2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練 專(zhuān)題20 以相似三角形為背景的證明與計(jì)算(含解析)
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1、專(zhuān)題20 以相似三角形為背景的證明與計(jì)算 考點(diǎn)分析 【例1】(2019·遼寧中考真題)已知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是BC邊上一點(diǎn),連接AD,分別以CD和AD為直角邊作Rt△CDE和Rt△ADF,使∠DCE=∠ADF=90°,點(diǎn)E,F(xiàn)在BC下方,連接EF. (1)如圖1,當(dāng)BC=AC,CE=CD,DF=AD時(shí), 求證:①∠CAD=∠CDF, ②BD=EF; (2)如圖2,當(dāng)BC=2AC,CE=2CD,DF=2AD時(shí),猜想BD和EF之間的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由. 【答案】(1)①見(jiàn)解析;②見(jiàn)解析;(2)BD=EF,理由見(jiàn)解析. 【解析】 (1)證明:①∵∠AC
2、B=90°, ∴∠CAD+∠ADC=90°, ∵∠CDF+∠ADC=90°, ∴∠CAD=∠CDF; ②作FH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于H, 則四邊形FECH為矩形, ∴CH=EF, 在△ACD和△DHF中, , , , , ,即, ; (2), 理由如下:作交的延長(zhǎng)線于, 則四邊形為矩形, , ,, , ,即,GF=2CD, ∵BC=2AC,CE=2CD, ∴BC=DG,GF=CE, ∴BD=CG, ∵GF∥CE,GF=CE,∠G=90°, ∴四邊形FECG為矩形, ∴CG=EF, ∴BD=EF. 【點(diǎn)睛】 此題考查相似三角形
3、的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),解題關(guān)鍵在于作輔助線和掌握各判定定理. 【例2】 (2019·遼寧中考真題)如圖,中,,DE垂直平分AB,交線段BC于點(diǎn)E(點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合),點(diǎn)F為AC上一點(diǎn),點(diǎn)G為AB上一點(diǎn)(點(diǎn)G與點(diǎn)A不重合),且. (1)如圖1,當(dāng)時(shí),線段AG和CF的數(shù)量關(guān)系是 . (2)如圖2,當(dāng)時(shí),猜想線段AG和CF的數(shù)量關(guān)系,并加以證明. (3)若,,,請(qǐng)直接寫(xiě)出CF的長(zhǎng). 【答案】(1);(2),理由見(jiàn)解析;(3)2.5或5 【解析】 解:(1)相等,理由:如圖1,連接AE, ∵DE垂直平分AB, , , , ,
4、,, , , , , , , ; 故答案為:; (2), 理由:如圖2,連接AE, , , , ∵DE垂直平分AB, , , ,, , , , , , , 在中,, , , ; (3)①當(dāng)G在DA上時(shí),如圖3,連接AE, ∵DE垂直平分AB, ,, , , , , , , , , , , , , , 過(guò)A作于點(diǎn)H, , , , , , , , , ; ②當(dāng)點(diǎn)G在BD上,如圖4,同(1)可得,, , , , , 綜上所述,CF的長(zhǎng)為2.5或5. 【點(diǎn)睛】 本題考查了等腰三
5、角形的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵. 考點(diǎn)集訓(xùn) 1.(2019·山東中考真題)如圖1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,點(diǎn)D,E分別是邊BC,AC的中點(diǎn),連接DE,將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為α. (1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn) ① 當(dāng)時(shí), ;② 當(dāng)時(shí), (2)拓展探究 試判斷:當(dāng)0°≤α<360°時(shí),的大小有無(wú)變化?請(qǐng)僅就圖2的情況給出證明. (3)問(wèn)題解決 當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A、D、E三點(diǎn)共線時(shí),直接寫(xiě)出線段BD的長(zhǎng). 【答案】(1)①
6、,②.(2)無(wú)變化;理由參見(jiàn)解析.(3),. 【解析】 (1)①當(dāng)α=0°時(shí), ∵Rt△ABC中,∠B=90°, ∴AC=, ∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn), ∴,BD=8÷2=4, ∴. ②如圖1, , 當(dāng)α=180°時(shí), 可得AB∥DE, ∵, ∴ (2)如圖2, , 當(dāng)0°≤α<360°時(shí),的大小沒(méi)有變化, ∵∠ECD=∠ACB, ∴∠ECA=∠DCB, 又∵, ∴△ECA∽△DCB, ∴. (3)①如圖3, , ∵AC=4,CD=4,CD⊥AD, ∴AD= ∵AD=BC,AB=DC,∠B=90°, ∴四邊形ABCD是矩形, ∴
7、BD=AC=. ②如圖4,連接BD,過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)P, , ∵AC=,CD=4,CD⊥AD, ∴AD=, ∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn), ∴DE==2, ∴AE=AD-DE=8-2=6, 由(2),可得 , ∴BD=. 綜上所述,BD的長(zhǎng)為或. 2.(2019·江蘇初三期末)如圖,四邊形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E為AB的中點(diǎn), (1)求證:AC2=AB?AD; (2)求證:CE∥AD; (3)若AD=4,AB=6,求的值. 【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3). 【解析
8、】 解:(1)證明:∵AC平分∠DAB ∴∠DAC=∠CAB. ∵∠ADC=∠ACB=90° ∴△ADC∽△ACB. ∴ 即AC2=AB?AD. (2)證明:∵E為AB的中點(diǎn) ∴CE=AB=AE ∴∠EAC=∠ECA. ∵∠DAC=∠CAB ∴∠DAC=∠ECA ∴CE∥AD. (3)∵CE∥AD ∴△AFD∽△CFE ∴. ∵CE=AB ∴CE=×6=3. ∵AD=4 ∴ ∴. 3.(2019·四川中考真題)如圖,,DB平分∠ADC,過(guò)點(diǎn)B作交AD于M.連接CM交DB于N. (1)求證:;(2)若,求MN的長(zhǎng). 【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).
9、 【解析】 證明:(1)∵DB平分, ,且, (2) ,且 ,且, , 且 【點(diǎn)睛】 考查了相似三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,直角三角形的性質(zhì),求MC的長(zhǎng)度是本題的關(guān)鍵. 4.(2019·江蘇泰州中學(xué)附屬初中初三月考)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā),在BA邊上以每秒3cm的速度向定點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā),在CB邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t<),連接MN. (1)若△BMN與△ABC相似,求t的值; (2)連接AN,CM,若AN⊥
10、CM,求t的值. 【答案】(1)△BMN與△ABC相似時(shí),t的值為或;(2)t= 【解析】 (1)由題意知,BM=3tcm,CN=2tcm,∴BN=(8﹣2t)cm,BA==10(cm),當(dāng)△BMN∽△BAC時(shí),,∴,解得:t=; 當(dāng)△BMN∽△BCA時(shí),,∴,解得:t=, ∴△BMN與△ABC相似時(shí),t的值為或; (2)過(guò)點(diǎn)M作MD⊥CB于點(diǎn)D,由題意得:DM=BMsinB==(cm),BD=BMcosB==(cm),BM=3tcm,CN=2tcm,∴CD=()cm,∵AN⊥CM,∠ACB=90°,∴∠CAN+∠ACM=90°,∠MCD+∠ACM=90°,∴∠CAN=∠MCD
11、,∵M(jìn)D⊥CB,∴∠MDC=∠ACB=90°,∴△CAN∽△DCM,∴,∴,解得t=. 考點(diǎn):1.相似三角形的判定與性質(zhì);2.解直角三角形;3.動(dòng)點(diǎn)型;4.分類(lèi)討論;5.綜合題;6.壓軸題. 5.(2019·湖北中考真題)在中,,,是上一點(diǎn),連接 (1)如圖1,若,是延長(zhǎng)線上一點(diǎn),與垂直,求證: (2)過(guò)點(diǎn)作,為垂足,連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn). ①如圖2,若,求證: ②如圖3,若是的中點(diǎn),直接寫(xiě)出的值(用含的式子表示) 【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)①證明見(jiàn)解析;② 【解析】 (1)延長(zhǎng)交于點(diǎn), ∵與垂直,, ∴,, ∴, ∵,, ∴,, ∴,
12、∴; (2)①過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn), ∵,∴與垂直, 由(1),得, ∵, ∴,即; ②過(guò)點(diǎn)C作CD//BP交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,延長(zhǎng)AM交CD于點(diǎn)H, ∴∠PCH=∠BPQ, ∵,∴⊥, ∴∠BPM=∠CHM=90°, 又∵∠BMP=∠CMH,BM=CM, ∴△BPM≌△CHM, ∴BP=CH,PM=HM, ∴PH=2PM, ∵∠PMB=∠BMA,∠ABM=∠BPM=90°, ∴△ABM∽△BPM, ∴, 在Rt△PCH中,tan∠PCH=, ∴tan∠BPQ=, 又∵BC=2BM,, ∴tan∠BPQ=. 【點(diǎn)睛】 本題考查了全等三角形
13、的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),三角函數(shù),正確添加輔助線,熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用. 6.(2019·遼寧初三期中)如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)P、D分別是BC、AC邊上的點(diǎn),且∠APD=∠B, (1)求證:AC?CD=CP?BP; (2)若AB=10,BC=12,當(dāng)PD∥AB時(shí),求BP的長(zhǎng). 【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2). 【解析】 解:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵∠APD=∠B,∴∠APD=∠B=∠C. ∵∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+∠DPC, ∴∠BAP=∠DPC, ∴△ABP∽△
14、PCD, ∴, ∴AB?CD=CP?BP. ∵AB=AC, ∴AC?CD=CP?BP; (2)∵PD∥AB,∴∠APD=∠BAP. ∵∠APD=∠C,∴∠BAP=∠C. ∵∠B=∠B, ∴△BAP∽△BCA, ∴. ∵AB=10,BC=12, ∴, ∴BP=. “點(diǎn)睛”本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí),把證明AC?CD=CP?BP轉(zhuǎn)化為證明AB?CD=CP?BP是解決第(1)小題的關(guān)鍵,證到∠BAP=∠C進(jìn)而得到△BAP∽△BCA是解決第(2)小題的關(guān)鍵. 7.(2019·山西初三期末)如圖,△ABC和
15、△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,點(diǎn)P為射線BD,CE的交點(diǎn). (1)求證:BD=CE; (2)若AB=2,AD=1,把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),當(dāng)∠EAC=90°時(shí),求PB的長(zhǎng); 【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)PB的長(zhǎng)為或. 【解析】 解:(1)∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°, ∴AB=AC,AD=AE,∠DAB=∠CAE, ∴△ADB≌△AEC, ∴BD=CE. (2)解:①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí),BE=AB﹣AE=1. ∵∠EAC=90°, ∴CE==. 同(1)可證△ADB≌△AEC, ∴∠DBA
16、=∠ECA. ∵∠PEB=∠AEC, ∴△PEB∽△AEC, ∴, ∴, ∴PB=. ②當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上時(shí),BE=3. ∵∠EAC=90°, ∴CE==. 同(1)可證△ADB≌△AEC, ∴∠DBA=∠ECA. ∵∠BEP=∠CEA, ∴△PEB∽△AEC, ∴, ∴, ∴PB=. 綜上所述,PB的長(zhǎng)為或. 【點(diǎn)睛】 本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定,證明得△PEB∽△AEC是解題的關(guān)鍵. 8.(2019·山東初三)如圖①,在四邊形ABCD中,AC⊥BD于點(diǎn)E,AB=AC=BD,點(diǎn)M為B
17、C中點(diǎn),N為線段AM上的點(diǎn),且MB=MN. (1)求證:BN平分∠ABE; (2)若BD=1,連結(jié)DN,當(dāng)四邊形DNBC為平行四邊形時(shí),求線段BC的長(zhǎng); (3)如圖②,若點(diǎn)F為AB的中點(diǎn),連結(jié)FN、FM,求證:△MFN∽△BDC. 【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2);(3)證明見(jiàn)解析. 【解析】 (1)∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∵M(jìn)為BC的中點(diǎn), ∴AM⊥BC, 在Rt△ABM中,∠MAB+∠ABC=90°, 在Rt△CBE中,∠EBC+∠ACB=90°, ∴∠MAB=∠EBC, 又∵M(jìn)B=MN, ∴△MBN為等腰直角三角形, ∴
18、∠MNB=∠MBN=45°, ∴∠EBC+∠NBE=45°,∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°, ∴∠NBE=∠ABN,即BN平分∠ABE; (2)設(shè)BM=CM=MN=a, ∵四邊形DNBC是平行四邊形, ∴DN=BC=2a, 在△ABN和△DBN中, ∵, ∴△ABN≌△DBN(SAS), ∴AN=DN=2a, 在Rt△ABM中,由AM2+MB2=AB2可得(2a+a)2+a2=1, 解得:a=±(負(fù)值舍去), ∴BC=2a=; (3)∵F是AB的中點(diǎn), ∴在Rt△MAB中,MF=AF=BF, ∴∠MAB=∠FMN, 又∵∠MAB=∠CBD, ∴∠FMN=
19、∠CBD, ∵, ∴, ∴△MFN∽△BDC. 點(diǎn)睛:本題主要考查相似形的綜合問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)、直角三角形和平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn). 9.(2019·河南中考真題)在,,.點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A,C重合的任意一點(diǎn).連接AP,將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP,連接AD,BD,CP. (1)觀察猜想 如圖1,當(dāng)時(shí),的值是 ,直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是 ?。? (2)類(lèi)比探究 如圖2,當(dāng)時(shí),請(qǐng)寫(xiě)出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù),并就圖2的情形說(shuō)明理由. (3)解決問(wèn)
20、題 當(dāng)時(shí),若點(diǎn)E,F(xiàn)分別是CA,CB的中點(diǎn),點(diǎn)P在直線EF上,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C,P,D在同一直線上時(shí)的值. 【答案】(1)1,(2)45°(3), 【解析】 解:(1)如圖1中,延長(zhǎng)CP交BD的延長(zhǎng)線于E,設(shè)AB交EC于點(diǎn)O. , , ,, , ,, , , ,線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是, 故答案為1,. (2)如圖2中,設(shè)BD交AC于點(diǎn)O,BD交PC于點(diǎn)E. , , , , ,, , , 直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)為. (3)如圖3﹣1中,當(dāng)點(diǎn)D在線段PC上時(shí),延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于H. ,, ,
21、, , , , , ,, , , , , , , , , , A,D,C,B四點(diǎn)共圓, ,, , ,設(shè),則,, c. 如圖3﹣2中,當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí),同法可證:,設(shè),則,, , . 【點(diǎn)睛】 本題屬于相似形綜合題,考查了旋轉(zhuǎn)變換,等邊三角形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題,學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題,屬于中考?jí)狠S題. 10.(2019·山東初三期中)如圖1,在四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線,過(guò)點(diǎn)F
22、作CD的垂線,兩垂線交于點(diǎn)G,連接AG、BG、CG、DG,且∠AGD=∠BGC. (1)求證:AD=BC; (2)求證:△AGD∽△EGF; (3)如圖2,若AD、BC所在直線互相垂直,求的值. 【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3) 【解析】 (1)∵GE是AB的垂直平分線,∴GA=GB.同理GD=GC. 在△AGD和△BGC中,∵GA=GB,∠AGD=∠BGC,GD=GC, ∴△AGD≌△BGC.∴AD=BC. (2)∵∠AGD=∠BGC, ∴∠AGB=∠DGC. 在△AGB和△DGC中,,∠AGB=∠DGC, ∴△AGB∽△DGC. ∴,又∠AGE=∠DGF,
23、∴∠AGD=∠EGF,∴△AGD∽△EGF. (3)如圖,延長(zhǎng)AD交GB于點(diǎn)M,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,則AH⊥BH. 由△AGD≌△BGC,知∠GAD=∠GBC, 在△GAM和△HBM中,∠GAD=∠GBC,∠GMA=∠HMB. ∴∠AGB=∠AHB=90°, ∴∠AGE=∠AGB=45°, ∴ 又△AGD∽△EGF, ∴ 11.(2019·溫江中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三期中)如圖①,△ABC與△CDE是等腰直角三角形,直角邊AC、CD在同一條直線上,點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn),點(diǎn)P為AD的中點(diǎn),連接AE、BD. (1)猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系,請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)
24、論; (2)現(xiàn)將圖①中的△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°),得到圖②,AE與MP、BD分別交于點(diǎn)G、H.請(qǐng)判斷(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由; (3)若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形,使BC=kAC,CD=kCE,如圖③,寫(xiě)出PM與PN的數(shù)量關(guān)系,并加以證明. 【答案】(1)PM=PN,PM⊥PN,理由見(jiàn)解析;(2)理由見(jiàn)解析;(3)PM=kPN;理由見(jiàn)解析 【解析】 (1)PM=PN,PM⊥PN,理由如下: ∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形, ∴AC=BC,EC=CD,∠ACB=∠ECD=90°. 在△ACE和△BCD中
25、, ∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴AE=BD,∠EAC=∠CBD, ∵點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn),點(diǎn)P為AD的中點(diǎn), ∴PM=BD,PN=AE, ∴PM=PM, ∵∠NPD=∠EAC,∠MPN=∠BDC,∠EAC+∠BDC=90°, ∴∠MPA+∠NPC=90°, ∴∠MPN=90°, 即PM⊥PN; (2)∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形, ∴AC=BC,EC=CD,∠ACB=∠ECD=90°. ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE. ∴∠ACE=∠BCD. ∴△ACE≌△BCD. ∴AE=BD,∠CAE=∠CBD. 又∵∠AOC=∠BOE,∠CAE=∠
26、CBD, ∴∠BHO=∠ACO=90°. ∵點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn), ∴PM=BD,PM∥BD; PN=AE,PN∥AE. ∴PM=PN. ∴∠MGE+∠BHA=180°. ∴∠MGE=90°. ∴∠MPN=90°. ∴PM⊥PN. (3)PM=kPN ∵△ACB和△ECD是直角三角形, ∴∠ACB=∠ECD=90°. ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE. ∴∠ACE=∠BCD. ∵BC=kAC,CD=kCE, ∴=k. ∴△BCD∽△ACE. ∴BD=kAE.
27、 ∵點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn), ∴PM=BD,PN=AE. ∴PM=kPN. 考點(diǎn):相似形綜合題. 12.(2019·山東初三期中)(提出問(wèn)題) (1)如圖1,在等邊△ABC中,點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C),連結(jié)AM,以AM為邊作等邊△AMN,連結(jié)CN.求證:∠ABC=∠ACN. (類(lèi)比探究) (2)如圖2,在等邊△ABC中,點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)C),其它條件不變,(1)中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由. (拓展延伸) (3)如圖3,在等腰△ABC中,BA=BC,點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C),連結(jié)AM,以AM為
28、邊作等腰△AMN,使頂角∠AMN=∠ABC.連結(jié)CN.試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由. 【答案】見(jiàn)解析 【解析】 解:(1)證明:∵△ABC、△AMN是等邊三角形,∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°. ∴∠BAM=∠CAN. ∵在△BAM和△CAN中,, ∴△BAM≌△CAN(SAS).∴∠ABC=∠ACN. (2)結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立.理由如下: ∵△ABC、△AMN是等邊三角形,∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°. ∴∠BAM=∠CAN. ∵在△BAM和△CAN中,, ∴△BAM≌△CAN(SAS).∴∠
29、ABC=∠ACN. (3)∠ABC=∠ACN.理由如下: ∵BA=BC,MA=MN,頂角∠ABC=∠AMN,∴底角∠BAC=∠MAN. ∴△ABC∽△AMN.∴. 又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC,∠CAN=∠MAN﹣∠MAC,∴∠BAM=∠CAN. ∴△BAM∽△CAN.∴∠ABC=∠ACN. 13.(2019·福建省莆田擢英中學(xué)初三月考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn),將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′),當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時(shí),點(diǎn)B、P、P′恰好在同一直線上,此時(shí)作P′E⊥AC于點(diǎn)E (1)求證:∠CBP=∠ABP; (2)
30、求證:AE=CP; (3)當(dāng),BP′=時(shí),求線段AB的長(zhǎng). 【解析】 (1)證明:∵AP′是AP旋轉(zhuǎn)得到, ∴AP=AP′, ∴∠APP′=∠AP′P, ∵∠C=90°,AP′⊥AB, ∴∠CBP+∠BPC=90°,∠ABP+∠AP′P=90°, 又∵∠BPC=∠APP′, ∴∠CBP=∠ABP; (2)證明:如圖,過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D, ∵∠CBP=∠ABP,∠C=90°, ∴CP=DP, ∵P′E⊥AC, ∴∠EAP′+∠AP′E=90°, 又∵∠PAD+∠EAP′=90°, ∴∠PAD=∠AP′E, 在△APD和△P′AE中, , ∴△APD≌
31、△P′AE(AAS), ∴AE=DP, ∴AE=CP; (3)解:∵, ∴設(shè)CP=3k,PE=2k, 則AE=CP=3k,AP′=AP=3k+2k=5k, 在Rt△AEP′中,P′E==4k, ∵∠C=90°,P′E⊥AC, ∴∠CBP+∠BPC=90°,∠EP′P+∠EPP′=90°, ∵∠BPC=∠EPP′, ∴∠CBP=∠EP′P, 又∵∠CBP=∠ABP,∴∠ABP=∠EP′P, 又∵∠BAP′=∠P′EP=90°, ∴△ABP′∽△EPP′, ∴, 即, 解得P′A=AB, 在Rt△ABP′中,AB2+P′A2=BP′2, 即AB2+AB2=(5)
32、2, 解得AB=10. 考點(diǎn):1.全等三角形的判定與性質(zhì);2.角平分線的性質(zhì);3.勾股定理;4.相似三角形的判定與性質(zhì). 14.(2019·遼寧中考真題)如圖1,在中,,,點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),連接MC,點(diǎn)P是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且,連接MP交AC于點(diǎn)H.將射線MP繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交線段CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D. (1)找出與相等的角,并說(shuō)明理由. (2)如圖2,,求的值. (3)在(2)的條件下,若,求線段AB的長(zhǎng). 【答案】(1);理由見(jiàn)解析;(2);(3). 【解析】 (1). 理由如下:∵,, ∴. ∴. 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知,. ∴; (2)如圖,過(guò)點(diǎn)C作交M
33、P于點(diǎn)G. ∴,. ∵,點(diǎn)M是AB的中點(diǎn), ∴. ∴. ∴. ∵. ∴. ∵, ∴. 在與中, ∴. ∴. ∵. ∴. ∵, ∴. ∴. 設(shè),則,. 在中,. ∴. ∴; (3)如圖,由(2)知.則. ∵. ∴. ∵, ∴. ∴. ∴. ∴. 由(2)知,,則. ∴,. ∵,. ∴. ∴. ∴,即. 解得,(舍去). ∴. 【點(diǎn)睛】 考查了幾何變換綜合題.解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定(ASA)與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),解題過(guò)程中,注意方程思想在求相關(guān)線段長(zhǎng)度時(shí)的靈活運(yùn)用.
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