2018中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 考點(diǎn)32 尺規(guī)作圖(含解析)
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1、 2018中考數(shù)學(xué)試題分類匯編:考點(diǎn)32 尺規(guī)作圖 一.選擇題(共13小題) 1.(2018?襄陽)如圖,在△ABC中,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心,大于AC長為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)M,N,作直線MN分別交BC,AC于點(diǎn)D,E.若AE=3cm,△ABD的周長為13cm,則△ABC的周長為( ?。? A.16cm B.19cm C.22cm D.25cm 【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)即可解決問題. 【解答】解:∵DE垂直平分線段AC, ∴DA=DC,AE=EC=6cm, ∵AB+AD+BD=13cm, ∴AB+BD+DC=13cm, ∴△ABC的周長=AB+BD+BC+
2、AC=13+6=19cm, 故選:B. 2.(2018?河北)尺規(guī)作圖要求:Ⅰ、過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線;Ⅱ、作線段的垂直平分線; Ⅲ、過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線;Ⅳ、作角的平分線. 如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖: 則正確的配對(duì)是( ?。? A.①﹣Ⅳ,②﹣Ⅱ,③﹣Ⅰ,④﹣Ⅲ B.①﹣Ⅳ,②﹣Ⅲ,③﹣Ⅱ,④﹣Ⅰ C.①﹣Ⅱ,②﹣Ⅳ,③﹣Ⅲ,④﹣Ⅰ D.①﹣Ⅳ,②﹣Ⅰ,③﹣Ⅱ,④﹣Ⅲ 【分析】分別利用過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線作法以及線段垂直平分線的作法和過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線、角平分線的作法分別得出符合題意的答案. 【解答】解:Ⅰ、過直線外一點(diǎn)作這
3、條直線的垂線;Ⅱ、作線段的垂直平分線; Ⅲ、過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線;Ⅳ、作角的平分線. 如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖: 則正確的配對(duì)是:①﹣Ⅳ,②﹣Ⅰ,③﹣Ⅱ,④﹣Ⅲ. 故選:D. 3.(2018?河南)如圖,已知?AOBC的頂點(diǎn)O(0,0),A(﹣1,2),點(diǎn)B在x軸正半軸上按以下步驟作圖:①以點(diǎn)O為圓心,適當(dāng)長度為半徑作弧,分別交邊OA,OB于點(diǎn)D,E;②分別以點(diǎn)D,E為圓心,大于DE的長為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)F;③作射線OF,交邊AC于點(diǎn)G,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為( ?。? A.(﹣1,2) B.(,2) C.(3﹣,2) D.(﹣2,2) 【分
4、析】依據(jù)勾股定理即可得到Rt△AOH中,AO=,依據(jù)∠AGO=∠AOG,即可得到AG=AO=,進(jìn)而得出HG=﹣1,可得G(﹣1,2). 【解答】解:∵?AOBC的頂點(diǎn)O(0,0),A(﹣1,2), ∴AH=1,HO=2, ∴Rt△AOH中,AO=, 由題可得,OF平分∠AOB, ∴∠AOG=∠EOG, 又∵AG∥OE, ∴∠AGO=∠EOG, ∴∠AGO=∠AOG, ∴AG=AO=, ∴HG=﹣1, ∴G(﹣1,2), 故選:A. 4.(2018?宜昌)尺規(guī)作圖:經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線,下列作圖中正確的是( ?。? A. B. C. D. 【分
5、析】根據(jù)過直線外一點(diǎn)向直線作垂線即可. 【解答】已知:直線AB和AB外一點(diǎn)C. 求作:AB的垂線,使它經(jīng)過點(diǎn)C. 作法:(1)任意取一點(diǎn)K,使K和C在AB的兩旁. (2)以C為圓心,CK的長為半徑作弧,交AB于點(diǎn)D和E. (3)分別以D和E為圓心,大于DE的長為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)F, (4)作直線CF. 直線CF就是所求的垂線. 故選:B. 5.(2018?濰坊)如圖,木工師傅在板材邊角處作直角時(shí),往往使用“三弧法”,其作法是: (1)作線段AB,分別以A,B為圓心,以AB長為半徑作弧,兩弧的交點(diǎn)為C; (2)以C為圓心,仍以AB長為半徑作弧交AC的延長線于點(diǎn)
6、D; (3)連接BD,BC. 下列說法不正確的是( ?。? A.∠CBD=30° B.S△BDC=AB2 C.點(diǎn)C是△ABD的外心 D.sin2A+cos2D=1 【分析】根據(jù)等邊三角形的判定方法,直角三角形的判定方法以及等邊三角形的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì)一一判斷即可; 【解答】解:由作圖可知:AC=AB=BC, ∴△ABC是等邊三角形, 由作圖可知:CB=CA=CD, ∴點(diǎn)C是△ABD的外心,∠ABD=90°, BD=AB, ∴S△ABD=AB2, ∵AC=CD, ∴S△BDC=AB2, 故A、B、C正確, 故選:D. 6.(2018?郴州)如圖,∠A
7、OB=60°,以點(diǎn)O為圓心,以任意長為半徑作弧交OA,OB于C,D兩點(diǎn);分別以C,D為圓心,以大于CD的長為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)P;以O(shè)為端點(diǎn)作射線OP,在射線OP上截取線段OM=6,則M點(diǎn)到OB的距離為( ?。? A.6 B.2 C.3 D. 【分析】直接利用角平分線的作法得出OP是∠AOB的角平分線,再利用直角三角形的性質(zhì)得出答案. 【解答】解:過點(diǎn)M作ME⊥OB于點(diǎn)E, 由題意可得:OP是∠AOB的角平分線, 則∠POB=×60°=30°, ∴ME=OM=3. 故選:C. 7.(2018?臺(tái)州)如圖,在?ABCD中,AB=2,BC=3.以點(diǎn)C為圓心,適當(dāng)長為
8、半徑畫弧,交BC于點(diǎn)P,交CD于點(diǎn)Q,再分別以點(diǎn)P,Q為圓心,大于PQ的長為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)N,射線CN交BA的延長線于點(diǎn)E,則AE的長是( ?。? A. B.1 C. D. 【分析】只要證明BE=BC即可解決問題; 【解答】解:∵由題意可知CF是∠BCD的平分線, ∴∠BCE=∠DCE. ∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AB∥CD, ∴∠DCE=∠E,∠BCE=∠AEC, ∴BE=BC=3, ∵AB=2, ∴AE=BE﹣AB=1, 故選:B. 8.(2018?嘉興)用尺規(guī)在一個(gè)平行四邊形內(nèi)作菱形ABCD,下列作法中錯(cuò)誤的是( ?。? A. B. C.
9、D. 【分析】根據(jù)菱形的判定和作圖根據(jù)解答即可. 【解答】解:A、由作圖可知,AC⊥BD,且平分BD,即對(duì)角線平分且垂直的四邊形是菱形,正確; B、由作圖可知AB=BC,AD=AB,即四邊相等的四邊形是菱形,正確; C、由作圖可知AB=DC,AD=BC,只能得出ABCD是平行四邊形,錯(cuò)誤; D、由作圖可知對(duì)角線AC平分對(duì)角,可以得出是菱形,正確; 故選:C. 9.(2018?昆明)如圖,點(diǎn)A在雙曲線y═(x>0)上,過點(diǎn)A作AB⊥x軸,垂足為點(diǎn)B,分別以點(diǎn)O和點(diǎn)A為圓心,大于OA的長為半徑作弧,兩弧相交于D,E兩點(diǎn),作直線DE交x軸于點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)F(0,2),連接AC.
10、若AC=1,則k的值為( ?。? A.2 B. C. D. 【分析】如圖,設(shè)OA交CF于K.利用面積法求出OA的長,再利用相似三角形的性質(zhì)求出AB、OB即可解決問題; 【解答】解:如圖,設(shè)OA交CF于K. 由作圖可知,CF垂直平分線段OA, ∴OC=CA=1,OK=AK, 在Rt△OFC中,CF==, ∴AK=OK==, ∴OA=, 由△FOC∽△OBA,可得==, ∴==, ∴OB=,AB=, ∴A(,), ∴k=. 故選:B. 10.(2018?湖州)尺規(guī)作圖特有的魅力曾使無數(shù)人沉湎其中.傳說拿破侖通過下列尺規(guī)作圖考他的大臣: ①將半徑為r的⊙O
11、六等分,依次得到A,B,C,D,E,F(xiàn)六個(gè)分點(diǎn); ②分別以點(diǎn)A,D為圓心,AC長為半徑畫弧,G是兩弧的一個(gè)交點(diǎn); ③連結(jié)OG. 問:OG的長是多少? 大臣給出的正確答案應(yīng)是( ?。? A. r B.(1+)r C.(1+)r D. r 【分析】如圖連接CD,AC,DG,AG.在直角三角形即可解決問題; 【解答】解:如圖連接CD,AC,DG,AG. ∵AD是⊙O直徑, ∴∠ACD=90°, 在Rt△ACD中,AD=2r,∠DAC=30°, ∴AC=r, ∵DG=AG=CA,OD=OA, ∴OG⊥AD, ∴∠GOA=90°, ∴OG===r, 故選:D.
12、 11.(2018?臺(tái)灣)如圖,銳角三角形ABC中,BC>AB>AC,甲、乙兩人想找一點(diǎn)P,使得∠BPC與∠A互補(bǔ),其作法分別如下: (甲)以A為圓心,AC長為半徑畫弧交AB于P點(diǎn),則P即為所求; (乙)作過B點(diǎn)且與AB垂直的直線l,作過C點(diǎn)且與AC垂直的直線,交l于P點(diǎn),則P即為所求 對(duì)于甲、乙兩人的作法,下列敘述何者正確?( ?。? A.兩人皆正確 B.兩人皆錯(cuò)誤 C.甲正確,乙錯(cuò)誤 D.甲錯(cuò)誤,乙正確 【分析】甲:根據(jù)作圖可得AC=AP,利用等邊對(duì)等角得:∠APC=∠ACP,由平角的定義可知:∠BPC+∠APC=180°,根據(jù)等量代換可作判斷; 乙:根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可
13、得:∠BPC+∠A=180°. 【解答】解:甲:如圖1,∵AC=AP, ∴∠APC=∠ACP, ∵∠BPC+∠APC=180° ∴∠BPC+∠ACP=180°, ∴甲錯(cuò)誤; 乙:如圖2,∵AB⊥PB,AC⊥PC, ∴∠ABP=∠ACP=90°, ∴∠BPC+∠A=180°, ∴乙正確, 故選:D. 12.(2018?安順)已知△ABC(AC<BC),用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定一點(diǎn)P,使PA+PC=BC,則符合要求的作圖痕跡是 ( ) A. B. C. D. 【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)分別分得出即可. 【解答】解:A、如圖所示:此
14、時(shí)BA=BP,則無法得出AP=BP,故不能得出PA+PC=BC,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤; B、如圖所示:此時(shí)PA=PC,則無法得出AP=BP,故不能得出PA+PC=BC,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤; C、如圖所示:此時(shí)CA=CP,則無法得出AP=BP,故不能得出PA+PC=BC,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤; D、如圖所示:此時(shí)BP=AP,故能得出PA+PC=BC,故此選項(xiàng)正確; 故選:D. 13.(2017?南寧)如圖,△ABC中,AB>AC,∠CAD為△ABC的外角,觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ?。? A.∠DAE=∠B B.∠EAC=∠C C.AE∥BC D.∠DAE=∠EAC 【分析】
15、根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡,可得∠DAE=∠B,進(jìn)而判定AE∥BC,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論. 【解答】解:根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡,可得∠DAE=∠B,故A選項(xiàng)正確, ∴AE∥BC,故C選項(xiàng)正確, ∴∠EAC=∠C,故B選項(xiàng)正確, ∵AB>AC, ∴∠C>∠B, ∴∠CAE>∠DAE,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤, 故選:D. 二.填空題(共7小題) 14.(2018?南京)如圖,在△ABC中,用直尺和圓規(guī)作AB、AC的垂直平分線,分別交AB、AC于點(diǎn)D、E,連接DE.若BC=10cm,則DE= 5 cm. 【分析】直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出DE是△ABC的中位線,進(jìn)而得
16、出答案. 【解答】解:∵用直尺和圓規(guī)作AB、AC的垂直平分線, ∴D為AB的中點(diǎn),E為AC的中點(diǎn), ∴DE是△ABC的中位線, ∴DE=BC=5cm. 故答案為:5. 15.(2018?淮安)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分別以點(diǎn)A、B為圓心,大于AB的長為半徑畫弧,兩弧交點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q,過P、Q兩點(diǎn)作直線交BC于點(diǎn)D,則CD的長是 . 【分析】連接AD由PQ垂直平分線段AB,推出DA=DB,設(shè)DA=DB=x,在Rt△ACD中,∠C=90°,根據(jù)AD2=AC2+CD2構(gòu)建方程即可解決問題; 【解答】解:連接AD. ∵PQ垂直平分線
17、段AB, ∴DA=DB,設(shè)DA=DB=x, 在Rt△ACD中,∠C=90°,AD2=AC2+CD2, ∴x2=32+(5﹣x)2, 解得x=, ∴CD=BC﹣DB=5﹣=, 故答案為. 16.(2018?山西)如圖,直線MN∥PQ,直線AB分別與MN,PQ相交于點(diǎn)A,B.小宇同學(xué)利用尺規(guī)按以下步驟作圖:①以點(diǎn)A為圓心,以任意長為半徑作弧交AN于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)D;②分別以C,D為圓心,以大于CD長為半徑作弧,兩弧在∠NAB內(nèi)交于點(diǎn)E;③作射線AE交PQ于點(diǎn)F.若AB=2,∠ABP=60°,則線段AF的長為 2 . 【分析】作高線BG,根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)得:B
18、G=1,AG=,可得AF的長. 【解答】解:∵M(jìn)N∥PQ, ∴∠NAB=∠ABP=60°, 由題意得:AF平分∠NAB, ∴∠1=∠2=30°, ∵∠ABP=∠1+∠3, ∴∠3=30°, ∴∠1=∠3=30°, ∴AB=BF,AG=GF, ∵AB=2, ∴BG=AB=1, ∴AG=, ∴AF=2AG=2, 故答案為:2. 17.(2018?東營)如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,以頂點(diǎn)C為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧,分別交AC,BC于點(diǎn)E,F(xiàn),再分別以點(diǎn)E,F(xiàn)為圓心,大于EF的長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線CP交AB于點(diǎn)D.若BD=3,AC=10,則
19、△ACD的面積是 15?。? 【分析】作DQ⊥AC,由角平分線的性質(zhì)知DB=DQ=3,再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算可得. 【解答】解:如圖,過點(diǎn)D作DQ⊥AC于點(diǎn)Q, 由作圖知CP是∠ACB的平分線, ∵∠B=90°,BD=3, ∴DB=DQ=3, ∵AC=10, ∴S△ACD=?AC?DQ=×10×3=15, 故答案為:15. 18.(2018?通遼)如圖,在△ABC中,按以下步驟作圖:①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心,以大于AC的長為半徑作弧,兩弧相交于M、N兩點(diǎn);②作直線MN交BC于點(diǎn)D,連接AD.若AB=BD,AB=6,∠C=30°,則△ACD的面積為 9?。?
20、 【分析】只要證明△ABD是等邊三角形,推出BD=AD=DC,可得S△ADC=S△ABD即可解決問題; 【解答】解:由作圖可知,MN垂直平分線段AC, ∴DA=DC, ∴∠C=∠DAC=30°, ∴∠ADB=∠C+∠DAC=60°, ∵AB=AD, ∴△ABD是等邊三角形, ∴BD=AD=DC, ∴S△ADC=S△ABD=×62=9, 故答案為9. 19.(2018?成都)如圖,在矩形ABCD中,按以下步驟作圖:①分別以點(diǎn)A和C為圓心,以大于AC的長為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)M和N;②作直線MN交CD于點(diǎn)E.若DE=2,CE=3,則矩形的對(duì)角線AC的長為 ?。? 【
21、分析】連接AE,如圖,利用基本作圖得到MN垂直平分AC,則EA=EC=3,然后利用勾股定理先計(jì)算出AD,再計(jì)算出AC. 【解答】解:連接AE,如圖, 由作法得MN垂直平分AC, ∴EA=EC=3, 在Rt△ADE中,AD==, 在Rt△ADC中,AC==. 故答案為. 20.(2018?湖州)在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形ABCD的邊為斜邊,向內(nèi)作四個(gè)全等的直角三角形,使四個(gè)直角頂點(diǎn)E,F(xiàn),G,H都是格點(diǎn),且四邊形EFGH為正方形,我們把這樣的圖形稱為格點(diǎn)弦圖.例如,在如圖1所示的格點(diǎn)弦圖中,正方形ABCD的邊長
22、為,此時(shí)正方形EFGH的而積為5.問:當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形ABCD的邊長為時(shí),正方形EFGH的面積的所有可能值是 13或49或9?。ú话?). 【分析】當(dāng)DG=,CG=2時(shí),滿足DG2+CG2=CD2,此時(shí)HG=,可得正方形EFGH的面積為13.當(dāng)DG=8,CG=1時(shí),滿足DG2+CG2=CD2,此時(shí)HG=7,可得正方形EFGH的面積為49.當(dāng)DG=7,CG=4時(shí),滿足DG2+CG2=CD2,此時(shí)HG=3,可得正方形EFGH的面積為9. 【解答】解:當(dāng)DG=,CG=2時(shí),滿足DG2+CG2=CD2,此時(shí)HG=,可得正方形EFGH的面積為13. 當(dāng)DG=8,CG=1時(shí),滿足DG2+C
23、G2=CD2,此時(shí)HG=7,可得正方形EFGH的面積為49. 當(dāng)DG=7,CG=4時(shí),滿足DG2+CG2=CD2,此時(shí)HG=3,可得正方形EFGH的面積為9. 故答案為13或49或9. 三.解答題(共21小題) 21.(2018?廣州)如圖,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD. (1)利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE,交BC于點(diǎn)E,連接AE(保留作圖痕跡,不寫作法); (2)在(1)的條件下, ①證明:AE⊥DE; ②若CD=2,AB=4,點(diǎn)M,N分別是AE,AB上的動(dòng)點(diǎn),求BM+MN的最小值. 【分析】(1)利用尺規(guī)作出∠ADC的角
24、平分線即可; (2)①延長DE交AB的延長線于F.只要證明AD=AF,DE=EF,利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可解決問題; ②作點(diǎn)B關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)K,連接EK,作KH⊥AB于H,DG⊥AB于G.連接MK.由MB=MK,推出MB+MN=KM+MN,根據(jù)垂線段最短可知:當(dāng)K、M、N共線,且與KH重合時(shí),KM+MN的值最小,最小值為KH的長; 【解答】解:(1)如圖,∠ADC的平分線DE如圖所示. (2)①延長DE交AB的延長線于F. ∵CD∥AF, ∴∠CDE=∠F,∵∠CDE=∠ADE, ∴∠ADF=∠F, ∴AD=AF, ∵AD=AB+CD=AB+BF, ∴CD
25、=BF, ∵∠DEC=∠BEF, ∴△DEC≌△FEB, ∴DE=EF, ∵AD=AF, ∴AE⊥DE. ②作點(diǎn)B關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)K,連接EK,作KH⊥AB于H,DG⊥AB于G.連接MK. ∵AD=AF,DE=EF, ∴AE平分∠DAF,則△AEK≌△AEB, ∴AK=AB=4, 在Rt△ADG中,DG==4, ∵KH∥DG, ∴=, ∴=, ∴KH=, ∵M(jìn)B=MK, ∴MB+MN=KM+MN, ∴當(dāng)K、M、N共線,且與KH重合時(shí),KM+MN的值最小,最小值為KH的長, ∴BM+MN的最小值為. 22.(2018?廣東)如圖,BD是菱形ABCD
26、的對(duì)角線,∠CBD=75°, (1)請用尺規(guī)作圖法,作AB的垂直平分線EF,垂足為E,交AD于F;(不要求寫作法,保留作圖痕跡) (2)在(1)條件下,連接BF,求∠DBF的度數(shù). 【分析】(1)分別以A、B為圓心,大于AB長為半徑畫弧,過兩弧的交點(diǎn)作直線即可; (2)根據(jù)∠DBF=∠ABD﹣∠ABF計(jì)算即可; 【解答】解:(1)如圖所示,直線EF即為所求; (2)∵四邊形ABCD是菱形, ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°,DC∥AB,∠A=∠C. ∴∠ABC=150°,∠ABC+∠C=180°, ∴∠C=∠A=30°, ∵EF垂直平分線線段AB, ∴A
27、F=FB, ∴∠A=∠FBA=30°, ∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°. 23.(2018?安徽)如圖,⊙O為銳角△ABC的外接圓,半徑為5. (1)用尺規(guī)作圖作出∠BAC的平分線,并標(biāo)出它與劣弧的交點(diǎn)E(保留作圖痕跡,不寫作法); (2)若(1)中的點(diǎn)E到弦BC的距離為3,求弦CE的長. 【分析】(1)利用基本作圖作AE平分∠BAC; (2)連接OE交BC于F,連接OC,如圖,根據(jù)圓周角定理得到=,再根據(jù)垂徑定理得到OE⊥BC,則EF=3,OF=2,然后在Rt△OCF中利用勾股定理計(jì)算出CF=,在Rt△CEF中利用勾股定理可計(jì)算出CE. 【解答】解:(1)如
28、圖,AE為所作; (2)連接OE交BC于F,連接OC,如圖, ∵AE平分∠BAC, ∴∠BAE=∠CAE, ∴=, ∴OE⊥BC, ∴EF=3, ∴OF=5﹣3=2, 在Rt△OCF中,CF==, 在Rt△CEF中,CE==. 24.(2018?自貢)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°. (1)作出經(jīng)過點(diǎn)B,圓心O在斜邊AB上且與邊AC相切于點(diǎn)E的⊙O(要求:用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法和證明) (2)設(shè)(1)中所作的⊙O與邊AB交于異于點(diǎn)B的另外一點(diǎn)D,若⊙O的直徑為5,BC=4;求DE的長.(如果用尺規(guī)作圖畫不出圖形,可畫出草圖完成(2)問)
29、 【分析】(1)作∠ABC的角平分線交AC于E,作EO⊥AC交AB于點(diǎn)O,以O(shè)為圓心,OB為半徑畫圓即可解決問題; (2)作OH⊥BC于H.首先求出OH、EC、BE,利用△BCE∽△BED,可得=,解決問題; 【解答】解:(1)⊙O如圖所示; (2)作OH⊥BC于H. ∵AC是⊙O的切線, ∴OE⊥AC, ∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°, ∴四邊形ECHO是矩形, ∴OE=CH=,BH=BC﹣CH=, 在Rt△OBH中,OH==2, ∴EC=OH=2,BE==2, ∵∠EBC=∠EBD,∠BED=∠C=90°, ∴△BCE∽△BED, ∴=, ∴=,
30、∴DE=. 25.(2018?北京)下面是小東設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程. 已知:直線l及直線l外一點(diǎn)P. 求作:直線PQ,使得PQ∥l. 作法:如圖, ①在直線l上取一點(diǎn)A,作射線PA,以點(diǎn)A為圓心,AP長為半徑畫弧,交PA的延長線于點(diǎn)B; ②在直線l上取一點(diǎn)C(不與點(diǎn)A重合),作射線BC,以點(diǎn)C為圓心,CB長為半徑畫弧,交BC的延長線于點(diǎn)Q; ③作直線PQ.所以直線PQ就是所求作的直線. 根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程, (1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡) (2)完成下面的證明. 證明:∵AB= AP ,CB= CQ ,
31、 ∴PQ∥l( 三角形中位線定理?。ㄌ钔评淼囊罁?jù)). 【分析】(1)根據(jù)題目要求作出圖形即可; (2)利用三角形中位線定理證明即可; 【解答】(1)解:直線PQ如圖所示; (2)證明:∵AB=AP,CB=CQ, ∴PQ∥l(三角形中位線定理). 故答案為:AP,CQ,三角形中位線定理; 26.(2018?白銀)如圖,在△ABC中,∠ABC=90°. (1)作∠ACB的平分線交AB邊于點(diǎn)O,再以點(diǎn)O為圓心,OB的長為半徑作⊙O;(要求:不寫做法,保留作圖痕跡) (2)判斷(1)中AC與⊙O的位置關(guān)系,直接寫出結(jié)果. 【分析】(1)首先利用角平分線的作法得
32、出CO,進(jìn)而以點(diǎn)O為圓心,OB為半徑作⊙O即可; (2)利用角平分線的性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)而求出即可. 【解答】解:(1)如圖所示: ; (2)相切;過O點(diǎn)作OD⊥AC于D點(diǎn), ∵CO平分∠ACB, ∴OB=OD,即d=r, ∴⊙O與直線AC相切, 27.(2018?無錫)如圖,平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,4). (1)請用直尺(不帶刻度)和圓規(guī)作一條直線AC,它與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)C,且使∠ABC=90°,△ABC與△AOC的面積相等.(作圖不必寫作法,但要保留作圖痕跡.) (2)問:(1)中這樣的直線AC是否唯一?若唯一,請
33、說明理由;若不唯一,請?jiān)趫D中畫出所有這樣的直線AC,并寫出與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式. 【分析】(1)①作線段OB的垂直平分線AC,滿足條件,②作矩形OA′BC′,直線A′C′,滿足條件; (2)分兩種情形分別求解即可解決問題; 【解答】(1)解:如圖△ABC即為所求; (2)解:這樣的直線不唯一. ①作線段OB的垂直平分線AC,滿足條件,此時(shí)直線的解析式為y=﹣x+. ②作矩形OA′BC′,直線A′C′,滿足條件,此時(shí)直線A′C′的解析式為y=﹣x+4. 28.(2018?孝感)如圖,△ABC中,AB=AC,小聰同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成了如下操作: ①作∠BAC的平
34、分線AM交BC于點(diǎn)D; ②作邊AB的垂直平分線EF,EF與AM相交于點(diǎn)P; ③連接PB,PC. 請你觀察圖形解答下列問題: (1)線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系是 PA=PB=PC??; (2)若∠ABC=70°,求∠BPC的度數(shù). 【分析】(1)根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得:PA=PB=PC; (2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得:∠ABC=∠ACB=70°,由三角形的內(nèi)角和得:∠BAC=180°﹣2×70°=40°,由角平分線定義得:∠BAD=∠CAD=20°,最后利用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論. 【解答】解:(1)如圖,PA=PB=PC,理由是: ∵AB=AC,AM平分∠
35、BAC, ∴AD是BC的垂直平分線, ∴PB=PC, ∵EP是AB的垂直平分線, ∴PA=PB, ∴PA=PB=PC; 故答案為:PA=PB=PC; (2)∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=70°, ∴∠BAC=180°﹣2×70°=40°, ∵AM平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD=20°, ∵PA=PB=PC, ∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°, ∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°. 29.(2018?深圳)已知菱形的一個(gè)角與三角形的一個(gè)角重合,然后它的對(duì)角頂點(diǎn)在這個(gè)重合角的對(duì)邊上,這個(gè)菱形稱為這個(gè)三
36、角形的親密菱形,如圖,在△CFE中,CF=6,CE=12,∠FCE=45°,以點(diǎn)C為圓心,以任意長為半徑作AD,再分別以點(diǎn)A和點(diǎn)D為圓心,大于AD長為半徑作弧,交EF于點(diǎn)B,AB∥CD. (1)求證:四邊形ACDB為△FEC的親密菱形; (2)求四邊形ACDB的面積. 【分析】(1)根據(jù)折疊和已知得出AC=CD,AB=DB,∠ACB=∠DCB,求出AC=AB,根據(jù)菱形的判定得出即可; (2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式,求出菱形的邊長和高,根據(jù)菱形的面積公式求出即可. 【解答】(1)證明:∵由已知得:AC=CD,AB=DB, 由已知尺規(guī)作圖痕跡得:BC是∠FCE的角平分線,
37、 ∴∠ACB=∠DCB, 又∵AB∥CD, ∴∠ABC=∠DCB, ∴∠ACB=∠ABC, ∴AC=AB, 又∵AC=CD,AB=DB, ∴AC=CD=DB=BA∴四邊形ACDB是菱形, ∵∠ACD與△FCE中的∠FCE重合,它的對(duì)角∠ABD頂點(diǎn)在EF上, ∴四邊形ACDB為△FEC的親密菱形; (2)解:設(shè)菱形ACDB的邊長為x, ∵四邊形ABCD是菱形, ∴AB∥CE, ∴∠FAB=∠FCE,∠FBA=∠E, △EAB∽△FCE 則:, 即, 解得:x=4, 過A點(diǎn)作AH⊥CD于H點(diǎn), ∵在Rt△ACH中,∠ACH=45°, ∴, ∴四邊形ACD
38、B的面積為:. 30.(2018?貴港)尺規(guī)作圖(只保留作圖痕跡,不要求寫出作法).如圖,已知∠α和線段a,求作△ABC,使∠A=∠α,∠C=90°,AB=a. 【分析】根據(jù)作一個(gè)角等于已知角,線段截取以及垂線的尺規(guī)作法即可求出答案. 【解答】解:如圖所示, △ABC為所求作 31.(2018?江西)如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E為AB的中點(diǎn),請僅用無刻度直尺分別按下列要求畫圖(保留畫圖痕跡). (1)在圖1中,畫出△ABD的BD邊上的中線; (2)在圖2中,若BA=BD,畫出△ABD的AD邊上的高. 【分析】(1)連接EC,利用
39、平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即可; (2)連接EC,ED,F(xiàn)A,利用三角形重心的性質(zhì)解答即可. 【解答】解:(1)如圖1所示,AF即為所求: (2)如圖2所示,BH即為所求. 32.(2018?青島)已知:如圖,∠ABC,射線BC上一點(diǎn)D. 求作:等腰△PBD,使線段BD為等腰△PBD的底邊,點(diǎn)P在∠ABC內(nèi)部,且點(diǎn)P到∠ABC兩邊的距離相等. 【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)即可解決問題. 【解答】解:∵點(diǎn)P在∠ABC的平分線上, ∴點(diǎn)P到∠ABC兩邊的距離相等(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等), ∵點(diǎn)P在線段BD的垂直平分線上, ∴PB=PD
40、(線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等), 如圖所示: 33.(2018?寧波)在5×3的方格紙中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上. (1)在圖1中畫出線段BD,使BD∥AC,其中D是格點(diǎn); (2)在圖2中畫出線段BE,使BE⊥AC,其中E是格點(diǎn). 【分析】(1)將線段AC沿著AB方向平移2個(gè)單位,即可得到線段BD; (2)利用2×3的長方形的對(duì)角線,即可得到線段BE⊥AC. 【解答】解:(1)如圖所示,線段BD即為所求; (2)如圖所示,線段BE即為所求. 34.(2018?河南)如圖,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象過格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn))P.
41、 (1)求反比例函數(shù)的解析式; (2)在圖中用直尺和2B鉛筆畫出兩個(gè)矩形(不寫畫法),要求每個(gè)矩形均需滿足下列兩個(gè)條件: ①四個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,且其中兩個(gè)頂點(diǎn)分別是點(diǎn)O,點(diǎn)P; ②矩形的面積等于k的值. 【分析】(1)將P點(diǎn)坐標(biāo)代入y=,利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式; (2)根據(jù)矩形滿足的兩個(gè)條件畫出符合要求的兩個(gè)矩形即可. 【解答】解:(1)∵反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象過格點(diǎn)P(2,2), ∴k=2×2=4, ∴反比例函數(shù)的解析式為y=; (2)如圖所示: 矩形OAPB、矩形OCDP即為所求作的圖形. 35.(2018?金華)如圖,在6
42、×6的網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長為1,點(diǎn)A在格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn))上.試在各網(wǎng)格中畫出頂點(diǎn)在格點(diǎn)上,面積為6,且符合相應(yīng)條件的圖形. 【分析】利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可; 【解答】解:符合條件的圖形如圖所示: 36.(2018?濟(jì)寧)在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中,某數(shù)學(xué)小組探究求環(huán)形花壇(如圖所示)面積的方法,現(xiàn)有以下工具;①卷尺;②直棒EF;③T型尺(CD所在的直線垂直平分線段AB). (1)在圖1中,請你畫出用T形尺找大圓圓心的示意圖(保留畫圖痕跡,不寫畫法); (2)如圖2,小華說:“我只用一根直棒和一個(gè)卷尺就可以求出環(huán)形花壇的面積,具體做法如下: 將直棒放置到與小圓
43、相切,用卷尺量出此時(shí)直棒與大圓兩交點(diǎn)M,N之間的距離,就可求出環(huán)形花壇的面積”如果測得MN=10m,請你求出這個(gè)環(huán)形花壇的面積. 【分析】(1)直線CD與C′D′的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)O. (2)設(shè)切點(diǎn)為C,連接OM,OC.旅游勾股定理即可解決問題; 【解答】解:(1)如圖點(diǎn)O即為所求; (2)設(shè)切點(diǎn)為C,連接OM,OC. ∵M(jìn)N是切線, ∴OC⊥MN, ∴CM=CN=5, ∴OM2﹣OC2=CM2=25, ∴S圓環(huán)=π?OM2﹣π?OC2=25π. 37.(2018?廣安)下面有4張形狀、大小完全相同的方格紙,方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長都是1,請?jiān)诜礁窦堉?/p>
44、分別畫出符合要求的圖形,所畫圖形各頂點(diǎn)必須與方格紙中小正方形的頂點(diǎn)重合,具體要求如下: (1)畫一個(gè)直角邊長為4,面積為6的直角三角形. (2)畫一個(gè)底邊長為4,面積為8的等腰三角形. (3)畫一個(gè)面積為5的等腰直角三角形. (4)畫一個(gè)邊長為2,面積為6的等腰三角形. 【分析】(1)利用三角形面積求法以及直角三角形的性質(zhì)畫即可; (2)利用三角形面積求法以及等腰三角形的性質(zhì)畫出即可. (3)利用三角形面積求法以及等腰直角三角形的性質(zhì)畫出即可; (4)利用三角形面積求法以及等腰三角形的性質(zhì)畫出即可. 【解答】解:(1)如圖(1)所示: (2)如圖(2)所示: (3)如
45、圖(3)所示; (4)如圖(4)所示. 38.(2018?青島)問題提出:用若干相同的一個(gè)單位長度的細(xì)直木棒,按照如圖1方式搭建一個(gè)長方體框架,探究所用木棒條數(shù)的規(guī)律. 問題探究: 我們先從簡單的問題開始探究,從中找出解決問題的方法. 探究一 用若干木棒來搭建橫長是m,縱長是n的矩形框架(m、n是正整數(shù)),需要木棒的條數(shù). 如圖①,當(dāng)m=1,n=1時(shí),橫放木棒為1×(1+1)條,縱放木棒為(1+1)×1條,共需4條; 如圖②,當(dāng)m=2,n=1時(shí),橫放木棒為2×(1+1)條,縱放木棒為(2+1)×1條,共需7條; 如圖③,當(dāng)m=2,n=2時(shí),橫放木棒為2×(2+1))
46、條,縱放木棒為(2+1)×2條,共需12條;如圖④,當(dāng)m=3,n=1時(shí),橫放木棒為3×(1+1)條,縱放木棒為(3+1)×1條,共需10條; 如圖⑤,當(dāng)m=3,n=2時(shí),橫放木棒為3×(2+1)條,縱放木棒為(3+1)×2條,共需17條. 問題(一):當(dāng)m=4,n=2時(shí),共需木棒 22 條. 問題(二):當(dāng)矩形框架橫長是m,縱長是n時(shí),橫放的木棒為 m(n+1) 條, 縱放的木棒為 n(m+1) 條. 探究二 用若干木棒來搭建橫長是m,縱長是n,高是s的長方體框架(m、n、s是正整數(shù)),需要木棒的條數(shù). 如圖⑥,當(dāng)m=3,n=2,s=1時(shí),橫放與縱放木棒之和為[3×(2+1)
47、+(3+1)×2]×(1+1)=34條,豎放木棒為(3+1)×(2+1)×1=12條,共需46條; 如圖⑦,當(dāng)m=3,n=2,s=2時(shí),橫放與縱放木棒之和為[3×(2+1)+(3+1)×2]×(2+1)=51條,豎放木棒為(3+1)×(2+1)×2=24條,共需75條; 如圖⑧,當(dāng)m=3,n=2,s=3時(shí),橫放與縱放木棒之和為[3×(2+1)+(3+1)×2]×(3+1)=68條,豎放木棒為(3+1)×(2+1)×3=36條,共需104條. 問題(三):當(dāng)長方體框架的橫長是m,縱長是n,高是s時(shí),橫放與縱放木棒條數(shù)之和為 [m(n+1)+n(m+1)](s+1) 條,豎放木棒條數(shù)為
48、(m+1)(n+1)s 條. 實(shí)際應(yīng)用:現(xiàn)在按探究二的搭建方式搭建一個(gè)縱長是2、高是4的長方體框架,總共使用了170條木棒,則這個(gè)長方體框架的橫長是 4?。? 拓展應(yīng)用:若按照如圖2方式搭建一個(gè)底面邊長是10,高是5的正三棱柱框架,需要木棒 1320 條. 【分析】從特殊到一般探究規(guī)律后利用規(guī)律即可解決問題; 【解答】解:問題(一):當(dāng)m=4,n=2時(shí),橫放木棒為4×(2+1)條,縱放木棒為(4+1)×2條,共需22條; 問題(二):當(dāng)矩形框架橫長是m,縱長是n時(shí),橫放的木棒為 m(n+1)條,縱放的木棒為n(m+1)條; 問題(三):當(dāng)長方體框架的橫長是m,縱長是n,高是s時(shí),橫放
49、與縱放木棒條數(shù)之和為[m(n+1)+n(m+1)](s+1)條,豎放木棒條數(shù)為(m+1)(n+1)s條. 實(shí)際應(yīng)用:這個(gè)長方體框架的橫長是 s,則:[3m+2(m+1)]×5+(m+1)×3×4=170,解得m=4, 拓展應(yīng)用:若按照如圖2方式搭建一個(gè)底面邊長是10,高是5的正三棱柱框架,橫放與縱放木棒條數(shù)之和為165×6=990條,豎放木棒條數(shù)為66×5=330條需要木棒1320條. 故答案為22,m(n+1),n(m+1),[m(n+1)+n(m+1)](s+1),(m+1)(n+1)s,4,1320; 39.(2018?香坊區(qū))如圖,在每個(gè)小正方形的邊長均為1的方格紙中,有
50、線段AB和線段CD,點(diǎn)A、B、C、D均在小正方形的頂點(diǎn)上. (1)在方格紙中畫出以AB為斜邊的等腰直角三角形ABE,點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上; (2)在方格紙中畫出以CD為對(duì)角線的矩形CMDN(頂點(diǎn)字母按逆時(shí)針順序),且面積為10,點(diǎn)M、N均在小正方形的頂點(diǎn)上; (3)連接ME,并直接寫出EM的長. 【分析】(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)畫出即可; (2)利用矩形的性質(zhì)畫出即可; (3)根據(jù)勾股定理解答即可. 【解答】解:(1)如圖所示; (2)如圖所示; (3)如圖所示,EM= 40.(2018?天門)圖①、圖②都是由邊長為1的小菱形構(gòu)成的網(wǎng)格,每個(gè)小菱形的頂點(diǎn)稱
51、為格點(diǎn).點(diǎn)O,M,N,A,B均在格點(diǎn)上,請僅用無刻度直尺在網(wǎng)格中完成下列畫圖. (1)在圖①中,畫出∠MON的平分線OP; (2)在圖②中,畫一個(gè)Rt△ABC,使點(diǎn)C在格點(diǎn)上. 【分析】(1)構(gòu)造全等三角形,利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題; (2)利用菱形以及平行線的性質(zhì)即可解決問題; 【解答】解:(1)如圖所示,射線OP即為所求. (2)如圖所示,點(diǎn)C即為所求; 41.(2018?哈爾濱)如圖,方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1,線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上. (1)在圖中畫出以線段AB為一邊的矩形ABCD(不是正方形),且點(diǎn)C和點(diǎn)D均在小正方形的頂點(diǎn)上; (2)在圖中畫出以線段AB為一腰,底邊長為2的等腰三角形ABE,點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上,連接CE,請直接寫出線段CE的長. 【分析】(1)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可; (2)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可; 【解答】解:(1)如圖所示,矩形ABCD即為所求; (2)如圖△ABE即為所求,CE=4. 36
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