《高等數(shù)學(xué)：第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與極值》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)：第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與極值（37頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、1第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與極值一、函數(shù)單調(diào)性的判定法二、函數(shù)的極值三、函數(shù)的最值四、小結(jié)、思考題、作業(yè)2一、函數(shù)單調(diào)性的判定法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf1.( ) , ( , ).(1)( , )( )0,( ) , (2)( , )( )0( ) , .yf xa ba ba bfxyf xa ba bfxyf xa b 定定理理設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在上上連連續(xù)續(xù)，在在內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)若若在在內(nèi)內(nèi)則則函函數(shù)數(shù)在在上上單單調(diào)調(diào)增增加加；若若在在內(nèi)內(nèi), ,則則函函數(shù)數(shù)在在上上單單調(diào)調(diào)減減少少abBA3證證),(,21baxx ,21xx 且且由拉格朗日定理由拉格朗日

2、定理)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在baxfy , 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在baxfy 4sin0,2 (0,2 )(0,2 )yxx 函函數(shù)數(shù)在在上上連連續(xù)續(xù)，在在內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo), ,且且在在內(nèi)內(nèi)，例例1 1sin0,2 .yxx 討討論論函函數(shù)數(shù)在在上上的的單單調(diào)調(diào)性性解解1cos0,yxsin0,2 .yxx 所所以以， 函函數(shù)數(shù)在在上上單單調(diào)調(diào)增增加加5例

3、例2 2解解.1的單調(diào)性的單調(diào)性討論函數(shù)討論函數(shù) xeyx. 1 xey,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y0 函函數(shù)數(shù)在在( ( ，單單調(diào)調(diào)減減少少；,), 0(內(nèi)內(nèi)在在, 0 y0,).函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)在在增增加加).,(: D又又0 x 注注：是是單單調(diào)調(diào)增增加加區(qū)區(qū)間間單單調(diào)調(diào)減減少少區(qū)區(qū)間間的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)，此此處處導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)等等于于零零. .60 x 注注：是是單單調(diào)調(diào)增增加加與與單單調(diào)調(diào)減減少少的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)，此此處處導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在. .例例3 332.yx 討討論論函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)性性解解(,). 函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域?yàn)闉?2(0),3yxx0 x 時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù)的的

4、導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在. .,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y0 函函數(shù)數(shù)在在( ( ，單單調(diào)調(diào)減減少少；,), 0(內(nèi)內(nèi)在在, 0 y0,).函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)在在增增加加xoy32xy 7問題問題: :如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)定義定義: :若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)的分界點(diǎn)方法方法: :.,)()(0)(數(shù)的符號(hào)數(shù)的

5、符號(hào)然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)的定義區(qū)間的定義區(qū)間來劃分函數(shù)來劃分函數(shù)不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn)的根及的根及用方程用方程xfxfxf 8例例4 4解解.31292)(23的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù) xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)( xf. 2, 121 xx單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為，1 ,(，2 , 1)., 2x(,1)(2,)(1,2)12)(xf )(xf 00單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為9例例5 5證證.)1ln(,0成立成立試證試證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx ),1ln()(xxxf 設(shè)設(shè).1)(xxxf 則則, 0)(

6、), 0(,), 0)( xfxf可導(dǎo)，可導(dǎo)，且且上連續(xù)上連續(xù)在在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 , 0)0( f時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即利用單調(diào)性證明不等式利用單調(diào)性證明不等式歸納總結(jié)：已學(xué)過的證明不等式的方法歸納總結(jié)：已學(xué)過的證明不等式的方法10二、函數(shù)極值及其求法oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x11 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值,使函數(shù)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn).1、函數(shù)極值的定義0()( )f xf x就就稱稱是是函函數(shù)數(shù)的的一一個(gè)個(gè)極極大大值值00

7、00( )()(),( )(),of xxU xxU xf xf x 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在 的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，如如果果對(duì)對(duì)于于有有 極極小小值值12注注： 1.函函數(shù)數(shù)極極值值只只是是局局部部概概念念; ;002.Fermat,()0,xfx 由由定定理理 函函數(shù)數(shù)在在處處可可導(dǎo)導(dǎo) 且且取取得得極極值值則則即即定理定理1 1( (必要條件必要條件) )注意注意:( ),.f x可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)但但 x13(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 x

8、xx, , 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值. .(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. .(3)(3)如果當(dāng)如果當(dāng)),(00 xxx 及及),(00 xxx時(shí)時(shí), , )(xf符號(hào)相同符號(hào)相同, ,則則)(xf在在0 x處無極值處無極值. .定理定理2(2(第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x (是極值點(diǎn)情形是極值點(diǎn)情形)2、極值的求法14求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)(2)( )0;fx 求求駐駐

9、點(diǎn)點(diǎn)( (即即方方程程的的根根) )和和不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)(3)( ),;fx根據(jù)在駐/不可導(dǎo)點(diǎn)附近符號(hào)變化情況 判斷極值點(diǎn).)4(求極值求極值xyoxyo0 x0 x (不是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形)15例例7 7解解23( )(4) (1).f xxx求求出出函函數(shù)數(shù)的的極極值值35(1)( ),1,( )31xf xRxfxx 在在 上上連連續(xù)續(xù) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，令令0)( xf1;x 得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)列表討論列表討論x)1,( (1,)( 1,1) 1 1)(xf )(xf /0極大值極大值極小值極小值3(1)3 4.f ( 1)0f 1.x 是是不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)16定理定理3(3(第二充分條件第

10、二充分條件) )證證)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 異號(hào)，異號(hào)，與與故故xxfxxf )()(00時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 利用第一充分條件利用第一充分條件17證法二：利用泰勒公式證法二：利用泰勒公式, , 思路如下：思路如下：22000000()( )()()()()() )2fxf xf xfxxxxxo xx 2200001()+()()() )2f xfxxxo xx 00020( )()1lim()()2xxf xf xfxxx 20()0 xx注注意意到到，由由極極限限

11、的的保保號(hào)號(hào)性性可可知知：001( )()()2f xf xfx 的的符符號(hào)號(hào)與與保保持持一一致致，結(jié)結(jié)論論可可證證. .18推廣：推廣：(1)( )000()0 (1, 2,1),()0,knfxknfxx 如如果果是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)嗎嗎？見課本見課本 P155 P155 例例10.10.19例例8 8解解23( )(1)1.f xx求求函函數(shù)數(shù)的的極極值值2222( )3(1)26 (1) .fxxxx x ，令令0)( xf1231,0,1.xxx 得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)22( )6(1)(51).fxxx (0)f 60,(0)f故故取取極極小小值值0; ( 1)f 0, 故故只只能能用用第第一一

12、判判別別法法判判斷斷極極值值. .注意注意: :00()0,( ),.fxf xx 時(shí)時(shí)在在點(diǎn)點(diǎn)處處不不一一定定取取極極值值仍仍用用第第一一判判別別法法20 x)1,( (1,)( 1,1) 1 1)(xf )(xf22( )6 (1)fxx x (0,1)( 1, )0 0 000非極值非極值非極值非極值極小值極小值21例例3 3解解.)2(1)(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfx 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x; 0)( xf時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x. 0)( xf.)(1)2(的極大值的極大值為為xff .)(在該點(diǎn)連續(xù)在該點(diǎn)連續(xù)

13、但函數(shù)但函數(shù)xf2xyo1注意注意: :函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).22三、最大值與最小值( ) , ( ) , .( )f xa bf xa bf x若若函函數(shù)數(shù)在在上上連連續(xù)續(xù)，則則在在上上的的最最值值存存在在此此外外，設(shè)設(shè)至至多多只只有有有有限限個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn)和和不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn). .求最值步驟求最值步驟: :1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐求區(qū)間端點(diǎn)及駐/不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小比較大小, 最大（?。┱呒礊樽畲螅ㄐ。┲底畲螅ㄐ。┱呒礊樽畲螅ㄐ。┲?231. 如果函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上單調(diào)，則端點(diǎn)函數(shù)值就如果

14、函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上單調(diào)，則端點(diǎn)函數(shù)值就是最值是最值.2.2.如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn), 則這個(gè)極值點(diǎn)就是最則這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)值點(diǎn).3. 在實(shí)際問題中，若根據(jù)問題的性質(zhì)可知函數(shù)在定在實(shí)際問題中，若根據(jù)問題的性質(zhì)可知函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)部必有最值，此時(shí)，如果函數(shù)在定義區(qū)間義區(qū)間內(nèi)部必有最值，此時(shí)，如果函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)有唯一駐點(diǎn)，則不必討論此點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，就內(nèi)有唯一駐點(diǎn)，則不必討論此點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，就可以可以斷定斷定它一定為最值點(diǎn)它一定為最值點(diǎn).幾種特殊情形：oxyoxyabab24應(yīng)用舉例例例9 9解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值與最

15、小值上的最大值與最小值的在的在求函數(shù)求函數(shù) xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx計(jì)算計(jì)算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7，最大值最大值142)4( f;142比較得比較得. 7)1( f最小值最小值 )4(f25點(diǎn)擊圖片任意處播放點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停暫停敵人乘汽車從河的北岸敵人乘汽車從河的北岸A處以處以1公里公里/分的分的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車從河的南速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車從河的南岸岸B處向正東追擊，處向正東追擊，速度為速度為2公里公里/分分問我軍摩托車何問我軍摩托車何時(shí)射擊最好（相時(shí)射擊最好（相距最近射擊最好）？距最近射擊最好）？例例

16、5 526解解公里公里5 . 0(1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系建立敵我相距函數(shù)關(guān)系).(分分追擊至射擊的時(shí)間追擊至射擊的時(shí)間處發(fā)起處發(fā)起為我軍從為我軍從設(shè)設(shè)Bt敵我相距函數(shù)敵我相距函數(shù)22)24()5 . 0()(ttts 公公里里4B A )(ts)(ts.)()2(的最小值點(diǎn)的最小值點(diǎn)求求tss )(ts.)24()5 . 0(5 . 7522ttt , 0)( ts令令得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn). 5 . 1 t.5 . 1分鐘射擊最好分鐘射擊最好處發(fā)起追擊后處發(fā)起追擊后故得我軍從故得我軍從B27實(shí)際問題求最值應(yīng)注意實(shí)際問題求最值應(yīng)注意: :(1)建立目標(biāo)函數(shù)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值求最值;或最

17、?。┲祷蜃钚。┲岛瘮?shù)值即為所求的最（函數(shù)值即為所求的最（點(diǎn)，則該點(diǎn)的點(diǎn)，則該點(diǎn)的若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐28例例1010某房地產(chǎn)公司有某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月為每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去當(dāng)租元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去當(dāng)租金每月增加金每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)元的整修維護(hù)費(fèi)試問房租定為多少可獲得最大收入？費(fèi)試問房租定為多少可獲得最大收入？解解 設(shè)房租為每月設(shè)房租為每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 101805

18、0 x每月總收入為每月總收入為)(xR)20( x 1018050 x29 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)( xR350 x（唯一駐點(diǎn)）（唯一駐點(diǎn)）故每月每套租金為故每月每套租金為350元時(shí)收入最高。元時(shí)收入最高。最大收入為最大收入為 1035068)20350()(xR)(10890 元元 30形面積最大形面積最大所圍成的三角所圍成的三角及及線線處的切線與直處的切線與直使曲線在該點(diǎn)使曲線在該點(diǎn)上求一點(diǎn)，上求一點(diǎn)，曲邊曲邊成一個(gè)曲邊三角形，在成一個(gè)曲邊三角形，在圍圍及拋物線及拋物線，由直線由直線808022 xyxyxyxy點(diǎn)擊圖片任意處播放點(diǎn)

19、擊圖片任意處播放暫停暫停例例111131解解如圖如圖,2( ,),P t t設(shè)設(shè)切切點(diǎn)點(diǎn)為為為為則切線則切線PT22 (),ytt xt 1(, 0),2At2(8, 16),Btt ),0, 8(CTxyoPABC211(8)(16)22ABCSttt (08)t 21(36416 16)0,4Stt 令令16,16().3tt舍舍去去163t 該該問問題題一一定定存存在在最最大大值值，而而是是區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn)，164096().327S 故故為為所所有有三三角角形形中中面面積積的的最最大大者者練習(xí)：課本練習(xí)：課本 P158 P158 例例15.15.32例例11011,(1)1

20、.2pppxpxx 當(dāng)當(dāng)，時(shí)時(shí) 證證明明：利用最值證明不等式利用最值證明不等式繼續(xù)歸納總結(jié)：已學(xué)過的證明不等式的方法繼續(xù)歸納總結(jié)：已學(xué)過的證明不等式的方法課本課本 P160 P160 習(xí)題習(xí)題3-4 3-4 ：9 9（3 3）. .( )(1) , 01ppf xxxx1max11( )0,1,( )0,22(1/2)1/2(0)(1)1.pf xxfffff 在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)只只有有唯唯一一一一個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn)且且故故是是極極小小值值，同同時(shí)時(shí)也也是是最最小小值值；而而簡(jiǎn)證：簡(jiǎn)證：33思考題思考題有有對(duì)任意的自然數(shù)對(duì)任意的自然數(shù)試證明試證明設(shè)設(shè),0nmax .)()(nmnmnmnmanmnmx

21、ax 常數(shù)常數(shù)34四、小結(jié)四、小結(jié)單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應(yīng)用重要應(yīng)用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立結(jié)論仍然成立.應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式.35四、小結(jié)極值是函數(shù)的局部性概念極值是函數(shù)的局部性概念: :極大值可能小于極小極大值可能小于極小值值,極小值可能大于極大值極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn)臨界點(diǎn). .函數(shù)的極值必在函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)臨界點(diǎn)取得取得.判別法判別法第一充分條件第一充分條件;第二充分條件第二充分條件;(注意使用條件注意使用條件)36最值與極值的區(qū)別最值與極值的區(qū)別:最值是整體概念而極值是局部概念最值是整體概念而極值是局部概念.實(shí)際問題求最值的步驟實(shí)際問題求最值的步驟:37本次課作業(yè)：本次課作業(yè)：A.作業(yè)作業(yè)17 B. 課后練習(xí)：課本習(xí)題課后練習(xí)：課本習(xí)題3-4(P.159-160)1；2（2，4）；）；3； 5（6）；）；6；7；C. 思考題：思考題：4；9（3）；）；12