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2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員 第24講 尺規(guī)作圖(含解析)

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1、第24講 尺規(guī)作圖 1.尺規(guī)作圖的作圖工具 圓規(guī)和沒有刻度的直尺 2.基本尺規(guī)作圖 類型一:作一條線段等于已知線段 步驟:①作射線OP; ②以O(shè)為圓心,a為半徑作弧,交OP于A,OA即為所求線段. 圖示: 類型三:作線段的垂直平分線 步驟:①分別以點(diǎn)A,B為圓心,以大于AB長(zhǎng)為半徑,在AB兩側(cè)作弧,兩弧交于M,N點(diǎn); ②連接MN,直線MN即為所求垂直平分線. 圖示: 類型四:作一個(gè)角等于已知角: 步驟:①以O(shè)為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑作弧,交∠α的兩邊于點(diǎn)P,Q; ②作射線O′A; ③以O(shè)′為圓心,OP長(zhǎng)為半徑作弧,交O′A于點(diǎn)M; ④以點(diǎn)M為圓心,PQ長(zhǎng)為半徑

2、作弧,交前弧于點(diǎn)N; ⑤過點(diǎn)N作射線O′B,∠AO′B即為所求角. 圖示: 類型五:過一點(diǎn)作已知直線的垂線 步驟:點(diǎn)在直線上:①以點(diǎn)O為圓心,任意長(zhǎng)為半徑作弧,交直線于A,B兩點(diǎn); ②分別以點(diǎn)A,B為圓心,以大于AB長(zhǎng)為半徑在直線兩側(cè)作弧,交點(diǎn)分別為M,N; ③連接MN,MN即為所求垂線. 點(diǎn)在直線外:①在直線另一側(cè)取點(diǎn)M; ②以PM為半徑畫弧,交直線于A,B兩點(diǎn); ③分別以A,B為圓心,以大于AB長(zhǎng)為半徑畫弧,交M同側(cè)于點(diǎn)N; ④連接PN,則直線PN即為所求的垂線. 圖示: 3.常見幾種基本尺規(guī)作圖作三角形 ①已知三邊作三角形; ②已知兩邊及其夾角作三角形;

3、③已知兩角及其夾邊作三角形; ④已知底邊及底邊上的高作等腰三角形; ⑤已知一直角邊和斜邊作直角三角形. 4.作圖的一般步驟 (1)已知;(2)求作;(3)分析;(4)作法;(5)證明; (6)討論. 步驟(5)(6)常不作要求,步驟(3)一般不要求,但作圖中一定要保留作圖痕跡. 考點(diǎn)1:簡(jiǎn)單尺規(guī)作圖 【例題1】尺規(guī)作圖,已知頂角和底邊上的高,求作等腰三角形. 已知:如圖,∠α,線段a. 求作:△ABC,使AB=AC,∠BAC=α,AD⊥BC于D,且AD=a. 【解析】:作圖如圖,(1)作∠EAF=∠α;(2)作AG平分∠EAF,并在AG上截取AD=a;

4、(3)過D作MN⊥AG,MN與AE,AF分別交于B,C.則△ABC即為所求作的等腰三角形  歸納:1.熟悉五個(gè)基本的作圖步驟及作圖痕跡. 2.平時(shí)多體會(huì)和理解一些復(fù)雜作圖的依據(jù)及作圖過程. 3.會(huì)在常見的作圖語言與對(duì)應(yīng)的幾何語言之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 4.提倡在平時(shí)畫圖時(shí),采用尺規(guī)作圖,強(qiáng)化自己的作圖意識(shí)和規(guī)范性. 考點(diǎn)2: 復(fù)雜尺規(guī)作圖 【例題2】如圖,在△ABC中,已知∠ABC=90°. (1)請(qǐng)?jiān)贐C上找一點(diǎn)P,作⊙P與AC,AB都相切,與AC的切點(diǎn)為Q;(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡) (2)連接BQ,若AB=3,(1)中所作圓的半徑為,求sin∠CBQ. 【分析】 (1)

5、要求作⊙P與AB、AC相切,根據(jù)切線的性質(zhì),即點(diǎn)P到AB、AC的距離相等,且點(diǎn)P在邊BC上,想到角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等,即作∠BAC的平分線交BC于P點(diǎn),以點(diǎn)P為圓心,PB為半徑作圓即可;(2)由切線長(zhǎng)定理得AB=AQ,又PB=PQ,則判定AP為BQ的垂直平分線,利用等角的余角相等得到∠CBQ=∠BAP,然后在Rt△ABP中利用正弦函數(shù)求出sin∠BAP,從而可得到sin∠CBQ的值. 解:(1)如圖所示,⊙P即為所求: (2)∵AB、AQ為⊙P的切線,∴AB=AQ,∵PB=PQ,∴AP為BQ的垂直平分線,∴∠BAP+∠ABQ=90°,∵∠CBQ+∠ABQ=90°,∴∠CBQ

6、=∠BAP,在Rt△ABP中,AP===,∴sin∠BAP===,∴sin∠CBQ= 考點(diǎn)3: 關(guān)于尺規(guī)作圖的應(yīng)用 【例題3】(2019?廣西池河?8分)如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上. (1)尺規(guī)作圖:作∠BAC的平分線,與⊙O交于點(diǎn)D;連接OD,交BC于點(diǎn)E(不寫作法,只保留作圖痕跡,且用黑色墨水筆將作圖痕跡加黑); (2)探究OE與AC的位置及數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 【分析】(1)利用基本作圖作AD平分∠BAC,然后連接OD得到點(diǎn)E; (2)由AD平分∠BAC得到∠BAD=∠BAC,由圓周角定理得到∠BAD=∠BOD,則∠BOD=∠BAC,再證明OE為△ABC的

7、中位線,從而得到OE∥AC,OE=AC. 【解答】解:(1)如圖所示; (2)OE∥AC,OE=AC. 理由如下: ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠BAC, ∵∠BAD=∠BOD, ∴∠BOD=∠BAC, ∴OE∥AC, ∵OA=OB, ∴OE為△ABC的中位線, ∴OE∥AC,OE=AC. 一、選擇題: 1. (2018年湖北省宜昌市3分)尺規(guī)作圖:經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線,下列作圖中正確的是( ?。? 【答案】B 【解答】已知:直線AB和AB外一點(diǎn)C. 求作:AB的垂線,使它經(jīng)過點(diǎn)C. 作法:(1)任意取一點(diǎn)K,使K和C在AB的兩旁

8、. (2)以C為圓心,CK的長(zhǎng)為半徑作弧,交AB于點(diǎn)D和E. (3)分別以D和E為圓心,大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)F, (4)作直線CF. 直線CF就是所求的垂線. 故選:B. 2. (2018?襄陽)如圖,在△ABC中,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心,大于AC長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)M,N,作直線MN分別交BC,AC于點(diǎn)D,E.若AE=3cm,△ABD的周長(zhǎng)為13cm,則△ABC的周長(zhǎng)為(  ) A.16cm B.19cm C.22cm D.25cm 【答案】B 【解答】解:∵DE垂直平分線段AC, ∴DA=DC,AE=EC=6cm, ∵AB+AD+BD=13

9、cm, ∴AB+BD+DC=13cm, ∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm, 故選:B. 3. (2019?河北?3分)根據(jù)圓規(guī)作圖的痕跡,可用直尺成功找到三角形外心的是( ?。? A.B.C.D. 【答案】C 【解答】解:三角形外心為三邊的垂直平分線的交點(diǎn),由基本作圖得到C選項(xiàng)作了兩邊的垂直平分線,從而可用直尺成功找到三角形外心.故選:C. 4. (2019?貴陽?3分)如圖,在△ABC中,AB=AC,以點(diǎn)C為圓心,CB長(zhǎng)為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)B和點(diǎn)D,再分別以點(diǎn)B,D為圓心,大于BD長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)M,作射線CM交AB于點(diǎn)E.若AE=2,B

10、E=1,則EC的長(zhǎng)度是( ?。? A.2 B.3 C. D. 【答案】D 【解答】解:由作法得CE⊥AB,則∠AEC=90°, AC=AB=BE+AE=2+1=3, 在Rt△ACE中,CE==. 故選:D. 5. (2018?河南)如圖,已知?AOBC的頂點(diǎn)O(0,0),A(﹣1,2),點(diǎn)B在x軸正半軸上按以下步驟作圖:①以點(diǎn)O為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑作弧,分別交邊OA,OB于點(diǎn)D,E;②分別以點(diǎn)D,E為圓心,大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)F;③作射線OF,交邊AC于點(diǎn)G,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為(  ) A.(﹣1,2) B.(,2) C.(3﹣,2) D.(﹣2,

11、2) 【答案】A 【解答】解:∵?AOBC的頂點(diǎn)O(0,0),A(﹣1,2), ∴AH=1,HO=2, ∴Rt△AOH中,AO=, 由題可得,OF平分∠AOB, ∴∠AOG=∠EOG, 又∵AG∥OE, ∴∠AGO=∠EOG, ∴∠AGO=∠AOG, ∴AG=AO=, ∴HG=﹣1, ∴G(﹣1,2), 故選:A. 二、填空題: 6. (2018?南京)如圖,在△ABC中,用直尺和圓規(guī)作AB、AC的垂直平分線,分別交AB、AC于點(diǎn)D、E,連接DE.若BC=10cm,則DE=   cm. 【答案】5 【解答】解:∵用直尺和圓規(guī)作AB、AC的垂直平分線,

12、 ∴D為AB的中點(diǎn),E為AC的中點(diǎn), ∴DE是△ABC的中位線, ∴DE=BC=5cm. 故答案為:5. 7. (2019?河南?3分)如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,AD=4,BC=3.分別以點(diǎn)A,C為圓心,大于AC長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)E,作射線BE交AD于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)O.若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn),則CD的長(zhǎng)為 . 【答案】2. 【解答】解:如圖,連接FC,則AF=FC. ∵AD∥BC, ∴∠FAO=∠BCO. 在△FOA與△BOC中, , ∴△FOA≌△BOC(ASA), ∴AF=BC=3, ∴FC=AF=3,F(xiàn)D=AD﹣AF=

13、4﹣3=1. 在△FDC中,∵∠D=90°, ∴CD2+DF2=FC2, ∴CD2+12=32, ∴CD=2. 8. (2018?淮安)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分別以點(diǎn)A、B為圓心,大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q,過P、Q兩點(diǎn)作直線交BC于點(diǎn)D,則CD的長(zhǎng)是  . 【答案】 【解答】解:連接AD. ∵PQ垂直平分線段AB, ∴DA=DB,設(shè)DA=DB=x, 在Rt△ACD中,∠C=90°,AD2=AC2+CD2, ∴x2=32+(5﹣x)2, 解得x=, ∴CD=BC﹣DB=5﹣=, 故答案為. 三、解

14、答題: 9. 2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°. (1)利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖,并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母.(保留作圖痕跡,不寫作法) ①作AC的垂直平分線,交AB于點(diǎn)O,交AC于點(diǎn)D; ②以O(shè)為圓心,OA為半徑作圓,交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. (2)在(1)所作的圖形中,解答下列問題. ①點(diǎn)B與⊙O的位置關(guān)系是_____________;(直接寫出答案) ②若DE=2,AC=8,求⊙O的半徑. 解:(1)如圖所示: (2)①連接OC,如圖, ∵OD垂直平分AC,∴OA=OC,∴∠A=∠ACO, ∵∠A+∠B=90°,∠OCB+∠ACO=90°

15、,∴∠B=∠OCB,∴OC=OB,∴OB=OA,∴點(diǎn)B在⊙O上; ②∵OD⊥AC,且點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),∴AD=AC=4, 設(shè)⊙O的半徑為r,則OA=OE=r,OD=OE-DE=r-2,在Rt△AOD中,∵OA2=AD2+OD2,即r2=42+(r-2)2,解得r=5.∴⊙O的半徑為5 10. (2018?安徽?分) 如圖,⊙O為銳角△ABC的外接圓,半徑為5. (1)用尺規(guī)作圖作出∠BAC的平分線,并標(biāo)出它與劣弧BC的交點(diǎn)E(保留作圖痕跡,不寫作法); (2)若(1)中的點(diǎn)E到弦BC的距離為3,求弦CE的長(zhǎng). 【答案】(1)畫圖見解析;(2)CE= 【解析】【分析】(1)

16、以點(diǎn)A為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑畫弧,分別與AB、AC有交點(diǎn),再分別以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心,以大于這兩點(diǎn)距離的一半為半徑畫弧,兩弧交于一點(diǎn),過點(diǎn)A與這點(diǎn)作射線,與圓交于點(diǎn)E ,據(jù)此作圖即可; (2)連接OE交BC于點(diǎn)F,連接OC、CE,由AE平分∠BAC,可推導(dǎo)得出OE⊥BC,然后在Rt△OFC中,由勾股定理可求得FC的長(zhǎng),在Rt△EFC中,由勾股定理即可求得CE的長(zhǎng). 【詳解】(1)如圖所示,射線AE就是所求作的角平分線; (2)連接OE交BC于點(diǎn)F,連接OC、CE, ∵AE平分∠BAC, ∴, ∴OE⊥BC,EF=3,∴OF=5-3=2, 在Rt△OFC中,由勾股定理可得FC=

17、=, 在Rt△EFC中,由勾股定理可得CE==. 11. (2019?江蘇泰州?8分)如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=8. (1)用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線;(保留作圖痕跡,不要求寫作法) (2)若(1)中所作的垂直平分線交BC于點(diǎn)D,求BD的長(zhǎng). 【分析】(1)分別以A,B為圓心,大于AB為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)M,N,作直線MN即可. (2)設(shè)AD=BD=x,在Rt△ACD中,利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題. 【解答】解:(1)如圖直線MN即為所求. (2)∵M(jìn)N垂直平分線段AB, ∴DA=DB,設(shè)DA=DB=x, 在Rt△ACD中,∵AD2

18、=AC2+CD2, ∴x2=42+(8﹣x)2, 解得x=5, ∴BD=5. 12. (2018·廣東·6分)如圖,BD是菱形ABCD的對(duì)角線,∠CBD=75°, (1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法,作AB的垂直平分線EF,垂足為E,交AD于F;(不要求寫作法,保留作圖痕跡) (2)在(1)條件下,連接BF,求∠DBF的度數(shù). 【分析】(1)分別以A、B為圓心,大于AB長(zhǎng)為半徑畫弧,過兩弧的交點(diǎn)作直線即可; (2)根據(jù)∠DBF=∠ABD﹣∠ABF計(jì)算即可; 【解答】解:(1)如圖所示,直線EF即為所求; (2)∵四邊形ABCD是菱形, ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°,D

19、C∥AB,∠A=∠C. ∴∠ABC=150°,∠ABC+∠C=180°, ∴∠C=∠A=30°, ∵EF垂直平分線線段AB, ∴AF=FB, ∴∠A=∠FBA=30°, ∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°. 13. (2019?湖北孝感?8分)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,一同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成如下操作: ①以點(diǎn)C為圓心,以CB為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)G;分別以點(diǎn)G、B為圓心,以大于GB的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交點(diǎn)K,作射線CK; ②以點(diǎn)B為圓心,以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫弧,交BC于點(diǎn)M,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N;分別以點(diǎn)M、N為圓心,以大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,

20、作直線BP交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,交射線CK于點(diǎn)E. 請(qǐng)你觀察圖形,根據(jù)操作結(jié)果解答下列問題; (1)線段CD與CE的大小關(guān)系是 CD=CE??; (2)過點(diǎn)D作DF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若AC=12,BC=5,求tan∠DBF的值. 【分析】(1)由作圖知CE⊥AB,BD平分∠CBF,據(jù)此得∠1=∠2=∠3,結(jié)合∠CEB+∠3=∠2+∠CDE=90°知∠CEB=∠CDE,從而得出答案; (2)證△BCD≌△BFD得CD=DF,從而設(shè)CD=DF=x,求出AB=13,知sin∠DAF==,即=,解之求得x=,結(jié)合BC=BF=5可得答案. 【解答】解:(1)CD=CE, 由作圖知CE⊥AB,BD平分∠CBF, ∴∠1=∠2=∠3, ∵∠CEB+∠3=∠2+∠CDE=90°, ∴∠CEB=∠CDE, ∴CD=CE, 故答案為:CD=CE; (2)∵BD平分∠CBF,BC⊥CD,BF⊥DF, ∴BC=BF,∠CBD=∠FBD, 在△BCD和△BFD中, ∵, ∴△BCD≌△BFD(AAS), ∴CD=DF, 設(shè)CD=DF=x, 在Rt△ACB中,AB=13, ∴sin∠DAF==,即=, 解得x=, ∵BC=BF=5, ∴tan∠DBF==×=. 15

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