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2018年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員系列 專題29 尺規(guī)作圖(含解析)

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1、 考點(diǎn)二十九:尺規(guī)作圖 聚焦考點(diǎn)☆溫習(xí)理解 1.尺規(guī)作圖的作圖工具限定只用圓規(guī)和沒有刻度的直尺 2.基本作圖 (1)作一條線段等于已知線段,以及線段的和﹑差; (2)作一個(gè)角等于已知角,以及角的和﹑差; (3)作角的平分線; (4)作線段的垂直平分線; (5)過一點(diǎn)作已知直線的垂線. 3.利用基本作圖作三角形 (1)已知三邊作三角形; (2)已知兩邊及其夾角作三角形; (3)已知兩角及其夾邊作三角形; (4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形; (5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形. 4.與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖 (1)過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓(即三角形的外接圓)

2、; (2)作三角形的內(nèi)切圓; (3)作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形. 5.有關(guān)中心對(duì)稱或軸對(duì)稱的作圖以及設(shè)計(jì)圖案是中考的常見類型 6.作圖的一般步驟 尺規(guī)作圖的基本步驟: (1)已知:寫出已知的線段和角,畫出圖形; (2)求作:求作什么圖形,它符合什么條件,一一具體化; (3)作法:應(yīng)用“五種基本作圖”,敘述時(shí)不需重述基本作圖的過程,但圖中必須保留基本作圖的痕跡; (4)證明:為了驗(yàn)證所作圖形的正確性,把圖作出后,必須再根據(jù)已知的定義、公理、定理等,結(jié)合作法來證明所作出的圖形完全符合題設(shè)條件; (5)討論:研究是不是在任何已知的條件下都能作出圖形;在哪些情況下,問題有一個(gè)解、多

3、個(gè)解或者沒有解; (6)結(jié)論:對(duì)所作圖形下結(jié)論. 名師點(diǎn)睛☆典例分類 考點(diǎn)典例一、應(yīng)用角平分線、線段的垂直平分線性質(zhì)畫圖 【例1】(2017四川自貢第22題)兩個(gè)城鎮(zhèn)A,B與一條公路CD,一條河流CE的位置如圖所示,某人要修建一避暑山莊,要求該山莊到A,B的距離必須相等,到CD和CE的距離也必須相等,且在∠DCE的內(nèi)部,請(qǐng)畫出該山莊的位置P.(不要求寫作法,保留作圖痕跡.) 【答案】作圖見解析. 【解析】 試題分析:根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知:到CD和CE的距離相等的點(diǎn)在∠DCE的角平分線上,所以第一步作:∠ECD的平分線CF; 根據(jù)中垂線的性質(zhì)可得:到A、B的距離相等的點(diǎn)在A

4、B的垂直平分線上,所以第二步作線段AB的垂直平分線MN,其交點(diǎn)就是P點(diǎn). 試題解析:作法:①作∠ECD的平分線CF, ②作線段AB的中垂線MN, ③MN與CF交于點(diǎn)P,則P就是山莊的位置. 考點(diǎn):作圖設(shè)計(jì). 【點(diǎn)睛】本題借助實(shí)際場(chǎng)景,考查了幾何基本作圖的能力,考查了線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)及應(yīng)用. 【舉一反三】 (2017黑龍江綏化第22題)如圖,為某公園的三個(gè)景點(diǎn),景點(diǎn)和景點(diǎn)之間有一條筆直的小路,現(xiàn)要在小路上建一個(gè)涼亭,使景點(diǎn)、景點(diǎn)到?jīng)鐾さ木嚯x之和等于景點(diǎn)到景點(diǎn)的距離.請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在所給的圖中作出點(diǎn).(不寫作法和證明,只保留作圖痕跡) 【答案】作圖見解析.

5、【解析】 考點(diǎn):作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖. 考點(diǎn)典例二、畫已知直線的平行線,垂線 【例2】(北京市燕山區(qū)2017屆九年級(jí)一模)下面是“經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程. 請(qǐng)回答:該作圖依據(jù)是__________________________________________________. 【答案】四邊相等的四邊形是菱形,菱形對(duì)邊平行, 兩點(diǎn)確定一條直線 【解析】四邊相等的四邊形是菱形,菱形對(duì)邊平行, 兩點(diǎn)確定一條直線。 【點(diǎn)睛】尺規(guī)作圖經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線,實(shí)際上就是基本作圖:作一個(gè)角等于已知角. 【例3】(北京市海淀區(qū)2017-2

6、018學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中)下面是“作已知三角形的高”的尺規(guī)作圖過程. 已知: . 求作: 邊上的高 作法:如圖, (1)分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于, 兩點(diǎn); (2)作直線,交于點(diǎn); (3)以為圓心, 為半徑⊙O,與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,連接AD,線段AD即為所作的高. 請(qǐng)回答;該尺規(guī)作圖的依據(jù)是___________________________________________________ 【答案】①到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上;②直徑所對(duì)的圓周角是直角;③兩點(diǎn)確定一條直線. 【解析】由(1)(2)(3)可得OA=OC=

7、OD,所以A、D、C在以O(shè)為圓心,AC為直徑的圓上,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角,得∠ADC=90°,即AD為BC邊上的高. 故答案為:①到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上;②直徑所對(duì)的圓周角是直角;③兩點(diǎn)確定一條直線. 【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖:復(fù)雜作圖時(shí)在五種基本作圖的基礎(chǔ)上你進(jìn)行作圖,一般是幾何了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì),結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖,逐步操作. 【舉一反三】 (2017浙江衢州第7題)下列四種基本尺規(guī)作圖分別表示:①作一個(gè)角等于已知角;②作一個(gè)角的平分線;③作一條線段的垂直平分線;

8、④過直線外一點(diǎn)P作已知直線的垂線,則對(duì)應(yīng)選項(xiàng)中作法錯(cuò)誤的是( ?。? A.① B.② C.③ D.④ 【答案】C. 考點(diǎn):基本作圖. 考點(diǎn)典例三、畫三角形 【例4】(2017江蘇無錫第24題)如圖,已知等邊△ABC,請(qǐng)用直尺(不帶刻度)和圓規(guī),按下列要求作圖(不要求寫作法,但要保留作圖痕跡): (1)作△ABC的外心O; (2)設(shè)D是AB邊上一點(diǎn),在圖中作出一個(gè)正六邊形DEFGHI,使點(diǎn)F,點(diǎn)H分別在邊BC和AC上. 【答案】(1)作圖見解析;(2)作圖見解析. 【解析】 試題分析:(1)根據(jù)垂直平分線的作法作出AB,AC的垂直平分線交于點(diǎn)O即為所求; (2)過

9、D點(diǎn)作DI∥BC交AC于I,分別以D,I為圓心,DI長(zhǎng)為半徑作圓弧交AB于E,交AC于H,過E點(diǎn)作EF∥AC交BC于F,過H點(diǎn)作HG∥AB交BC于G,六邊形DEFGHI即為所求正六邊形. 試題解析:(1)如圖所示:點(diǎn)O即為所求. (2)如圖所示:六邊形DEFGHI即為所求正六邊形. 考點(diǎn):1.作圖—復(fù)雜作圖;2.等邊三角形的性質(zhì);3.三角形的外接圓與外心. 【點(diǎn)睛】(1)作三角形包括:①已知三角形的兩邊及其夾角,求作三角形;②已知三角形的兩角及其夾邊,求作三角形;③已知三角形的三邊,求作三角形; (2)求作三角形的關(guān)鍵是確定三角形的頂點(diǎn);而求作直角三角形時(shí),一般先作出直角,然

10、后根據(jù)條件作出所求的圖形. 【舉一反三】 已知:線段a、c和∠β(如圖),利用直尺和圓規(guī)作△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠β.(不寫作法,保留作圖痕跡). 【答案】作圖見解析. 【解析】 試題分析:先作∠MBN=∠β,再在∠MBN的兩邊上分別截取BC=a,AB=c,連接AC即可. 試題解析: 考點(diǎn):作圖—基本作圖. 考點(diǎn)典例四、通過畫圖確定圓心 【例5】(2017浙江嘉興同學(xué)19題)如圖,已知,. (1)在圖中,用尺規(guī)作出的內(nèi)切圓,并標(biāo)出與邊,,的切點(diǎn),,(保留痕跡,不必寫作法); (2)連接,,求的度數(shù). 【答案】(1)作圖見解析;(2)70°

11、. 【解析】 試題分析:(1)直接利用基本作圖即可得出結(jié)論; (2)利用四邊形的性質(zhì),三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)即可得出結(jié)論. 試題解析:(1)如圖1, ⊙O即為所求. (2)如圖2, 連接OD,OE, ∴OD⊥AB,OE⊥BC, ∴∠ODB=∠OEB=90°, ∵∠B=40°, ∴∠DOE=140°, ∴∠EFD=70°. 考點(diǎn):1.作圖—復(fù)雜作圖;2.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心. 【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)雜的尺規(guī)作圖,角平分線,線段中垂線及圓,解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)圓周心作出圓. 【舉一反三】 (浙江省杭州市余杭區(qū)2017屆九年級(jí)上學(xué)期期中) 如圖,(1)作△ABC的外接

12、⊙O(用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法); (2)若AB=6cm,AC=BC=5cm,求⊙O的半徑. 【答案】(1)(1)作圖見解析;(2) 【解析】試題分析:(1)作線段AB于BC的垂直平分線相交于點(diǎn)O,則點(diǎn)O即為圓心,OA為半徑,作△ABC的外接圓即可; (2)先根據(jù)勾股定理求出CD的長(zhǎng),設(shè)OC=OA=r,則OD=CD-r,在Rt△AOD中,利用勾股定理求出r的值即可. 試題解析:(1)如圖,⊙O即為所求; (2)∵AB=6cm,AC=BC=5cm, ∴AD=AB=3cm, ∴CD==4cm. 設(shè)OC=OA=r,則OD=4-r, 在Rt△AOD中, ∵AD2

13、+OD2=OA2,即32+(4-r)2=r2,解得r=. 課時(shí)作業(yè)☆能力提升 1.(2017廣西四市)如圖,△ABC中,AB>AC,∠CAD為△ABC的外角,觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ) A.∠DAE=∠B B.∠EAC=∠C C.AE∥BC D.∠DAE=∠EAC 【答案】D. 【解析】 試題分析:根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡,可得∠DAE=∠B,故A選項(xiàng)正確,∴AE∥BC,故C選項(xiàng)正確,∴∠EAC=∠C,故B選項(xiàng)正確,∵AB>AC,∴∠C>∠B,∴∠CAE>∠DAE,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤,故選D. 考點(diǎn):作圖—復(fù)雜作圖;平行線的判定與

14、性質(zhì);三角形的外角性質(zhì). 2.(2016-2017學(xué)年江蘇鹽城東臺(tái)市第二教育聯(lián)盟初二上10月考)用尺規(guī)作圖,不能作出唯一直角三角形的是( ). A.已知兩條直角邊 B.已知兩個(gè)銳角 C.已知一直角邊和直角邊所對(duì)的一銳角 D.已知斜邊和一直角邊 【答案】B. 考點(diǎn):作圖——復(fù)雜作圖. 3.(河南省駐馬店市確山縣2017-2018學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中)如圖,已知鈍角?ABC,依下列步驟尺規(guī)作圖,并保留作圖痕跡. 步驟1:以C為圓心,CA為半徑畫?、?; 步驟2:以B為圓心,BA為半徑畫?、冢换、儆邳c(diǎn)D; 步驟3:連接A

15、D,交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H. 下列敘述正確的是( ) A. AC平分∠BAD B. BH垂直平分線段AD C. D. AB=AD 【答案】B 【解析】解:①、錯(cuò)誤.CA不一定平分∠BAD. ②、正確.如圖連接CD、BD.∵CA=CD,BA=BD,∴點(diǎn)C、點(diǎn)B在線段AD的垂直平分線上,∴直線BC是線段AD的垂直平分線,故A正確. ③、錯(cuò)誤.應(yīng)該是S△ABC=?BC?AH. ④、錯(cuò)誤.根據(jù)條件AB不一定等于AD. 故選B. 點(diǎn)睛:本題考查作圖﹣基本作圖、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是掌握證明線段垂直平分線的證明方法. 4.(福建省晉江市2

16、017年初中學(xué)業(yè)質(zhì)量檢查)已知點(diǎn),點(diǎn)都在直線的上方,試用尺規(guī)作圖在直線上求作一點(diǎn),使得 的值最小,則下列作法正確的是( ). A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 如圖,由作圖可知,B,B'關(guān)于直線對(duì)稱,所以BP= B'P,此時(shí)AP +PB'=AP+PB值最小. 5.(2017湖北隨州)如圖,用尺規(guī)作圖作∠AOC=∠AOB的第一步是以點(diǎn)O為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑畫?、伲謩e交OA、OB于點(diǎn)E、F,那么第二步的作圖痕跡②的作法是( ?。? A. 以點(diǎn)F為圓心,OE長(zhǎng)為半徑畫弧 B. 以點(diǎn)F為圓心,EF長(zhǎng)為半徑畫弧 C. 以點(diǎn)E為圓心,OE長(zhǎng)

17、為半徑畫弧 D. 以點(diǎn)E為圓心,EF長(zhǎng)為半徑畫弧 【答案】D 【解析】解:用尺規(guī)作圖作∠AOC=∠AOB的第一步是以點(diǎn)O為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑畫?、?,分別交OA、OB于點(diǎn)E、F,第二步的作圖痕跡②的作法是以點(diǎn)E為圓心,EF長(zhǎng)為半徑畫弧.故選D. 6.(浙江省溫州市鹿城區(qū)第二十三中學(xué)2017學(xué)年H上八年級(jí)期中)如圖,用尺規(guī)作圖作“一個(gè)角等于已知角”的原理是:因?yàn)?所以.由這種作圖方法得到的和全等的依據(jù)是( ) A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】A 【解析】根據(jù)作圖方法可知:D' O' =DO, O' C'=OC,D'C'=DC,根

18、據(jù)SSS即可得,故選A. 7.(2017屆浙江省杭州市淳安縣中考模擬)尺規(guī)作圖特有的魅力曾使無數(shù)人沉湎期中,連當(dāng)年叱咤風(fēng)云的拿破侖也不例外,我們可以只用圓規(guī)將圓等分。例如可將圓6等分,如圖只需在⊙O上任取點(diǎn)A,從點(diǎn)A開始,以⊙O的半徑為半徑,在⊙O上依次截取點(diǎn)B,C,D,E,F.從而點(diǎn)A,B,C,D,E,F把⊙O六等分。下列可以只用圓規(guī)等分的是( ) ①兩等分 ②三等分 ③四等分 ④五等分 A. ② B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】經(jīng)過圓心的直徑可將圓周兩等分;畫一條直徑,以直徑的一個(gè)端點(diǎn)為圓心,以圓的

19、半徑為半徑畫弧,與原有圓有兩個(gè)交點(diǎn),這兩個(gè)交點(diǎn)與直徑另一個(gè)端點(diǎn)就是圓的三等分點(diǎn);畫兩條互相垂直的直徑就可以將圓四等分;五等分圓如下圖所示: 8.(山東省日照市莒縣2016-2017學(xué)年期末)下列尺規(guī)作圖,能判斷AD是△ABC邊上的高是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】試題分析:過點(diǎn)A作BC的垂線,垂足為D,故選B. 考點(diǎn):作圖—基本作圖. 9.(浙江省麗水市青田縣八校聯(lián)盟2017屆九年級(jí)上學(xué)期第二次教學(xué)效果調(diào)研)已知線段AB,下列尺規(guī)作圖中,PQ與AB的交點(diǎn)O不一定是AB的中點(diǎn)的是( ) A. A B. B

20、C. C D. D 【答案】C 10.(2017湖北宜昌卷)如圖,在中,尺規(guī)作圖如下:分別以點(diǎn),點(diǎn)為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于兩點(diǎn),作直線,交于點(diǎn),連接,則下列結(jié)論正確的是( ) A.平分 B.垂直平分 C. 垂直平分 D.平分 【答案】C 【解析】 試題分析:根據(jù)線段垂直平分線的作法可得,GH垂直平分線段EF. 故選:C. 考點(diǎn):1、作圖—基本作圖;2、線段垂直平分線的性質(zhì) 11.(浙江省杭州市青春中學(xué)2016-2017學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中)如圖,用尺規(guī)作圖作“一個(gè)角等于已知角”的原理是:因?yàn)椤鱀′O′

21、C′≌△DOC,所以∠D′O′C′=∠DOC。由這種作圖方法得到的△D′O′C′和△DOC全等的依據(jù)是___(寫出全等判定方法的簡(jiǎn)寫) 【答案】SSS 【解析】由題意得,, 得△D′O′C′△DOC. 12.(2017年初中畢業(yè)升學(xué)考試河北卷)如圖,依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡,計(jì)算∠α=___°. 【答案】56 【解析】試題分析:如圖,根據(jù)作圖痕跡可知,GH垂直平分AC,AG平分∠CAD. ∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠CAD=∠ABC=68°。 ∵AG平分∠CAD,∴∠CAG=∠CAD=34°。 ∵GH垂直平分AC,∴∠AHG=90°,∴∠AGH=90°-34°=

22、56°。 ∵∠α=∠AGH,∴∠α=56°。 考點(diǎn):尺規(guī)作圖,矩形的性質(zhì),角平分的定義,直角三角形的性質(zhì). 13.(2017年北京懷柔初三數(shù)學(xué)二模)下面是一道確定點(diǎn)P位置的尺規(guī)作圖題的作圖過程. 如圖,直線L1與L2相交于點(diǎn)O,A,B是L2上兩點(diǎn),點(diǎn)P是直線L1上的點(diǎn),且∠APB=30°,請(qǐng)?jiān)趫D中作出符合條件的點(diǎn)P. 作法:如圖, (1)以AB為邊在L2上方作等邊△ABC; (2)以C 為圓心,AB長(zhǎng)為半徑作⊙C交直線L1于P1,P2兩點(diǎn). 則P1、P2就是所作出的符合條件的點(diǎn)P. 請(qǐng)回答:該作圖的依據(jù)是______________________________

23、________________________. 【答案】一條弧所對(duì)圓周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半. 【解析】∵△ABC是等邊三角形, ∴∠C=60°, ∴∠AP1B=30°,∠AP2B=30° 依據(jù)是:一條弧所對(duì)圓周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半. 14.(2017甘肅慶陽第21題)如圖,已知△ABC,請(qǐng)用圓規(guī)和直尺作出△ABC的一條中位線EF(不寫作法,保留作圖痕跡). 【答案】作圖見解析 【解析】 試題分析:作線段AB的垂直平分線得到AB的中點(diǎn)E,作AC的垂直平分線得到線段AC的中點(diǎn)F.線段EF即為所求. 試題解析:如圖,△ABC的一條中位線EF如圖所示, 方法:

24、作線段AB的垂直平分線得到AB的中點(diǎn)E,作AC的垂直平分線得到線段AC的中點(diǎn)F.線段EF即為所求. 考點(diǎn):作圖—復(fù)雜作圖;三角形中位線定理. 15.(2017廣西貴港第20題)尺規(guī)作圖(不寫作法,保留作圖痕跡): 已知線段和,點(diǎn) 在上(如圖所示). (1)在邊上作點(diǎn),使 ; (2)作的平分線; (3)過點(diǎn)作的垂線. 【答案】作圖見解析. 【解析】 試題分析:(1)在OA上截取OP=2a即可求出點(diǎn)P的位置; (2)根據(jù)角平分線的作法即可作出∠AOB的平分線; (3)以M為圓心,作一圓與射線OB交于兩點(diǎn),再以這兩點(diǎn)分別為圓心,作兩個(gè)相等半徑的圓交于D點(diǎn),連接MD即為O

25、B的垂線; 試題解析:(1)點(diǎn)P為所求作; (2)OC為所求作; (3)MD為所求作; 考點(diǎn):作圖—復(fù)雜作圖. 16.(2017湖北孝感第20題)如圖,已知矩形 . (1)請(qǐng)用直尺和圓規(guī)按下列步驟作圖,保留作圖痕跡: ①以點(diǎn)為圓心,以的長(zhǎng)為半徑畫弧交邊于點(diǎn),連接; ②作的平分線交 于點(diǎn); ③連接; (2)在(1)作出的圖形中,若,則的值為 . 【答案】(1)畫圖見解析;(2) . 【解析】 試題分析:(1)根據(jù)題目要求作圖即可; (2)由(1)知AE=AD=10、∠DAF=∠EAF,可證△DAF≌△EAF得∠D=∠AEF=90°,即可得∠F

26、EC=∠BAE,從而由tan∠FEC=tan∠BAE=可得答案. 試題解析:(1)如圖所示; 考點(diǎn):1.作圖﹣基本作圖;2.全等三角形的判定與性質(zhì);3.解直角三角形. 17.(2017貴州六盤水第25題)如圖,是的直徑,,點(diǎn)在上,,為的中點(diǎn),是直徑上一動(dòng)點(diǎn). (1)利用尺規(guī)作圖,確定當(dāng)最小時(shí)點(diǎn)的位置(不寫作法,但要保留作圖痕跡). (2)求的最小值. 【答案】(1)詳見解析;(2)2. 試題分析:(1)畫出A點(diǎn)關(guān)于MN的稱點(diǎn),連接B,就可以得到P點(diǎn); (2)利用得∠AON=∠=60°,又為弧AN的中點(diǎn),∴∠BON=30°,所以∠ON=90°,再求最小值. 試題解析:

27、 (1)如圖,點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn). (2)由(1)可知,的最小值為的長(zhǎng), 連接,OB、OA ∵A點(diǎn)關(guān)于MN的稱點(diǎn),∠AMN=30°, ∴ 又∵為的中點(diǎn) ∴ ∴ ∴ 又∵M(jìn)N=4 ∴ 在Rt△中, 即的最小值為2. 考點(diǎn):圓,最短路線問題. 18.(2017江蘇鹽城第24題)如圖,△ABC是一塊直角三角板,且∠C=90°,∠A=30°,現(xiàn)將圓心為點(diǎn)O的圓形紙片放置在三角板內(nèi)部. (1)如圖①,當(dāng)圓形紙片與兩直角邊AC、BC都相切時(shí),試用直尺與圓規(guī)作出射線CO;(不寫作法與證明,保留作圖痕跡) (2)如圖②,將圓形紙片沿著三角板的內(nèi)部邊緣滾動(dòng)1

28、周,回到起點(diǎn)位置時(shí)停止,若BC=9,圓形紙片的半徑為2,求圓心O運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng). 【答案】(1)作圖見解析;(2)15+. 【解析】 試題分析:(1)作∠ACB的平分線得出圓的一條弦,再作此弦的中垂線可得圓心O,作射線CO即可; (2)添加如圖所示輔助線,圓心O的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為C△OO1O2,先求出△ABC的三邊長(zhǎng)度,得出其周長(zhǎng),證四邊形OEDO1、四邊形O1O2HG、四邊形OO2IF均為矩形、四邊形OECF為正方形,得出∠OO1O2=60°=∠ABC、∠O1OO2=90°,從而知△OO1O2∽△CBA,利用相似三角形的性質(zhì)即可得出答案. 試題解析:(1)如圖①所示,射線OC即為所求

29、; (2)如圖,圓心O的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為C△OO1O2, 過點(diǎn)O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB,垂足分別為點(diǎn)D、F、G, 過點(diǎn)O作OE⊥BC,垂足為點(diǎn)E,連接O2B, 過點(diǎn)O2作O2H⊥AB,O2I⊥AC,垂足分別為點(diǎn)H、I, 在Rt△ABC中,∠ACB=90°、∠A=30°, ∴AC=,AB=2BC=18,∠ABC=60°, ∴C△ABC=9+9+18=27+9, ∵O1D⊥BC、O1G⊥AB, ∴D、G為切點(diǎn), ∴BD=BG, 在Rt△O1BD和Rt△O1BG中, ∵, ∴△O1BD≌△O1BG(HL), ∴∠O1BG=∠O1BD=30°,

30、 在Rt△O1BD中,∠O1DB=90°,∠O1BD=30°, ∴BD=, ∴OO1=9-2-2=7-2, ∵O1D=OE=2,O1D⊥BC,OE⊥BC, ∴O1D∥OE,且O1D=OE, ∴四邊形OEDO1為平行四邊形, ∵∠OED=90°, ∴四邊形OEDO1為矩形, 同理四邊形O1O2HG、四邊形OO2IF、四邊形OECF為矩形, 又OE=OF, ∴四邊形OECF為正方形, ∵∠O1GH=∠CDO1=90°,∠ABC=60°, ∴∠GO1D=120°, 又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°, ∴∠OO1O2=360°-90°-90°=60°=∠ABC, 同

31、理,∠O1OO2=90°, ∴△OO1O2∽△CBA, ∴,即, ∴C△OO1O2=15+,即圓心O運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為15+. 考點(diǎn):切線的性質(zhì);作圖—復(fù)雜作圖. 19.(2017甘肅蘭州第22題)在數(shù)學(xué)課上,同學(xué)們已經(jīng)探究過“經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程: 已知:直線和外一點(diǎn) 求作:直線的垂線,使它經(jīng)過點(diǎn). 做法:如圖:(1)在直線上任取兩點(diǎn)、; (2)分別以點(diǎn)、為圓心,,長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn); (3)作直線. 參考以上材料作圖的方法,解決以下問題: (1)以上材料作圖的依據(jù)是 . (3)已知:直線和外一點(diǎn), 求作:,使它與直線相切。(尺規(guī)作圖,不寫做法,保留作圖痕跡,并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑) 【答案】(1)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等;(2)作圖見解析. 【解析】 試題分析:(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),可得答案; (2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),切線的性質(zhì),可得答案. 試題解析:(1)以上材料作圖的依據(jù)是:線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等, (2)如圖. 考點(diǎn):作圖—復(fù)雜作圖;切線的判定. 24

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