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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ 第2講 平面的基本性質(zhì)與異面直線 一、填空題 1．給出下列四個(gè)命題： ①經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面； ②梯形可以確定一個(gè)平面； ③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面； ④如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合． 其中正確命題的序號(hào)為________． 解析　①④錯(cuò)誤，②③正確． 答案?、冖? 2．已知m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題： ①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；③若m⊥α， n∥β，m⊥n，則α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n. 其中所

2、有正確的命題是________． 解析 我們借助于長(zhǎng)方體模型來(lái)解決本題．對(duì)于①，可以得到平面α，β互相垂直，如圖(1)所示，故①正確；對(duì)于②，平面α、β可能垂直，如圖(2)所示；對(duì)于③，平面α、β可能垂直，如圖(3)所示；對(duì)于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因?yàn)閚∥β，所以過(guò)n作平面γ，且γ∩β＝g，如圖(4)所示，所以n與交線g平行，因?yàn)閙⊥g，所以m⊥n. 答案 ①④ 3．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，將△ABD沿對(duì)角線BD折起到△A′BD的位置，使點(diǎn)A′在平面BCD內(nèi)的射影點(diǎn)O恰好落在BC邊上，則異面直線A′B與CD所成角的大小為________． 解析 如

3、題圖所示， 由A′O⊥平面ABCD， 可得平面A′BC⊥平面ABCD， 又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B， 即得異面直線A′B與CD所成角的大小為90°. 答案 90° 4．若P是兩條異面直線l，m外的任意一點(diǎn)，則給出四個(gè)命題： ①過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都平行； ②過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都垂直； ③過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都相交； ④過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都異面； 上述命題中正確的是________(填序號(hào))． 解析　對(duì)于①，若過(guò)點(diǎn)P有直線n與l，m都平行，則l∥m，這與l，m異面矛盾． 對(duì)于②，過(guò)點(diǎn)P與l、m都垂直的

4、直線，即過(guò)P且與l、m的公垂線段平行的那一條直線． 對(duì)于③，過(guò)點(diǎn)P與l、m都相交的直線有一條或零條． 對(duì)于④，過(guò)點(diǎn)P與l、m都異面的直線可能有無(wú)數(shù)條． 答案　② 5. 在正方體ABCD －A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點(diǎn)，則以下結(jié)論：①EF與CC1垂直；②EF與BD垂直；③EF與A1C1異面；④EF與AD1異面，其中不成立的序號(hào)是________． 解析　連結(jié)A1B，在△A1BC1中，EF∥A1C1，所以①，②，④正確，③錯(cuò)． 答案?、? 6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交

5、的直線有________條． 解析 在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1D1與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與CD有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N，當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與直線A1D1，EF，CD均相交，故滿足題意的直線有無(wú)數(shù)條． 答案 無(wú)數(shù) 7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點(diǎn)，那么，正方體的過(guò)P、Q、R的截面圖形是________．　 解析　如圖所示，作RG∥PQ交C1D1于G，連接QP并延長(zhǎng)與CB的延長(zhǎng)線交于M，連接MR交BB1于E，連接PE、RE為截面的部分圖形． 同理延長(zhǎng)PQ交CD的延長(zhǎng)線于N，連

6、接NG交DD1于F，連接QF，F(xiàn)G. ∴截面為六邊形PQFGRE. 答案　六邊形 8．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，給出下列四個(gè)結(jié)論： ①A1、M、O三點(diǎn)共線； ②M、O、A1、A四點(diǎn)共面； ③A、O、C、M四點(diǎn)共面； ④B、B1、O、M四點(diǎn)共面． 其中正確結(jié)論的序號(hào)是________． 解析　因?yàn)镺是BD1的中點(diǎn)．由正方體的性質(zhì)知，O也是A1C的中點(diǎn)，所以點(diǎn)O在直線A1C上，又直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則A1、M、O三點(diǎn)共線，又直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以①②③正確． 答案?、佗冖? 9．如圖

7、，平面α⊥平面β，α∩β＝l，A，C是α內(nèi)不同的兩點(diǎn)，B，D是β內(nèi)不同的兩點(diǎn)，且A，B，C，D?直線l，M，N分別是線段AB，CD的中點(diǎn)．下列判斷正確的是________． ①當(dāng)|CD|＝2|AB|時(shí)，M，N兩點(diǎn)不可能重合 ②M，N兩點(diǎn)可能重合，但此時(shí)直線AC與l不可能相交 ③當(dāng)AB與CD相交，直線AC平行于l時(shí)，直線BD可以與l相交 ④當(dāng)AB，CD是異面直線時(shí)，直線MN可能與l平行 解析 當(dāng)M，N重合時(shí)，四邊形ACBD為平行四邊形，故AC∥BD∥l，此時(shí)直線AC與l不可能相交，②正確，易知①，③，④均不正確． 答案 ② 10．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1

8、中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BB1，DD1上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝D1F＝λ，設(shè)EF與AB所成的角為α，與BC所成的角為β，則α＋β的最小值________． 解析　當(dāng)EF∥BD時(shí)，α＝β＝45°，α＋β＝90°即為a＋β的最小值，故填90°. 答案　90° 二、解答題 11．正方體ABCD－A1B1C1D1中． (1)求AC與A1D所成角的大??； (2)若E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大?。? 解 (1)如圖所示，連接B1C，由ABCD－A1B1C1D1是正方體， 易知A1D∥B1C，從而B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角． ∵AB1＝AC＝B1C，

9、∴∠B1CA＝60°. 即A1D與AC所成的角為60°. (2)如圖所示，連接AC、BD，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD，∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. 即A1C1與EF所成的角為90°. 12. 如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延長(zhǎng)線交于M，RQ、DB的延長(zhǎng)線交于N，RP、DC的延長(zhǎng)線交于K，求證：M、N、K三點(diǎn)共線． 證明　∵M(jìn)∈PQ，直線PQ?面PQR，M∈BC，直線BC?面BCD， ∴M是平面PQR與平面BCD的一個(gè)公共點(diǎn)， 即M在面PQR與面BCD的交線l上． 同理

10、可證：N、K也在l上． ∴M、N、K三點(diǎn)共線． 13．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C與截面DBC1交于O點(diǎn)，AC，BD交于M點(diǎn)，求證：C1，O，M三點(diǎn)共線． 證明　∵C1∈平面A1ACC1， 且C1∈平面DBC1， ∴C1是平面A1ACC1與平面DBC1的公共點(diǎn)． 又∵M(jìn)∈AC，∴M∈平面A1ACC1. ∵M(jìn)∈BD，∴M∈平面DBC1， ∴M也是平面A1ACC1與平面DBC1的公共點(diǎn)， ∴C1M是平面A1ACC1與平面DBC1的交線． ∵O為A1C與截面DBC1的交點(diǎn)， ∴O∈平面A1ACC1且O∈平面DBC1， 即O也是兩平面的公共點(diǎn)， ∴O∈

11、直線C1M，即C1，O，M三點(diǎn)共線． 14．如圖(1)，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B，如圖(2)． (1)求異面直線AB與DE所成的角； (2)若M、N分別為棱AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，求△DMN周長(zhǎng)的平方的最小值． 解　(1)如圖，取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF、DF，則AB∥EF，AB與DE所成的角即為EF與DE所成的角． ∵AD＝BD＝2，∠ADB＝90°， ∴AB＝4.∴EF＝2. 又∵DE＝DF＝2， ∴異面直線AB與DE所成的角為60°. (2)如圖是以C為頂點(diǎn)沿CD展開的側(cè)面展開圖，依題意即求DD1的長(zhǎng)． ∵∠ACD＝∠BCD1＝45°，AC＝BC＝AB， ∴∠ACB＝60°. ∴∠DCD1＝150°，CD＝CD1＝2.∴DD＝(2)2＋(2)2－2×2×2·cos 150°＝16＋8. 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品