《2020年中考數(shù)學基礎題型提分講練 專題18 二次函數(shù)函數(shù)綜合題（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020年中考數(shù)學基礎題型提分講練 專題18 二次函數(shù)函數(shù)綜合題（含解析）（40頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題18 二次函數(shù)綜合題 考點分析 【例1】（2019·遼寧中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與x軸交于點A，與y軸交于B點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點，在第一象限的拋物線上取一點D，過點D作DC⊥x軸于點C，交直線AB于點E． （1）求拋物線的函數(shù)表達式 （2）是否存在點D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，請求出點D的坐標，若不存在，請說明理由； （3）如圖2，F(xiàn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動點（不與點D重合），點G是線段AB上的動點．連接DF，F(xiàn)G，當四邊形DEGF是平行四邊形且周長最大時，請直接寫出點G的坐標． 【答案】（1）y

2、＝﹣x2+x+3；（2）存在．點D的坐標為（，3）或（，）；（3）G（，）． 【解析】 解：（1）在中，令，得，令，得， ，， 將，分別代入拋物線中，得：，解得：， 拋物線的函數(shù)表達式為：． （2）存在．如圖1，過點作于，設，則，，； ，，，， 和相似， 或 ①當時，， ，即： ，解得：（舍去），（舍去），， ， ②當時， ， ，即： ，解得：（舍，（舍，， ，； 綜上所述，點的坐標為，或，； （3）如圖3，四邊形是平行四邊形 ， 設，，，， 則：，， ，即：， ，即： 過點作于，則 ，即： ，即： 周長 ， 當時，周長最大

3、值， ，． 【點睛】 此題考查二次函數(shù)綜合題，綜合難度較大，解答關鍵在于結合函數(shù)圖形進行計算，再利用待定系數(shù)法求解析式，配合輔助線利用相似三角形的性質進行解答. 【例2】（2019·山東中考模擬）如圖，已知直線AB經(jīng)過點（0，4），與拋物線y=x2交于A，B兩點，其中點A的橫坐標是． (1）求這條直線的函數(shù)關系式及點B的坐標． (2）在x軸上是否存在點C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點C的坐標，若不存在請說明理由． (3）過線段AB上一點P，作PM∥x軸，交拋物線于點M，點M在第一象限，點N（0，1），當點M的橫坐標為何值時，MN+3MP的長度最大？最大值是

4、多少？ 【答案】（1）直線y=x+4，點B的坐標為（8，16）；（2）點C的坐標為（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）當M的橫坐標為6時，MN+3PM的長度的最大值是18． 【解析】 （1）∵點A是直線與拋物線的交點，且橫坐標為-2， ,A點的坐標為（-2，1）， 設直線的函數(shù)關系式為y=kx+b， 將（0，4），（-2，1）代入得 解得 ∴y＝x＋4 ∵直線與拋物線相交， 解得：x=-2或x=8， 當x=8時，y=16， ∴點B的坐標為（8，16）； （2）存在． ∵由A(－2，1)，B(8，16)可求得AB2＝=325 .設點C(

5、m，0)， 同理可得AC2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5， BC2＝(m－8)2＋162＝m2－16m＋320， ①若∠BAC＝90°，則AB2＋AC2＝BC2，即325＋m2＋4m＋5＝m2－16m＋320，解得m＝－； ②若∠ACB＝90°，則AB2＝AC2＋BC2，即325＝m2＋4m＋5＋m2－16m＋320，解得m＝0或m＝6； ③若∠ABC＝90°，則AB2＋BC2＝AC2，即m2＋4m＋5＝m2－16m＋320＋325，解得m＝32， ∴點C的坐標為(－，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0)　 （3）設M(a，a2)， 則MN＝， 又∵點

6、P與點M縱坐標相同， ∴x＋4＝a2， ∴x= ， ∴點P的橫坐標為， ∴MP＝a－， ∴MN＋3PM＝a2＋1＋3(a－)＝－a2＋3a＋9＝－ (a－6)2＋18， ∵－2≤6≤8， ∴當a＝6時，取最大值18， ∴當M的橫坐標為6時，MN＋3PM的長度的最大值是18 考點集訓 1．（2019·湖南中考真題）已知拋物線過點，兩點，與y軸交于點C，． (1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標； (2)過點A作，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形； (3)點P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動點，當面積最大時，求點P的坐標； (4)若點Q為線段O

7、C上的一動點，問：是否存在最小值？若存在，求岀這個最小值；若不存在，請說明理由． 【答案】(1)拋物線的表達式為：，頂點；(2)證明見解析；(3)點；(4)存在，的最小值為． 【解析】 (1)函數(shù)的表達式為：， 即：，解得：， 故拋物線的表達式為：， 則頂點； (2)，， ∵A(1,0)，B(3,0)，∴ OB=3，OA=1， ∴AB=2， ∴， 又∵D(2，-1)， ∴AD=BD=， ∴AM=MB=AD=BD， ∴四邊形ADBM為菱形， 又∵， 菱形ADBM為正方形； (3)設直線BC的解析式為y=mx+n， 將點B、C的坐標代入得：， 解得：，

8、 所以直線BC的表達式為：y=-x+3， 過點P作y軸的平行線交BC于點N， 設點，則點N， 則， ，故有最大值，此時， 故點； (4)存在，理由： 如圖，過點C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點F，過點A作，垂足為H，交y軸于點Q， 此時， 則最小值， 在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=， ∴OF=， ∴F(-，0)， 利用待定系數(shù)法可求得直線HC的表達式為：…①， ∵∠COF=90°，∠FOC=30°， ∴∠CFO=90°-30°=60°， ∵∠AHF=90°， ∴∠FAH=90°-60°=30°， ∴OQ

9、=AO?tan∠FAQ=， ∴Q(0,)， 利用待定系數(shù)法可求得直線AH的表達式為：…②， 聯(lián)立①②并解得：， 故點，而點， 則， 即的最小值為． 【點睛】 本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法，解直角三角形的應用，正方形的判定，最值問題等，綜合性較強，有一定的難度，正確把握相關知識，會添加常用輔助線是解題的關鍵. 2．（2019·遼寧中考模擬）如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點A（0，3)、B（1，0），其對稱軸為直線l：x=2，過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點，設其橫坐標為m.

10、（1）求拋物線的解析式； （2）若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結PE、PO，當m為何值時，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值； （3）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由. 【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）當m=時，四邊形AOPE面積最大，最大值為.（3）P點的坐標為 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）. 【解析】 （1）如圖1，設拋物線與x軸的另一個交點為D， 由對稱性得：D（3，0）， 設拋

11、物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3）， 把A（0，3）代入得：3=3a， a=1， ∴拋物線的解析式；y=x2-4x+3； （2）如圖2，設P（m，m2-4m+3）， ∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°， ∴∠AOE=45°， ∴△AOE是等腰直角三角形， ∴AE=OA=3， ∴E（3，3）， 易得OE的解析式為：y=x， 過P作PG∥y軸，交OE于點G， ∴G（m，m）， ∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3， ∴S四邊形AOPE=S△AOE+S△POE， =×3×3+PG?AE， =+×3×（-m2+5m-3）， =-m2+m，

12、=（m-）2+， ∵-＜0， ∴當m=時，S有最大值是； （3）如圖3，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N， ∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF， 易得△OMP≌△PNF， ∴OM=PN， ∵P（m，m2-4m+3）， 則-m2+4m-3=2-m， 解得：m=或， ∴P的坐標為（，）或（，）； 如圖4，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M， 同理得△ONP≌△PMF， ∴PN=FM， 則-m2+4m-3=m-2， 解得：x=或； P的坐標為（，）或（，）； 綜上所述，點P的坐標是：（，）或（，）或（，）或（，）． 點睛：本題屬于二次函

13、數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，相似三角形的判定與性質以及解一元二次方程的方法，解第（2）問時需要運用配方法，解第（3）問時需要運用分類討論思想和方程的思想解決問題． 3．（2019·四川中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與直線都經(jīng)過、兩點，該拋物線的頂點為C． （1）求此拋物線和直線的解析式； （2）設直線與該拋物線的對稱軸交于點E，在射線上是否存在一點M，過M作x軸的垂線交拋物線于點N，使點M、N、C、E是平行四邊形的四個頂點？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由； （3）設點P是直線下方拋物線上的一動點，當面積最大時，求點P的坐標，并求面積的最大值．

14、 【答案】（1）拋物線的解析式為，直線的解析式為，（2）或．（3）當時，面積的最大值是，此時P點坐標為． 【解析】 解：（1）∵拋物線經(jīng)過、兩點， ∴， ∴， ∴拋物線的解析式為， ∵直線經(jīng)過、兩點， ∴，解得：， ∴直線的解析式為， （2）∵， ∴拋物線的頂點C的坐標為， ∵軸， ∴， ∴， ①如圖，若點M在x軸下方，四邊形為平行四邊形，則， 設，則， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ②如圖，若點M在x軸上方，四邊形為平行四邊形，則， 設，則， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 綜合可得M點的坐標為或． （3）如圖，作

15、軸交直線于點G， 設，則， ∴， ∴， ∴當時，面積的最大值是，此時P點坐標為． 【點睛】 本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)求最值問題，以及二次函數(shù)與平行四邊形、三角形面積有關的問題． 4．（2019·內(nèi)蒙古中考真題）已知，如圖，拋物線的頂點為，經(jīng)過拋物線上的兩點和的直線交拋物線的對稱軸于點． （1）求拋物線的解析式和直線的解析式． （2）在拋物線上兩點之間的部分（不包含兩點），是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由． （3）若點在拋物線上，點在軸上，當以點為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出滿足條件的點的坐標．

16、 【答案】（1）拋物線的表達式為：，直線的表達式為：；（2）存在，理由見解析；點或或或． 【解析】 解：（1）二次函數(shù)表達式為：， 將點的坐標代入上式并解得：， 故拋物線的表達式為：…①， 則點， 將點的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得： 直線的表達式為：； （2）存在，理由： 二次函數(shù)對稱軸為：，則點， 過點作軸的平行線交于點， 設點，點， ∵， 則， 解得：或5（舍去5）， 故點； （3）設點、點，， ①當是平行四邊形的一條邊時， 點向左平移4個單位向下平移16個單位得到， 同理，點向左平移4個單位向下平移16個單位為，即為點， 即：，，而， 解得

17、：或﹣4， 故點或； ②當是平行四邊形的對角線時， 由中點公式得：，，而， 解得：， 故點或； 綜上，點或或或． 【點睛】 本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質、圖形的面積計算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏． 5．（2019·青海中考真題）如圖1（注：與圖2完全相同），在直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點三點,,． （1）求拋物線的解析式和對稱軸； （2）是拋物線對稱軸上的一點，求滿足的值為最小的點坐標（請在圖1中探索）； （3）在第四象限的拋物線上是否存在點，使四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形？若存在，請求出點坐標，若不存在請說明理

18、由.（請在圖2中探索） 【答案】（1），函數(shù)的對稱軸為：；（2）點；（3）存在，點的坐標為或． 【解析】 解：根據(jù)點,的坐標設二次函數(shù)表達式為：， ∵拋物線經(jīng)過點， 則，解得：， 拋物線的表達式為： ， 函數(shù)的對稱軸為：； 連接交對稱軸于點，此時的值為最小， 設BC的解析式為：， 將點的坐標代入一次函數(shù)表達式：得： 解得： 直線的表達式為：， 當時，， 故點； 存在，理由： 四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形， 則 ， 點在第四象限，故：則， 將該坐標代入二次函數(shù)表達式得： ， 解得：或， 故點的坐標為或． 【點睛】 本題考查二次函數(shù)綜

19、合運用，涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質、圖形的面積計算等，其中，求線段和的最小值，采取用的是點的對稱性求解，這也是此類題目的一般解法． 6．（2019·遼寧中考模擬）如圖，拋物線（a≠0）交x軸于A、B兩點，A點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，4），以OC、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G． （1）求拋物線的解析式； （2）拋物線的對稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點）上平行移動，分別交x軸于點E，交CD于點F，交AC于點M，交拋物線于點P，若點M的橫坐標為m，請用含m的代數(shù)式表示PM的長； （3）在（2）的條件下，連結PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P，使得

20、以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）PM=（0＜m＜3）；（3）存在這樣的點P使△PFC與△AEM相似．此時m的值為或1，△PCM為直角三角形或等腰三角形． 【解析】 解：（1）∵拋物線（a≠0）經(jīng)過點A（3，0），點C（0，4）， ∴，解得． ∴拋物線的解析式為． （2）設直線AC的解析式為y=kx+b， ∵A（3，0），點C（0，4）， ∴，解得． ∴直線AC的解析式為． ∵點M的橫坐標為m，點M在AC上， ∴M點的坐標為（m，）． ∵點P的橫坐標為

21、m，點P在拋物線上， ∴點P的坐標為（m，）． ∴PM=PE－ME=（）－（）=． ∴PM=（0＜m＜3）． （3）在（2）的條件下，連接PC，在CD上方的拋物線部分存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似．理由如下： 由題意，可得AE=3﹣m，EM=，CF=m，PF==， 若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似，分兩種情況： ①若△PFC∽△AEM，則PF：AE=FC：EM，即（）：（3－m）=m：（）， ∵m≠0且m≠3，∴m=． ∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME． ∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF． 在直角△CMF中，∵∠

22、CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°． ∴△PCM為直角三角形． ②若△CFP∽△AEM，則CF：AE=PF：EM，即m：（3－m）=（）：（）， ∵m≠0且m≠3，∴m=1． ∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME． ∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM． ∴△PCM為等腰三角形． 綜上所述，存在這樣的點P使△PFC與△AEM相似．此時m的值為或1，△PCM為直角三角形或等腰三角形． 7．（2019·貴州中考真題）如圖，拋物線C1：y＝x2﹣2x與拋物線C2：y＝ax2+bx開口大小相同、方向相反，它們相交于O，C

23、兩點，且分別與x軸的正半軸交于點B，點A，OA＝2OB． （1）求拋物線C2的解析式； （2）在拋物線C2的對稱軸上是否存在點P，使PA+PC的值最?。咳舸嬖?，求出點P的坐標，若不存在，說明理由； （3）M是直線OC上方拋物線C2上的一個動點，連接MO，MC，M運動到什么位置時，△MOC面積最大？并求出最大面積． 【答案】（1）y＝﹣x2+4x；（2）線段AC′的長度；（3）S△MOC最大值為． 【解析】 （1）令：y＝x2﹣2x＝0，則x＝0或2，即點B（2，0）， ∵C1、C2：y＝ax2+bx開口大小相同、方向相反，則a＝﹣1， 則點A（4，0），將點A的坐標代入C2

24、的表達式得： 0＝﹣16+4b，解得：b＝4， 故拋物線C2的解析式為：y＝﹣x2+4x； （2）聯(lián)立C1、C2表達式并解得：x＝0或3， 故點C（3，3）， 作點C關于C1對稱軸的對稱點C′（﹣1，3）， 連接AC′交函數(shù)C2的對稱軸與點P， 此時PA+PC的值最小為：線段AC′的長度； （3）直線OC的表達式為：y＝x， 過點M作y軸的平行線交OC于點H， 設點M（x，﹣x2+4x），則點H（x，x）， 則S△MOCMH×xC（﹣x2+4x﹣x）x2， ∵0，故x， S△MOC最大值為． 【點睛】 本題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了三角形的面積，要

25、注意將三角形分解成兩個三角形求解；還要注意求最大值可以借助于二次函數(shù)． 8．（2019·山東中考真題）若二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點、，且過點. （1）求二次函數(shù)表達式； （2）若點為拋物線上第一象限內(nèi)的點，且,求點的坐標； （3）在拋物線上（下方）是否存在點，使？若存在，求出點到軸的距離；若不存在，請說明理由. 【答案】（l） ；（2）點的坐標為；（3）點到軸的距離為 . 【解析】 （l）因為拋物線過點，∴， 又因為拋物線過點， ∴ 解，得 所以，拋物線表達式為 （2）連接，設點. 則 由題意得 ∴或（舍） ∴ ∴點的坐標為.

26、 （3）設直線的表達式為，因直線過點、 ， ∴ 解，得 所以的表達式為 設存在點滿足題意，點的坐標為，過點作軸，垂足為，作軸交于點，則的坐標為，，. 又軸 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴. 在中 解得： 所以點到軸的距離為 【點睛】 本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合性問題，難度系數(shù)高,但是是中考的必考知識點,應當熟練地掌握. 9．（2019·江蘇中考模擬）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)交軸于點、，交軸于點，在軸上有一點，連接. （1）求二次函數(shù)的表達式； （2）若點為拋物線在軸負半軸上方的一個動點，求面積的最大值； （3）拋物線對稱

27、軸上是否存在點，使為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有點的坐標，若不存在請說明理由. 【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為；（2）當時，的面積取得最大值；（3）點的坐標為，，. 【解析】 （1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6）， ∴， 解得：， 所以二次函數(shù)的解析式為：y=； （2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直線解析式為y=， 過點D作DN⊥x軸，交AE于點F，交x軸于點G，過點E作EH⊥DF，垂足為H，如圖， 設D（m，），則點F（m，）， ∴DF=﹣（）=， ∴S△ADE=S△ADF+S

28、△EDF=×DF×AG+DF×EH =×DF×AG+×DF×EH =×4×DF =2×（） =， ∴當m=時，△ADE的面積取得最大值為． （3）y=的對稱軸為x=﹣1，設P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三種情況討論： 當PA=PE時，=，解得：n=1，此時P（﹣1，1）； 當PA=AE時，=，解得：n=，此時點P坐標為（﹣1，）； 當PE=AE時，=，解得：n=﹣2，此時點P坐標為：（﹣1，﹣2）． 綜上所述：P點的坐標為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2

29、）． 點睛：本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會求拋物線解析式，會運用二次函數(shù)分析三角形面積的最大值，會分類討論解決等腰三角形的頂點的存在問題時解決此題的關鍵． 10．（2019·四川中考真題）如圖，頂點為的二次函數(shù)圖象與x軸交于點，點B在該圖象上，交其對稱軸l于點M，點M、N關于點P對稱，連接、． （1）求該二次函數(shù)的關系式． （2）若點B在對稱軸l右側的二次函數(shù)圖象上運動，請解答下列問題： ①連接，當時，請判斷的形狀，并求出此時點B的坐標． ②求證：． 【答案】（1）二次函數(shù)的關系式為；（2）①是等腰直角三角形，此時點B坐標為；②見解析 【解析】 解：（1）∵二次函數(shù)頂

30、點為 ∴設頂點式 ∵二次函數(shù)圖象過點 ∴，解得： ∴二次函數(shù)的關系式為 （2）設 ∴直線解析式為： ∵交對稱軸l于點M ∴當時， ∴ ∵點M、N關于點P對稱 ∴， ∴，即 ①∵ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴， ∴，，B ∴， ∴是等腰直角三角形，此時點B坐標為． ②證明：如圖，設直線與x軸交于點D ∵、 設直線解析式為 ∴ 解得： ∴直線： 當時，，解得： ∴ ∵，軸 ∴垂直平分 ∴ ∴ 【點睛】 本題考查二次函數(shù)綜合，解題的關鍵是掌握待定系數(shù)法求解析式，再由題意得到等式進行計算. 11．（2019·山西中考真題）綜合與探究

31、 如圖，拋物線經(jīng)過點A(-2,0)，B(4,0)兩點，與軸交于點C，點D是拋物線上一個動點，設點D的橫坐標為.連接AC，BC，DB，DC， (1)求拋物線的函數(shù)表達式； (2)△BCD的面積等于△AOC的面積的時，求的值； (3)在(2)的條件下，若點M是軸上的一個動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M,使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由. 【答案】(1)；(2)3；(3). 【解析】 (1)拋物線經(jīng)過點A(-2,0)，B(4,0)， ∴， 解得， ∴拋物線的函數(shù)表達式為； (2)作直線

32、DE⊥軸于點E，交BC于點G，作CF⊥DE，垂足為F， ∵點A的坐標為(-2,0)，∴OA=2， 由，得，∴點C的坐標為(0,6)，∴OC=6， ∴S△OAC=， ∵S△BCD=S△AOC， ∴S△BCD =， 設直線BC的函數(shù)表達式為， 由B，C兩點的坐標得，解得， ∴直線BC的函數(shù)表達式為， ∴點G的坐標為， ∴， ∵點B的坐標為(4,0)，∴OB=4， ∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=， ∴S△BCD =， ∴， 解得(舍)，， ∴的值為3； (3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對角線進行平行四邊形的構圖， 以BD為邊時，有3種情況

33、， ∵D點坐標為，∴點N點縱坐標為±， 當點N的縱坐標為時，如點N2， 此時，解得：(舍)， ∴，∴； 當點N的縱坐標為時，如點N3，N4， 此時，解得： ∴，， ∴，； 以BD為對角線時，有1種情況，此時N1點與N2點重合， ∵，D(3，)， ∴N1D=4， ∴BM1=N1D=4， ∴OM1=OB+BM1=8， ∴M1(8，0)， 綜上，點M的坐標為：. 【點睛】 本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法、三角形的面積、解一元二次方程、平行四邊形的性質等知識，運用了數(shù)形結合思想、分類討論思想等數(shù)學思想，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵. 1

34、2．（2019·四川中考真題）如圖，拋物線過點，且與直線交于B、C兩點，點B的坐標為． （1）求拋物線的解析式； （2）點D為拋物線上位于直線上方的一點，過點D作軸交直線于點E，點P為對稱軸上一動點，當線段的長度最大時，求的最小值； （3）設點M為拋物線的頂點，在y軸上是否存在點Q，使？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）拋物線的解析式；（2）的最小值為；（3）點Q的坐標：、． 【解析】 解：（1）將點B的坐標為代入， ， ∴B的坐標為， 將，代入， 解得，， ∴拋物線的解析式； （2）設，則， ， ∴當時，有最大值為2， 此時，

35、 作點A關于對稱軸的對稱點，連接，與對稱軸交于點P． ，此時最小， ∵， ∴， ， 即的最小值為； （3）作軸于點H，連接、、、、， ∵拋物線的解析式， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 可知外接圓的圓心為H， ∴ 設， 則， 或 ∴符合題意的點Q的坐標：、． 【點睛】 本題考查了二次函數(shù)，熟練運用二次函數(shù)的圖象的性質與一次函數(shù)的性質以及圓周角定理是解題的關鍵． 13．（2019·湖南中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點，點，與y軸交于點C，且過點．點P、Q是拋物線上的動點． (1)求拋物線的解析式； (2)當點P在直線OD下方時，求面

36、積的最大值． (3)直線OQ與線段BC相交于點E，當與相似時，求點Q的坐標． 【答案】(1)拋物線的表達式為：；(2)有最大值，當時，其最大值為；(3)點或． 【解析】 解：(1)函數(shù)的表達式為：，將點D坐標代入上式并解得：， 故拋物線的表達式為：…①； (2)設直線PD與y軸交于點G，設點， 將點P、D的坐標代入一次函數(shù)表達式：并解得： 直線PD的表達式為：，則， ， ∵，故有最大值，當時，其最大值為； (3)∵，∴， ∵，故與相似時，分為兩種情況： ①當時， ，，， 過點A作AH⊥BC與點H， ，解得：， 則，則， 則直線OQ的表達式為：…②

37、， 聯(lián)立①②并解得：(舍去負值)， 故點 ②時， ， 則直線OQ的表達式為：…③， 聯(lián)立①③并解得：， 故點； 綜上，點或． 【點睛】 本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面積的計算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏． 14．（2019·山東中考模擬）已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標軸分別交于點A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），點P是線段AB上方拋物線上的一個動點． （1）求拋物線的解析式； （2）當點P運動到什么位置時，△PAB的面積有最大值？ （3）過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D，再過點P做PE∥x軸交

38、拋物線于點E，連結DE，請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由． 【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6；（2）當t=3時，△PAB的面積有最大值；（3）點P（4，6）． 【解析】 （1）∵拋物線過點B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴設拋物線解析式為y=a（x﹣6）（x+2）， 將點A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣， 所以拋物線解析式為y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6； （2）如圖1，過點P作PM⊥OB與點M，交AB于點N，作AG⊥PM于點G， 設直線AB解析式為y=kx+b，

39、將點A（0，6）、B（6，0）代入，得： ， 解得：， 則直線AB解析式為y=﹣x+6， 設P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6， 則N（t，﹣t+6）， ∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t， ∴S△PAB=S△PAN+S△PBN =PN?AG+PN?BM =PN?（AG+BM） =PN?OB =×（﹣t2+3t）×6 =﹣t2+9t =﹣（t﹣3）2+， ∴當t=3時，△PAB的面積有最大值； （3）△PDE為等腰直角三角形， 則PE=PD， 點P（m，-m2+2m+6）， 函數(shù)的對稱軸為：x=2，則點E的橫坐標為：4-m， 則PE=|2m-4|， 即-m2+2m+6+m-6=|2m-4|， 解得：m=4或-2或5+或5-（舍去-2和5+） 故點P的坐標為：（4，6）或（5-，3-5）． 【點睛】 本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，涉及到待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰直角三角形的判定與性質等，熟練掌握和靈活運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質、等腰直角三角形的判定與性質等是解題的關鍵.