《備戰(zhàn)版高考數(shù)學(xué)考試萬(wàn)能工具包 第二篇 考前必看解題技巧 專題. 破解類解答題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《備戰(zhàn)版高考數(shù)學(xué)考試萬(wàn)能工具包 第二篇 考前必看解題技巧 專題. 破解類解答題（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 專題03 破解6類解答題 一、三角函數(shù)問(wèn)題重在“變”——變角、變式與變名 　　三角函數(shù)類解答題是高考的熱點(diǎn),其起點(diǎn)低、位置前,但由于其公式多,性質(zhì)繁,使不少同學(xué)對(duì)其有種畏懼感.突破此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于“變”——變角、變式與變名. (1)變角:已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換以及三角形內(nèi)角和定理的變換運(yùn)用.如 α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α). (2)變式:根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形,使其更貼近某個(gè)公式,方法通常有:“常值代換”“逆用、變形用公式”“通分約分”“分解與組合”

2、“配方與平方”等. (3)變名:通過(guò)變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的,方法通常有“切化弦”“升次與降次”等. 例1　在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=. (1)求b和sin A的值; (2)求sin的值. 所以sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sin2A=-.(變名) 故sin=sin 2Acos+cos 2Asin=.(變角) 變式:利用恒等變換變?yōu)閟in A=. 變名:利用二倍角公式實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)名稱的變化. 變角:把2A+的三角函數(shù)表示為2A和的三角函數(shù). ▲破解策略　求解此

3、類題目的策略: 既要注重三角知識(shí)的基礎(chǔ)性,又要注重三角知識(shí)的應(yīng)用性,突出與代數(shù)、幾何、向量等知識(shí)的綜合聯(lián)系.“明確思維起點(diǎn),把握變換方向,抓住內(nèi)在聯(lián)系,合理選擇公式”是三角變換的基本要決.在解題時(shí),要緊緊抓住“變”這一核心,靈活運(yùn)用公式與性質(zhì),仔細(xì)審題,快速運(yùn)算. 　【變式訓(xùn)練】【2018四川省廣元市一模】設(shè)函數(shù) . （1）求的最大值，并寫出使取最大值時(shí)的集合； （2）已知中，角的對(duì)邊分別為，若， ，求的最小值. 二、數(shù)列問(wèn)題重在“歸”——化歸、歸納 　　等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩個(gè)基本數(shù)列,是一切數(shù)列問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)與歸宿.首項(xiàng)與公差(比)稱為等差數(shù)列(等比數(shù)列)的基本量.只要涉及這兩個(gè)

4、數(shù)列的數(shù)學(xué)問(wèn)題,我們總希望把條件化歸為等差或等比數(shù)列的基本量間的關(guān)系,從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.這種化歸為基本量處理的方法是等差或等比數(shù)列特有的方法,對(duì)于不是等差或等比的數(shù)列,可從簡(jiǎn)單的個(gè)別的情形出發(fā),從中歸納出一般的規(guī)律、性質(zhì),這種歸納思想便形成了解決一般性數(shù)列問(wèn)題的重要方法:觀察、歸納、猜想、證明.由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù),也可根據(jù)題目的特點(diǎn),將數(shù)列問(wèn)題化歸為函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決. 　例2　(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,17,12分)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 從而{an}的通項(xiàng)公式為an=(n∈

5、N*). (2)記的前n項(xiàng)和為Sn. 由(1)知==-.(化歸) 則Sn=-+-+…+-=. 歸納:通過(guò)條件歸納出a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1)(n≥2),進(jìn)而得出{an}的通項(xiàng)公式. 化歸:把數(shù)列的通項(xiàng)分拆,利用裂項(xiàng)相消法求和. ▲破解策略　“算一算、猜一猜、證一證”是數(shù)列中特有的歸納思想,利用這種思想可探索一些一般數(shù)列的簡(jiǎn)單性質(zhì).等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列中的兩個(gè)特殊的基本數(shù)列,高考中通常考查的是非等差、等比數(shù)列問(wèn)題,應(yīng)對(duì)的策略就是通過(guò)化歸思想,將其轉(zhuǎn)化為這兩種數(shù)列. 　【變式訓(xùn)練】【2018江西省師范大學(xué)附屬中學(xué)、九江第一中學(xué)聯(lián)考】已知正項(xiàng)數(shù)列滿足: ?

6、 (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)求的值. 三、立體幾何問(wèn)題重在“建”——建模、建系 　　立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計(jì)算相結(jié)合,以某個(gè)幾何體為依托,分步設(shè)問(wèn),逐層加深,解決這類題目的原則是建模、建系.建?！獙?wèn)題轉(zhuǎn)化為平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距離等的計(jì)算模型;建系——依托于題中的垂直條件,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解. 例3　(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,19,12分)如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD. (1)證明:平面ACD⊥平面ABC; (2)過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AE

7、C把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D-AE-C的余弦值. 　　 所以平面ACD⊥平面ABC. (2)由題設(shè)及(1)知,OA,OB,OD兩兩垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,||為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.(建系) 則A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),D(0,0,1). 由題設(shè)知,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的,從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距 同理可取m=(0,-1,),則cos==. 易知二面角D-AE-C為銳二面角, 所以二面角D-AE-C的余弦值為. 建模:構(gòu)

8、建二面角的平面角模型. 建系:以兩兩垂直的直線為坐標(biāo)軸. ▲破解策略　立體幾何的內(nèi)容在高考中的考查情況總體上比較穩(wěn)定,因此,復(fù)習(xí)備考時(shí)往往有“綱”可循,有“題”可依.在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,要加強(qiáng)“一題兩法(幾何法與向量法)”的訓(xùn)練,切勿顧此失彼;要重視識(shí)圖訓(xùn)練,能正確確定關(guān)鍵點(diǎn)或線的位置,將局部空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題;能依托于題中的垂直條件,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,將幾何問(wèn)題化歸為代數(shù)問(wèn)題. 　【變式訓(xùn)練】【湖南省株洲市2018屆高三教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測(cè)】如圖,在幾何體中，四邊形為矩形，四邊形為梯形, ,平面與平面垂直，且. （1）求證： 平面； （2）若,且平面與平面所成銳二面角的余弦

9、值為,求的長(zhǎng). 四、概率問(wèn)題重在“辨”——辨析、辨型 　　概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的求解關(guān)鍵是辨別它的概率模型,只要模型一找到,問(wèn)題便迎刃而解.而概率與統(tǒng)計(jì)模型的提取往往需要經(jīng)過(guò)觀察、分析、歸納、判斷等復(fù)雜的辨析思維過(guò)程,同時(shí),還需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、對(duì)立事件等事件間的關(guān)系,注意放回和不放回試驗(yàn)的區(qū)別,合理劃分復(fù)雜事件. 例4　(2016課標(biāo)Ⅱ,18,12分)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下: 上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保　費(fèi) 0.85a a 1.25a 1

10、.5a 1.75a 2a 設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下: 一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概　率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 　　(1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率; (2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率; (3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值. 解析　(1)設(shè)A表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”,則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1,(辨析1) 故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(辨型1)

11、(2)設(shè)B表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”,則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3,(辨析2) 故P(B)=0.1+0.05=0.15. 又P(AB)=P(B), 故P(B|A)====.(辨型2) 辨型1:該問(wèn)題為求隨機(jī)事件的概率,利用互斥事件的概率加法公式求解. 辨析2:判斷事件B發(fā)生,在一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)為4或≥5. 辨型2:該問(wèn)題為條件概率,可利用公式求解. ▲破解策略　概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的復(fù)習(xí)應(yīng)抓住基本概念、基本公式,不需要做難題、偏題、怪題.在審題時(shí),一般按以下程序操作:(1)準(zhǔn)確弄清問(wèn)題所涉及的事件有什么特點(diǎn),事件之間有什么關(guān)系,如互斥、對(duì)立、獨(dú)

12、立等;(2)理清事件以什么形式發(fā)生,如同時(shí)發(fā)生、至少有幾個(gè)發(fā)生、至多有幾個(gè)發(fā)生、恰有幾個(gè)發(fā)生等;(3)明確抽取方式,如放回還是不放回、抽取有無(wú)順序等;(4)準(zhǔn)確選擇排列組合的方法來(lái)計(jì)算基本事件發(fā)生數(shù)和事件總數(shù),或根據(jù)概率計(jì)算公式和性質(zhì)來(lái)計(jì)算事件的概率. 　【變式訓(xùn)練】【2018湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)模擬】2017年4月1日，新華通訊社發(fā)布：國(guó)務(wù)院決定設(shè)立河北雄安新區(qū).消息一出，河北省雄縣、容城、安新3縣及周邊部分區(qū)域迅速成為海內(nèi)外高度關(guān)注的焦點(diǎn). （1）為了響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，北京市某高校立即在所屬的8個(gè)學(xué)院的教職員工中作了“是否愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)”的問(wèn)卷調(diào)查，8個(gè)學(xué)院的調(diào)查人數(shù)及統(tǒng)計(jì)數(shù)

13、據(jù)如下： 調(diào)查人數(shù)() 10 20 30 40 50 60 70 80 愿意整體搬遷人數(shù)() 8 17 25 31 39 47 55 66 請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出變量關(guān)于變量的線性回歸方程（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字）；若該校共有教職員工2500人，請(qǐng)預(yù)測(cè)該校愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)的人數(shù)； （2）若該校的8位院長(zhǎng)中有5位院長(zhǎng)愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)，現(xiàn)該校擬在這8位院長(zhǎng)中隨機(jī)選取4位院長(zhǎng)組成考察團(tuán)赴雄安新區(qū)進(jìn)行實(shí)地考察，記為考察團(tuán)中愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)的院長(zhǎng)人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望. 參考公式及數(shù)據(jù)： . 五、解

14、析幾何問(wèn)題重在“設(shè)”——設(shè)點(diǎn)、設(shè)線 　　解析幾何試題知識(shí)點(diǎn)多,運(yùn)算量大,能力要求高,綜合性強(qiáng),在高考試題中大都是以壓軸題的面貌出現(xiàn),是考生“未考先怕”的題型,不是怕解題無(wú)思路,而是怕解題過(guò)程中繁雜的運(yùn)算.因此,在遵循“設(shè)——列——解”程序化解題的基礎(chǔ)上,應(yīng)突出解析幾何“設(shè)”的重要性,以克服平時(shí)重思路方法、輕運(yùn)算技巧的頑疾,突破如何避繁就簡(jiǎn)這一瓶頸. 例5　(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,20,12分)設(shè)A,B為曲線C:y=上兩點(diǎn),A與B的橫坐標(biāo)之和為4. (1)求直線AB的斜率; (2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn),C在M處的切線與直線AB平行,且AM⊥BM,求直線AB的方程. 解析　(1)設(shè)A(x

15、1,y1),B(x2,y2), 則x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,(設(shè)點(diǎn)) 于是直線AB的斜率k===1. (2)由y=,得y'=, 設(shè)M(x3,y3),由題設(shè)知=1, 即4=2(m+1),解得m=7. 所以直線AB的方程為y=x+7. 設(shè)點(diǎn):設(shè)出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo),并得出x1≠x2,x1+x2=4. 設(shè)線:由(1)知直線斜率,再設(shè)直線方程為y=x+m,利用條件可求出m的值. ▲破解策略　解析幾何的試題常要根據(jù)題目特征,恰當(dāng)?shù)卦O(shè)點(diǎn)、設(shè)線,以簡(jiǎn)化運(yùn)算.常見(jiàn)的設(shè)點(diǎn)方法有減元設(shè)點(diǎn)、參數(shù)設(shè)點(diǎn)、直接設(shè)點(diǎn)等,常見(jiàn)的設(shè)線方法有圓方程的標(biāo)準(zhǔn)式與一般式、直線方程有y=kx+b、x=

16、my+n及兩點(diǎn)式、點(diǎn)斜式等形式、還有曲線系方程、參數(shù)方程等. 　【變式訓(xùn)練】【2018黑龍江省大慶市一?！恳阎獧E圓 ，其焦距為2，離心率為 （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為， 為軸上一點(diǎn)，滿足，過(guò)點(diǎn)作斜率不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求面積的最大值. 六、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題重在“分”——分離、分解 　　以函數(shù)為載體,以導(dǎo)數(shù)為工具的綜合問(wèn)題是高考?？嫉膲狠S大題,多涉及含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值的探索與討論,復(fù)雜函數(shù)的零點(diǎn)的討論,不等式中參數(shù)范圍的討論,恒成立和能成立問(wèn)題的討論等,是近幾年高考試題的命題熱點(diǎn).對(duì)于此類綜合試題,一般先求導(dǎo),再變形或分解出基本函數(shù),再根據(jù)題意處理.

17、 例6　(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,21,12分)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xln x,且f(x)≥0. (1)求a; (2)證明: f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0,且e-2< f(x0)<2-2. 當(dāng)01時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增. 所以x=1是g(x)的極小值點(diǎn),故g(x)≥g(1)=0. 綜上,a=1. (2)由(1)知f(x)=x2-x-xln x, f '(x)=2x-2-ln x. 設(shè)h(x)=2x-2-ln x,(分解) 則h'(x)=2-. 當(dāng)x∈時(shí),h'(x)<0; 當(dāng)x∈時(shí),h'

18、(x)>0, 所以h(x)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增. 分離:把函數(shù)f(x)分離為x與g(x)的積. 分解:構(gòu)造h(x)=2x-2-ln x. 　　▲破解策略　函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題計(jì)算復(fù)雜、綜合性強(qiáng)、難度大.可以參變量分離,把復(fù)雜函數(shù)分離為基本函數(shù);可把題目分解成幾個(gè)小題;也可把解題步驟分解為幾個(gè)小步,注重分步解答,這樣,即使解答不完整,也要做到盡可能多拿步驟分. 【變式訓(xùn)練】　已知函數(shù) （1）若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）在（1）中， 取最小值時(shí)，設(shè)函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）證明不等式： （且）. 答案精解精析 一、三角函數(shù)問(wèn)題重

19、在“變”——變角、變式與變名 　【變式訓(xùn)練】【解析】（1）由題意得 ， ∵， ∴， ∴的最大值為2．此時(shí)，即， ∴， ∴ 在中， ， ， 由余弦定理得 又， ∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， ∴的最小值為. 二、數(shù)列問(wèn)題重在“歸”——化歸、歸納 　【變式訓(xùn)練】【解析】 (1) =, ?=, ,所以, 又===. (2) ====, 所以原式= == . 三、立體幾何問(wèn)題重在“建”——建模、建系 　【變式訓(xùn)練】【解析】（1)證明：因?yàn)槠矫媾c平面垂直 故平面 （2）由（1）知， 垂直， 垂直，又垂直， 平行，所以垂直，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，

20、 分別為軸建立空間坐標(biāo)系 又，所以， 設(shè) 則 因?yàn)槠矫媾c平面所成銳二面角的余弦值為，則， 即，解得，即 四、概率問(wèn)題重在“辨”——辨析、辨型 　【變式訓(xùn)練】【解析】 （1）由已知有 ， ,故變量 關(guān)于變量 的線性回歸方程為，所以當(dāng) 時(shí)， . （2）由題意可知的可能取值有1，2,3,4. ， . 所以 的分布列為 1 2 3 4 五、解析幾何問(wèn)題重在“設(shè)”——設(shè)點(diǎn)、設(shè)線 　【變式訓(xùn)練】【解析】 (1)因?yàn)闄E圓焦距為2，即，所以,，所以，從而，所以橢圓的方程為. ， 令， ，則，當(dāng)時(shí)， 取得最大值，此時(shí)， ， 取得最大值. 六、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題重在“分”——分離、分解 　　【變式訓(xùn)練】　【解析】 (2)由(1)可知， ，當(dāng)時(shí)， ， ， 在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 整理方程得， ，令， ， 令， ， 則， ，于是， 在上單調(diào)遞增. 因?yàn)?，?dāng)時(shí)， ，從而， 單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)， ，從而， 單調(diào)遞增， ， ， ， 因?yàn)?，所以?shí)數(shù)的取值范圍是. (3)由(1)可知，當(dāng)時(shí)，有， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 18