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1、 小題小做　巧妙選擇 一、直接法 直接從題目條件出發(fā)，運用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識，通過嚴密的推理和準(zhǔn)確的運算，得出正確的結(jié)論．涉及概念、性質(zhì)的辨析或運算較簡單的題目常用直接法． 【例1】　(2017·全國卷Ⅱ)若雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則C的離心率為(　　) A．2　　　　　　　 　B． C． D． 【答案】A 【解析】依題意，雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為bx－ay＝0.因為直線bx－ay＝0被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，所以＝，所以3a2＋3b2＝4

2、b2，所以3a2＝b2，所以e＝＝＝2. 【對點訓(xùn)練】 1．(2016·全國卷Ⅲ)設(shè)集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，則S∩T＝(　　) A．[2,3]　　　　　　 　B．(－∞，2]∪[3，＋∞) C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞) 【答案】D 【解析】由題意知S＝{x|x≤2或x≥3}， 則S∩T＝{x|0

3、，K＝1，K≤6成立； S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，K＝2，K≤6成立； S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，K＝3，K≤6成立； S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，K＝4，K≤6成立； S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5，K≤6成立； S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，K＝6，K≤6成立； S＝－3＋1×6＝3，a＝－1，K＝7，K≤6不成立，輸出S＝3. 二、數(shù)形結(jié)合法 根據(jù)題目條件作出所研究問題的有關(guān)圖形，借助幾何圖形的直觀性作出正確的判斷． 【例2】　(2013·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，0]

4、 B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0] 【答案】D 【解析】當(dāng)x≤0時，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax化簡為x2－2x≥ax，即x2≥(a＋2)x，因為x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；當(dāng)x＞0時，f(x)＝ln(x＋1)＞0，所以|f(x)|≥ax化簡為ln(x＋1)＞ax恒成立，由函數(shù)圖象可知a≤0，綜上，當(dāng)－2≤a≤0時，不等式|f(x)|≥ax恒成立，選擇D. 【對點訓(xùn)練】 1．(2016·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：－＝1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的

5、離心率為(　　) A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】作出示意圖，如圖，離心率e＝＝＝，由正弦定理得e＝＝＝＝.故選A． 2．(2014·全國卷Ⅱ)設(shè)x，y滿足約束條件，則z＝2x－y的最大值為(　　) A．10 B．8 C．3 D．2 【答案】B 【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直線y＝2x，平移使之經(jīng)過可行域，觀察可知，當(dāng)直線經(jīng)過點B(5,2)時，對應(yīng)的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8. 三、驗證法 將選項或特殊值，代入題干逐一去驗證是否滿足題目條件，然后選擇符合題目條件的選項的一種方法．在運用驗證

6、法解題時，若能根據(jù)題意確定代入順序，則能提高解題速度． 【例3】　(2016·全國卷Ⅰ)若a>b>1,0b>1,0， ∴選項A不正確． 對于B,4×2＝4，2×4＝4,4>4， ∴選項B不正確． 對于C,4×log2＝－4,2×log4＝－1，－4<－1， ∴選項C正確． 對于D，lo

7、g4＝－，log2＝－1，－>－1， ∴選項D不正確． 故選C． 法二：(直接法)根據(jù)待比較式的特征構(gòu)造函數(shù)，直接利用函數(shù)單調(diào)性及不等式的性質(zhì)進行比較． ∵y＝xα，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函數(shù)， ∴當(dāng)a>b>1,0bc，選項A不正確． ∵y＝xα，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是減函數(shù)， ∴當(dāng)a>b>1,0bac，選項B不正確． ∵a>b>1，∴l(xiāng)g a>lg b>0，∴alg a>blg b>0， ∴>.又∵0

8、項C正確． 同理可證logac>logbc，選項D不正確． 【對點訓(xùn)練】 (2016·全國卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是(　　) A．[－1,1] B． C． D． 【答案】C 【解析】法一：(特殊值驗證法)取a＝－1，則f(x)＝x－sin 2x－sin x，f′(x)＝1－cos 2x－cos x，但f′(0)＝1－－1＝－＜0，不具備在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增的條件，故排除A、B、D.故選C． 法二：(直接法)函數(shù)f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增，等價于f′(x)＝1－cos

9、 2x＋acos x＝－cos2x＋acos x＋≥0在(－∞，＋∞)恒成立．設(shè)cos x＝t，則g(t)＝－t2＋at＋≥0在[－1,1]恒成立，所以解得－≤a≤.故選C． 四、排除法 排除法也叫篩選法或淘汰法，使用排除法的前提是答案唯一，具體的做法是從條件出發(fā)，運用定理、性質(zhì)、公式推演，根據(jù)“四選一”的指令，對各個備選答案進行“篩選”，將其中與題干相矛盾的干擾項逐一排除，從而獲得正確結(jié)論． 【例4】　(2017·全國卷Ⅰ)函數(shù)y＝的部分圖象大致為(　　) 【答案】C 【解析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)圖象，利用排除法求解．令函數(shù)f(x)＝，其定義域為{x|x≠2kπ，k∈Z}，又

10、f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)＝為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故排除B；因為f(1)＝＞0，f(π)＝＝0，故排除A、D，選C． 【對點訓(xùn)練】 1．(2016·全國卷Ⅰ)函數(shù)y＝2x2－e|x|在[－2,2]的圖象大致為(　　) 【答案】D 【解析】∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函數(shù)， 又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B. 設(shè)g(x)＝2x2－ex，則g′(x)＝4x－ex. 又g′(0)<0，g′(2)>0， ∴g(x)在(0,2)內(nèi)至少存在一個極值點， ∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)內(nèi)至少存在一個極值點，排除C．故選

11、D. 2．(2015·全國卷Ⅱ)如圖，長方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP＝x.將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)的圖象大致為(　　) 【答案】B 【解析】當(dāng)x∈時，f(x)＝tan x＋，圖象不會是直線段，從而排除A、C． 當(dāng)x∈時，f＝f＝1＋，f＝2.∵2<1＋，∴f

12、，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) A．17π B．18π C．20π D．28π 【答案】 A 【解析】由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖．設(shè)球的半徑為R，則πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面積為×4πR2＋πR2＝17π.故選A． 【對點訓(xùn)練】 (2015·全國卷Ⅱ)一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如下圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知三視圖

13、知該幾何體是由一個正方體截去了一個“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個三棱錐．設(shè)正方體的棱長為1，則三棱錐的體積為V1＝××1×1×1＝，剩余部分的體積V2＝13－＝.所以＝＝，故選D. 六、極端值法 選擇運動變化中的極端值，往往是動靜轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵點，可以起到降低解題難度的作用，因此是一種較高層次的思維方法． 從有限到無限，從近似到精確，從量變到質(zhì)變，運用極端值法解決某些問題，可以避開抽象、復(fù)雜的運算，降低難度，優(yōu)化解題過程． 【例6】　(2016·全國卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(

14、　　) A．4π B． C．6π D． 【答案】B 【解析】由題意得，要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切．設(shè)球的半徑為R，∵△ABC的內(nèi)切圓半徑為＝2，∴R≤2.又2R≤3，∴R≤，∴Vmax＝×π×3＝.故選B. 【對點訓(xùn)練】 如圖，在棱柱的側(cè)棱A1A和B1B上各有一動點P，Q滿足A1P＝BQ，過P，Q，C三點的截面把棱柱分成兩部分，則其體積之比為(　　) A．3∶1 B．2∶1 C．4∶1 D．∶1 【答案】B 【解析】將P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此時仍滿足條件A1P＝BQ(＝0)，則有.故過P，Q，C三點的截面把棱柱分成的兩部分

15、體積之比為2∶1(或1∶2)． 七、估值法 由于選擇題提供了唯一正確的選擇項，解答又無需過程，因此可通過猜測、合情推理、估算而獲得答案，這樣往往可以減少運算量，避免“小題大做”． 【例7】　(2017·全國卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　) A．90π B．63π C．42π D．36π 【答案】B 【解析】由題意，知V圓柱＜V幾何體＜V圓柱． 又V圓柱＝π×32×10＝90π， ∴45π＜V幾何體＜90π. 觀察選項可知只有63π符合．故選B. 【對點訓(xùn)練】 若雙曲線－＝1的一條漸近線經(jīng)過點(3，－4)，則此雙曲線的離心率為(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因為雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(3，－4)，所以＝. 因為e＝>，所以e>. 故選D. 10