),又=2,所以D,所以=,而=-=(1,)-(3,0)=(-3,),因此=(

7、-3)+=-5=-4,解得=.3BDDC5 2 3,33AD5 2 3,33AEACAB33ADAE532 3331133119.(2013四川,12,5分)在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,+= ,則=.ABADAO答案答案2解析解析由平行四邊形法則,得+= =2 ,故=2.ABADACAO以下為教師用書專用10.(2014課標(biāo),15,5分)已知A,B,C為圓O上的三點(diǎn),若=(+),則與的夾角為.AO12ABACABAC答案答案90解析解析由=(+)可知O為BC的中點(diǎn),即BC為圓O的直徑,又因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角為直角,所以BAC=90,所以與 的夾角為90.AO12ABACA

8、BAC11.(2013江蘇,10,5分)設(shè)D,E分別是ABC的邊AB,BC上的點(diǎn),AD=AB,BE=BC.若=1+2 (1,2為實(shí)數(shù)),則1+2的值為.1223DEAB答案答案12解析解析=+=+=+(-)=-+,=1+2,1=-,2=,故1+2=.DEDBBE12AB23BC12AB23ACAB16AB23ACDEABAC162312考點(diǎn)二平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示考點(diǎn)二平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1.(2017課標(biāo)全國(guó)理,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若=+,則+的最大值為()A.3B.2C.D.2APABAD25答案答案 A本

9、題考查向量的運(yùn)算.分別以CB、CD所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系,則A(2,1),B(2,0),D(0,1).點(diǎn)P在以C為圓心且與BD相切的圓上,可設(shè)P.則=(0,-1),=(-2,0),=.又=+,=-sin+1,=-cos+1,+=2-sin-cos=2-sin(+),其中tan=,(+)max=3.22cos ,sin55ABADAP22cos2,sin155APABAD25152515122.(2017山東文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,則=.答案答案-3解析解析本題考查向量平行的條件.a=(2,6),b=(-1,),ab,2-6(-1)=0,=-

10、3.3.(2015課標(biāo),13,5分)設(shè)向量a,b不平行,向量a+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)=.答案答案12解析解析由于a,b不平行,所以可以以a,b作為一組基底,于是a+b與a+2b平行等價(jià)于=,即=.112124.(2015北京,13,5分)在ABC中,點(diǎn)M,N滿足=2 , = .若 =x+y ,則x=,y=.AMMCBNNCMNABAC答案答案;-1216解析解析由=2 知M為AC上靠近C的三等分點(diǎn),由 = 知N為BC的中點(diǎn),作出草圖如下:則有=(+),所以=-=(+)-=-,又因?yàn)?x+y,所以x=,y=-.AMMCBNNCAN12ABACMNANAM12ABAC23AC12AB16ACM

11、NABAC12165.(2015江蘇,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,nR),則m-n的值為.答案答案-3解析解析由a=(2,1),b=(1,-2),可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n),由已知可得解得從而m-n=-3.29,28,mnmn 2,5,mn6.(2014北京,10,5分)已知向量a,b滿足|a|=1,b=(2,1),且a+b=0(R),則|=.答案答案5解析解析a+b=0,即a=-b,|a|=|b|.|a|=1,|b|=,|=.557.(2014陜西,13,5分)設(shè)0,向量a=(sin2,cos)

12、,b=(cos,1),若ab,則tan=.2答案答案12解析解析ab,sin21-cos2=0,2sincos-cos2=0,00,2sin=cos,tan=.2128.(2014湖南,16,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),A(-1,0),B(0,),C(3,0),動(dòng)點(diǎn)D滿足| |=1,則| + + |的最大值是.3CDOAOBOD答案答案 +17解析解析解法一:設(shè)D(x,y),則由| |=1,得(x-3)2+y2=1,從而可設(shè)x=3+cos,y=sin,R.而+=(x-1,y+),則|+|=,其中sin=,cos=.顯然當(dāng)sin(+)=1時(shí),| + + |有最大值=+1.解法二: + +

13、 = + + + ,設(shè)a= + + =(2,),則|a|=,從而 + + =a+ ,則| + + |=|a+ |a|+| |=+1,當(dāng)a與 同向時(shí),| + + |有最大值+1.CDOAOBOD3OAOBOD22(1)(3)xy22(2cos )( 3sin )84cos2 3sin82 7sin()2737OAOBOD82 77OAOBODOAOBOCCDOAOBOC37OAOBODCDOAOBODCDCD7CDOAOBOD79.(2013北京,13,5分)向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若c=a+b(,R),則=.答案答案4解析解析以向量a和b的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系

14、,令每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位,則A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a= =(-1,1),b= =(6,2),c= =(-1,-3).由c=a+b可得解得所以=4.AOOBBC16 ,32 , 2,1,2 評(píng)析評(píng)析本題主要考查平面向量的基本定理和坐標(biāo)運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和解析法在向量中的應(yīng)用,構(gòu)建關(guān)于和的方程組是求解本題的關(guān)鍵.1.(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬練習(xí)(二),9)在CAB中,+=4,|=2,記h()=,則 h()的最大值()A.1B.C.D.2|CA2|CBAB12CACBRmin232512三年模擬一、選擇題A組 20152017年高考模擬基礎(chǔ)題組答案答案

15、 B將| - |=2的兩邊平方后,整理得, =0,即ABC為直角三角形.h()=,設(shè)D為BC的中點(diǎn),則h()=|+(1-)|.易知h()為直角三角形CAD的斜邊AD上的高,記為h.設(shè)|=b,|=a,則a2+b2=4.由面積相等知,h=.因?yàn)?=(a2+b2)=(5+4)=,所以h.故選B.CBCACBCA12CACB(1)2CBCACACDRminCACB2222abab224abab22114ba21b24a142214ba14222245baab14942282,3ab當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) 等號(hào)成立232.(2017浙江杭州質(zhì)檢,7)設(shè)O是ABC的內(nèi)心,AB=c,AC=b,若 =1+2 ,則()A.

16、=B.=C.=D.=AOABAC12bc2122bc1222cb2122cb答案答案A設(shè)=1, =2 .因?yàn)镺是ABC的內(nèi)心,所以AO平分BAC,所以平行四邊形AMON為菱形,且10,20,由|=|,得|1|=|2|,即1c=2b,亦即=,故選A.AMABANACAMANABAC12bc3.(2016浙江高考模擬沖刺(三),8)對(duì)于兩個(gè)不共線的單位向量a,b,結(jié)出下列四個(gè)命題:(a+b)(a-b);2|=1,得+1,即|a+b|+|a-b|2.又由=,得|a+b|+|a-b|2,故正確.a與b在a+b方向上的投影都為|,故正確.m=|,n=|,由+=|2=1,得m2+n2=1.故正確.故選D.

17、ABADACAOOBAB2ab2ab|2AOOB22|2AOOB2|2AB122AOAODO2|AO2|DOAD4.(2017浙江臺(tái)州質(zhì)量評(píng)估,16)已知不共線的平面向量a,b滿足|a|=3,|b|=2,若向量c=a+b(,R),且+=1,=,則=.|c bb|c aa二、填空題答案答案25解析解析如圖,設(shè) =a, =b, =c.因?yàn)橄蛄縞=a+b(,R),且+=1,所以A,B,C三點(diǎn)共線.由=知,|c|cos=|c|cos,所以O(shè)C為AOB的平分線.因?yàn)閏=a+b=a+(1-)b,所以c-b=(a-b),即=,所以=,易知=,所以=.OAOBOC|c bb|c aaBCBA|BCBA|BCC

18、A|OBOA23|BCBA255.(2017浙江名校(衢州二中)交流卷五,16)在平面內(nèi),已知向量a=(1,3),b=(4,-3),c=(6,5),若非負(fù)實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+y+z=1,則向量p=xa+yb+zc的模的取值范圍是.答案答案,561解析解析如圖,建立平面直角坐標(biāo)系xOy, =a, =b, =c, =p,x=1-y-z, =(1-y-z) +y +z , - =y( - )+z( - ),即=y+z .點(diǎn)P在ABC內(nèi)(含邊界).易知原點(diǎn)O到直線AB:2x+y-5=0的距離為|OP|的最小值.|=.| |的最大值為| |=.OAOBOCOPOPOAOBOCOPOAOBOAOCOAA

19、PABAC0,0,11,yzyzx OP555OPOC362561綜上可知,向量p的模的取值范圍為,.5616.(2016浙江鎮(zhèn)海中學(xué)測(cè)試(六),14)在ABC中,點(diǎn)D滿足=4,若對(duì)任意tR,均有|-t | |,則cosA的最小值是.ABADBDBCCD答案答案45解析解析因?yàn)閷?duì)任意tR,均有|-t|,所以CDCB,即有,所以=(-4)(-)=0,即-5+4=0,所以+4=5,故cosA=(當(dāng)且僅當(dāng)|=2|時(shí)取等號(hào)),所以cosA的最小值是.BDBCCD14ABACCB14ABACCB14ABACABAC2ABABAC2AC2AB2ACABAC| |AB ACABAC15224| |ABACA

20、BAC154| | |ABACABAC45ABAC457.(2016浙江溫州一模,14)已知ABC中,| |=1, =2,點(diǎn)P為線段BC上的動(dòng)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)Q滿足=+,則的最小值等于.BCBABCPQPAPBPCPQPB答案答案-34解析解析因?yàn)?=| |cosABC=|cosABC=2,所以點(diǎn)A在直線BC上的投影D在線段BC的延長(zhǎng)線上,且|BC|=|CD|,如圖.=(+)=+=-|+|-| |=-|(2-|)+-|(1-|)=3|2-3|=3-,所以當(dāng)|=,即P為BC的中點(diǎn)時(shí),最小,最小值為-.BABCBABCBAPQPBPAPBPCPBPAPBPBPBPCPBPDPBPBPBPCPBPBPB2|

21、PBPBPBPBPB21|2PB34PB12PQPB341.(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬卷二,7)已知ABC的外心為O,且滿足BAC=60, =x+y (其中x1),則x+4y的最大值為()A.2B.C.D.5AOABAC1433一、選擇題B組 20152017年高考模擬綜合題組答案答案A設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.將 =x+y 兩邊分別同時(shí)點(diǎn)乘和,則解得所以x+4y=-4=2,故選A.AOABACABAC222211,2211,22ccxbc ybbc xby2,332,33bxccyb103134bccb103132.(2016浙江五校第一次聯(lián)考,7)設(shè)數(shù)列xn的各項(xiàng)都

22、為正數(shù)且x1=1.如圖,ABC所在平面上的點(diǎn)Pn(nN*)均滿足PnAB與PnAC的面積比為3 1,若(2xn+1)+=xn+1,則x5的值為()A.31B.33C.61D.63nPCnP A13nP B答案答案A如圖所示,設(shè)=(2xn+1),=-xn+1.因?yàn)?2xn+1)+=xn+1,所以+=0,所以Pn為AB1C1的重心,所以=xn+1,又=,所以xn+1=,即xn+1=2xn+1,所以xn+1+1=2(xn+1),又x1=1,所以xn+1=2n,故xn=2n-1(nN*),所以x5=31,故選A.1nPCnPC1nP B13nP BnPCnP A13nP BnP A1nP B1nPCn

23、P ACS121nx 1nP ACS121nx 1nP ABS121nx 13nP ABSnP ACS13nP ABS121nx 13133.(2015浙江名校(杭州二中)交流卷六,6)已知矩形ABCD的面積為2,M,N分別是AD,BC的中點(diǎn),點(diǎn)P為線段MN上的動(dòng)點(diǎn),則+的最小值是()A.2B.C.1D.2PAPB2BA332答案答案B分別以AB,AD所在直線為x,y軸建立直角坐標(biāo)系,A為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)B(m,0),M(0,n),P(x,n)(m0,n0),則mn=1,=(-x,-n),=(m-x,-n).+=x2-mx+n2+m2=+n2+m2n2+m2,而n2+m2mn=,故當(dāng)x=,且n=m

24、,即當(dāng)m=,n=,x=時(shí),+取最小值.PAPBPAPB2BA22mx343434333,“ ”2nm當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立2m3244343412443PAPB2BA34.(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬卷(六),16)已知向量a,b,|a|=2,|b|=1,向量c=xa+2(1-x)b(xR),若|c|取最小值時(shí),向量m滿足(a-m)(c-m)=0,則|m|的取值范圍是.3二、填空題答案答案131131,22解析解析解法一:構(gòu)造如圖所示的圖形,設(shè) =a, =b, =2b,則c=xa+2(1-x)b=x(a-2b)+2b=x- = - = ( =x),當(dāng)OCAD時(shí),|c|取得最小值,此時(shí)OAD為邊長(zhǎng)為2的正

25、三角形,C為AD的中點(diǎn),構(gòu)造 =m,則 =c-m, =a-m.由(a-m)(c-m)=0知,向量m的終點(diǎn)在以AC的中點(diǎn)E為圓心,以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng).因?yàn)镺E=,所以|m|max=+=,|m|min=-=,所以|m|的取值范圍是.解法二:設(shè)向量a,b的夾角為,|c|2=|xa+2(1-x)b|2=8(1-cos),所以當(dāng)x=時(shí),|c|2取得最小值3,此時(shí)cos=,所以=,=,=,所以ac=2cos=3,|a+c|2=|a|2+2ac+|c|2=13,所以|a+c|=,OAOBODDADODCDOOCDCDA3OGGCGA221( 3)2132132121312132121312131131,

26、22212(1cos )xx12123663613由(a-m)(c-m)=0得|m|2-(a+c)m+ac=0,設(shè)=,則|m|2-cos|m|+3=0,|m|=,顯然cos=1時(shí),|m|取得最值=,所以|m|的取值范圍是.13213cos13cos1221313 1221312131131,225.(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬卷五,16)在ABC中,ACB為鈍角,CA=CB=1,當(dāng)tR時(shí),| -t |有最小值為,若=x+(1-x)(xR),則|的最小值為.CACB32CPCACBCP答案答案 12解析解析由向量模的幾何意義知,ACB=120,易知A,B,P三點(diǎn)共線,所以| |的最小值為AB邊上的

27、高,此時(shí)|的最小值為.CPCP126.(2017浙江杭州二模(4月),15)設(shè)P為ABC所在平面上一點(diǎn),且滿足3+4 =m(m0).若ABP的面積為8,則ABC的面積為.PAPCAB答案答案14解析解析以, 作為一組基底,則3+4 =m可以化簡(jiǎn)為-3+4( -)=m,所以=-.因?yàn)閙0,所以點(diǎn)P在ABC外.易知ABP的高是ABC高的,又兩三角形同底,所以ABC的面積為8=14.ABACPAPCABAPACAPABAP47AC7mAB47747.(2017浙江金華十校調(diào)研,16)設(shè)單位向量a,b的夾角為,且,若對(duì)任意的(x,y)(x,y)|xa+yb|=1,x,y0,都有|x+2y|成立,則ab

28、的最小值為.0,2815答案答案14解析解析|xa+yb|2=x2+y2+2xycos=1.設(shè)t=x+2y,即x=t-2y,代入x2+y2+2xycos=1得(5-4cos)y2+(2cos-4)ty+t2-1=0.所以0(cos2-1)t2+5-4cos0t2,所以cos,所以ab=cos.經(jīng)檢驗(yàn),此時(shí)x,y0符合要求.254cos1cos254cos1cos6415141116148.(2016浙江溫州二模,15)如圖,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,M、N分別為線段BC、CD上的點(diǎn),且滿足+=1,若=x+y,則x+y的最小值為.21CM21CNACAMAN答案答案 54解析解析連接MN交AC于點(diǎn)G.由勾股定理,知MN2=CM2+CN2,所以1=+=,即MN=CMCN,所以C到直線MN的距離為定值1,此時(shí)MN是以C為圓心,1為半徑的圓的一條切線(如圖所示).=x+y=(x+y).由向量共線定理知,=(x+y),所以x+y=,又因?yàn)閨max=5-1=4,所以x+y的最小值為.21CM21CN222MNCMCNACAMANxyAMANxyxyACAG|ACAG5|AGAG54