《2019年八年級數(shù)學上冊 第13章 軸對稱測試卷 （新版）新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019年八年級數(shù)學上冊 第13章 軸對稱測試卷 （新版）新人教版（23頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、《軸對稱》綜合測試一 一、選擇題（每小題3分，共24分） 1.下列剪紙作品都是軸對稱圖形．其中對稱軸條數(shù)最多的作品是（　　） A． B． C． D． 2.下列說法不正確的是（　?。? A．兩個關于某直線對稱的圖形一定全等 B．對稱圖形的對稱點一定在對稱軸的兩側 C．兩個軸對稱的圖形對應點的連線的垂直平分線是它們的對稱軸 D．平面上兩個全等的圖形不一定關于某直線對稱 3.下列條件中，不能得到等邊三角形的是（　?。? A．有兩個角是60°的三角形 B．有一個角是60°的等腰三角形 C．有兩個外角相等的等腰三角形 D．三邊都相等的三角形 4.如圖，等腰△ABC中，AB=

2、AC=8，BC=5，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交AC于點E，則△BEC的周長為（　?。? A．13 B．14 C．15 D．16 5.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，則BD與AB的關系是（　?。? A．BD=AB B．BD=AB C．BD=AB D．BD=AB 6．如圖，△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，E是AC上一點，且AE=AD，若∠AED=75°，則∠EDC的度數(shù)是（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 7.如圖，△ABC的頂點坐標分別為A（4，4）

3、、B（2，1）、C（5，2），沿某一直線作△ABC的對稱圖形，得到△A′B′C′，若點A的對應點A′的坐標是（3，5），那么點B的對應點B′的坐標是（　?。? A．（0，3） B．（1，2） C．（0，2） D．（4，1） 8. 如圖，已知△ABC的面積為10cm2，BP為∠ABC的角平分線，AP垂直BP于點P，則△PBC的面積為（　B?。? A. 6cm2 B. 5cm2 C. 4cm2 D. 3cm2 　 二、填空題（每小題4分，共24分） 9.已知點A（a，2019）與點B（2020，b）關于y軸對稱，則a+b的值為　 ?。? 10.等腰

4、三角形一個角等于100°，則它的一個底角的度數(shù)是　 　． 11.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，將其折疊，使點A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB的度數(shù)為　 　． 12.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D點，點E、F分別是AD的三等分點，若△ABC的面積為18cm2，則圖中陰影部分面積為　　　 　　　cm2． 13. 如圖，在△ABC中，∠B與∠C的平分線交于點O．過O點作DE∥BC，分別交AB、AC于D、E．若AB=8，AC=6，則△ADE的周長是 . 14.如圖：D、E是三角形ABC的邊B

5、C上的兩點，且BD=DE=AD=AE=EC，則∠BAC的大小等于　 ?。? 三、解答題（5個小題，共52分） 15.（8分）如圖所示，寫出△ABC關于x對稱的△A1B1C1的各頂點坐標，并畫出△ABC關于y對稱的△A2B2C2． 　 16.（10分）如圖是由16個小正方形組成的正方形網格圖，現(xiàn)已將其中的兩個涂黑．請你用三種不同的方法分別在下圖中再涂黑三個空白的小正方形，使它成為軸對稱圖形． 17.（10分）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一點

6、M，使BM=2DE，連接ME． 求證：ME⊥BC． 18.（12分）如圖，在△ABC中，AC邊的垂直平分線DM交AC于D，BC邊的垂直平分線EN交BC于E，DM與EN相交于點F. （1）若△CMN的周長為20cm，求AB的長； （2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度數(shù)． 19.（12分）如圖，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，現(xiàn)有兩點M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s．當點N第一次到達B點時，M、N同時停止運動． （1）點M、N運動幾秒后，M、N兩點重合？ （2）點M、N運動幾秒

7、后，可得到等邊三角形△AMN？ （3）當點M、N在BC邊上運動時，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請求出此時M、N運動的時間． 《軸對稱》綜合測試一 參考答案 一、1. D 2.B 3.C 4.A 5.C 6.B 7.A 8.B. 提示： 1. 提示：A、有3條對稱軸；B、有4條對稱軸；C、有2條對稱軸；D、有6條對稱軸．故選D． 2.提示：A、兩個關于某直線對稱的圖形一定全等，本選項正確； B、對稱圖形的對稱點不一定在對稱軸的兩側，如可能在對稱軸上，故本選項錯誤； C、兩個軸對稱的圖形

8、對應點的連線的垂直平分線是它們的對稱軸，本選項正確； D、平面上兩個全等的圖形不一定關于某直線對稱，本選項正確．故選B． 3.提示：A、有兩個角是60°的三角形，那么第三個角也是60°，故是等邊三角形； B、有一個角是60°的等腰三角形是等腰三角形； C、有兩個外角相等的等腰三角形，不一定是等邊三角形； D、三邊都相等的三角形是等邊三角形，正確；故選：C． 4.提示：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE，∴△BEC周長=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，∵腰長AB=8，∴AC=AB=8，∴△BEC周長=8+5=13．故選A． 5.提示：∵∠ACB=90°，∠A=3

9、0°，∴BC=AB.∵CD是高，∴∠BCD=∠A=30°，∴BD=BC，∴BD=AB．故選C． 小結：30o銳角所對的邊等于斜邊的一半，只有在直角三角形中才成立，其他三角形中不成立. 6.提示：∵在△ABC中，D為BC中點，AB=AC，∴AD⊥BC；又∵AD=AE，∠AED=75°， ∴∠ADE=75°∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°．故選B. 小結：本題主要考查了等腰三角形的兩條重要性質：等邊對等角和“三線合一”. 7.提示：如圖所示，點B′（0，3）．故選A． 小結：本題考查的是畫軸對稱圖形，旨在培養(yǎng)學生的動手操作能力和觀察能力. 8.提示：如圖，延

10、長AP交BC于E，∵AP垂直∠B的平分線BP于P，∠ABP=∠EBP，又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°，∴△ABP≌△BEP（ASA），∴S△ABP=S△BEP，AP=PE，∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC=S△PCE，設△ACE的面積為m，∴S△ABE=S△ABC+S△ACE=10+m，∴S△PBC=S△ABE-S△ACE==5.故選：B． 小結：因為等底同高的兩個三角形面積相等，所以三角形被中線分成的兩個三角形面積相等. 二、9. -1 10.40° 11.10° 12.9 13.14 14.120° 提示： 9. 提示：由點A（a，

11、2019）與點B（2020，b）關于x軸對稱，得a=-2020，b=2019， a+b=-1，故答案為：-1． 10.提示：∵一個角為100°，∴這個角只能是等腰三角形的頂角，∴該等腰三角形的頂角為100°， ∴底角為=40°，故答案為：40°． 11.提示：由題意得：∠CA′D=∠A=50°，∠B=40°，由外角定理可得：∠CA′D=∠B+∠A′DB，∴可得：∠A′DB=10°．故答案為：10°． 12.提示：根據(jù)等腰三角形是軸對稱圖形，△CEF和△BEF的面積相等，所以陰影部分的面積是三角形面積的一半.∵S△ABC=18cm2，∴陰影部分面積=×18=9cm2．故答案為：9.

12、小結：本題考查了等腰三角形的性質及軸對稱性質，利用對稱發(fā)現(xiàn)△CEF和△BEF的面積相等是正確解答本題的關鍵. 13.提示：∵BO平分∠ABC，∴∠DBO=∠CBO，∵DE∥BC，∴∠CBO=∠DOB，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=DO，同理OE=EC，∴△ADE的周長=AD+AE+ED=AB+AC=8+6=14．故答案為14. 小結：本題考查等腰三角形的性質，平行線的性質及角平分線的性質．有效的進行線段的等量代換是正確解答本題的關鍵. 14.提示：∵AD=AE=DE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，∵AD=AB，AE=EC，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE

13、，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CAE，∴∠BAD=∠CAE=30°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=120°．故答案為：120°． 小結：本題考查了等邊三角形的判定的性質，發(fā)現(xiàn)并利用等邊三角形是解題的關鍵. 三、15. 解：△ABC各頂點的坐標以及△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1的各頂點坐標： A1（﹣3，﹣2），B1（﹣4，3），C1（﹣1，1）， 如圖所示：△A2B2C2，即為所求． 16.解：本題畫法較多，只要滿足題意均可，如圖所示： 17.思路分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質，得到△BEH是等腰直角三角形，然后利用角平分線的性質，得

14、到DE=HE，再利用BM=2DE，得到△HEM是等腰直角三角形，從而獲證. 解：∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠C=45°， ∵EH⊥AB于H， ∴△BEH是等腰直角三角形， ∴HE=BH，∠BEH=45°， ∵AE平分∠BAD，AD⊥BC， ∴DE=HE， ∴DE=BH=HE， ∵BM=2DE， ∴HE=HM， ∴△HEM是等腰直角三角形， ∴∠MEH=45°， ∴∠BEM=45°+45°=90°， ∴ME⊥BC． 小結：等腰直角三角形既是等腰三角形也是直角三角形，因此它兼具這兩種三角形的所有性質. 18.思路分析：（1）利用垂直平分線的性質求AB

15、的長；（2）由四邊形內角和得∠ACB的度數(shù)，再由三角形內角和得∠A+∠B的度數(shù)，最后根據(jù)等腰三角形的性質求∠MCN的度數(shù)． 解：（1）∵DM是AC邊的垂直平分線， ∴MA=MC， ∵EN是BC邊的垂直平分線， ∴NB=NC， ∴AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周長=20cm； （2）∵MD⊥AC，NE⊥BC，∠MFN=70°， ∴∠ACB=180°﹣∠MFN=110°， ∴∠A+∠B=70°， ∵MA=MC，NB=NC， ∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B， ∴∠MCA+∠NCB＝70°， ∴∠MCN=110°－70°＝40°． 小結：本題主要考查了

16、線段垂直平分線和等腰三角形的性質.線段垂直平分線經轉化后就是等腰三角形. 19.思路分析：（1）當M、N兩點重合時，它們的路程差是12，據(jù)此可求出運動時間；（2）當M在AC上，N在AB上時，可得到等邊三角形△AMN，根據(jù)等邊三角形的性質得運動時間；（3）根據(jù)點M、N將在點C重合，所以點M、N在BC上時，能得到以MN為底邊的等腰三角形AMN，證明△ACM≌△ABN，由全等三角形的性質求得運動時間. 解：（1）設點M、N運動x秒后，M、N兩點重合， x×1+12=2x， 解得：x=12； （2）設點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖①， AM=t×1=t，AN=AB﹣BN

17、=12﹣2t， ∵三角形△AMN是等邊三角形， ∴t=12﹣2t， 解得t=4， ∴點M、N運動4秒后，可得到等邊三角形△AMN． （3）當點M、N在BC邊上運動時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形， 由（1）知12秒時M、N兩點重合，恰好在C處， 如圖②，假設△AMN是等腰三角形， ∴AN=AM， ∴∠AMN=∠ANM， ∴∠AMC=∠ANB， ∵AB=BC=AC， ∴△ACB是等邊三角形， ∴∠C=∠B， 在△ACM和△ABN中， ∵， ∴△ACM≌△ABN， ∴CM=BN， 設當點M、N在BC邊上運動時，M、N運動的時間y秒時，△AMN是等腰三角形，

18、 ∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB， y﹣12=36﹣2y， 解得：y=16．故假設成立． ∴當點M、N在BC邊上運動時，能得到以MN為底邊的等腰三角形AMN，此時M、N運動的時間為16秒． 小結：動點問題要動中求靜，將動點運動的路徑進行分段，逐段分析可解決問題. 《軸對稱》綜合測試二 一、選擇題（每小題3分，共24分） 1．在一些美術字中，有的漢字是軸對稱圖形，下列四個漢字中，可以看作軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 2．已知點A（﹣2，3）關于x軸對稱的點是點B，點B關于y軸對稱的點是C，則點C的坐標為（　　） A．（﹣2，﹣3）

19、 B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2） 3．已知a、b、c是三角形的三邊長，且滿足（a﹣b）2+|b﹣c|=0，那么這個三角形一定是（　?。? A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形 4．如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E兩點分別在AC、BC上，BD是∠ABC的平分線，DE∥AB，若BE=5cm，CE=3cm，則△CDE的周長是（　?。? A．15cm B．13cm C．11cm D．9cm 5．如圖，在平面直角坐標系中，點P（﹣1，2）關于直線x=1的對稱點的坐標為（　?。? A．（1，2）

20、 B．（2，2） C．（3，2） D．（4，2） 6.將一張正方形按圖1，圖2方式折疊，然后用剪刀沿圖3中虛線剪掉一角，再將紙片展開鋪平后得到的圖形是（　?。? A． B． C． D． 7.已知：如圖，下列三角形中，AB=AC，則經過三角形的一個頂點的一條直線能夠將這個三角形分成兩個小等腰三角形的是（　　） A．①③④ B．①②③④ C．①②④ D．①③ 8．圖①是一塊邊長為1，周長記為P1的正三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為的正三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪如圖掉正三

21、角形紙板邊長的）后，得圖③，④，…，記第n（n≥3）塊紙板的周長為Pn，則Pn﹣Pn﹣1的值為（　　） A． B． C． D． 二、填空題（每小題4分，共24分） 9.我國國旗上的五角星有　 　條對稱軸． 10.已知點P（2a+b，b）與P1（8，﹣2）關于y軸對稱，則a+b=　 ?。? 11.如圖，CD是△ABC的邊AB上的高，且AB=2BC=8，點B關于直線CD的對稱點恰好落在AB的中點E處，則△BEC的周長為　 ?。? 12.已知一個等腰三角形的兩邊長分別是6和5，那么它的周長為　 ?。? 13.如圖，在△ABC中

22、，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD是△ABC的中線，AE是∠BAD的角平分線，DF∥AB交AE的延長線于點F，則DF的長為　 ?。? 　 14.如圖，在3×3的網格中，每個網格線的交點稱為格點．已知圖中A，B兩個格點，請在圖中再尋找另一個格點C，使△ABC成為等腰三角形，則滿足條件的點C有　 個． 三、解答題（5個小題，共52分） 15.（8分）某公園有海盜船、摩天輪、碰碰車三個娛樂項目，現(xiàn)要在公園內建一個售票中心，使得三個娛樂項目所處位置到售票中心的距離相等，請在圖中確定售票中心的位置． 16.（10分）如圖，一艘輪船從點A向

23、正北方向航行，每小時航行15海里，小島P在輪船的北偏西15°，2小時后輪船航行到點B，小島P此時在輪船的北偏西30°方向，在小島P的周圍18海里范圍內有暗礁，如果輪船不改變方向繼續(xù)向前航行，是否會有觸礁危險？請說明理由． 17.（10分）如圖，在△ABC中，BA=BC，D在邊CB上，且DB=DA=AC． （1）如圖1，填空∠B=　 　°，∠C=　 　°； （2）若M為線段BC上的點，過M作直線MH⊥AD于H，分別交直線AB、AC與點N、E，如圖2. ①求證：△ANE是等腰三角形； ②試寫出線段BN、CE、CD之間的數(shù)量關系，并加以證明． 18

24、.（12分）（1）如圖1，直線同側有兩點A、B，在直線上求一點C，使它到A、B之和最?。ūＡ糇鲌D痕跡不寫作法） （2）知識拓展：如圖2，點P在∠AOB內部，試在OA、OB上分別找出兩點E、F，使△PEF周長最短（保留作圖痕跡不寫作法） （3）解決問題：①如圖3，在五邊形ABCDE中，在BC，DE上分別找一點M，N，使得△AMN周長最??； ②若∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，∠AMN+∠ANM的度數(shù)為　 ?。? 19.（12分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E． （1）如圖1，

25、連接EC，求證：△EBC是等邊三角形； （2）點M是線段CD上的一點（不與點C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延長線于點G．請你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出MD，DG與AD之間的數(shù)量關系； （3）如圖3，點N是線段AD上的一點，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延長線于點G．試探究ND，DG與AD數(shù)量之間的關系，并說明理由． 《軸對稱》綜合測試二 參考答案 一、1. D 2.B 3.B 4.B 5.C 6.B 7.A 8.C. 提示： 1. 提示：利用軸對稱圖形定義判斷．下列

26、四個漢字中，可以看作軸對稱圖形的是“中”，故選D． 2.提示：點A（﹣2，3）關于x軸對稱的點B的坐標為（﹣2，﹣3）．點B（﹣2，﹣3）關于y軸對稱的點C的坐標為（2，-3）.故選：B． 3.提示：根據(jù)非負數(shù)的性質，得∴a﹣b=0，且b﹣c=0，∴a=b，且b=c，∴a=b=c，∴這個三角形一定是等邊三角形，故選B． 4.提示：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∵DE∥AB，∴∠DEC=∠ABC=∠C，∠ABD=∠BDE，∴DE=DC，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠DBE．∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE=DC=5cm，∴△CDE的周長為DE+DC+EC=5+5+3=13（c

27、m），故選B． 5.提示：如圖，∵點P（﹣1，2），∴點P到直線x=1的距離為1﹣（﹣1）=2，∴點P關于直線x=1的對稱點P′到直線x=1的距離為2，∴點P′的橫坐標為2+1=3，∴對稱點P′的坐標為（3，2）．故選C． 小結：本題采用數(shù)形結合的辦法更容易得到答案，找一個點的坐標，應分為求點的橫坐標與縱坐標兩個小題.　　 6.提示：由于剪去的是一個等腰直角三角形，四個等腰直角三角形直角頂點重合可以得到一個正方形.故選：B． 小結：此題主要考查了剪紙問題，解答此類題最好動手操作，易得出答案． 7.提示：由題意知，要求“被一條直線分成兩個小等腰三角形”， （1）中分成的兩個等腰三

28、角形的角的度數(shù)分別為：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能； （2）不能； （3）顯然原等腰直角三角形的斜邊上的高把它還分為了兩個小等腰直角三角形，能； （4）中的為36°，72，72°和36°，36°，108°，能．故選A． 小結：在等腰三角形中，從一個頂點向對邊引一條線段，分原三角形為兩個新的等腰三角形，必須存在新出現(xiàn)的一個小等腰三角形與原等腰三角形形狀相同才有可能． 8.提示：P1=1+1+1=3，P2=1+1+=，P3=1+++×3=，P4=1+++×2+×3=，… ∴p3﹣p2=﹣==，P4﹣P3=﹣==，則Pn﹣Pn﹣1==．故選C． 小結：本題考查了

29、等邊三角形的性質；要求學生通過觀察圖形，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用規(guī)律解決問題． 二、9. 5 10.﹣5 11.12 12.16或17 13.5.5 14.8. 提示： 9. 提示：過五角星的五個頂點中任意一個，與所對的兩邊的交點可作一條對稱軸，∴五角星有5條對稱軸．故答案為：5． 10.提示：∵點P（2a+b，b）與P1（8，﹣2）關于y軸對稱，∴2a+b=﹣8，b=﹣2，解得：a=﹣3，則a+b=﹣3﹣2=﹣5．故答案為：﹣5． 11.提示：∵點B與點E關于DC對稱，∴BC=CE=4．∵E是AB的中點，∴BE=AB=4．∴△BEC的周長12．故答案為：

30、12． 12.提示：當腰為6時，則三角形的三邊長分別為6、6、5，滿足三角形的三邊關系，周長為17； 當腰為5時，則三角形的三邊長分別為5、5、6，滿足三角形的三邊關系，周長為16；綜上可知，等腰三角形的周長為16或17．故答案為：16或17． 小結：已知等腰三角形的兩邊長求周長，不僅要分類討論，還要看是否符合三角形三邊關系. 13.提示：∵AB=AC，AD是△ABC的中線，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°， ∵AE是∠BAD的角平分線，∴∠DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°，∵DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°，∴∠DAE=∠F=30°，∴

31、AD=DF，∵∠B=90°﹣60°=30°，∴AD=AB=×11=5.5，∴DF=5.5．故答案為：5.5． 小結：角平分線與平行線結合時，常有等腰三角形出現(xiàn). 14.提示：如圖，AB是腰長時，有4個點可以作為點C，AB是底邊時，有4個點都可以作為點C，所以，滿足條件的點C的個數(shù)是4+4=8．故答案為8． 小結：掌握網格結構的特點是解題的關鍵，要注意分AB是腰長與底邊兩種情況討論求解． 三、15. 解：如圖，①連接AB，AC，②分別作線段AB，AC的垂直平分線，兩垂直平分線相較于點P，則P即為售票中心． 16.解：如圖，過P作PE⊥AB于E， 由題意得：∠PAE=15°

32、，∠PBE=30°，AB=30海里． ∴AB=BP=30， 在Rt△BPE中，∵∠PBE=30°， ∴PE=BP=×30=15． 又∵周圍18海里都會有危險， ∴輪船繼續(xù)向北航行，有觸礁危險． 17.思路分析：（1）由等邊對等角，得∠C=∠ADC=∠BAC=2∠B，∠DAC=∠B，在△ADC中由三角形內角和可求得∠B，∠C；（2）①由（1）可知∠BAD=∠CAD=36°，利用三角形內角和求得∠ANH、∠AEH的度數(shù)，可得AN=AE；②由①知AN=AE，借助已知利用線段的和差可得CD=BN+CE． 解：（1）∵BA=BC， ∴∠BCA=∠BAC， ∵DA=DB， ∴∠BAD=

33、∠B， ∵AD=AC， ∴∠ADC=∠C=∠BAC=2∠B， ∴∠DAC=∠B， ∵∠DAC+∠ADC+∠C=180°， ∴2∠B+2∠B+∠B=180°， ∴∠B=36°，∠C=2∠B=72°， 故答案為：36；72； （2）①在△ADB中，∵DB=DA，∠B=36°， ∴∠BAD=36°， 在△ACD中，∵AD=AC， ∴∠ACD=∠ADC=72°， ∴∠CAD=36°， ∴∠BAD=∠CAD=36°， ∵MH⊥AD， ∴∠AHN=∠AHE=90°， ∴∠AEN=∠ANE=54°， 即△ANE是等腰三角形； ②CD=BN+CE． 證明：由①知AN=AE

34、， 又∵BA=BC，DB=AC， ∴BN=AB﹣AN=BC﹣AE，CE=AE﹣AC=AE﹣BD， ∴BN+CE=BC﹣BD=CD， 即CD=BN+CE． 小結：本題主要考查等腰三角形的判定和性質，掌握等角對等邊、等邊對等角是解題的關鍵，注意方程思想的應用． 18.思路分析：（1）根據(jù)兩點之間線段最短，作A關于直線MN的對稱點E，連接BE交直線MN于C，即可得出答案；（2）作P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD交OA、OB于E、F．此時△PEF周長有最小值；（3）①取點A關于BC的對稱點P，關于DE的對稱點Q，連接PQ與BC相交于點M，與DE相交于點N，根據(jù)軸對稱的性質可得AM=

35、PM，AN=QN，然后求出△AMN周長=PQ，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，PQ的長度即為△AMN的周長最小值；②根據(jù)三角形的內角和等于180°求出∠P+∠Q，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠AMN=2∠P，∠ANM=2∠Q，然后求解即可得出答案． 解：（1）作A關于直線MN的對稱點E，連接BE交直線MN于C，連接AC，BC， 則此時C點符合要求． （2）作圖如下： （3）①作圖如下： ②∵∠BAE=125°， ∴∠P+∠Q=180°﹣125°=55°， ∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P，∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q， ∴∠AMN+∠A

36、NM=2（∠P+∠Q）=2×55°=110°． 小結：在平面內找最短路徑，要利用軸對稱，用這個點的對稱點去代替這個點，化曲為直. 19.思路分析：（1）利用“三邊相等”的三角形是等邊三角形證得△EBC是等邊三角形； （2）延長ED使得DW=DM，連接MN，即可得出△WDM是等邊三角形，利用△WGM≌△DBM即可得出BD=WG=DG+DM，再利用AD=BD，即可得出答案； （3）利用等邊三角形的性質得出∠H=∠2，進而得出∠DNG=∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案． （1）證明：如圖1所示： 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠ABC=60°，BC

37、=． ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD=∠DBA=∠A=30°． ∴DA=DB． ∵DE⊥AB于點E． ∴AE=BE=． ∴BC=BE． ∴△EBC是等邊三角形； （2）結論：AD=DG+DM． 證明：如圖2所示：延長ED使得DW=DM，連接MW， ∵∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E， ∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD， 又∵DM=DW， ∴△WDM是等邊三角形， ∴MW=DM， 在△WGM和△DBM中， ∵ ∴△WGM≌△DBM， ∴BD=WG=DG+DM， ∴AD=DG+DM． （3）結論：AD=

38、DG﹣DN． 證明：延長BD至H，使得DH=DN． 由（1）得DA=DB，∠A=30°． ∵DE⊥AB于點E． ∴∠2=∠3=60°． ∴∠4=∠5=60°． ∴△NDH是等邊三角形． ∴NH=ND，∠H=∠6=60°． ∴∠H=∠2． ∵∠BNG=60°， ∴∠BNG+∠7=∠6+∠7． 即∠DNG=∠HNB． 在△DNG和△HNB中， ∴△DNG≌△HNB（ASA）． ∴DG=HB． ∵HB=HD+DB=ND+AD， ∴DG=ND+AD． ∴AD=DG﹣ND． 小結：此題主要考查了等邊三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質，根據(jù)已知做出正確輔助線是解題關鍵．