《2020年中考數(shù)學基礎(chǔ)題型提分講練 專題23 以圓為背景的證明與計算(含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020年中考數(shù)學基礎(chǔ)題型提分講練 專題23 以圓為背景的證明與計算(含解析)(22頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題23 以圓為背景的證明與計算
考點分析
【例1】(2019·廣東中考模擬)已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,AC是⊙O的直徑,DE⊥AB,垂足為E.
(1)延長DE交⊙O于點F,延長DC,F(xiàn)B交于點P,如圖1.求證:PC=PB;
(2)過點B作BG⊥AD,垂足為G,BG交DE于點H,且點O和點A都在DE的左側(cè),如圖2.若AB= ,DH=1,∠OHD=80°,求∠BDE的大?。?
【答案】(1)詳見解析;(2)∠BDE=20°.
【解析】
(1)如圖1,∵AC是⊙O的直徑,
∴∠ABC=90°,
∵DE⊥AB,
∴∠DEA=90°,
∴∠DEA=∠ABC,
∴
2、BC∥DF,
∴∠F=∠PBC,
∵四邊形BCDF是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠F+∠DCB=180°,
∵∠PCB+∠DCB=180°,
∴∠F=∠PCB,
∴∠PBC=∠PCB,
∴PC=PB;
(2)如圖2,連接OD,
∵AC是⊙O的直徑,
∴∠ADC=90°,
∵BG⊥AD,
∴∠AGB=90°,
∴∠ADC=∠AGB,
∴BG∥DC,
∵BC∥DE,
∴四邊形DHBC是平行四邊形,
∴BC=DH=1,
在Rt△ABC中,AB=,tan∠ACB=,
∴∠ACB=60°,
∴BC=AC=OD,
∴DH=OD,
在等腰△DOH中,∠DOH=∠OHD=
3、80°,
∴∠ODH=20°,
設DE交AC于N,
∵BC∥DE,
∴∠ONH=∠ACB=60°,
∴∠NOH=180°﹣(∠ONH+∠OHD)=40°,
∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠DOC=20°,
∴∠CBD=∠OAD=20°,
∵BC∥DE,
∴∠BDE=∠CBD=20°.
【點睛】
本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點,解決第(2)問,作出輔助線,求得∠ODH=20°是解決本題的關(guān)鍵.
【例2】 (2019·湖南中考真題)如圖,點在半徑為8的上,過點作,交延
4、長線于點.連接,且.
(1)求證:是的切線;
(2)求圖中陰影部分的面積.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】
(1)證明:連接,交于,
∵,,
∴,
∵,
∴,
即,
∵,
∴,
∴是的切線;
(2)解:∵,∴,
∵,
∴,
∴.
【點睛】
本題考查了平行線的性質(zhì),圓周角定理,扇形的面積,三角形的面積,解直角三角形等知識點的綜合運用,題目比較好,難度適中.
考點集訓
1.(2019·遼寧中考真題)如圖,在中,,,點在的內(nèi)部,經(jīng)過,兩點,交于點,連接并延長交于點,以,為鄰邊作.
(1)判斷與的位置關(guān)系,并說明理由.
(2)若點
5、是的中點,的半徑為2,求的長.
【答案】(1)是的切線;理由見解析;(2)的長.
【解析】
(1)是的切線;
理由:連接,
,,
,
,
四邊形是平行四邊形,
,
,
,
,
是的切線;
(2)連接,
點是的中點,
,
,
,
的長.
【點睛】
本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,圓周角定理,平行四邊形的性質(zhì),正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.
2.(2019·云南初三)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于點E,作ED⊥EB交AB于點D,⊙O是△BED的外接圓.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)已知⊙O的半徑為2.5,BE
6、=4,求BC,AD的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)BC=,AD=.
【解析】
(1)如圖,連接OE,
∵OB=OE,
∴∠OBE=∠OEB,
∵BE平分∠ABC,
∴∠OBE=∠CBE,
∴∠OEB=∠CBE,
∴OE∥BC,
又∵∠C=90°,
∴∠AEO=90°,即OE⊥AC,
∴AC為⊙O的切線;
(2)∵ED⊥BE,
∴∠BED=∠C=90°,
又∵∠DBE=∠EBC,
∴△BDE∽△BEC,
∴,即,
∴BC=;
∵∠AEO=∠C=90°,∠A=∠A,
∴△AOE∽△ABC,
∴,即,
解得:AD=.
點睛:本題主要考查切
7、線的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì).
3.(2019·連云港市新海實驗中學初三月考)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,對角線AC為⊙O的直徑,過點C作AC的垂線交AD的延長線于點E,點F為CE的中點,連接DB,DC,DF.
(1)求∠CDE的度數(shù);
(2)求證:DF是⊙O的切線;
(3)若AC=DE,求tan∠ABD的值.
【答案】(1)90°;(2)證明見解析;(3)2.
【解析】
解:(1)解:∵對角線AC為⊙O的直徑,
∴∠ADC=90°,
∴∠EDC=90°;
(2)證明:連接DO,
∵∠EDC=90°,F(xiàn)是EC的中點,
8、∴DF=FC,
∴∠FDC=∠FCD,
∵OD=OC,
∴∠OCD=∠ODC,
∵∠OCF=90°,
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°,
∴DF是⊙O的切線;
(3)解:如圖所示:可得∠ABD=∠ACD,
∵∠E+∠DCE=90°,∠DCA+∠DCE=90°,
∴∠DCA=∠E,
又∵∠ADC=∠CDE=90°,
∴△CDE∽△ADC,
∴,
∴DC2=AD?DE
∵AC=2DE,
∴設DE=x,則AC=2x,
則AC2﹣AD2=AD?DE,
期(2x)2﹣AD2=AD?x,
整理得:AD2+AD?x﹣20x2=0,
解得:AD=
9、4x或﹣4.5x(負數(shù)舍去),
則DC=,
故tan∠ABD=tan∠ACD=.
4.(2019·江蘇初三月考)如圖,已知AB是⊙O的直徑,點C、D在⊙O上,點E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.
(1)求∠ABC的度數(shù);
(2)求證:AE是⊙O的切線;
(3)當BC=4時,求劣弧AC的長.
【答案】(1)60°;(2)證明略;(3)
【解析】
(1)∵∠ABC與∠D都是弧AC所對的圓周角,
∴∠ABC=∠D=60°;
(2)∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°.
∴∠BAC=30°,
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°,
即BA⊥A
10、E,
∴AE是⊙O的切線;
(3)如圖,連接OC,
∵OB=OC,∠ABC=60°,
∴△OBC是等邊三角形,
∴OB=BC=4,∠BOC=60°,
∴∠AOC=120°,
∴劣弧AC的長為==.
【點睛】
本題考查了切線長定理及弧長公式,熟練掌握定理及公式是解題的關(guān)鍵.
5.(2019·江蘇中考真題)如圖,為⊙的直徑,為⊙上一點,為的中點.過點作直線的垂線,垂足為,連接.
(1)求證:;
(2)與⊙有怎樣的位置關(guān)系?請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)與⊙相切,理由見解析.
【解析】
(1)連接,
為的中點,
∴,
,
,
;
(2)
11、與⊙相切,理由如下:
,
,
∴∠ODE+∠E=180°,
,
∴∠E=90°,
∴∠ODE=90°,
,
又∵OD是半徑,
與⊙相切.
【點睛】
本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理,熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵.
6.(2019·湖北初三)如圖,AB為⊙O的直徑,PD切⊙O于點C,與BA的延長線交于點D,DE⊥PO交PO延長線于點E,連接PB,∠EDB=∠EPB,
(1)求證:PB是的切線.
(2)若PB=6,DB=8,求⊙O的半徑.
【答案】(1)證明見解析;(2)3.
【解析】
(1)證明:∵在△DEO和△PB
12、O中,∠EDB=∠EPB,∠DOE=∠POB,
∴∠OBP=∠E=90°,
∵OB為圓的半徑,
∴PB為圓O的切線;
(2)解:在Rt△PBD中,PB=6,DB=8,
根據(jù)勾股定理得:PD=,
∵PD與PB都為圓的切線,
∴PC=PB=6,
∴DC=PD-PC=10-6=4,
在Rt△CDO中,設OC=r,則有DO=8-r,
根據(jù)勾股定理得:(8-r)2=r2+42,
解得:r=3,
則圓的半徑為3.
考點:切線的判定與性質(zhì).
7.(2019·廣西中考模擬)如圖,以AB邊為直徑的⊙O經(jīng)過點P,C是⊙O上一點,連結(jié)PC交AB于點E,且∠ACP=60°,PA=PD.
13、(1)試判斷PD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若點C是弧AB的中點,已知AB=4,求CE?CP的值.
【答案】(1)PD是⊙O的切線.證明見解析.(2)8.
【解析】
連結(jié)OP,∵∠ACP=60°,∴∠AOP=120°,∵OA=OP,∴∠OAP=∠OPA=30°,∵PA=PD,∴∠PAO=∠D=30°,∴∠OPD=90°,∴PD是⊙O的切線.
(2)連結(jié)BC,∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,又∵C為弧AB的中點,∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°,∵AB=4,AC=Absin45°=.∵∠C=∠C,∠CAB=∠APC,∴△CAE∽△CPA,∴,∴CP?CE=C
14、A2=()2=8.
考點:相似三角形的判定與性質(zhì);圓心角、弧、弦的關(guān)系;直線與圓的位置關(guān)系;探究型.
8.(2019·湖南中考真題)如圖,點D在以AB為直徑的⊙O上,AD平分,,過點B作⊙O的切線交AD的延長線于點E.
(1)求證:直線CD是⊙O的切線.
(2)求證:.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】
解:證明:(1)連接OD,
∵AD平分,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴直線CD是⊙O的切線;
(2)連接BD,
∵BE是⊙O的切線,AB為⊙O的直徑,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
15、
【點睛】
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),角平分線的定義.圓周角定理,切線的判定和性質(zhì),正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
9.(2019·山東中考真題)如圖,在中,,以為直徑的分別與交于點,過點作,垂足為點.
(1)求證:直線是的切線;
(2)求證:;
(3)若的半徑為4,,求陰影部分的面積.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)
解:(1)如圖所示,連接,
∵,
∴,
而,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴直線是的切線;
(2)連接,則,則,
則,
∵,,
∴,
而,
∴,
∴,即;
(3)連接,
∵,
∴,
∴,
16、,
【點睛】
本題主要考查圓的綜合性知識,難度系數(shù)不大,應該熟練掌握,關(guān)鍵在于做輔助線,這是這類題的難點.
10.(2019·江蘇中考真題)如圖,AB是⊙O的直徑,AC與⊙O交于點F,弦AD平分,,垂足為E.
(1)試判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若⊙O的半徑為2,,求線段EF的長.
【答案】(1)直線DE與⊙O相切;(2).
【解析】
(1)直線DE與⊙O相切,
連結(jié)OD.
∵AD平分,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,即,
∴,即,
∴DE是⊙O的切線;
(2)過O作于G,
∵,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴四
17、邊形AODF是菱形,
∵,,
∴,
∴.
【點睛】
本題考查切線的判定和性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線,屬于中考??碱}型.
11.(2019·天津中考真題)已知,分別與相切于點,,,為上一點.
(Ⅰ)如圖①,求的大??;
(Ⅱ)如圖②,為的直徑,與相交于點,若,求的大?。?
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
解:(Ⅰ)如圖,連接.
∵是的切線,
∴,.
即.
∵,
∴在四邊形中,.
∵在中,,
∴.
(Ⅱ)如圖,連接.
∵為的直徑,
∴.
由(Ⅰ)知,,
∴.
∴.
∵在中,,
∴.
又是的一個外
18、角,有,
∴.
【點睛】
本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì),掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵
12.(2019·甘肅中考真題)如圖,在中,,點在邊上,經(jīng)過點和點且與邊相交于點.
(1)求證:是的切線;
(2)若,求的半徑.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)證明:連接,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴是的切線;
(2)解:連接,
∵,
∴是等邊三角形,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴的半徑.
【點睛】
本題考查了切線的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),正確的作
19、出輔助線是解題的關(guān)鍵.
13.(2019·湖北中考真題)如圖,在中,為的中點,以為直徑的分別交于點兩點,過點作于點.
試判斷與的位置關(guān)系,并說明理由.
若求的長.
【答案】(1)切,理由見解析;(2)
【解析】
(1)相切,
理由:如圖,連接,
為的中點,
與相切;
連接,
為的直徑,
即,
【點睛】
本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,平行線的判定和性質(zhì),勾股定理,解直角三角形,正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
14.(2019·山西初三期末)如圖,點O在∠APB的平分線上,⊙O與PA相
20、切于點C.
(1)求證:直線PB與⊙O相切;
(2)PO的延長線與⊙O交于點E.若⊙O的半徑為3,PC=4.求弦CE的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)證明:連接OC,作OD⊥PB于D點.
∵⊙O與PA相切于點C, ∴OC⊥PA.
(2)解:設PO交⊙O于F,連接CF.
∵OC=3,PC=4,∴PO=5,PE=8.
∵⊙O與PA相切于點C, ∴∠PCF=∠E.
又∵∠CPF=∠EPC, ∴△PCF∽△PEC,
∴CF:CE=PC:PE=4:8=1:2.
∵EF是直徑, ∴∠ECF=90°.
設CF=x,則EC=2x.
則x2+(2x)2=62, 解得x=.
則EC=2x=.