2018年中考數(shù)學專題復習卷 命題與證明(含解析)
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1、 命題與證明 一、選擇題 1.下列說法正確的是(? ????) A.?真命題的逆命題是真命題????????????????????????????????????B.?原命題是假命題,則它的逆命題也是假命題 C.?定理一定有逆定理??????????????????????????????????????????????D.?命題一定有逆命題 【答案】D 【解析】 :A、真命題的逆命題可能是真命題,也可能是假命題,故A不符合題意; B、原命題是假命題,則它的逆命題可能是假命題,也可能是真命題,故B不符合題意; C、逆定理一定是真命題,定理不一定有
2、逆定理,故C不符合題意; D、任意一個命題都有逆命題;故D符合題意; 故答案為:D 【分析】根據(jù)把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題,用邏輯方法判斷為正確的命題叫定理,任何命題都有逆命題,對各選項逐一判斷即可。 2.下列命題為真命題的是(??? )。 A.兩條直線被一組平行線所截,所得的對應線段成比例 B.相似三角形面積之比等于相似比 C.對角線互相垂直的四邊形是菱形 D.順次連結(jié)矩形各邊的中點所得的四邊形是正方形 【答案】A 【解析】 :A.根據(jù)平行線分線段成比例定理即可判斷正確,A符合題意; B.相似三角形面積之比等于相似比的平方,故
3、錯誤,B不符合題意; C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形,故錯誤,C不符合題意; D.順次連結(jié)矩形各邊的中點所得的四邊形是正菱形,故錯誤,D不符合題意; 故答案為:A. 【分析】A.根據(jù)平行線分線段成比例定理即可判斷對錯; B.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷對錯; C.根據(jù)菱形的判定即可判斷對錯; D.根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理即可判斷對錯; 3.用反證法證明時,假設結(jié)論“點在圓外”不成立,那么點與圓的位置關(guān)系只能是( ???) A.?點在圓內(nèi)???????????????????????B.?點在圓上??????????????????????
4、?C.?點在圓心上???????????????????????D.?點在圓上或圓內(nèi) 【答案】D 【解析】 :點與圓的位置關(guān)系只有三種:點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外, 如果點不在圓外,那么點就有可能在圓上或圓內(nèi) 故答案為D 【分析】運用反證法證明,第一步就要假設結(jié)論不成立,即結(jié)論的反面,要考慮到反面所有的情況。 4.下列語句中,是命題的是(?? ) ①若 1=60 , 2=60 ,則 1= 2;②同位角相等嗎; ③畫線段AB=CD;④一個數(shù)能被2整除,則它也能被4整除;⑤直角都相等. A.?①④⑤??????????????????????????
5、?????B.?①②④???????????????????????????????C.?①②⑤???????????????????????????????D.?②③④⑤ 【答案】A 【解析】 :①若 ∠ 1=60 ° , ∠ 2=60 ° ,則 ∠ 1= ∠ 2;它是命題; ②同位角相等嗎,不是命題; ③畫線段AB=CD,不是命題; ④一個數(shù)能被2整除,則它也能被4整除,是命題; ⑤直角都相等.是命題; 故事命題的有:①④⑤ 故答案為:A 【分析】根據(jù)命題是判斷一件事情的語句,構(gòu)成命題必須有已知條件和結(jié)論,逐一判斷即可求解。 5.某屆世界杯的
6、小組比賽規(guī)則:四個球隊進行單循環(huán)比賽(每兩隊賽一場),勝一場得3分,平一場得1分,負一場得0分,某小組比賽結(jié)束后,甲、乙,丙、丁四隊分別獲得第一,二,三,四名,各隊的總得分恰好是四個連續(xù)奇數(shù),則與乙打平的球隊是( ???) A.甲 B.甲與丁 C.丙 D.丙與丁 【答案】B 【解析】 :小組賽一共需要比賽場, 由分析可知甲是最高分,且可能是9或7分, 當甲是9分時,乙、丙、丁分別是7分、5分、3分, 因為比賽一場最高得分3分, 所以4個隊的總分最多是6×3=18分, 而9+7+5+3>18,故不符合; 當甲是7分時,乙、丙、丁分別是5分、3分
7、、1分,7+5+3+1<18,符合題意, 因為每人要參加3場比賽, 所以甲是2勝一平,乙是1勝2平,丁是1平2負, 則甲勝丁1次,勝丙1次,與乙打平1次, 因為丙是3分,所以丙只能是1勝2負, 乙另外一次打平是與丁, 則與乙打平的是甲、丁 故答案是B。 【分析】需要推理出甲、乙、丙、丁四人的分數(shù):每個人都要比賽3場,要是3場全勝得最高9分,根據(jù)已知“甲、乙,丙、丁四隊分別獲得第一,二,三,四名”和“各隊的總得分恰好是四個連續(xù)奇數(shù)”,可推理出四人的分數(shù)各是多少,再根據(jù)勝、平、負一場的分數(shù)去討論打平的場數(shù)。 6.甲、乙、丙、丁4人進行乒乓球單循環(huán)比賽(每兩個人都要比賽一場),結(jié)果
8、甲勝了丁,并且甲、乙、丙勝的場數(shù)相同,則丁勝的場數(shù)是(?? ) A.?3???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????????????????D.?0 【答案】D 【解析】 :四個人共有6場比賽,由于甲、乙、丙三人勝的場數(shù)相同, 所以只有兩種可能性:甲勝1場或甲勝2場; 若甲只勝一場,這時乙、丙各勝一場,說明丁勝三場,這與甲勝丁矛盾, 所以甲只能是勝兩場
9、, 即:甲、乙、丙各勝2場,此時丁三場全敗,也就是勝0場. 答:甲、乙、丙各勝2場,此時丁三場全敗,丁勝0場. 故答案為:D. 【分析】分類討論:甲、乙、丙、丁4人進行乒乓球單循環(huán)比賽,故四個人共有6場比賽,由于甲、乙、丙三人勝的場數(shù)相同,所以只有兩種可能性:①若甲只勝一場,這時乙、丙各勝一場,說明丁勝三場,這與甲勝丁矛盾;②甲勝兩場,則乙、丙各勝2場,此時丁三場全敗,也就是勝0場.綜上所述即可得出答案。 7.否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”時的正確反設為(????? ) A.?a、b、c都是奇數(shù)????????????????????????????
10、???????????????????B.?a、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù) C.?a、b、c都是偶數(shù)???????????????????????????????????????????????D.?a、b、c中至少有兩個偶數(shù) 【答案】B 【解析】 a,b,c三個數(shù)的奇、偶性有以下幾種情況:①全是奇數(shù);②有兩個奇數(shù),一個偶數(shù);③有一個奇數(shù),兩個偶數(shù);④三個偶數(shù).因為要否定②,所以假設應為“全是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)”.故答案為:B.【分析】因為a,b,c三個數(shù)的奇、偶性有以下幾種情況:①全是奇數(shù);②有兩個奇數(shù),一個偶數(shù);③有一個奇數(shù),兩個偶數(shù);④三個偶數(shù)。根據(jù)命題的否定形式可知“
11、自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”時的正確反設為“a、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)”。 8.對于命題“已知:a∥b,b∥c,求證:a∥c”.如果用反證法,應先假設(? ??) A.?a不平行b?????????????????????????????B.?b不平行c?????????????????????????????C.?a⊥c?????????????????????????????D.?a不平行c 【答案】D 【解析】 :對于命題“已知:a∥b,b∥c,求證:a∥c”.如果用反證法 應先假設a不平行c 故答案為:D 【分析】根據(jù)反證法的第一
12、步就是假設結(jié)論的反面,即可得出答案。 9.下列命題是真命題的是( ??) A.?如果a+b=0,那么a=b=0??????????????????????????????????B.?的平方根是±4 C.?有公共頂點的兩個角是對頂角?????????????????????????????D.?等腰三角形兩底角相等 【答案】D 【解析】 A、如果a+b=0,那么a=b=0,或a=﹣b,錯誤,為假命題; B、 =4的平方根是±2,錯誤,為假命題; C、有公共頂點且相等的兩個角是對頂角,錯誤,為假命題; D、等腰三角形兩底角相等,正確,為真命題; 故答
13、案為:D. 【分析】A根據(jù)等式的性質(zhì)判斷;B根據(jù)算術(shù)平方根和平方根判斷;C根據(jù)對頂角的定義判斷;D根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)判斷. 10.有下列命題: ①若x2=x,則x=1;②若a2=b2 , 則a=b;③線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等;④相等的弧所對的圓周角相等;其中原命題與逆命題都是真命題的個數(shù)是(??? ) A.?1個???????????????????????????????????????B.?2個???????????????????????????????????????C.?3個?????????????????????????????
14、??????????D.?4個 【答案】B 【解析】 :若x2=x,則x=1或x=0,所以①錯誤; 若a2=b2 , 則a=±b,所以②錯誤; 線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等,所以③正確; 相等的弧所對的圓周角相等,所以④正確.四個命題的逆命題都是真命題. 故答案為:B. 【分析】(1)根據(jù)一元二次方程的根的判別式大于0,方程有兩個不相等的實數(shù)根可知,方程漏掉了一個根; (2)根據(jù)平方根的意義可得a=±b; (3)線段的垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等;線段的垂直平分線的判定:到線段兩端點距離相等的點在這個角的平分線上; (4)根據(jù)
15、圓周角定理和圓周角和弧之間的關(guān)系可知:相等的弧所對的圓周角相等;在同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧相等。 11.下列命題是假命題的是(???? ) A.?對頂角相等?????????????????????????????????????????????????????????B.?兩直線平行,同旁內(nèi)角相等 C.?平行于同一條直線的兩直線平行?????????????????????????D.?同位角相等,兩直線平行 【答案】B 【解析】 :A.對頂角相等是真命題,故本選項正確,A不符合題意; B.兩直線平行,同旁內(nèi)角互補,故本選項錯誤,B符合題意;
16、 C.平行于同一條直線的兩條直線平行是真命題,故本選項正確,C不符合題意; D.同位角相等,兩直線平行是真命題,故本選項正確,D不符合題意. 故答案為:B. 【分析】本題是讓選假命題,也就是在題設的條件下得到錯誤的結(jié)論. 兩直線平行同旁內(nèi)角互補而不是相等. 12.下列語句中,不是命題的是(??? ) A.生活在水里的動物是魚 B.若直線a∥b,b ∥c,則a∥c C.作已知線段的垂直平分線 D.對頂角相等 【答案】A 【解析】 :根據(jù)命題的定義判斷: A、是判斷一件事情的句子,A不符合題意; B、是判斷一件事情的句子,B不符合題意; C、
17、是作圖語句,C符合題意; D、是判斷一件事情的句子,D不符合題意。 故答案為:C。 【分析】命題:一般地,判斷某一件事情的句子叫做命題。命題分真命題和假命題。 二、填空題 13. 命題:“如果m是整數(shù),那么它是有理數(shù)”,則它的逆命題為:________. 【答案】“如果m是有理數(shù),那么它是整數(shù)” 【解析】 :命題:“如果m是整數(shù),那么它是有理數(shù)”的逆命題為“如果m是有理數(shù),那么它是整數(shù)”. 故答案為“如果m是有理數(shù),那么它是整數(shù)”. 【分析】把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題. 14. 下列四個命題中:①對頂角相等;②同旁內(nèi)角互補;③全等三角形的對應角
18、相等;④兩直線平行,同位角相等,其中假命題的有________(填序號) 【答案】② 【解析】 :①對頂角相等是真命題;②同旁內(nèi)角互補是假命題;③全等三角形的對應角相等是真命題;④兩直線平行,同位角相等是真命題;故假命題有②, 故答案為:②. 【分析】要說明一個命題的正確性,一般需要推理、論證,而判斷一個命題是假命題,只需舉出一個反例即可. 15.寫出命題“兩個銳角的和是鈍角”是假命題的一個反例:________ 【答案】兩個銳角的度數(shù)分別為20°,30° 【解析】 :若兩個銳角的度數(shù)分別為20°,30° 則這兩個角的和為50°,50°的角是銳角 故答
19、案為:兩個銳角的度數(shù)分別為20°,30°(答案不唯一) 【分析】根據(jù)題意寫出兩個銳角的和是直角或銳角即可。 16.命題“如果兩個角都是直角,那么這兩個角相等”的逆命題________. 【答案】如果兩個角相等,那么這兩個角是直角。 【解析】 :∵原命題是:如果兩個角都是直角,那么這兩個角相等 ∴它的逆命題是;如果兩個角相等,那么這兩個角是直角。 【分析】將原命題的題設和結(jié)論互換,再寫成如果,那么的形式即可。 17.命題“全等三角形的面積相等”的逆命題是________命題.(填“真”或“假”) 【答案】假 【解析】 原命題的逆命題為:面積相等的兩個三角
20、形為全等三角形,則這個命題為假命題.【分析】首先將原命題改寫成如果那么的形式,然后根據(jù)原命題與逆用的關(guān)系,將原命題的題設和結(jié)論交換位置得到其逆命題:面積相等的兩個三角形為全等三角形;再根據(jù)已有知識判斷此命題顯然是假命題。 18.把命題“對頂角相等”改寫成“如果 那么 ”的形式:________. 【答案】如果兩個角是對頂角,那么它們相等 【解析】 :題設為:對頂角,結(jié)論為:相等, 故寫成“如果 那么 ”的形式是:如果兩個角是對頂角,那么它們相等, 故答案為:如果兩個角是對頂角,那么它們相等. 【分析】根據(jù)命題的構(gòu)成可知題設為:對頂角,結(jié)論為:相等,所以用“如果 …
21、那么 … ”的形式可表示為:如果兩個角是對頂角,那么它們相等。 19.用反證法證明命題:“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟: ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾,則∠A=∠B=90°不成立;②所以一個三角形中不能有兩個直角;③假設∠A,∠B,∠C中有兩個角是直角,不妨設∠A=∠B=90°.正確順序的序號排列為________ 【答案】③①② 【解析】 由反證法證明的步驟知,先反證即③,再推出矛盾即①,最后作出判斷,肯定結(jié)論即②,即順序應為③①②【分析】根據(jù)反證法的步驟,首先假設結(jié)論不成立,其次用已學的
22、知識或已知條件得到與假設或已學的知識或已知條件相矛盾的結(jié)論,那么原命題成立。所以正確順序的序號排列③①②。 20. 如圖,圖中二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c(a≠0)則下列命題中正確的有________(填序號) ①abc>0;②b2<4ac;③4a﹣2b+c>0;④2a+b>c. 【答案】①③④ 【解析】 :①∵拋物線開口向上,拋物線的對稱軸在y軸右側(cè),拋物線與y軸交于y軸負半軸, ∴a>0,﹣ >0,c<0, ∴b<0,abc>0,①正確; ②∵拋物線與x軸有兩個不同交點, ∴△=b2﹣4ac>0,b2>4ac,②錯誤; ③當x=﹣2時,y=4a﹣2b+c>
23、0,③正確; ④∵0<﹣ <1, ∴﹣2a<b<0, ∴2a+b>0>c,④正確. 故答案為:①③④. 【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及命題與定理,觀察函數(shù)圖象,根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系逐一分析四條結(jié)論判斷正誤即可. 三、解答題 21.已知命題:“如圖,點B、F、C、E在同一條直線上,則AB∥DE.”判斷這個命題是真命題還是假命題,如果是真命題,請給出證明;如果是假命題,在不添加其他輔助線的情況下,請?zhí)砑右粋€適當?shù)臈l件使它成為真命題,并加以證明. 【答案】解:如圖,點B、F、C、E在同一條直線上,則AB∥DE,是假命題,當添加:∠B=∠E時,AB∥DE,
24、 理由:∵∠B=∠E, ∴AB∥DE. 【解析】【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可得出結(jié)論。 22. 如圖,四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,在①AB∥CD;②AO=CO;③AD=BC中任意選取兩個作為條件,“四邊形ABCD是平行四邊形”為結(jié)論構(gòu)造命題. (1)以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題嗎?若是,請證明;若不是,請舉出反例; (2)寫出按題意構(gòu)成的所有命題中的假命題,并舉出反例加以說明.(命題請寫成“如果…,那么….”的形式) 【答案】(1)解:以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題, 證明:∵AB∥CD, ∴∠OAB=∠OCD, 在△
25、AOB和△COD中, , ∴△AOB≌△COD(ASA), ∴OB=OD, ∴四邊形ABCD是平行四邊形 (2)解:根據(jù)①③作為條件構(gòu)成的命題是假命題,即如果有一組對邊平行,另一組對邊相等,那么四邊形是平行四邊形,如等腰梯形符合,但不是平行四邊形; 根據(jù)②③作為條件構(gòu)成的命題是假命題,即如果一個四邊形ABCD的對角線交于O,且OA=OC,AD=BC,那么這個四邊形是平行四邊形,如圖, 根據(jù)已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC,即四邊形不是平行四邊形. 【解析】【分析】(1)根據(jù)平行得出全等三角形,即可求出OB=OD,根據(jù)平行四邊形的判定推出即可;(2)根
26、據(jù)等腰梯形和平行四邊形的判定判斷即可. 23. 正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A,將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角∠DAG=α,其中0°≤α≤180°,連結(jié)DF,BF,如圖. (1)若α=0°,則DF=BF,請加以證明; (2)試畫一個圖形(即反例),說明(1)中命題的逆命題是假命題; (3)對于(1)中命題的逆命題,如果能補充一個條件后能使該逆命題為真命題,請直接寫出你認為需要補充的一個條件,不必說明理由. 【答案】(1)證明:如圖1,∵四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形, ∴AG=AE,AD=AB,GF=EF,∠DGF=∠BEF=90°, ∴DG=BE, 在△DGF和△BEF中, , ∴△DGF≌△BEF(SAS), ∴DF=BF (2)解:圖形(即反例)如圖2, (3)解:補充一個條件為:點F在正方形ABCD內(nèi); 即:若點F在正方形ABCD內(nèi),DF=BF,則旋轉(zhuǎn)角α=0° 【解析】【分析】(1)利用正方形的性質(zhì)證明△DGF≌△BEF即可;(2)當α=180°時,DF=BF.(3)利用正方形的性質(zhì)和△DGF≌△BEF的性質(zhì)即可證得是真命題. 11
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