《2.2函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2.2函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值（46頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.2 2.2 函數(shù)的單調(diào)性與最大函數(shù)的單調(diào)性與最大( (小小) )值值 要點梳理要點梳理1.1.函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性 （1 1）單調(diào)函數(shù)的定義）單調(diào)函數(shù)的定義 增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)定定義義一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f f（x x）的定義域為）的定義域為I I. .如果對于定如果對于定義域義域I I內(nèi)某個區(qū)間內(nèi)某個區(qū)間D D上的任意兩個自變量上的任意兩個自變量x x1 1，x x2 2 基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)定定義義當(dāng)當(dāng)x x1 1 x x2 2時時, ,都有都有 ，那，那么就說函數(shù)么就說函數(shù)f f( (x x) )在區(qū)在區(qū)間間D D上是增函數(shù)上是增函數(shù) 當(dāng)當(dāng)x x1 1

2、 x x2 2時，都有時，都有 ，那么就，那么就說函數(shù)說函數(shù)f f（x x）在區(qū)間）在區(qū)間D D上是減函數(shù)上是減函數(shù) 圖圖象象描描述述自左向右看圖象是自左向右看圖象是_ 自左向右看圖象是自左向右看圖象是_ f f（x x1 1） )f f( (x x2 2) )上升的上升的下降的下降的 (2) (2)單調(diào)區(qū)間的定義單調(diào)區(qū)間的定義 若函數(shù)若函數(shù)f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間D D上是上是_或或_，則稱，則稱 函數(shù)函數(shù)f f（x x）在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，）在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性， _叫做叫做f f（x x）的單調(diào)區(qū)間）的單調(diào)區(qū)間. . 增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)區(qū)間區(qū)間

3、D D2.2.函數(shù)的最值函數(shù)的最值 前提前提 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y y= =f f( (x x) )的定義域為的定義域為I I，如果存在實數(shù)，如果存在實數(shù)MM滿足滿足 條件條件 對于任意對于任意x xI I，都有都有_； 存在存在x x0 0I I, ,使得使得_. _. 對于任意對于任意x xI I，都，都有有_；存在存在x x0 0I I, ,使得使得_. _. 結(jié)論結(jié)論 M M為最大值為最大值 M M為最小值為最小值 f f（x x）MMf f（x x0 0）= =MMf f（x x）MMf f（x x0 0）= =MM基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測1.1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（下列函數(shù)中，在區(qū)間（0 0，2

4、 2）上為增函數(shù)的是）上為增函數(shù)的是 ( )( ) A. A.y y=-=-x x+1 B.+1 B.y y= = C. C.y y= =x x2 2-4-4x x+5 D.+5 D. 解析解析 y y=-=-x x+1,+1,y y= =x x2 2-4-4x x+5, +5, 分別為一次函分別為一次函 數(shù)、數(shù)、 二次函數(shù)、反比例函數(shù)，從它們的圖象上可二次函數(shù)、反比例函數(shù)，從它們的圖象上可 以看出在（以看出在（0 0，2 2）上都是減函數(shù)）上都是減函數(shù). .xy2Bxy2x2.2.已知函數(shù)已知函數(shù)y y= =f f( (x x) )是定義在是定義在R R上的增函數(shù)上的增函數(shù), ,則則f f(

5、 (x x)=0)=0的的 根根 （ ） A.A.有且只有一個有且只有一個 B.B.有有2 2個個 C.C.至多有一個至多有一個 D.D.以上均不對以上均不對 解析解析 f f（x x）在）在R R上是增函數(shù)，上是增函數(shù)， 對任意對任意x x1 1, ,x x2 2R R, ,若若x x1 1 x x2 2, ,則則f f( (x x1 1)f f( (x x2 2),), 反之亦成立反之亦成立. .故若存在故若存在f f( (x x0 0)=0,)=0,則則x x0 0只有一個只有一個. . 若對任意若對任意x xR R都無都無f f( (x x)=0,)=0,則則f f( (x x)=0)

6、=0無根無根. . C3.3.已知已知f f( (x x) )為為R R上的減函數(shù)，則滿足上的減函數(shù)，則滿足 的實數(shù)的實數(shù)x x的取值范圍是的取值范圍是 （ ） A.(-1,1)A.(-1,1) B.(0,1) B.(0,1) C.(-1,0)(0,1) C.(-1,0)(0,1) D. D.（-,-1)(1,+)-,-1)(1,+) 解析解析 由已知條件：由已知條件： 不等式等價于不等式等價于 解得解得-1-1x x1,1,且且x x0. 0. ) 1 (|)1(|fxf, 1|1|x,01|xxC4.4.函數(shù)函數(shù)y y=(2=(2k k+1)+1)x x+ +b b在（在（-，+）上是減函

7、數(shù)，則）上是減函數(shù)，則 ( )( ) A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 使使y y=(2=(2k k+1)+1)x x+ +b b在（在（-，+）上是減函數(shù)）上是減函數(shù), , 則則2 2k k+10+10)0； ( (x x1 1- -x x2 2)f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)0)0； 其中能推出函數(shù)其中能推出函數(shù)y y= =f f( (x x) )為增函數(shù)的命題為為增函數(shù)的命題為_._. 解析解析 依據(jù)增函數(shù)的定義可知，對于依據(jù)增函數(shù)的定義可知，對于，當(dāng)自變，當(dāng)自變 量增大時，相對應(yīng)的函數(shù)值也增大，所以量增大時，相對應(yīng)的函數(shù)值也增大，所以

8、可推可推 出函數(shù)出函數(shù)y y= =f f（x x）為增函數(shù)）為增函數(shù). . ; 0)()(2121xxxfxf. 0)()(2121xxxfxf題型一題型一 函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)單調(diào)性的判斷【例例1 1】已知函數(shù)已知函數(shù) 證明：函數(shù)證明：函數(shù)f f( (x x) )在在(-1,+)(-1,+)上為增函數(shù)上為增函數(shù). . （1 1）用函數(shù)單調(diào)性的定義）用函數(shù)單調(diào)性的定義. . （2 2）用導(dǎo)數(shù)法）用導(dǎo)數(shù)法. . 證明證明 方法一方法一 任取任取x x1 1, ,x x2 2(-1,+),(-1,+), 不妨設(shè)不妨設(shè)x x1 1 0, 0, ).1(12)(axxaxfx, 01112xxxaa且

9、思維啟迪思維啟迪題型分類題型分類 深度剖析深度剖析又又x x1 1+10,+10,x x2 2+10,+10,于是于是f f( (x x2 2)-)-f f( (x x1 1)= )= 故函數(shù)故函數(shù)f f( (x x) )在（在（-1,+-1,+）上為增函數(shù)）上為增函數(shù). . , 0) 1(12112xxxxxaaaa, 0) 1)(1()( 3) 1)(1() 1)(2() 1)(2(121212122121121122xxxxxxxxxxxxxx, 01212112212xxxxaaxx方法二方法二 求導(dǎo)數(shù)得求導(dǎo)數(shù)得 a a1,1,當(dāng)當(dāng)x x-1-1時，時，a ax xln ln a a0

10、, 0, f f(x x)0)0在（在（-1-1，+）上恒成立，）上恒成立，則則f f( (x x) )在（在（-1,+-1,+）上為增函數(shù)）上為增函數(shù). . 對于給出具體解析式的函數(shù)，判斷或證明對于給出具體解析式的函數(shù)，判斷或證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性問題，可以結(jié)合定義（基本步其在某區(qū)間上的單調(diào)性問題，可以結(jié)合定義（基本步驟為取點、作差或作商、變形、判斷）求解驟為取點、作差或作商、變形、判斷）求解. .可導(dǎo)函可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)解之?dāng)?shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)解之. . ,) 1(3ln)( 2xaaxfx),1(131)(axaxfx, 0) 1(32x探究提高探究提高知能遷移知能遷移1 1 試討論函

11、數(shù)試討論函數(shù) x x(-1,1)(-1,1)的單的單 調(diào)性（其中調(diào)性（其中a a00）. . 解解 方法一方法一 根據(jù)單調(diào)性的定義求解根據(jù)單調(diào)性的定義求解. . 設(shè)設(shè)-1-1x x1 1 x x2 21, 1, -1 -1x x1 1 x x2 21,|1,|x x1 1|1,|1,|x x2 2|1,|0,0, 即即-1-1x x1 1x x2 21,0.+10.,1)(2xaxxf.) 1)(1() 1)(11)()(2221211222221121xxxxxxaxaxxaxxfxf則, 1| , 01, 01212221xxxx因此，當(dāng)因此，當(dāng)a a00時，時，f f( (x x1 1)

12、-)-f f( (x x2 2)0,)0,即即f f( (x x1 1)f f( (x x2 2),),此時函數(shù)為減函數(shù)；此時函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)當(dāng)a a00時，時，f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)0,)0,即即f f( (x x1 1)00時，時，-1-1x x1,1,即即f f(x x)0,)0,此時此時f f（x x) )在（在（-1-1，1 1）上為減函數(shù)）上為減函數(shù). .同理，當(dāng)同理，當(dāng)a a000時，時，f f（x x) )在（在（-1-1，1 1）上為減函數(shù)；）上為減函數(shù)；a a00,-30,得得x x-13,3,結(jié)合二次函數(shù)的結(jié)合二次函數(shù)的 對稱軸直線對稱

13、軸直線x x=1=1知知, ,在對稱軸左邊函數(shù)在對稱軸左邊函數(shù)y y= =x x2 2- -2 2x x-3-3是是 減函數(shù)，所以在區(qū)間（減函數(shù)，所以在區(qū)間（-，-1-1）上是減函數(shù)）上是減函數(shù), ,由由 此可得此可得D D項符合項符合. .故選故選D. D. 思維啟迪思維啟迪D （1 1）復(fù)合函數(shù)是指由若干個函數(shù)復(fù)合而）復(fù)合函數(shù)是指由若干個函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，它的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)成的函數(shù)，它的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u u= =g g( (x x),),y y= =f f( (u u) )的單調(diào)性密切相關(guān)，其單調(diào)性的規(guī)律為的單調(diào)性密切相關(guān)，其單調(diào)性的規(guī)律為“同增異減同增異減”，即即f f(

14、(u u) )與與g g( (x x) )有相同的單調(diào)性，則有相同的單調(diào)性，則f f g g( (x x)必為增函必為增函數(shù)，若具有不同的單調(diào)性，則數(shù)，若具有不同的單調(diào)性，則f f g g( (x x)必為減函數(shù)必為減函數(shù). .（2 2）討論復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟是：）討論復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟是：求出復(fù)合函數(shù)的定義域；求出復(fù)合函數(shù)的定義域；把復(fù)合函數(shù)分解成若干個常見的基本函數(shù)并判斷其把復(fù)合函數(shù)分解成若干個常見的基本函數(shù)并判斷其單調(diào)性；單調(diào)性；把中間變量的變化范圍轉(zhuǎn)化成自變量的變化范圍；把中間變量的變化范圍轉(zhuǎn)化成自變量的變化范圍；根據(jù)上述復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律判斷其單調(diào)性根據(jù)上述復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律

15、判斷其單調(diào)性. . 探究提高探究提高知能遷移知能遷移2 2 函數(shù)函數(shù)y y= = 的遞減區(qū)間為的遞減區(qū)間為 （ ） A.(1,+) B. A.(1,+) B. C. D. C. D. 解析解析 作出作出t t=2=2x x2 2-3-3x x+1+1的示意的示意 圖如圖所示，圖如圖所示， 0 1, 0 0)0恒成立，試求實恒成立，試求實 數(shù)數(shù)a a的取值范圍的取值范圍. . 第第(1)(1)問可先證明函數(shù)問可先證明函數(shù)f f( (x x) )在在1,+) 1,+) 上的單調(diào)性上的單調(diào)性, ,然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解，對于第然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解，對于第 (2)(2)問可采用轉(zhuǎn)化為求函數(shù)問可采

16、用轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f f( (x x) )在在1,+)1,+)上的最小上的最小 值大于值大于0 0的問題來解決的問題來解決. .思維啟迪思維啟迪,)(xaxxxf 2221解解 設(shè)設(shè)11x x1 1 x x2 2, ,則則f f( (x x2 2)-)-f f( (x x1 1)= )= 11x x1 1 0,20,2x x1 1x x2 22,2,f f( (x x2 2)-)-f f( (x x1 1)0,)0,f f( (x x1 1)0)0恒成立恒成立 x x2 2+2+2x x+ +a a00恒成立恒成立. .,)(,)(221211 xxxfa時時當(dāng)當(dāng),0211212102121 xx

17、xx.27 ),)(2112211xxxx 設(shè)設(shè)y y= =x x2 2+2+2x x+ +a a, ,x x1,+),1,+),則函數(shù)則函數(shù)y y= =x x2 2+2+2x x+ +a a=(=(x x+1)+1)2 2+ +a a-1-1在區(qū)間在區(qū)間1,+)1,+)上是上是增函數(shù)增函數(shù). .當(dāng)當(dāng)x x=1=1時，時，y yminmin=3+=3+a a, ,于是當(dāng)且僅當(dāng)于是當(dāng)且僅當(dāng)y yminmin=3+=3+a a00時時, ,函數(shù)函數(shù)f f( (x x)0)0恒成立，恒成立，故故a a-3. -3. 要注意函數(shù)思想在求函數(shù)值域中的運要注意函數(shù)思想在求函數(shù)值域中的運用用,(1),(1)

18、中用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最小值中用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最小值;(2);(2)中用函中用函數(shù)的最值解決恒成立問題數(shù)的最值解決恒成立問題. .在在(2)(2)中，還可以使用分中，還可以使用分離參數(shù)法，要使離參數(shù)法，要使x x2 2+2+2x x+ +a a00在在1,+)1,+)上恒成立上恒成立, , 只要只要a a-x x2 2-2-2x x=-(=-(x x+1)+1)2 2+1+1恒成立，由二次函數(shù)恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)得的性質(zhì)得-(-(x x+1)+1)2 2+1-3,+1-3,所以只要所以只要a a-3-3即可即可. . 探究提高探究提高知能遷移知能遷移3 3 已知函數(shù)已知函數(shù) ( (a

19、a0,0,x x0), 0), (1)(1)求證求證: :f f( (x x) )在在(0,+)(0,+)上是單調(diào)遞增函數(shù)上是單調(diào)遞增函數(shù); ;(2)(2)若若f f( (x x) )在在 上的值域是上的值域是 求求a a的值的值. .(1)(1)證明證明 設(shè)設(shè)x x2 2 x x1 10,0,則則x x2 2- -x x1 10,0,x x1 1x x2 20,0,f f( (x x2 2)f f( (x x1 1),),f f( (x x) )在在(0,+)(0,+)上是單調(diào)遞增的上是單調(diào)遞增的. .xaxf11 )(,221 ,221 ,)()()()(01111112112211212

20、 xxxxxxxaxaxfxf.)(,)(,)(,)()(522221212212212212 affxfxf易得得上上單單調(diào)調(diào)遞遞增增在在又又上上的的值值域域是是在在題型四題型四 函數(shù)單調(diào)性與不等式函數(shù)單調(diào)性與不等式【例例4 4】(12(12分分) )函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )對任意的對任意的a a、b bR R, ,都有都有f f( (a a+ +b b) ) = =f f( (a a)+)+f f( (b b)-1,)-1,并且當(dāng)并且當(dāng)x x00時，時，f f( (x x)1.)1. （1 1）求證：）求證：f f( (x x) )是是R R上的增函數(shù)；上的增函數(shù)； （2 2）若）

21、若f f(4)=5,(4)=5,解不等式解不等式f f(3(3m m2 2- -m m-2)3.-2)3. 問題問題(1)(1)是抽象函數(shù)單調(diào)性的證明是抽象函數(shù)單調(diào)性的證明, ,所所 以要用單調(diào)性的定義以要用單調(diào)性的定義. . 問題問題(2)(2)將函數(shù)不等式中抽象的函數(shù)符號將函數(shù)不等式中抽象的函數(shù)符號“f f”運運 用單調(diào)性用單調(diào)性“去掉去掉”, ,為此需將右邊常數(shù)為此需將右邊常數(shù)3 3看成某個看成某個 變量的函數(shù)值變量的函數(shù)值. . 思維啟迪思維啟迪解解 （1 1）設(shè)）設(shè)x x1 1, ,x x2 2R R，且，且x x1 1 0,0,f f( (x x2 2- -x x1 1)1. 2)

22、1. 2分分f f( (x x2 2)-)-f f( (x x1 1)=)=f f(x x2 2- -x x1 1)+)+x x1 1)-)-f f( (x x1 1) )= =f f( (x x2 2- -x x1 1)+)+f f( (x x1 1)-1-)-1-f f( (x x1 1) )= =f f( (x x2 2- -x x1 1)-10. 5)-10. 5分分f f（x x2 2） f f( (x x1 1).).即即f f( (x x) )是是R R上的增函數(shù)上的增函數(shù). 6. 6分分（2 2）f f（4 4）= =f f（2+22+2）= =f f（2 2）+ +f f（2

23、 2）-1=5-1=5， f f（2 2）=3=3， 8 8分分原不等式可化為原不等式可化為f f(3(3m m2 2- -m m-2)-2)f f(2),(2),f f( (x x) )是是R R上的增函數(shù)，上的增函數(shù)，33m m2 2- -m m-22, 10-22, 10分分解得解得-1-1m m , ,故解集為故解集為 1212分分 f f( (x x) )在定義域上（或某一單調(diào)區(qū)間上）在定義域上（或某一單調(diào)區(qū)間上）具有單調(diào)性，則具有單調(diào)性，則f f( (x x1 1)f f( (x x2 2) ) f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)0,)0,若函數(shù)是若函數(shù)是增

24、函數(shù)增函數(shù), ,則則f f( (x x1 1)f f( (x x2 2) ) x x1 1 11時，時，f f( (x x)0.)0. （1 1）求）求f f(1)(1)的值；的值； （2 2）判斷）判斷f f( (x x）的單調(diào)性；）的單調(diào)性； （3 3）若）若f f(3)=-1,(3)=-1,解不等式解不等式f f(|(|x x|)-2.|)0,0, 代入得代入得f f(1)=(1)=f f( (x x1 1)-)-f f( (x x1 1)=0,)=0,故故f f(1)=0. (1)=0. )(21xxf（2 2）任?。┤稳 x1 1, ,x x2 2(0,+)(0,+)，且，且x x

25、1 1 x x2 2, ,則則 由于當(dāng)由于當(dāng)x x11時，時，f f( (x x)0,)0,所以所以 即即f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)0,)0,因此因此f f( (x x1 1)f f( (x x2 2),),所以函數(shù)所以函數(shù)f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間(0,+)(0,+)上是單調(diào)遞減函數(shù)上是單調(diào)遞減函數(shù). .（3 3）由）由 = =f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2) )得得 = =f f(9)-(9)-f f(3),(3),而而f f(3)=-1,(3)=-1,所以所以f f(9)=-2.(9)=-2.由于函數(shù)由于函數(shù)f f( (

26、x x) )在區(qū)間（在區(qū)間（0,+0,+）上是單調(diào)遞減函數(shù)，）上是單調(diào)遞減函數(shù)，由由f f(|(|x x|)|)9,|9,x x99或或x x-9.99或或x x-9. -9. , 121xx, 0)(21xxf)(21xxf)39(f1.1.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，證明（判定）函數(shù)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，證明（判定）函數(shù)f f( (x x) ) 在其區(qū)間上的單調(diào)性，其步驟是在其區(qū)間上的單調(diào)性，其步驟是 （1 1）設(shè)）設(shè)x x1 1、x x2 2是該區(qū)間上的任意兩個值，且是該區(qū)間上的任意兩個值，且x x1 1x x2 2； （2 2）作差）作差f f（x x1 1）- -f f（x x2 2）

27、，然后變形；），然后變形； （3 3）判定）判定f f（x x1 1）- -f f（x x2 2）的符號；）的符號； （4 4）根據(jù)定義作出結(jié)論）根據(jù)定義作出結(jié)論. .方法與技巧方法與技巧思想方法思想方法 感悟提高感悟提高2.2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 首先應(yīng)注意函數(shù)的定義域，函數(shù)的增減區(qū)間都是其首先應(yīng)注意函數(shù)的定義域，函數(shù)的增減區(qū)間都是其 定定義域的子集義域的子集; ;其次掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本其次掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本 初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. .常用方法有：根據(jù)定義，利用常用方法有：根據(jù)定義，利用 圖象和單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，還可以利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)圖象和單調(diào)函

28、數(shù)的性質(zhì)，還可以利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì). .3.3.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 對于復(fù)合函數(shù)對于復(fù)合函數(shù)y y= =f f g g( (x x),),若若t t= =g g( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間( (a a, ,b b) )上是上是 單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù), ,且且y y= =f f( (t t) )在區(qū)間在區(qū)間( (g g( (a a),),g g( (b b)或者或者( (g g( (b b),), g g( (a a)上是單調(diào)函數(shù)上是單調(diào)函數(shù), ,若若t t= =g g( (x x) )與與y y= =f f( (t t) )的單調(diào)性相同的單調(diào)性相同 ( (同時為增或減同時為增或減),)

29、,則則y y= =f f g g( (x x)為增函為增函數(shù)數(shù); ;若若t t= =g g( (x x) )與與 y y= =f f( (t t) )的單調(diào)性相反的單調(diào)性相反, ,則則y y= =f f g g( (x x)為減函數(shù)為減函數(shù). . 簡稱為簡稱為: :同增異減同增異減. . 1.1.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上 單調(diào)遞增或單調(diào)遞減單調(diào)遞增或單調(diào)遞減. .單調(diào)區(qū)間要分開寫單調(diào)區(qū)間要分開寫, ,即使在兩即使在兩 個區(qū)間上的單調(diào)性相同個區(qū)間上的單調(diào)性相同, ,也不能用并集表示也不能用并集表示. .2.2.兩函數(shù)兩函數(shù)f f(

30、(x x) )、g g( (x x) )在在x x(a a, ,b b) )上上都是增都是增( (減減) )函數(shù)函數(shù), ,則則 f f( (x x)+)+g g( (x x) )也為增也為增( (減減) )函數(shù)函數(shù), ,但但f f( (x x)g g( (x x), ), 等的等的 單調(diào)性與其正負有關(guān)，切不可盲目類比單調(diào)性與其正負有關(guān)，切不可盲目類比. . 失誤與防范失誤與防范)(1xf一、選擇題一、選擇題1.1.若函數(shù)若函數(shù)y y= =axax與與 在在(0,+)(0,+)上都是減函數(shù)，上都是減函數(shù)， 則則y y= =axax2 2+ +bxbx在（在（0 0，+）上是）上是 （ ） A.A

31、.增函數(shù)增函數(shù) B.B.減函數(shù)減函數(shù) C.C.先增后減先增后減 D.D.先減后增先減后增 解析解析 y y= =axax與與 在在(0,+)(0,+)上都是減函數(shù)上都是減函數(shù), , a a0,0,b b000且且a a11）是）是R R上上 的減函數(shù)，則的減函數(shù)，則a a的取值范圍是的取值范圍是 ( ) ( ) A. A.（0 0，1 1） B. B. C. D. C. D. 解析解析 據(jù)單調(diào)性定義，據(jù)單調(diào)性定義，f f（x x）為減函數(shù)應(yīng)滿足：）為減函數(shù)應(yīng)滿足：0, 0,3)(xaxaxxfx) 1 ,3131, 0(32, 0(.,1313100 aaaa即即B3.3.下列四個函數(shù)中下列四

32、個函數(shù)中, ,在在(0,1)(0,1)上為增函數(shù)的是上為增函數(shù)的是 ( ) ( ) A. A.y y=sin =sin x x B.B.y y=-log=-log2 2x x C. C. D. D. 解析解析 y y=sin =sin x x在在 上是增函數(shù)，上是增函數(shù)， y y=sin =sin x x在（在（0 0，1 1）上是增函數(shù)）上是增函數(shù). . xy)21(21 xy,22 A4.4.(2009(2009天津天津) )已知函數(shù)已知函數(shù) 若若f f(2-(2-a a2 2)f f( (a a) )，則實數(shù)，則實數(shù)a a 的取值范圍是（的取值范圍是（ ） A.A.（-,-1-,-1）(

33、2,+) B.(-1,2)(2,+) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-,-2)(1,+) C.(-2,1) D.(-,-2)(1,+) 解析解析 由由f f( (x x) )的圖象的圖象 可知可知f f( (x x) )在在(-,+)(-,+)上是單調(diào)遞增函數(shù)上是單調(diào)遞增函數(shù), ,由由f f(2-(2-a a2 2) f f( (a a) )得得2-2-a a2 2 a a, ,即即a a2 2+ +a a-20,-20,解得解得-2-2a a1. 1,e1,函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )的單調(diào)減區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為 23,(),2323, 1()4 ,23425)23(2x),

34、4 ,23).4 ,23D二、填空題二、填空題7.7.若函數(shù)若函數(shù)f f( (x x)=()=(m m-1)-1)x x2 2+ +mxmx+3 (+3 (x xR R) )是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)，則 f f( (x x) )的單調(diào)減區(qū)間是的單調(diào)減區(qū)間是_._. 解析解析 f f（x x）是偶函數(shù)，）是偶函數(shù)，f f（- -x x）= =f f（x x），）， (m m-1)-1)x x2 2- -mxmx+3=(+3=(m m-1)-1)x x2 2+ +mxmx+3+3， m m=0.=0.這時這時f f( (x x)=-)=-x x2 2+3+3， 單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為00，+). +

35、). 0,+)0,+)8.8.若函數(shù)若函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間( (m m，2 2m m+1)+1)上是單調(diào)遞上是單調(diào)遞 增函數(shù)，則增函數(shù)，則m m_._. 解析解析 令令f f(x x)0,)0,得得-1-1x x1, +1m m,m m-1.-1. 綜上，綜上，-1-1m m0. 0. 142 xxxf)(,) 1()1 (4)( 222xxxf.,011121 mmm(-1,0(-1,09.9.已知定義域為已知定義域為D D 的函數(shù)的函數(shù)f f( (x x) )，對任意，對任意x xD D, ,存在正存在正 數(shù)數(shù)K K，都有，都有| |f f( (x x)|)|K K成立，則稱函數(shù)成立，則稱函

36、數(shù)f f( (x x) )是是D D上的上的 “ “有界函數(shù)有界函數(shù)”. .已知下列函數(shù)已知下列函數(shù): :f f( (x x)=2sin )=2sin x x; ; f f( (x x)= )= f f( (x x)=1-2)=1-2x x; ; 其中其中 是是“有界函數(shù)有界函數(shù)”的是的是_._.（寫出所有滿足要求（寫出所有滿足要求 的函數(shù)的序號）的函數(shù)的序號） ,1)(2xxxf;12x解析解析 中中| |f f（x x）|=|2sin |=|2sin x x|2,|2,中中| |f f（x x）|1;|1;當(dāng)當(dāng)x x=0=0時，時，f f( (x x)=0)=0，總之，總之，| |f f(

37、 (x x)| )| f f( (x x)1,|)1,|f f（x x）|+,|+,故填故填. . 答案答案 ),0(21|1|11| )(|2xxxxxxf;21三、解答題三、解答題10.10.判斷判斷f f( (x x)= )= 在在(-,0)(0,+)(-,0)(0,+)上的單調(diào)性上的單調(diào)性. . 解解 -11,-11,f f（-1-1）=-1=-1f f(1)=1,(1)=1, f f（x x）在（）在（-，0 0）(0,+)(0,+)上不是減函數(shù)上不是減函數(shù). . -2-1, -2(-2)= f f(-1)=-1,(-1)=-1, f f( (x x) )在（在（-，0 0）（0 0

38、，+）上不是增函數(shù)）上不是增函數(shù). . f f（x x）在（）在（-，0 0）(0,+)(0,+)上不具有單調(diào)性上不具有單調(diào)性. . x12111.11.已知已知 （1 1）若）若a a=-2,=-2,試證試證f f( (x x) )在（在（-,-2-,-2）內(nèi)單調(diào)遞增；）內(nèi)單調(diào)遞增；（2 2）若）若a a00且且f f( (x x) )在（在（1,+1,+）內(nèi)單調(diào)遞減，求）內(nèi)單調(diào)遞減，求a a的取的取 值范圍值范圍. .（1 1）證明證明 任設(shè)任設(shè)x x1 1 x x2 2-2,0,+2)0,x x1 1- -x x2 20,0, f f( (x x1 1)f f( (x x2 2),),

39、f f( (x x) )在在(-,-2)(-,-2)內(nèi)單調(diào)遞增內(nèi)單調(diào)遞增. . ).()(axaxxxf.)2)(2()(22221212211xxxxxxxx（2 2）解解 任設(shè)任設(shè)11x x1 1 0,0,x x2 2- -x x1 10,0,要使要使f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)0,)0,只需只需( (x x1 1- -a a)()(x x2 2- -a a)0)0恒成立，恒成立，a a1.1.綜上所述知綜上所述知000+30及及 得得x x0, 0, 由由f f(6)=1(6)=1及及 得得f f x x( (x x+3)2+3)2f f(6),(6),即即f f x x( (x x+3)-+3)-f f(6)(6)f f(6),(6),亦即亦即 因為因為f f( (x x) )在在(0,+)(0,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,所以所以 解得解得 綜上所述，不等式的解集是綜上所述，不等式的解集是, 01x).6(6)3(fxxf. 2)1()3(xfxf, 66)3(xx.2173321733x.217330| xx 返回返回