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【名校資料】高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 選修系列學(xué)案76不等式選講

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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ 學(xué)案76 不等式選講 (三)算術(shù)—幾何平均不等式與柯西不等式的應(yīng)用 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.理解二元柯西不等式的幾種不同形式.2.掌握兩個(gè)或三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式.3.會(huì)用兩個(gè)或三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的最值. 自主梳理 1.算術(shù)——幾何平均不等式 (1)如果a,b>0,那么____________,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立. (2)如果a,b,c>0,那么________________,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號(hào)成立. (3)對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1,a2,…,an,它們的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何

2、平均數(shù),即≥,當(dāng)且僅當(dāng)__________________時(shí)等號(hào)成立. 2.柯西不等式 (1)二維形式:若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則 (a2+b2)(c2+d2)≥____________,當(dāng)且僅當(dāng)__________時(shí),等號(hào)成立. (2)向量形式:設(shè)α、β是平面上的兩個(gè)向量,則__________________≥|α,β|,當(dāng)且僅當(dāng)α,β共線時(shí)等號(hào)成立. 3.三角形不等式 設(shè)x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,那么 +≥. 自我檢測(cè) 1.若x,y∈(0,+∞),且x+y=s,xy=p,則下列命題中正確的序號(hào)是________. ①當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),s有最小值2;

3、②當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),p有最大值; ③當(dāng)且僅當(dāng)p為定值時(shí),s有最小值2; ④若s為定值,則當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),p有最大值. 2.若x,y∈R,且滿足x+3y=2,則3x+27y+1的最小值是________. 3.(2011·湖南)設(shè)x,y∈R,且xy≠0,則(x2+)(+4y2)的最小值為________. 4.函數(shù)y=3+3x+(x<0)的最大值為________. 5.若a,b∈R,且a2+b2=10,則a-b的取值范圍為______________. 探究點(diǎn)一 利用柯西不等式求最值 例1 已知x,y,a,b∈R+,且+=1,求x+y的最小值.

4、 變式遷移1 若2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值. 探究點(diǎn)二 利用算術(shù)—幾何平均不等式求最值 例2 如圖(1),將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一個(gè)無蓋的正六棱柱容器(圖(2)).當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為多少時(shí),容積最大,并求出最大容積. 變式遷移2 用一塊鋼錠燒鑄一個(gè)厚度均勻,且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如圖),設(shè)容器高為h米,蓋子邊長(zhǎng)為a米. (1)求a關(guān)于h的解析式; (2)設(shè)容器的容積為V立方米,則當(dāng)h為何值

5、時(shí),V最大?求出V的最大值.(求解本題時(shí),不計(jì)容器厚度). 探究點(diǎn)三 不等式的證明 例3 (1)已知a、b、c為正數(shù),且滿足acos2θ+bsin2θ

6、而使用更廣泛,在使用柯西不等式證明不等式和求最值時(shí),要注意與柯西不等式的一般形式比較,根據(jù)需要,構(gòu)造“積和方”或“方和積”.柯西不等式等號(hào)成立的條件比較特殊,要牢記. 2.應(yīng)用算術(shù)—幾何平均不等式求最值,要積極創(chuàng)造條件,合理拆添項(xiàng)或配湊因式是常用的解題技巧,而拆與湊的前提在于“和定積最大,積定和最小”,注意滿足“一正二定三相等”三個(gè)條件,缺一不可. 3.利用不等式解決實(shí)際問題,首先要認(rèn)真審題,分清題意,建立合理的不等式模型或函數(shù)模型,最終通過解不等式或算術(shù)—幾何平均不等式實(shí)施解題. (滿分:90分) 一、填空題(每小題6分,共48分) 1.若x>1,則函數(shù)y=x++的最小值為

7、________. 2.函數(shù)y=(x<0)的值域是________. 3.函數(shù)y=x2(-2x)(0≤x≤)的最大值為_____________________________________. 4.設(shè)a>b>c,n∈N*,且+≥恒成立,則n的最大值是________. 5.若3x+4y=2,則x2+y2的最小值為________. 6.函數(shù)y=+的最大值為________. 7.函數(shù)y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上,其中m,n>0,則+的最小值為________. 8.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足3x2+2y2≤6,則p=2x+

8、y的最大值是________. 二、解答題(共42分) 9.(12分)設(shè)a,b,c為正數(shù),求證:(a+b+c)(a2+b2+c2)≥9abc. 10.(14分)設(shè)x、y均大于0,且x+y=1,求證:(x+)2+(y+)2≥. 11.(16分)某養(yǎng)殖廠需要定期購(gòu)買飼料,已知該廠每天需要飼料200公斤,每公斤飼料的價(jià)格為1.8元,飼料的保管與其他費(fèi)用為平均每公斤每天0.03元,購(gòu)買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元,求該廠多少天購(gòu)買一次飼料才能使平均每天支付的費(fèi)用最?。? 學(xué)案76 不等式選講 (三

9、)算術(shù)—幾何平均不等式與柯西不等式的應(yīng)用 答案 自主梳理 1.(1)≥ (2)≥ (3)a1=a2=…=an 2.(1)(ac+bd)2 ad=bc (2)|α||β| 自我檢測(cè) 1.④ 解析 ∵x,y∈(0,+∞), ∴x+y≥2, 又x+y=s,xy=p, ∴當(dāng)s一定,即x=y(tǒng)=時(shí),p有最大值; 當(dāng)p一定,即x=y(tǒng)=時(shí),s有最小值2. 2.7 解析 3x+27y+1≥2+1=2+1=7, 當(dāng)且僅當(dāng)“3x=27y”即x=3y且x+3y=2時(shí), 上式取“=”,此時(shí)x=1,y=. 3.9 解析 (x2+)(+4y2)=5++4x2y2≥5+2=9, 當(dāng)且僅

10、當(dāng)x2y2=時(shí)“=”成立. 4.3-2 解析 ∵x<0, ∴y=3+3x+=3-[(-3x)+(-)]≤3-2. 當(dāng)且僅當(dāng)-3x=-, 即x=-時(shí)取等號(hào). ∴當(dāng)x=-時(shí),函數(shù)y=3+3x+有最大值3-2. 5.[-2,2] 解析 由柯西不等式得,[12+(-1)2](a2+b2)≥(a-b)2, ∴(a-b)2≤20, ∴-2≤a-b≤2,當(dāng)且僅當(dāng)“b=-a”時(shí)上式“=”成立. 由得,或. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1 解題導(dǎo)引 由于+=1,則可以構(gòu)造x+y=[()2+()2][()2+()2]≥(+)2的形式,從而利用柯西不等式求出最值. 利用柯西不等式求最值,實(shí)際上就是利用

11、柯西不等式進(jìn)行放縮,但放縮時(shí)要注意等號(hào)成立的條件是否符合題意. 解 ∵x,y,a,b∈R+,+=1, ∴x+y=[()2+()2][()2+()2] ≥(+)2. 當(dāng)且僅當(dāng)·=·, 即=時(shí)取等號(hào). ∴(x+y)min=(+)2. 變式遷移1 解 由柯西不等式得: (4x2+9y2)(12+12)≥(2x+3y)2=1.∴4x2+9y2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)2x×1=3y×1,即2x=3y時(shí)取等號(hào). 由得. ∴4x2+9y2的最小值為. 例2 解題導(dǎo)引 運(yùn)用算術(shù)—幾何平均不等式解決應(yīng)用問題的步驟是: (1)弄清量與量之間的關(guān)系,將要求最大值(或最小值)的變量表示為其他變量的函數(shù)

12、; (2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)中的最值問題;(3)在定義域內(nèi)求函數(shù)的最值;(4)根據(jù)實(shí)際意義寫出正確答案. 解 如圖,設(shè)正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的邊長(zhǎng)為x(0

13、2(1-x)=·x·x·(2-2x) ≤·[]3=. 當(dāng)且僅當(dāng)x=2-2x,即x=時(shí),Vmax=. 故當(dāng)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為時(shí),最大容積為. 變式遷移2 解 (1)設(shè)h′是正四棱錐的斜高,由題設(shè)可得: ,消去h′.解得:a=(h>0). (2)由V=a2h=(h>0), 得:V=,而h+≥2=2. 所以0

14、,b,c∈R+,∴a+b+c≥3>0, 從而(a+b+c)2≥9>0, 又++≥3>0, ∴(++)(a+b+c)2≥3·9=27.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號(hào)成立. 變式遷移3 證明 ∵a,b,c∈R+,∴(a+b)+(b+c)+(c+a)≥3>0, ++≥3>0, ∴(a+b+c)(++)≥. 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號(hào)成立. 課后練習(xí)區(qū) 1.8 解析 y=x++=+≥2=8. 當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2+時(shí)等號(hào)成立. 2.[-3,0) 解析 y==. ∵x+=-[(-x)+(-)]≤-2. ∴x++1≤-1. ∴0>≥-3,即-3≤y<0. ∴原函數(shù)的值域?yàn)閇-

15、3,0). 3. 解析 y=x2(-2x)=x·x(-2x), ∵0≤x≤,∴-2x≥0, ∴y≤[]3=. 當(dāng)且僅當(dāng)x=x=-2x,即x=時(shí),ymax=. 4.4 解析 ∵+ =+=2++≥2+2=4, ∴+≥4,∴+≥. 又∵+≥恒成立, ∴≥,又∵a>c,∴a-c>0,∴4≥n,即n≤4. 5. 解析 柯西不等式(32+42)(x2+y2)≥(3x+4y)2, 得25(x2+y2)≥4,所以x2+y2≥.① 不等式①中當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號(hào)成立,x2+y2取得最小值, 解方程組得 因此當(dāng)x=,y=時(shí),x2+y2取得最小值,最小值為. 6. 解析 函數(shù)的定義

16、域?yàn)閇1,6]. y2=(+)2 =(×+1×)2 ≤[()2+12]×[()2+()2]=3×5=15. ∴y2≤15.∴y≤. 當(dāng)且僅當(dāng)×=1×,即x=時(shí)等號(hào)成立. ∴原函數(shù)的最大值為. 7.8 解析 函數(shù)y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A(-2,-1). 則(-2)m+(-1)·n+1=0,2m+n=1,m,n>0. +=(+)·(2m+n)=4++ ≥4+2=8,(m=,n=時(shí)取等號(hào)) 即+的最小值為8. 8. 解析 ∵(3x2+2y2)[()2+()2]≥(2x+y)2, ∴(2x+y)2≤×6=11.∴-≤2x+y≤, 當(dāng)且

17、僅當(dāng)時(shí),上式取“=”. 即或. ∴x=,y=時(shí),Pmax=. 9.證明 由算術(shù)—幾何平均不等式可得: a+b+c≥3, ① a2+b2+c2≥3, ② ①②相乘得(a+b+c)(a2+b2+c2)≥9abc即為所證結(jié)論.(12分) 10.證明 方法一 要證(x+)2+(y+)2≥, 只需證x2+y2+++4≥. (3分) ∵x+y=1, 即要證(1-2xy)+≥, 即要證4x3y3+15x2y2+4xy-2≤0, (5分) 即要證(4xy-1)(x2y2+4xy+2)≤0, (8分) 即要證[4xy-(x+y)2](x2y2+4xy+2)≤

18、0, (10分) 即要證(x-y)2(x2y2+4xy+2)≥0.(12分) ∵x、y均大于0,x+y=1,故上式成立. 故所證不等式(x+)2+(y+)2≥成立. (14分) 方法二 ∵x+y=1, ∴xy≤()2=, ∴≥4. (4分) 又∵(12+12)[(x+)2+(y+)2] ≥(x++y+)2 (8分) =(x+y+)2=(1+)2≥(1+4)2=25. (12分) 即2[(x+)2+(y+)2]≥25. ∴(x+)2+(y+)2≥. (14分) 11.解 設(shè)該廠應(yīng)隔x(x∈N*)天購(gòu)買一次飼料,平均每天支付的費(fèi)用為y. ∵飼料的保管與其他費(fèi)用每天比前一天少 200×0.03=6(元), (2分) ∴x天飼料的保管與其他費(fèi)用共是: 6(x-1)+6(x-2)+…+6=3x2-3x(元). (8分) 從而有y=(3x2-3x+300)+200×1.8=+3x+357≥417. (14分) 當(dāng)且僅當(dāng)=3x, 即x=10時(shí),y有最小值417. 即每隔10天購(gòu)買一次飼料才能使平均每天支付的費(fèi)用最小. (16分) 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品

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