2018年中考數學專題復習卷 銳角三角函數(含解析)
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1、 銳角三角函數 一、選擇題 1.計算 =(??? ) A.?????????????????????????????????????????B.?1????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.? 【答案】B 【解析】 : tan 45 ° =1 故答案為:B?!痉治觥扛鶕厥怃J角三角函數值即可得出答案。 2.下列運算結果正確的是 A.?3a3·2a2=6a6???????????????????B.?
2、(-2a)2= -4a2???????????????????C.?tan45°= ???????????????????D.?cos30°= 【答案】D 【解析】 A、原式=6a5 , 故不符合題意; B、原式=4a2 , 故不符合題意; C、原式=1,故不符合題意; D、原式= ,故符合題意. 故答案為:D 【分析】根據單項式乘以單項式,系數的積作為積的系數,對于相同的字母,底數不變,指數相加;積的乘方,等于把積中的每一個因式分別乘方,再把所得的冪相乘;根據特殊銳角三角函數值即可一一得出答案,再進行判斷即可。 3.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC、BD相交于點0
3、,BD=8,tan∠ABD= ,則線段AB的長為(??? ). A.?????????????????????????????????????????B.?2 ????????????????????????????????????????C.?5????????????????????????????????????????D.?10 【答案】C 【解析】 :∵菱形ABCD,BD=8 ∴AC⊥BD, 在Rt△ABO中, ∴AO=3 ∴ 故答案為:C 【分析】根據菱形的對角線互相垂直平分,得出AC⊥BD,求出BO的長,再根據銳角三角函數的定義,求出AO的長,然
4、后根據勾股定理就可求出結果。 4.數學活動課,老師和同學一起去測量校內某處的大樹 的高度,如圖,老師測得大樹前斜坡 ?的坡度i=1:4,一學生站在離斜坡頂端 的水平距離DF為8m處的D點,測得大樹頂端A的仰角為 ,已知 ,BE=1.6m,此學生身高CD=1.6m,則大樹高度AB為( ??)m. A.7.4 B.7.2 C.7 D.6.8 【答案】D 【解析】 如圖所示:過點C作 延長線于點G,交EF于點N, 根據題意可得: ?, 計算得出: ?, ? ?, ?, ?, ?, 設 ?,則 ?, 故 ?,即 ?, 計算得出: ?, 故 ?, 則 ,
5、 故答案為:D. 【分析】將大樹高度AB放在直角三角形中,解直角三角形即可求解。即:過點C作 C G ⊥ A B 延長線于點G,交EF于點N,因為斜坡 D E ?的坡度i=1:4,所以,解得EF=2,而? sinα=,設AG=3x,則AC=5x ,所以BC=4x? ,即8+1.6=4x? ,解得 x = 2.4? ,所以AG=2.4×3=7.2m ,則AB=AG?BG=7.2?0.4=6.8m。 5. 如圖,電線桿CD的高度為h,兩根拉線AC與BC相互垂直,∠CAB=α,則拉線BC的長度為(A、D、B在同一條直線上)(?? ) A.????????????????
6、???????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?h?cosα 【答案】B 【解析】 :∵∠CAD+∠ACD=90°,∠ACD+∠BCD=90°, ∴∠CAD=∠BCD, 在Rt△BCD中,∵cos∠BCD= , ∴BC= = , 故選:B. 【分析】根據同角的余角相等得∠CAD=∠BCD,由os∠BCD= 知BC= = . 6.如圖,△ABC內接于⊙O,AD為⊙O的直徑,交BC于點E,若DE=2,OE=3,則 ( ???) A
7、.4 B.3 C.2 D.5 【答案】A 【解析】 :如圖,連接BD,CD ∵DO=2,OE=3 ∴OA=OD=5 ∴AE=OA+OE=8 ∵∠ABE=∠EDC,∠AEB=∠DEC ∴△ABE∽△DEC ∴① 同理可得:△AEC∽△BED ∴② 由①×②得 ∵AD是直徑 ∴∠ABD=∠ACD=90° ∴tan∠ACB=∠ADB= tan∠ABC=tan∠ADC= tan∠ACBtan∠ABC===4 故答案為:A 【分析】根據OD和OE的長,求出AE的長,再根據相似三角形的性質和判定,得出,利用銳角三角函數的定義,可證得tan∠ACBtan
8、∠ABC=,代入求值即可。 7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,cosA的值等于,則AB的長度是(??? ) A.?3??????????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????????C.?5??????????????????????????????????????????D.? 【答案】D 【解析】 :∵Rt△ABC中,∠C=90°,cosA的值等于 ∴cos∠A== ∴= 解之:AB= 故答案為:D 【分析】根據銳角三角函數
9、的定義,列出方程cos∠A==,求出AB的值即可。 8. 如圖,一艘輪船在A處測得燈塔P位于其北偏東60°方向上,輪船沿正東方向航行30海里到達B處后,此時測得燈塔P位于其北偏東30°方向上,此時輪船與燈塔P的距離是(?? ) A.?15 海里???????????????????????????B.?30海里???????????????????????????C.?45海里???????????????????????????D.?30 海里 【答案】B 【解析】 :作BD⊥AP,垂足為D . 根據題意,得∠BAD=30°,BD=15海里, ∴∠PBD=60°, 則
10、∠DPB=30°,BP=15×2=30(海里), 故選:B. 【分析】作CD⊥AB,垂足為D.構建直角三角形后,根據30°的角對的直角邊是斜邊的一半,求出BP. 9.如圖,在 中, , , ,則 等于(?? ) A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.? 【答案】A 【解析】 :在Rt△ABC中,∵AB=10、AC=8, ∴BC= , ∴s
11、inA= . 故答案為:A. 【分析】首先根據勾股定理算出BC的長,再根據正弦函數的定義即可得出答案。 10.一艘在南北航線上的測量船,于A點處測得海島B在點A的南偏東30°方向,繼續(xù)向南航行30海里到達C點時,測得海島B在C點的北偏東15°方向,那么海島B離此航線的最近距離是(結果保留小數點后兩位)(參考數據: )(???? ) ?? A.?4.64海里???????????????????????????B.?5.49海里???????????????????????????C.?6.12海里???????????????????????????D.?6.2
12、1海里 【答案】B 【解析】 :根據題意畫出圖如圖所示:作BD⊥AC,取BE=CE, ∵AC=30,∠CAB=30°∠ACB=15°, ∴∠ABC=135°, 又∵BE=CE, ∴∠ACB=∠EBC=15°, ∴∠ABE=120°, 又∵∠CAB=30° ∴BA=BE,AD=DE, 設BD=x, 在Rt△ABD中, ∴AD=DE= x,AB=BE=CE=2x, ∴AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30, ∴x= = ≈5.49, 故答案為:B. 【分析】根據題意畫出圖如圖所示:作BD⊥AC,取BE=CE,根據三角形內角和和等腰三角形的性質得出BA=B
13、E,AD=DE,設BD=x,Rt△ABD中,根據勾股定理得AD=DE= x,AB=BE=CE=2x,由AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30,解之即可得出答案. 二、填空題 11.在△ABC中,∠C=90°,若tanA= ,則sinB=________. 【答案】 【解析】 :如圖所示: ∵∠C=90°,tanA= , ∴設BC=x,則AC=2x,故AB= x, 則sinB= . 故答案為: ?. 【分析】根據正切函數的定義由tanA=?, 設BC=x,則AC=2x,根據勾股定理表示出AB的長,再根據正弦函數的定義即可得出答案。 12.如圖,在菱形紙片AB
14、CD中, ,將菱形紙片翻折,使點A落在CD的中點E處,折痕為FG,點 分別在邊 上,則 的值為________ . 【答案】 【解析】 如圖,作EH⊥AD于H,連接BE,BD、AE交FG于O, 因為四邊形ABCD是菱形,∠A=60°, 所以△ADC是等邊三角形,∠ADC=120°, ∵點E是CD的中點, 所以ED=EC= ,BE⊥CD, Rt△BCE中,BE= CE= , 因為AB∥CD, 所以BE⊥AB, 設AF=x,則BF=3-x,EF=AF=x, 在Rt△EBF中,則勾股定理得,x2=(3-x)2+( )2 , 解得x= , Rt△DEH中,DH=
15、DE= ,HE= DH= , Rt△AEH中,AE= = , 所以AO= , Rt△AOF中,OF= = , 所以tan∠EFG= = , 故答案為 .【分析】作EH⊥AD于H,連接BE,BD、AE交FG于O,根據菱形的性質及等邊三角形的判定方法得出△ADC是等邊三角形,∠ADC=120°,根據等邊三角形的三線合一得出ED=EC= ,BE⊥CD,Rt△BCE中,根據勾股定理得出BE,CE的長,根據平行線的性質得出BE⊥AB,設AF=x,則BF=3-x,EF=AF=x,在Rt△EBF中,則勾股定理得出方程求解得出x的值,Rt△DEH中,DH= DE=?,HE= DH= ,Rt△AEH中
16、,利用勾股定理得出AE的長,進而得出AO的長,Rt△AOF中,利用勾股定理算出OF的長,根據正切函數的定義得出答案。 13.如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,BC= ,以點B為圓心,AB為半徑作弧交AC于點E,則圖中陰影部分面積是________ 【答案】 【解析】 :連接BE. ∵∠B=90°,∠C=30°,BC= ,∴∠A=60°,AB=1.∵AB=EB,∴△ABE是等邊三角形,∴∠ABE=60°,∴S弓形=S扇形ABE﹣S△ABE= = . 故答案為: . 【分析】連接BE.因為∠B=90°,∠C=30°,BC= , 由∠C的正切可得tan∠C=,所
17、以AB==1,由題意以點B為圓心,AB為半徑作弧交AC于點E可得AB=EB,所以△ABE是等邊三角形,則∠ABE=60°,圖中陰影部分面積=扇形ABE的面積-三角形ABE的面積=-×1×=-. 14.如圖,某高速公路建設中需要測量某條江的寬度AB,飛機上的測量人員在C處測得A,B兩點的俯角分別為45°和30°.若飛機離地面的高度CH為1200米,且點H,A,B在同一水平直線上,則這條江的寬度AB為________米(結果保留根號). 【答案】 【解析】 :依題可得:∠ACD=45°,∠BCD=30°,CH=1200, ∵CD∥AB, ∴∠CAH=∠ACD=45°,∠CBH=∠BC
18、D=30°, ∴AH=CH=1200, 設AB=x米, 在Rt△CHB中, ∴tan∠CBH= , 即 = , 解得:x=1200 -1200. 故答案為:1200 -1200. 【分析】根據平行線的性質結合已知條件得∠CAH=∠ACD=45°,∠CBH=∠BCD=30°,設AB=x米,在Rt△CHB中,根據正切三角函數定義建立等式,代入數值解方程即可得AB長. 15.如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠B是銳角,AE⊥BC于點E,M是AB的中點,連結MD,ME.若∠EMD=90°,則cosB的值為________。 【答案】 【解析】 :延長DM交CB的延長線于H,
19、 ∵四邊形ABCD為菱形, ∴AB=AD=BC=2,AD∥BC, ∴∠ADM=∠H, 又∵M是AB的中點, ∴AM=BM=1, 在△ADM和△BHM中, ∵ , ∴△ADM≌△BHM(AAS), ∴DM=HM,AD=BH=2, ∵EM⊥DM, ∴EH=ED, 設BE=x, ∴EH=ED=2+x, ∵AE⊥BC, ∴∠AEB=∠EAD=90°, ∴AE2=AB2-BE2=ED2-AD2, 即22-x2=(2+x)2-22, 化簡得:x2+2x-2=0, 解得:x=-1, 在Rt△ABE中, ∴cosB=. 故答案為: . 【分析】延長DM交CB的
20、延長線于H,由菱形的性質和平行線的性質可得:AB=AD=BC=2,∠ADM=∠H;由全等三角形的判定AAS得△ADM≌△BHM,再根據全等三角形的性質得DM=HM,AD=BH=2,根據等腰三角形三線合一的性質可得EH=ED,設BE=x,則EH=ED=2+x,根據勾股定理得AE2=AB2-BE2=ED2-AD2,代入數值解這個方程即可得出BE的長. 16.如圖,在邊長為1的小正方形網格中,點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上,AB、CD相交于點O,則tan∠AOD=________. 【答案】2 【解析】 :連接BE交CF于點G(如圖), ∵四邊形BCEF是邊長為1的正方
21、形, ∴BE=CF= ,BE⊥CF, ∴BG=EG=CG=FG= , 又∵BF∥AC, ∴△BFO∽△ACO, ∴ , ∴CO=3FO, ∴FO=OG= CG= , 在Rt△BGO中, ∴tan∠BOG= =2, 又∵∠AOD=∠BOG, ∴tan∠AOD=2. 故答案為:2. 【分析】連接BE交CF于點G(如圖),根據勾股定理得BE=CF= ,再由正方形的性質得BE⊥CF,BG=EG=CG=FG= ,又根據相似三角形的判定得△BFO∽△ACO,由相似三角形的性質得 ,從而得FO=OG= CG= ,在Rt△BGO中根據正切的定義得tan∠BOG= =2,根據對頂角相等
22、從而得出答案. 17.如圖。在 的正方形方格圖形中,小正方形的頂點稱為格點. 的頂點都在格點上,則 的正弦值是________. 【答案】 【解析】 ∵AB2=32+42=25,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5,∴AC2+BC2=AB2 , ∴△ABC為直角三角形,且∠ACB=90°,則sin∠BAC= = . 故答案為: . 【分析】首先根據方格紙的特點,算出AB2,AC2,BC2,然后根據勾股定理的逆定理判斷出∴△ABC為直角三角形,且∠ACB=90°,根據正弦函數的定義即可得出答案。 18.一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF疊合在一起,邊BC與
23、EF重合,BC=EF=12cm(如圖1),點G為邊BC(EF)的中點,邊FD與AB相交于點H,此時線段BH的長是________.現將三角板DEF繞點G按順時針方向旋轉(如圖2),在∠CGF從0°到60°的變化過程中,點H相應移動的路徑長共為________.(結果保留根號) 【答案】; 【解析】 :如圖 如圖1中,作HM⊥BC于M,HN⊥AC于N,則四邊形HMCN是正方形,設邊長為a. 在Rt△ABC中,∵∠ABC=30°,BC=12, ∴AB==8, 在Rt△BHM中,BH=2HM=2a,??? 在Rt△AHN中,AH==a, ∴2a+=8, ∴a=6?6,
24、 ∴BH=2a=12?12. 如圖2中,當DG∥AB時,易證GH1⊥DF, BH1的值最小,則BH1=BK+KH1=3+3, ∴HH1=BH?BH1=9?15, 當旋轉角為60°時,F與H2重合,易知BH2=6, 觀察圖象可知,在∠CGF從0°到60°的變化過程中, ∴點H相應移動的路徑長=2HH1+HH2=18?30+[6?(12?12)]=12?18, 故答案為:12?12,12?18.【分析】如圖1中,作HM⊥BC于M,HN⊥AC于N,則四邊形HMCN是正方形,設邊長為a,利用解直角三角形求出AB的長,用含a的代數式分別表示BH、AH的長,再根據AB=AH+BH,就
25、可求出a的值,從而求出BH的值即可;如圖2中,當DG∥AB時,易證GH1⊥DF,得出此時BH1的值最小,求出BH1的值,再求出BH2的值,然后求值在∠CGF從0°到60°的變化過程中,點H相應移動的路徑長即可。 三、解答題題 19. 先化簡,再求值:( ﹣ )÷ ,其中a=2sin60°﹣tan45°. 【答案】解:原式=[ ﹣ ]?(a﹣1) = ?(a﹣1) = 當a=2sin60°﹣tan45°=2× ﹣1= ﹣1時, 原式= = 【解析】【分析】將原式括號內通分、將除法轉化為乘法,再計算減法,最后約分即可化簡原式,根據特殊銳角三角函數值求得a的值,代入即可
26、. 20.為了計算湖中小島上涼亭P到岸邊公路l的距離,某數學興趣小組在公路l上的點A處,測得涼亭P在北偏東60°的方向上;從A處向正東方向行走200米,到達公路l上的點B處,再次測得涼亭P在北偏東45°的方向上,如圖所示.求涼亭P到公路l的距離.(結果保留整數,參考數據: , ) 【答案】解:依題可得:AB=200米,∠PAC=60°,∠PBD=45°,令PG=x米,作PG⊥l, ∴∠PAG=30°,∠PBG=45°, ∴△PBG為等腰直角三角形, ∴BG=PG=x, 在Rt△PAG中, ∴tan30°= , 即 , ∴x=100( +1)≈273 答:涼亭P到公路l的
27、距離是273米. 【解析】【分析】令PG=x米,作PG⊥l,根據題意可得△PBG為等腰直角三角形,即BG=PG=x,在Rt△PAG中,根據銳角三角函數正切定義可得tan30°= ,代入數值解方程即可. 21.如圖,湛河兩岸AB與EF平行,小亮同學假期在湛河邊A點處,測得對岸河邊C處視線與湛河岸的夾角∠CAB=37°,沿河岸前行140米到點B處,測得對岸C處的視線與湛河岸夾角∠CBA=45°.問湛河的寬度約多少米?(參考數據:sin37°≈0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75) 【答案】解:過C作CD⊥AB于點D, 設CD=x米. 在Rt△BDC中,∠C
28、DB=90°,∠CBD=45°,∴BD=CD=x . 在Rt△ADC中,∠ADC=90°,∠CAD=37°,∴AD= ?. ∵AB=AD+DB=140,∴ ,∴x=60. 答:湛河的寬度約60米. 【解析】【分析】過C作CD⊥AB于點D,設CD=x米,在Rt△BDC中,∠CDB=90°,∠CBD=45°,根據等腰三角形的性質可得BD=CD=x ,在Rt△ADC中,∠ADC=90°,∠CAD=37°,由tan∠CAD=tan37°=,所以AD=,而由題意得AB=AD+DB=140,所以++ x = 140,解得x=60. 22.已知:在平面直角坐標系中,點0為坐標原點,點A在
29、x軸的負半軸上,直線 與x軸、y軸分別交于B、C兩點,四邊形ABCD為菱形. (1)如圖1,求點A的坐標; (2)如圖2,連接AC,點P為△ACD內一點,連接AP、BP,BP與AC交于點G,且∠APB=60°,點E在線段AP上,點F在線投BP上,且BF=AE.連接AF、EF,若∠AFE=30°,求AF +EF 的值; (3)如圖3在(2)的條件下,當PE=AE時,求點P的坐標. 【答案】(1)解:如圖1∵ :BO= ,CO= 在R△BCO中 ∴四邊形ABCD為菱形∴AB=BC=7 ∴AO=AB-BO= ∴ (2)解:如圖2 ∵AO= =
30、BO,CO⊥AB∴AC=BC=7 AB=AC=BC∴△ABC為等邊三角形∴∠ACB=60° ,∠APB=60°∴∠APB=∠ACB ∵∠PAG+∠APB=∠AGB=∠CBG+∠ACB ∵∠PAG=∠CBG連接CE、CF ∵AE=BF∴△ACE≌△BCF ∴CE=CF∠ACE=∠BCF ∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60° △CEF為等邊三角形 ∴∠CFE=60°EF=FC∵∠AFE=30°∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=90° 在Rt△ACF中∴AF2+CF2=AC2=72=49∴AF2+EF2=49 (3)解:如圖 由(2)知△CEF為
31、等邊三角形 ∠CEF=60°EC=EF延長CE、FA交于點H ∵∠AFE=30°∠CEF=∠H+∠EFH ∠H=∠CEF-∠EFH=30°∴∠H=∠EFH∴EH=EF EC=EH連接CP∵PE=AE∠CEP=∠HEA △CPE≌△HAE∴∠PCE=∠H:CP∥FH ∠HFP=∠CPF在BP上截取TB=AP 連接TC由(2)知∠CAP=∠CBT∵AC=BC∴,△ACP≌△BCT CP=CT∠ACP=∠BCT∴∠PCT=∠ACP+∠ACT=∠BCT+∠ACT=∠ACB=60 △CPT為等邊三角形∴CT=PT∠CPT=∠CTP=60° CP∥FH∴∠HFP=∠CPIT=60°∵∠
32、APB=60°∴∠APB=∠AFP∴AP=AF △APF為等邊三角形∴∠CFP=∠AFC-∠AFP=90°-60°=30° ∴∠TCF=∠CTP-∠TFC=60°-30°=30°∴∠TCF=∠TFC∴TF=TC=TP 連接AT則AT⊥BP設BF=m則AE=PE=m PF=AP=2m.TF=TP=m TB=2m BP=3m 在Rt△APT中AT= 在Rt△ABT中,AT2+TB2=AB2∴ ∴m1=- (舍去)m2= BF= ,AT= ,BP=3 , 作PQ⊥AB垂足為點Q,作PK⊥OC,垂足為點K,則四邊形PQOK為矩形 則OK=PQ=BP·sin∠PBQ=3 x2
33、=3 【解析】【分析】(1)先求出直線BC與兩坐標軸的交點B、C的坐標,再利用勾股定理求出BC的長,根據菱形的性質得出AB=BC,然后求出AO的長,就可得出點A的坐標。 (2)根據點A、B的坐標,可證得△ABC是等邊三角形,可得出AC=AB,再證明∠PAG=∠CBG,根據已知AE=BF,就可證得△ACE≌△BCF,得出CE=CF,∠ACE=∠BCF,然后證明∠AFC=90°,在Rt△ACF中,利用勾股定理就可結果。 (3)延長CE、FA交于點,根據等邊三角形的性質及已知條件,先證明EC=EH,連接CP,易證△CPE≌△HAE,得出∠PCE=∠H,根據平行線的性質,可得出∠HFP=∠CPF,在BP上截取TB=AP,連接TC,證明△ACP≌△BCT,根據等邊三角形的性質及平行線的性質,去證明TF=TC=TP,連接AT,得出AT⊥BP,設BF=m,AE=PE=m,再根據勾股定理求出m的值,作PQ⊥AB,PK⊥OC,可得出四邊形PQOK是矩形,利用解直角三角形求出PQ的長,就可求出BQ、OQ的長,從而可得出點P的坐標。 20
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