《2018年秋九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第二十七章 相似練習(xí) （新版）新人教版》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2018年秋九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第二十七章 相似練習(xí) （新版）新人教版（45頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二十七章　相似 27．1　圖形的相似 01　　基礎(chǔ)題 知識(shí)點(diǎn)1　相似圖形 　 形狀相同的圖形叫做相似圖形． 1．下列選項(xiàng)中，哪個(gè)才是相似圖形的本質(zhì)屬性(C) A．大小不同 B．大小相同 C．形狀相同 D．形狀不同 2．下列各組圖形相似的是(B) 知識(shí)點(diǎn)2　比例線(xiàn)段 　 對(duì)于四條線(xiàn)段a，b，c，d，如果其中兩條線(xiàn)段的比(即它們長(zhǎng)度的比)與另兩條線(xiàn)段的比相等，如＝，我們就說(shuō)這四條線(xiàn)段成比例． 3．下列各線(xiàn)段的長(zhǎng)度成比例的是(D) A．2 cm，5 cm，6 cm，8 cm B．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm C．3 cm，6

2、cm，7 cm，9 cm D．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm 4．(常州中考)在比例尺為1∶40 000的地圖上，某條道路的長(zhǎng)為7 cm，則該道路的實(shí)際長(zhǎng)度是2.8km. 知識(shí)點(diǎn)3　相似多邊形 　 兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例． 如：兩個(gè)大小不同的四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1中，若∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1，那么四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1相似． 5．兩個(gè)相似多邊形一組對(duì)應(yīng)邊分別為3 cm，

3、4.5 cm，那么它們的相似比為(A) A. B. C. D. 6．如下的各組多邊形中，相似的是(B) A．(1)(2)(3) B．(2)(3) C．(1)(3) D．(1)(2) 7．在一張復(fù)印出來(lái)的紙上，一個(gè)多邊形的一條邊由原圖中的2 cm變成了6 cm，這次復(fù)印的放縮比例是1∶3． 8．如圖所示是兩個(gè)相似四邊形，求邊x、y的長(zhǎng)和α的大?。? 解：∵兩個(gè)四邊形相似， ∴＝＝，即＝＝. ∴x＝24，y＝28.∵∠B＝∠B′＝73°， ∴α＝360°－∠A－∠D－∠B＝83°. 易錯(cuò)點(diǎn)　沒(méi)有分情況討論導(dǎo)致漏解 9．已知三條

4、線(xiàn)段的長(zhǎng)分別為1 cm、2 cm、 cm，如果另外一條線(xiàn)段與它們是成比例線(xiàn)段，那么另外一條線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)_cm，2__cm或__cm. 02　　中檔題 10．下列說(shuō)法： ①放大(或縮小)的圖片與原圖片是相似圖形； ②比例尺不同的中國(guó)地圖是相似圖形； ③放大鏡下的五角星與原來(lái)的五角星是相似圖形； ④放電影時(shí)膠片上的圖象和它映射到屏幕上的圖象是相似圖形； ⑤平面鏡中，你的形象與你本人是相似的． 其中正確的說(shuō)法有(D) A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 11．如圖，正五邊形FGHMN與正五邊形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，則下列結(jié)論正確的

5、是(B) A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F 12．如圖所示，兩個(gè)等邊三角形，兩個(gè)矩形，兩個(gè)正方形，兩個(gè)菱形各成一組，每組中的一個(gè)圖形在另一個(gè)圖形的內(nèi)部，對(duì)應(yīng)邊平行，且對(duì)應(yīng)邊之間的距離都相等，那么兩個(gè)圖形不相似的一組是(B) 13．如圖所示，它們是兩個(gè)相似的平行四邊形，根據(jù)條件可知，α＝125°，m＝12. 14．如圖，左邊格點(diǎn)圖中有一個(gè)四邊形，請(qǐng)?jiān)谟疫叺母顸c(diǎn)圖中畫(huà)出一個(gè)與該四邊形相似的圖形，要求大小與左邊四邊形不同． 解：如圖所示． 15．為了鋪設(shè)一矩形場(chǎng)地，特意選擇某地磚進(jìn)行密鋪，為了使每一部分都鋪成如圖

6、所示的形狀，且由8塊地磚組成，問(wèn)： (1)每塊地磚的長(zhǎng)與寬分別為多少？ (2)這樣的地磚與所鋪成的矩形地面是否相似？試明你的結(jié)論． 解：(1)設(shè)矩形地磚的長(zhǎng)為a cm，寬為b cm，由題圖可知4b＝60，即b＝15.因?yàn)閍＋b＝60，所以a＝60－b＝45，所以矩形地磚的長(zhǎng)為45 cm，寬為15 cm. (2)不相似．理由：因?yàn)樗伋删匦蔚孛娴拈L(zhǎng)為2a＝2×45＝90(cm)，寬為60 cm，所以＝＝，而＝＝，≠，即所鋪成的矩形地面的長(zhǎng)與寬和地磚的長(zhǎng)與寬不成比例．所以它們不相似． 03　　綜合題 16．(教材9下P28習(xí)題T6變式)如圖：矩形ABCD的長(zhǎng)AB＝30，寬BC＝

7、20. (1)如圖1，若沿矩形ABCD四周有寬為1的環(huán)形區(qū)域，圖中所形成的兩個(gè)矩形ABCD與A′B′C′D′相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由； (2)如圖2，x為多少時(shí)，圖中的兩個(gè)矩形ABCD與A′B′C′D′相似？ 解：(1)不相似， AB＝30，A′B′＝28，BC＝20，B′C′＝18， 而≠， 故矩形ABCD與矩形A′B′C′D′不相似． (2)矩形ABCD與A′B′C′D′相似， 則＝或＝. 則：＝，或＝. 解得x＝1.5或9， 故當(dāng)x＝1.5或9時(shí)，矩形ABCD與A′B′C′D′相似． 27.2　相似三角形 27．2.1　相似三角形的判定 第1課時(shí)　平行線(xiàn)分線(xiàn)段成

8、比例 　　　　　　　　　　　　　　　　 01　　基礎(chǔ)題 知識(shí)點(diǎn)1　相似三角形的定義和相似比 　 如果兩個(gè)三角形的三個(gè)角分別相等，三條邊成比例，我們就說(shuō)這兩個(gè)三角形相似．相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．相似用符號(hào)“∽”表示． 如圖，在△ABC和△A1B1C1中，如果∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，＝＝，那么△ABC∽△A1B1C1. 1．如圖所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(A) A.＝＝ B.＝ C.＝＝ D.＝＝ 2．兩個(gè)三角形相似，且相似比k＝1，則這兩個(gè)三角形全等． 知識(shí)點(diǎn)2　平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例 　 (1

9、)兩條直線(xiàn)被一組平行線(xiàn)所截，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例． 如圖1，直線(xiàn)l1∥l2∥l3，分別交直線(xiàn)m，n于點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，則＝，＝，＝． 　　　　　　　　　圖1　　　　　　　 圖2 (2)平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例． 如圖2，在△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，則＝，＝，＝． 3．(杭州中考)如圖，已知a∥b∥c，直線(xiàn)m分別交直線(xiàn)a，b，c于點(diǎn)A，B，C，直線(xiàn)n分別交直線(xiàn)a，b，c于點(diǎn)D，E，F(xiàn).若＝，則＝(B) A. B. C. D．1 4．(成都中考)如圖，在△ABC中，DE∥BC

10、，AD＝6，DB＝3，AE＝4，則EC的長(zhǎng)為(B) A．1 B．2 C．3 D．4 知識(shí)點(diǎn)3　相似三角形判定的預(yù)備定理 　 平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似． 如圖2，在△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，則△ADE∽△ABC. 5．(貴陽(yáng)中考)如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，BC＝12.則DE的長(zhǎng)是(B) A．3 B．4 C．5 D．6 第5題圖 　　第6題圖 6．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在△ABC的邊AB，AC上，且EF∥BC，點(diǎn)M在邊BC上，AM與EF

11、交于點(diǎn)D，則圖中相似三角形共有(B) A．4對(duì) B．3對(duì) C．2對(duì) D．1對(duì) 02　　中檔題 7．(上海中考)如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于(A) A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5 第7題圖 　　第8題圖 8．如圖，AB∥CD∥EF，則圖中相似三角形有(B) A．4對(duì) B．3對(duì) C．2對(duì) D．1對(duì) 9．(遵義中考)如圖，△ABC中，E是BC中點(diǎn)，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，EF∥AD交AC

12、于點(diǎn)F.若AB＝11，AC＝15，則FC的長(zhǎng)為(C) A．11 B．12 C．13 D．14 10．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，連接DE，線(xiàn)段BE，CD相交于點(diǎn)O，若OD＝2，則OC＝4. 第10題圖 　　　第11題圖 11．(六盤(pán)水中考)如圖，在?ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)E，連接OE交AD于點(diǎn)F，若CD＝5，BC＝8，AE＝2，則AF＝． 12．在△ABC中，AB＝6，AC＝9，點(diǎn)D在邊AB所在的直線(xiàn)上，且AD＝2，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交邊AC所在直線(xiàn)于點(diǎn)E，則CE的長(zhǎng)為6或12． 13．中國(guó)高鐵

13、近年來(lái)用震驚世界的速度不斷發(fā)展，已成為當(dāng)代中國(guó)一張耀眼的“國(guó)家名片”，修建高鐵時(shí)常常要逢山開(kāi)道、遇水搭橋，如圖，某高鐵在修建時(shí)需打通一直線(xiàn)隧道MN(M、N為山的兩側(cè))，工程人員為了計(jì)算M、N兩點(diǎn)之間的直線(xiàn)距離，選擇作MN的平行線(xiàn)BC，并測(cè)得AM＝900米， AB＝30米，BC＝45米，求直線(xiàn)隧道MN的長(zhǎng)． 解：∵BC∥MN， ∴△ABC∽△AMN. ∴＝，即＝. ∴MN＝1 350米 答： 直線(xiàn)隧道MN的長(zhǎng)為1 350米． 14．如圖，延長(zhǎng)正方形ABCD的一邊CB至E，ED與AB相交于點(diǎn)F，過(guò)F作FG∥BE交AE于G，求證：GF＝FB. 證明：∵GF∥AD， ∴＝.

14、 又FB∥DC，∴＝. 又AD＝DC，∴＝. ∴GF＝FB. 03　　綜合題 15．如圖，AD∥EG∥BC，EG分別交AB，DB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，F(xiàn)G的長(zhǎng)． 解：∵在△ABC中，EG∥BC， ∴△AEG∽△ABC， ∴＝. ∵BC＝10，AE＝3，AB＝5， ∴＝，∴EG＝6. ∵在△BAD中，EF∥AD， ∴△BEF∽△BAD，∴＝. ∵AD＝6，AE＝3，AB＝5， ∴＝.∴EF＝. ∴FG＝EG－EF＝. 第2課時(shí)　相似三角形的判定定理1，2 　　　　　　　　　　　　　　　　 01　

15、　基礎(chǔ)題 知識(shí)點(diǎn)1　相似三角形的判定定理1 　 三邊成比例的兩個(gè)三角形相似． 如圖，已知△ABC和△DEF中，＝＝，則△ABC∽△DEF. 1．將一個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)都縮小后，得到的三角形與原三角形(A) A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．無(wú)法確定 2．若△ABC各邊分別為AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，△DEF的兩邊為DE＝5 cm，EF＝4 cm，則當(dāng)DF＝3cm時(shí)，△ABC∽△DEF. 3．試判斷圖中的兩個(gè)三角形是否相似，并說(shuō)明理由． 解：相似．理由如下： 在Rt△ABC中，BC＝＝＝1.8， 在Rt

16、△DEF中， DF＝＝＝4.8， ∴＝＝＝， ∴△ABC∽△DEF. 4．(教材9下P42例3變式)(佛山中考)網(wǎng)格圖中每個(gè)方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形．若A，B，C，D，E，F(xiàn)都是格點(diǎn)，試說(shuō)明△ABC∽△DEF. 證明：∵AC＝，BC＝＝，AB＝4，DF＝＝2，EF＝＝2，ED＝8， ∴＝＝＝. ∴△ABC∽△DEF. 知識(shí)點(diǎn)2　相似三角形的判定定理2 　 兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似． 如圖，已知△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，且＝，則△ABC∽△DEF. 5．能判定△ABC∽△A′B′C′的條件是(B) A.＝ B.＝且∠

17、A＝∠A′ C.＝且∠B＝∠C′ D.＝且∠B＝∠B′ 6．如圖，已知△ABC，則下列4個(gè)三角形中，與△ABC相似的是(C) 　 7．如圖AB與CD相交于點(diǎn)O，OA＝3，OB＝5，OD＝6，當(dāng)OC＝時(shí)，△AOC∽△BOD. 8．如圖，點(diǎn)C，D在線(xiàn)段AB上，∠A＝∠B，AE＝3，AD＝2，BC＝3，BF＝4.5，DE＝5，求CF的長(zhǎng)． 解：∵＝＝，＝，∴＝. 又∵∠A＝∠B，∴△AED∽△BFC， ∴＝.∴＝. ∴CF＝. 易錯(cuò)點(diǎn)　對(duì)應(yīng)邊沒(méi)有確定時(shí)容易漏解 9．(隨州中考)在△ABC中，AB＝6，AC＝5，點(diǎn)D在邊AB上，且AD＝2，點(diǎn)E在邊AC上，當(dāng)AE

18、＝或時(shí)，以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似． 02　　中檔題 10．(貴陽(yáng)中考)如圖，在方格紙中，△ABC和△EPD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，要使△ABC∽△EPD，則點(diǎn)P所在的格點(diǎn)為(C) A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 11．如圖，在△ABC中，點(diǎn)P在AB上，下列四個(gè)條件：①AP∶AC＝AC∶AB；②AC2＝AP·AB；③AB·CP＝AP·CB.其中能滿(mǎn)足△APC和△ACB相似的條件有(B) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè) 第11題圖 　　　第12題圖 12．如圖，已知∠DAB＝∠CAE，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件：＝，

19、使△ABC∽△ADE. 13．如圖，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求證：△DEF∽△ABC. 證明：∵AB∥DE， ∴△ODE∽△OAB. ∴＝. ∵BC∥EF， ∴△OEF∽△OBC. ∴＝＝. ∵AC∥DF， ∴△ODF∽△OAC. ∴＝. ∴＝＝. ∴△DEF∽△ABC. 14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足AB2＝DB·CE.求證：△ADB∽△EAC. 證明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∴∠ABD＝∠ACE. ∵AB2＝DB·CE，∴＝. 又AB＝AC，∴＝. ∴△A

20、DB∽△EAC. 15．如圖，正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn)，求證：△ADQ∽△QCP. 證明：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a，則AD＝CD＝BC＝4a. ∵Q是CD的中點(diǎn)，BP＝3PC， ∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a. ∴＝＝. 又∵∠D＝∠C＝90°， ∴△ADQ∽△QCP. 03　　綜合題 16．(宿遷中考改編)如圖， AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是(C) 　　 A．1 B．2 C．3 D．4 第

21、3課時(shí)　相似三角形的判定定理3 　　　　　　　　　　　　　　　　 01　　基礎(chǔ)題 知識(shí)點(diǎn)1　相似三角形的判定定理3 　 兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似． 如圖，已知△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，則△ABC∽△DEF. 1．下列各組圖形中有可能不相似的是(A) A．各有一個(gè)角是45°的兩個(gè)等腰三角形 B．各有一個(gè)角是60°的兩個(gè)等腰三角形 C．各有一個(gè)角是105°的兩個(gè)等腰三角形 D．兩個(gè)等腰直角三角形 2．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下圖各三角形中與△ABC相似的是△EFD，△HGK. 3．如圖，銳角三角形ABC的邊AB，

22、AC上的高線(xiàn)EC，BF相交于點(diǎn)D，請(qǐng)寫(xiě)出圖中的兩對(duì)相似三角形答案不唯一，如△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE等．(用相似符號(hào)連接) 4．如圖，點(diǎn)B、D、C、F在一條直線(xiàn)上，且AB∥EF，AC∥DE，求證：△ABC∽△EFD. 證明：∵AB∥EF，AC∥DE， ∴∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF. ∴△ABC∽△EFD. 5．如圖，∠1＝∠2，∠C＝∠D.求證：△ABC∽△AED. 證明：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD， 即∠BAC＝∠EAD. 又∵∠C＝∠D， ∴△ABC∽△AED. 知識(shí)點(diǎn)2　斜邊和一條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似

23、 　 斜邊和一條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似． 如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝90°，∠C′＝90°，＝，則Rt△ABC∽R(shí)t△A′B′C′. 6．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8，則當(dāng)A′B′＝10時(shí)，△ABC∽△A′B′C′. 7．一個(gè)直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)和斜邊長(zhǎng)分別為8 cm和15 cm，另一個(gè)直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)和斜邊長(zhǎng)分別是6 cm和 cm，這兩個(gè)直角三角形是(填“是”或“不是”)相似三角形． 8．一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6，另一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和4，那么這

24、兩個(gè)直角三角形不一定(填“一定”“不一定”或“一定不”)相似． 易錯(cuò)點(diǎn)　對(duì)應(yīng)角沒(méi)有確定時(shí)容易漏解 9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(6，0)，B(0，3)，如果點(diǎn)C在x軸上(C與A不重合)，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－，0)，(，0)，(－6，0)時(shí)，△BOC與△AOB相似． 02　　中檔題 10．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC邊上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B.那么下列判斷中，錯(cuò)誤的是(D) A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB 第10題圖 　　　第11題圖 11．(本溪中

25、考)如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)D在BC上，DE與AC相交于點(diǎn)F，AB＝9，BD＝3，則CF等于(B) A．1 B．2 C．3 D．4 12．如圖，已知：∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝，AC＝2，求AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，圖中兩直角三角形相似？ 解：①若△ABC∽△ADB， 則＝.∴AD＝3； ②若△ABC∽△DAB， 則＝.∴AD＝3. 綜上所述，當(dāng)AD＝3或3時(shí)，兩直角三角形相似． 13．(畢節(jié)中考改編)如圖，在?ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥DC，垂足為E，連接BE，F(xiàn)為BE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠D.求證：△ABF∽△BEC. 證

26、明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC. ∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC. 又∵∠AFB＋∠AFE＝180°，且∠AFE＝∠D， ∴∠C＝∠AFB. 又∵∠ABF＝∠BEC， ∴△ABF∽△BEC. 14．(濱州中考改編)如圖，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，DP交AC于點(diǎn)Q. (1)求證：△APQ∽△CDQ； (2)P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)沿AB邊以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)t為何值時(shí)，DP⊥AC? 解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB∥CD. ∴△APQ∽

27、△CDQ. (2)當(dāng)DP⊥AC時(shí)，∠QCD＋∠QDC＝90°. ∵∠ADQ＋∠QDC＝90°，∴∠DCA＝∠ADP. 又∵∠ADC＝∠DAP＝90°， ∴△ADC∽△PAD. ∴＝，∴＝，解得PA＝5. ∴t＝5. 03　　綜合題 15．如圖，在△ABC中，AD、BF分別是BC，AC邊上的高，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線(xiàn)交AB于點(diǎn)E，交BF于點(diǎn)G，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，求證：DE2＝EG·EH. 證明：∵AD、BF分別是BC、AC邊上高， ∴∠ADB＝∠BED＝90°. ∴∠EBD＋∠EDB＝∠EDB＋∠ADE. ∴∠EBD＝∠EDA. ∴△AED∽△DEB. ∴DE

28、2＝AE·BE. 又∵∠HFG＝90°，∠BGE＝∠HGF， ∴∠EBG＝∠H. ∵∠BEG＝∠HEA＝90°， ∴△BEG∽△HEA. ∴＝，即EG·EH＝AE·BE. ∴DE2＝EG·EH. 27.2.2　相似三角形的性質(zhì) 　　　　　　　　　　　　　　　　 01　　基礎(chǔ)題 知識(shí)點(diǎn)1　相似三角形性質(zhì)定理1 　 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比． 如圖，已知△ABC∽△A1B1C1，其相似比為k，AD和A1D1分別是BC和B1C1邊上的高，CF和C1F1分別是AB和A1B1邊上的中線(xiàn)，BE和B1E1分別是∠ABC和∠A1B1C1的平

29、分線(xiàn)，則＝＝＝k. 1．(蘭州中考)已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為，則△ABC與△DEF對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比為(A) A. B. C. D. 2．若△ABC∽△A′B′C′，AB＝16 cm，A′B′＝4 cm，AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′，A′D′＝3 cm，則AD＝12cm. 3．已知：△ABC∽△A′B′C′，AB＝4 cm，A′B′＝10 cm，AE是△ABC的一條高，AE＝4.8 cm.求△A′B′C′中對(duì)應(yīng)高線(xiàn)A′E′的長(zhǎng)． 解：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴＝.∴＝. ∴A′E′＝12 cm. 知識(shí)點(diǎn)

30、2　相似三角形性質(zhì)定理2 　 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比． 若△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，則△ABC與△A′B′C′的周長(zhǎng)比為k． 4．若△ABC∽△A′B′C′，相似比為1∶3，則△ABC與△A′B′C′周長(zhǎng)的比為(A) A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶1 5．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，DE∥BC，且AD＝AB，則△ADE的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的比為1∶3. 知識(shí)點(diǎn)3　相似三角形性質(zhì)定理3 　 相似三角形面積的比等于相似比的平方． 若△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，則△ABC與△A′B′C

31、′的面積比為k2． 6．(黔西南中考)已知△ABC∽△A′B′C′，且＝，則S△ABC∶S△A′B′C′為(C) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 7．(廣東中考)若兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為2∶3，則它們的面積比是4∶9． 8．(懷化中考)如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的中點(diǎn)，則S△ADE∶S△ABC＝1∶4． 第8題圖 　　第9題圖 9．(濱州中考)如圖，平行于BC的直線(xiàn)DE把△ABC分成的兩部分面積相等，則＝． 10．某小區(qū)廣場(chǎng)有兩塊相似三角形的草坪，相似比為2∶3，面積差是30 m2，則小區(qū)廣場(chǎng)兩塊相似三角形的草坪

32、面積分別是24__m2、54__m2． 02　　中檔題 11．(湘西中考)如圖，在?ABCD中，E是AD邊上的中點(diǎn)，連接BE，并延長(zhǎng)BE交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則△EDF與△BCF的周長(zhǎng)之比是(A) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 第11題圖 　　　第12題圖 12．(黔西南中考)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，則下列結(jié)論不正確的是(D) A．BC＝3DE B.＝ C．△ADE∽△ABC D．S△ADE＝S△ABC 13．已知△ABC與△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，

33、∠A＝∠A′，BC＝6，AC＝8，A′B′＝20，則△A′B′C′的斜邊上的高為． 14．在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，D為AC上一點(diǎn)，AD＝4，在AB上取一點(diǎn)E，得到△ADE，若這兩個(gè)三角形相似，則它們的周長(zhǎng)之比是4∶9或1∶3． 15．如圖，在△ABC中，D，E分別是△ABC的AB，AC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，CF，EG分別是△ABC與△ADE的中線(xiàn)，已知AD∶DB＝4∶3，AB＝18 cm，EG＝4 cm，求CF的長(zhǎng)． 解：∵AD∶DB＝4∶3， ∴AD∶AB＝4∶7. ∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE. ∵CF，EG分別是△ABC與△ADE的中線(xiàn)，

34、 ∴＝.∴＝. ∴CF＝7 cm. 16．如圖，?ABCD中，AE∶EB＝2∶3，DE交AC于點(diǎn)F. (1)求證：△AEF∽△CDF； (2)求△AEF與△CDF的周長(zhǎng)之比； (3)如果△CDF的面積為20 cm2，求△AEF的面積． 解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴DC∥AB. ∴△AEF∽△CDF. (2)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴DC＝AB. ∵AE∶EB＝2∶3，設(shè)AE＝2k，則BE＝3k，DC＝5k. 又∵△AEF∽△CDF， ∴＝＝. ∴△AEF與△CDF的周長(zhǎng)之比為2∶5. (3)∵△AEF∽△CDF， ∴＝

35、()2. ∵＝，△CDF的面積為20 cm2， ∴△AEF的面積為 cm2. 03　　綜合題 17．如圖，在△ABC中，DF∥EG∥BC，且AD＝DE＝EB，△ABC被DF、EG分成三部分，且三部分面積分別為S1，S2，S3，求S1∶S2∶S3的值． 解：∵DF∥EG∥BC， ∴△ADF∽△AEG∽△ABC. 又∵AD＝DE＝EB， ∴三個(gè)三角形的相似比是1∶2∶3. ∴面積的比是1∶4∶9. 設(shè)△ADF的面積是a，則△AEG與△ABC的面積分別是4a，9a， ∴S2＝3a，S3＝5a，則S1∶S2∶S3＝1∶3∶5. 小專(zhuān)題15　相似三角形的基本模型(教材

36、變式) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 模型1　X字型及其變形 (1)如圖1，對(duì)頂角的對(duì)邊平行，則△ABO∽△DCO； (2)如圖2，對(duì)頂角的對(duì)邊不平行，且有另一對(duì)角相等，則△ABO∽△CDO. 教材母題1：(教材九下P58復(fù)習(xí)題T9)如圖，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，AD與BE相交于點(diǎn)F，連接ED.你能在圖中找出一對(duì)相似三角形，并說(shuō)明相似的理由嗎？ 解：△AEF∽△BDF. 理由：∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠AEF＝∠BDF＝90°. 又∵∠AFE＝∠BFD， ∴△AEF∽△BDF. 1．(恩施中考)如圖，在?AB

37、CD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E為OD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F，則DF∶FC等于(D) A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2 2．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O.找出圖中的相似三角形，并說(shuō)明理由． 解：△ABO∽△CDO.理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠OCD＝∠OAB， ∠ODC＝∠OBA. ∴△ABO∽△CDO. 模型2　A字型及其變形 　 (1)如圖1，公共角的對(duì)邊平行，則△ADE∽△ABC； (2)如圖2，公共角的對(duì)邊不平行，且有另一對(duì)角相等，則△ADE∽△ABC； (3)如圖

38、3，公共角的對(duì)邊不平行，兩個(gè)三角形有一條公共邊，且有另一對(duì)角相等，則△ACD∽△ABC. 教材母題2：(教材九下P35例2)如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.E是AC上一點(diǎn)，AE＝5，ED⊥AB，垂足為D.求AD的長(zhǎng)． 解：∵ED⊥AB， ∴∠EDA＝90°. 又∠C＝90°，∠A＝∠A， ∴△AED∽△ABC. ∴＝. ∴AD＝＝＝4. 3．如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AC的上一點(diǎn)，且∠ABD＝∠C.如果＝，求的值． 解：∵∠DAB＝∠BAC，∠ABD＝∠C， ∴△DAB∽△BAC. ∴＝＝. ∴AB2＝AD·AC. ∵＝，∴

39、設(shè)AD＝a(a＞0)，則CD＝3a. ∴AB2＝a(a＋3a)＝4a2.∴AB＝2a. ∴＝＝＝. 模型3　雙垂直型 直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD. 教材母題3：(教材九下P36練習(xí)T2)如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高．求證： (1)△ACD∽△ABC； (2)△CBD∽△ABC. 證明：(1)∵Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高， ∴∠ACB＝∠ADC＝90°. 又∵∠CAD＝∠BAC， ∴△ACD∽△ABC. (2)∵∠ACB＝∠CDB＝90°， ∠ABC＝∠CBD， ∴△C

40、BD∽△ABC. 4．如圖，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D為垂足，且AD＝3，AC＝3，則斜邊AB的長(zhǎng)為(B) A．3 B．15 C．9 D．3＋3 模型4　M字型及其變形 　 (1)如圖1，Rt△ABD與Rt△BCE的斜邊互相垂直，則有△ABD∽△CEB； (2)如圖2，點(diǎn)B，C，E在同一條直線(xiàn)上，∠ABC＝∠ACD，則再已知一組條件，可得△ABC與△DCE相似． 教材補(bǔ)充：如圖，AB⊥BD，ED⊥BD，C是線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，且AC⊥CE.已知ED＝1，BD＝4，求AB的長(zhǎng)． 解：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠B＝∠D＝90°， ∠AC

41、B＋∠A＝90°. ∵AC⊥CE， ∴∠ACB＋∠ECD＝90°. ∴∠A＝∠ECD. ∴△ABC∽△CDE. ∴＝. 又∵C是線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，ED＝1，BD＝4， ∴AB＝4. 5．(宿遷中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合)，滿(mǎn)足∠DEF＝∠B，且點(diǎn)D，F(xiàn)分別在邊AB，AC上． (1)求證：△BDE∽△CEF； (2)當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：FE平分∠DFC. 解：(1)證明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，且∠DEF

42、＝∠B， ∴∠BDE＝∠CEF. ∴△BDE∽△CEF. (2)∵△BDE∽△CEF，∴＝. ∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE.∴＝. ∵∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ECF. ∴∠DFE＝∠CFE，即FE平分∠DFC. 小專(zhuān)題16　相似三角形的性質(zhì)與判定 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 類(lèi)型1　利用相似三角形求線(xiàn)段長(zhǎng) 1．(寧夏中考)如圖，在△ABC中，AB＝6，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)M在DE上，且ME＝DM.當(dāng)AM⊥BM時(shí)，則BC的長(zhǎng)為8. 第1題圖　　　第2題圖 2．如圖，已知菱形BEDF內(nèi)接于△ABC，點(diǎn)E，D，

43、F分別在AB，AC和BC上．若AB＝15 cm，BC＝12 cm，則菱形的邊長(zhǎng)為cm. 3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，且∠ADE＝∠B.如果DE∶AD＝2∶5，BD＝3，那么AC＝. 第3題圖　第4題圖 4．(深圳中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，點(diǎn)P在AC上，PM交AB于點(diǎn)E，PN交BC于點(diǎn)F，當(dāng)PE＝2PF時(shí)，AP＝3. 5．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BA邊延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交CA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，點(diǎn)F是DE延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接AF. (1)如果＝，DE＝6，求邊B

44、C的長(zhǎng)； (2)如果∠FAE＝∠B，F(xiàn)A＝6，F(xiàn)E＝4，求DF的長(zhǎng)． 解：(1)∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∴＝. ∵DE＝6， ∴BC＝9. (2)∵∠FAE＝∠B，∠B＝∠D， ∴∠EAF＝∠D. ∵∠F＝∠F， ∴△FAE∽△FDA. ∴＝. ∴DF＝＝9. 類(lèi)型2　利用相似三角形求角度 6．如圖，A，B，C，P四點(diǎn)均在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，則∠BAC的度數(shù)是135°. 第6題圖　第7題圖 7．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，D為CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且AB2＝BD·CE.若∠BAC＝40°，則∠DAE

45、＝110°. 類(lèi)型3　利用相似三角形求比值 8．如圖，AB∥DC，AC與BD交于點(diǎn)E，EF∥DC交BC于點(diǎn)F，CE＝5，CF＝4，AE＝BC，則等于(B) A. B. C. D. 9．如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，AE，CD相交于點(diǎn)O.若S△DOE∶S△COA＝1∶25，則S△BDE與S△CDE的比是(B) A．1∶3 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶25 第9題圖 　　　第10題圖 10．(桂林中考)如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作EA⊥CA交DB的延長(zhǎng)線(xiàn)

46、于點(diǎn)E.若AB＝3，BC＝4，則的值為. 類(lèi)型4　利用相似三角形證明等積式與比例式 11．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，且BD＝2AD，CE＝2AE.求證： (1)△ADE∽△ABC； (2)DF·BF＝EF·CF. 證明：(1)∵BD＝2AD，CE＝2AE， ∴AB＝3AD，AC＝3AE. ∴＝＝. ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC. (2)∵＝＝， ∴DE∥BC. ∴△DEF∽△CBF. ∴＝. ∴DF·BF＝EF·CF. 12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，ED，CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交

47、于點(diǎn)F.求證：＝. 證明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD，∠ACB＝∠BDC＝90°. ∴∠A＝∠BCD. ∴△ABC∽△CBD. ∴＝，即＝. 又∵E為AC中點(diǎn)， ∴AE＝CE＝ED. ∴∠A＝∠EDA. ∵∠EDA＝∠BDF， ∴∠FCD＝∠BDF. 又∠F為公共角， ∴△FDB∽△FCD. ∴＝. ∴＝. 類(lèi)型5　利用相似求點(diǎn)的坐標(biāo) 13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(－4，0)，B(0，2)，連接AB并延長(zhǎng)到C，連接CO.若△COB∽△CAO，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(B) A．(1，) B．(，)

48、 C．(，2) D．(，2) 第13題圖 　　第14題圖 14．如圖，已知直線(xiàn)y＝－x＋2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一點(diǎn)C，使B，O，C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△AOB相似，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－4，0)或(4，0)或(－1，0)或(1，0)． 27.2.3　相似三角形應(yīng)用舉例 　　　　　　　　　　　　　　　　 01　　基礎(chǔ)題 知識(shí)點(diǎn)1　利用相似三角形測(cè)量物高 1．為了加強(qiáng)視力保護(hù)意識(shí)，小明要在書(shū)房里掛一張視力表．由于書(shū)房空間狹小，他想根據(jù)測(cè)試距離為5 m的大視力表制作一個(gè)測(cè)試距離為3 m的小視力表．如圖，如果大視力表中“E”的高度是3.5 cm，那么小視力

49、表中相應(yīng)“E”的高度是(D) A．3 cm B．2.5 cm C．2.3 cm D．2.1 cm 第1題圖 　　第2題圖 2．小明在測(cè)量樓高時(shí)，先測(cè)出樓房落在地面上的影長(zhǎng)BA為15米(如圖)，然后在A處樹(shù)立一根高2米的標(biāo)桿，測(cè)得標(biāo)桿的影長(zhǎng)AC為3米，則樓高為10米． 3．如圖是一束平行的陽(yáng)光從教室窗戶(hù)射入的平面示意圖，光線(xiàn)與地面所成角∠AMC＝30°，在教室地面的影長(zhǎng)MN＝2米．若窗戶(hù)的下檐到教室地面的距離BC＝1米，則窗戶(hù)的上檐到教室地面的距離AC為3米． 第3題圖 　　　第4題圖 4．(黔南中考)如圖是小

50、明設(shè)計(jì)用手電來(lái)測(cè)量都勻南沙洲古城墻高度的示意圖，點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線(xiàn)從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過(guò)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測(cè)得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么該古城墻的高度是8米(平面鏡的厚度忽略不計(jì))． 知識(shí)點(diǎn)2　利用相似三角形測(cè)量寬度 5．(北京中考)如圖，為估算某河的寬度，在河對(duì)岸邊選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點(diǎn)E在BC上，并且點(diǎn)A，E，D在同一條直線(xiàn)上．若測(cè)得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，則河的寬度AB等于(B) A．60 m B．40 m C．30

51、m D．20 m 第5題圖 　　　第6題圖 6．如圖，為了測(cè)量一池塘的寬DE，在岸邊找到一點(diǎn)C，測(cè)得CD＝30 m，在DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上找一點(diǎn)A，測(cè)得AC＝5 m，過(guò)點(diǎn)A作AB∥DE交EC的延長(zhǎng)線(xiàn)于B，測(cè)出AB＝6 m，則池塘的寬DE為(C) A．25 m B．30 m C．36 m D．40 m 7．(教材9下P40例6變式)如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔5米有一棵樹(shù)，在北岸邊每隔60米有一根電線(xiàn)桿．小麗站在離南岸邊15米的點(diǎn)P處看北岸，發(fā)現(xiàn)北岸相鄰的兩根電線(xiàn)桿恰好被南岸的兩棵樹(shù)遮住，并且在這兩棵樹(shù)之間還有三棵樹(shù)，則河寬為

52、30米． 第7題圖 　 　第8題圖 8．如圖，測(cè)量小玻璃管口徑的量具ABC，AB的長(zhǎng)為30 cm，AC被分為60等份．如果小玻璃管口DE正好對(duì)著量具上20等份處(DE∥AB)，那么小玻璃管口徑DE是20cm. 02　　中檔題 9．如圖，鐵道口的欄桿短臂OA長(zhǎng)1 m，長(zhǎng)臂OB長(zhǎng)8 m．當(dāng)短臂外端A下降0.5 m時(shí)，長(zhǎng)臂外端B升高(B) A．2 m B．4 m C．4.5 m D．8 m 第9題圖 　　　第10題圖 10．如圖，已知零件的外徑為25 mm，現(xiàn)用一個(gè)交叉卡鉗(兩條尺長(zhǎng)AC和BD相等，OC＝OD)

53、量零件的內(nèi)孔直徑AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，則零件的厚度x＝2.5mm. 11．(遵義中考)“今有邑，東西七里，南北九里，各開(kāi)中門(mén)，出東門(mén)一十五里有木，問(wèn)：出南門(mén)幾何步而見(jiàn)木？”這段話(huà)摘自《九章算術(shù)》，意思是說(shuō)：如圖，矩形ABCD，東邊城墻AB長(zhǎng)9里，南邊城墻AD長(zhǎng)7里，東門(mén)點(diǎn)E，南門(mén)點(diǎn)F分別是AB，AD的中點(diǎn)，EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AD，EG＝15里，HG經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，則FH＝1.05里． 12．(陜西中考)某市為了打造森林城市，樹(shù)立城市新地標(biāo)，實(shí)現(xiàn)綠色、共享發(fā)展理念，在城南建起了“望月閣”及環(huán)閣公園，小亮、小芳等同學(xué)想用一些測(cè)量工具和所學(xué)的幾何知識(shí)測(cè)量“望月閣”的

54、高度，來(lái)檢驗(yàn)自己掌握知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的能力．他們經(jīng)過(guò)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，觀(guān)測(cè)點(diǎn)與“望月閣”底部間的距離不易測(cè)得，因此經(jīng)過(guò)研究需要兩次測(cè)量，于是他們首先用平面鏡進(jìn)行測(cè)量，方法如下：如圖，小芳在小亮和“望月閣”之間的直線(xiàn)BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個(gè)標(biāo)記，這個(gè)標(biāo)記在直線(xiàn)BM上的對(duì)應(yīng)位置為點(diǎn)C.鏡子不動(dòng)，小亮看著鏡面上的標(biāo)記，他來(lái)回走動(dòng)，走到點(diǎn)D時(shí)，看到“望月閣”頂端點(diǎn)A在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記重合．這時(shí)，測(cè)得小亮眼睛與地面的高度ED＝1.5米，CD＝2米；然后，在陽(yáng)光下，他們用測(cè)影長(zhǎng)的方法進(jìn)行了第二次測(cè)量，方法如下：如圖，小亮從D點(diǎn)沿DM方向走了16米，到達(dá)“望月閣”影子的末端F點(diǎn)處，此時(shí)，測(cè)得小亮身

55、高FG的影長(zhǎng)FH＝2.5米，F(xiàn)G＝1.65米． 如圖，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，測(cè)量時(shí)所使用的平面鏡的厚度忽略不計(jì)，請(qǐng)你根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，求出“望月閣”的高AB的長(zhǎng)度． 解：由題意，得∠ABC＝∠EDC＝∠GFH＝90°，∠ACB＝∠ECD， ∠AFB＝∠GHF. ∴△ABC∽△EDC， △ABF∽△GFH. ∴＝，＝. ∴＝，＝. 解得AB＝99. ∴“望月閣”的高AB為99米． 03　　綜合題 13．(紹興中考)課本中有一道作業(yè)題： 如圖，有一塊三角形余料ABC，它的邊BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方

56、形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上．問(wèn)加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)是多少mm? 小穎解得此題的答案為48 mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問(wèn)題． (1)如果原題中要加工的零件是一個(gè)矩形，且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，如圖1，此時(shí)，這個(gè)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)又分別為多少mm？請(qǐng)你計(jì)算； (2)如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長(zhǎng)就不能確定，但這個(gè)矩形面積有最大值，求達(dá)到這個(gè)最大值時(shí)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)． 解：(1)設(shè)矩形的邊長(zhǎng)PN＝2y mm，則PQ＝y(tǒng) mm，由條件可得△APN∽△ABC， ∴＝，即＝. 解

57、得y＝. ∴PN＝×2＝(mm)． 答：這個(gè)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)分別為mm， mm. (2)設(shè)PN＝x mm，由條件可得△APN∽△ABC， ∴＝.即＝. 解得PQ＝80－x. ∴S＝PN·PQ＝x(80－x) ＝－x2＋80x ＝－(x－60)2＋2 400. ∴S的最大值為2 400 mm2，此時(shí)PN＝60 mm，PQ＝80－×60＝40(mm). 27.3　位似 第1課時(shí)　位似圖形的概念及畫(huà)法 　　　　　　　　　　　　　　　　 01　　基礎(chǔ)題 知識(shí)點(diǎn)1　位似圖形及位似中心 　 兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)相交于一點(diǎn)，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似

58、圖形，這點(diǎn)叫做位似中心． 1．下圖中的兩個(gè)圖形不是位似圖形的是(D) 2．圖中的兩個(gè)四邊形是位似圖形，它們的位似中心是(D) A．點(diǎn)M B．點(diǎn)N C．點(diǎn)O D．點(diǎn)P 知識(shí)點(diǎn)2　位似圖形的性質(zhì) 3．兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的線(xiàn)段比為2∶3，則這兩個(gè)圖形的相似比為(A) A．2∶3 B．4∶9 C.∶ D．1∶2 4．如圖，兩個(gè)位似圖形△ABO和△A′B′O，且AB∥A′B′，若OA∶OA′＝3∶1，則正確的是(A) A．AB∶A′B′＝3∶1 B．AA′∶BB′＝AB∶A′B′ C．OA∶OB′＝2∶1 D．∠A＝∠B′

59、 5．如圖，△DEF與△ABC是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是OA，OB，OC的中點(diǎn)，則△DEF與△ABC的面積比是(C) A．1∶6 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶2 6．如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形A′B′C′D′E′，已知OA＝10 cm，OA′＝20 cm，則五邊形ABCDE的周長(zhǎng)與五邊形A′B′C′D′E′的周長(zhǎng)的比值是1∶2． 7．如圖，△ABC與△A′B′C′是位似圖形，且位似比是1∶2，若AB＝2 cm，則A′B′＝4cm，并在圖中畫(huà)出位似中心O. 解：如圖所示． 知識(shí)點(diǎn)3　位似圖形的畫(huà)法 8

60、．如圖，以O(shè)為位似中心，將四邊形ABCD縮小為原來(lái)的一半． 解：圖略． 9．如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格紙中，△ABC為格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上)．在網(wǎng)格紙中，以O(shè)為位似中心畫(huà)出△ABC的一個(gè)位似圖形△A′B′C′，使△ABC與△A′B′C′的相似比為1∶2.(不要求寫(xiě)畫(huà)法) 解：如圖所示．(只需畫(huà)出一個(gè)符合條件的△A′B′C′) 02　　中檔題 10．如圖，三個(gè)正六邊形全等，其中成位似圖形關(guān)系的有(D) A．0對(duì) B．1對(duì) C．2對(duì) D．3對(duì) 11．(東營(yíng)中考)下列關(guān)于位似圖形的表述： ①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形； ②位似圖形

61、一定有位似中心； ③如果兩個(gè)圖形是相似圖形，且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)所在的直線(xiàn)都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么，這兩個(gè)圖形是位似圖形； ④位似圖形上任意兩點(diǎn)與位似中心的距離之比等于位似比． 其中正確命題的序號(hào)是(A) A．②③ B．①② C．③④ D．②③④ 12．如圖，四邊形ABCD與四邊形AEFG是位似圖形，且AC∶AF＝2∶3，則下列結(jié)論不正確的是(B) A．四邊形ABCD與四邊形AEFG是相似圖形 B．AD與AE的比是2∶3 C．四邊形ABCD與四邊形AEFG的周長(zhǎng)比是2∶3 D．四邊形ABCD與四邊形AEFG的面積比是4∶9 第12題圖 　　　第13

62、題圖 13．如圖，O點(diǎn)是△ABC與△D1E1F1的位似中心，△ABC的周長(zhǎng)為1.若D1，E1，F(xiàn)1分別是線(xiàn)段OA、OB、OC的中點(diǎn)，則△D1E1F1的周長(zhǎng)為；若OD2＝OA，OE2＝OB，OF2＝OC，則△D2E2F2的周長(zhǎng)為；…若ODn＝OA，OEn＝OB，OFn＝OC，則△DnEnFn的周長(zhǎng)為．(用正整數(shù)n表示) 14．如圖，圖中的小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，△ABC與△A′B′C′是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上． (1)畫(huà)出位似中心O； (2)求出△ABC與△A′B′C′的相似比； (3)以點(diǎn)O為位似中心，再畫(huà)一個(gè)△A1B1C1，使它與△ABC的相

63、似比等于1.5. 解：(1)位似中心O的位置如圖所示． (2)∵＝， ∴△ABC與△A′B′C′的相似比為1∶2. (3)如圖所示． 03　　綜合題 15．如圖，已知B′C′∥BC，C′D′∥CD，D′E′∥DE. (1)求證：四邊形BCDE位似于四邊形B′C′D′E′； (2)若＝3，S四邊形BCDE＝20，求S四邊形B′C′D′E′. 解：(1)證明：∵B′C′∥BC，C′D′∥CD，D′E′∥DE， ∵＝＝＝＝＝＝， ∠AB′C′＝∠ABC，∠AC′B′＝∠ACB，∠AC′D′＝∠ACD， ∠AD′C′＝∠ADC，∠AD′E′＝∠ADE，∠AE′D′＝

64、∠AED. ∴∠AC′B′＋∠AC′D′＝∠ACB＋∠ACD， ∠AD′C′＋∠AD′E′＝′ADC＋′ADE， 即∠B′C′D′＝∠BCD，∠C′D′E′＝∠CDE. ∵＝，∠B′AE′＝∠BAE， ∴△B′AE′∽△BAE. ∴＝，∠AE′B′＝∠AEB，∠AB′E′＝∠ABE. ∴＝＝＝， ∠AB′C′－∠AB′E′＝∠AB ∠AE′D′－∠AE′B′＝∠AED－∠AEB， 即∠E′B′C′＝∠EBC，∠B′E′D′＝∠BED. ∴四邊形BCDE與四邊形B′C′D′E′是相似圖形． 又∵四邊形BCDE與四邊形B′C′D′E′對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)相交于一點(diǎn)A， ∴四邊形BCD

65、E位似于四邊形B′C′D′E′. (2)∵＝3，∴＝. ∴四邊形BCDE與四邊形B′C′D′E′位似之比為. ∵S四邊形BCDE＝20， ∴S四邊形B′C′D′E′＝＝20×＝. 第2課時(shí)　平面直角坐標(biāo)系中的位似 　　　　　　　　　　　　　　　　 01　　基礎(chǔ)題 知識(shí)點(diǎn)1　位似圖形的坐標(biāo)變化規(guī)律 　 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，新圖形與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(diǎn)(x，y)對(duì)應(yīng)的位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx，ky)或(－kx，－ky)． 1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心，將△AOB擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，得到△OA′B′.若點(diǎn)

66、A的坐標(biāo)是(1，2)，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)是(C) A．(2，4) B．(－1，－2) C．(－2，－4) D．(－2，－1) 第1題圖 　　　第2題圖 2．(武漢中考)如圖，線(xiàn)段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(6，6)，B(8，2)，以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線(xiàn)段AB縮小為原來(lái)的后得到線(xiàn)段CD，則端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(A) A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1) 3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O為位似中心，將△OCD放大得到△OAB，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(2，1)，(2，0)，且△OCD與△OAB的面積之比為1∶4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(C) A．(8，4) B．(8，2) C．(4，2) D．(4，8) 第3題圖 　　　第4題圖 4．(教材9下P50練習(xí)T2變式)如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1∶，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為(C) A．(，0) B．(，) C．(，) D．(2，2) 5．某