《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題問題詳解 徐雅靜版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題問題詳解 徐雅靜版（54頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、word 習(xí)題答案 第1章 三、解答題 1．設(shè)P(AB) = 0，如此如下說法哪些是正確的？ (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(A–B) = P(A) 解：(4) (6)正確. 2．設(shè)A，B是兩事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，問： (1) 在什么條件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么條件下P(AB)取到最小

2、值，最小值是多少？ 解：因?yàn)椋? 又因?yàn)榧?所以 (1) 當(dāng)時(shí)P(AB)取到最大值，最大值是=0.6. (2) 時(shí)P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3．事件A，B滿足，記P(A) = p，試求P(B)． 解：因?yàn)椋? 即， 所以 4．P(A) = 0.7，P(A–B) = 0.3，試求． 解：因?yàn)镻(A–B) = 0.3，所以P(A )– P(AB) = 0.3,P(AB) = P(A )– 0.3, 又因?yàn)镻(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7– 0.3=0.4，. 5．

3、從5雙不同的鞋子種任取4只，問這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少？ 解：顯然總?cè)》ㄓ蟹N，以下求至少有兩只配成一雙的取法： 法一：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數(shù) 法二：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數(shù) 法三：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數(shù) 法四：先滿足有1雙配對再除去重復(fù)局部：- 法五：考慮對立事件：- 其中：為沒有一雙配對的方法數(shù) 法六：考慮對立事件： 其中：為沒有一雙配對的方法數(shù) 所求概率為 6．在房間里有10個(gè)人，分別佩戴從

4、1號到10號的紀(jì)念章，任取3人記錄其紀(jì)念章的．求： (1) 求最小為5的概率； (2) 求最大為5的概率． 解：(1) 法一：，法二： (2) 法二：，法二： 7．將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，求杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別為1，2，3的概率． 解：設(shè)M1, M2, M3表示杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別為1，2，3的事件，如此 , , 8．設(shè)5個(gè)產(chǎn)品中有3個(gè)合格品，2個(gè)不合格品，從中不返回地任取2個(gè)，求取出的2個(gè)中全是合格品，僅有一個(gè)合格品和沒有合格品的概率各為多少？ 解：設(shè)M2, M1, M0分別事件表示取出的

5、2個(gè)球全是合格品，僅有一個(gè)合格品和沒有合格品，如此 ,, 9．口袋中有5個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任取兩個(gè)，求取到的兩個(gè)球顏色一樣的概率． 解：設(shè)M1=“取到兩個(gè)球顏色一樣〞，M1=“取到兩個(gè)球均為白球〞，M2=“取到兩個(gè)球均為黑球〞，如此. 所以 10． 假如在區(qū)間(0，1)任取兩個(gè)數(shù)，求事件“兩數(shù)之和小于6/5〞的概率． 解：這是一個(gè)幾何概型問題．以x和y表示任取兩個(gè)數(shù)，在平面上建立xOy直角坐標(biāo)系，如圖. 任取兩個(gè)數(shù)的所有結(jié)果構(gòu)成樣本空間W = {(x，y)：0 ￡x，y ￡ 1} 事件A =“兩數(shù)之和小于6/5〞= {(x

6、，y) ?W ： x + y￡ 6/5} 因此 ． 圖？ 11．隨機(jī)地向半圓〔為常數(shù)〕擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于的概率． 解：這是一個(gè)幾何概型問題．以x和y表示隨機(jī)地向半圓擲一點(diǎn)的坐標(biāo)，q表示原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與軸的夾角，在平面上建立xOy直角坐標(biāo)系，如圖. 隨機(jī)地向半圓擲一點(diǎn)的所有結(jié)果構(gòu)成樣本空間 W={(x，y)：} 事件A =“原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于〞 ={(x，y)：} 因此 ． 12．，求． 解： 13．設(shè)10

7、件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，如此另一件也是不合格品的概率是多少？ 解：題中要求的“所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，如此另一件也是不合格品的概率〞應(yīng)理解為求“所取兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品，如此兩件均為不合格品的概率〞。 設(shè)A=“所取兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品〞，B=“兩件均為不合格品〞； ，， 14．有兩個(gè)箱子，第1箱子有3個(gè)白球2個(gè)紅球，第2個(gè)箱子有4個(gè)白球4個(gè)紅球，現(xiàn)從第1個(gè)箱子中隨機(jī)地取1個(gè)球放到第2個(gè)箱子里，再從第2個(gè)箱子中取出一個(gè)球，此球是白球的概率是多少？上述從第2個(gè)箱子中取出的球是白球，如此從第

8、1個(gè)箱子中取出的球是白球的概率是多少？ 解：設(shè)A=“從第1個(gè)箱子中取出的1個(gè)球是白球〞，B=“從第2個(gè)箱子中取出的1個(gè)球是白球〞，如此，由全概率公式得 由貝葉斯公式得 15．將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01，信息A與信息B傳送的頻繁程度為2：1，假如接收站收到的信息是A，問原發(fā)信息是A的概率是多少？ 解：設(shè)M=“原發(fā)信息是A〞，N=“接收到的信息是A〞， 所以 由貝葉斯公式得 16．三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，各人能譯出的概率分別為，問三人中至少有

9、一人能將此密碼譯出的概率是多少？ 解：設(shè)Ai=“第i個(gè)人能破譯密碼〞，i=1,2,3. 所以 至少有一人能將此密碼譯出的概率為 17．設(shè)事件A與B相互獨(dú)立，P(A) = 0.4，P(A∪B) = 0.7，求. 解：由于A與B相互獨(dú)立，所以P(AB)=P(A)P(B),且 P(A∪B)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B) 將P(A) = 0.4，P(A∪B P(B) = 0.5，所以 或者,由于A與B相互獨(dú)立,所以A與相互獨(dú)立，所以 18．甲乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為

10、0.6和0.5，現(xiàn)目標(biāo)被命中，如此它是甲射中的概率是多少？ 解：設(shè)A=“甲射擊目標(biāo)〞，B=“乙射擊目標(biāo)〞，M=“命中目標(biāo)〞， P(A)=P(B)=1,所以 由于甲乙兩人是獨(dú)立射擊目標(biāo)，所以 19．某零件用兩種工藝加工，第一種工藝有三道工序，各道工序出現(xiàn)不合格品的概率分別為0.3，0.2，0.1；第二種工藝有兩道工序，各道工序出現(xiàn)不合格品的概率分別為0.3，0.2，試問： (1) 用哪種工藝加工得到合格品的概率較大些？ (2) 第二種工藝兩道工序出現(xiàn)不合格品的概率都是0.3時(shí)，情況又如何？ 解：設(shè)Ai=“第1種工藝的第i道工序出現(xiàn)

11、合格品〞，i=1,2,3； Bi=“第2種工藝的第i道工序出現(xiàn)合格品〞，i=1,2. 〔1〕根據(jù)題意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2, 第一種工藝加工得到合格品的概率為 P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)= 第二種工藝加工得到合格品的概率為 P(B1B2)= P(B1)P(B2)= 可見第二種工藝加工得到合格品的概率大。 〔2〕根據(jù)題意，第一種工藝加工得到合格品的概率仍為0.504，而P(B1)=P(B2, 第二種工藝加工得到合格品的概率為 P(B1B2)= P(B1)P(B2)= 可見第一種工藝加

12、工得到合格品的概率大。 1．設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件A，B和C滿足條件ABC = ?，且，求P(A)． 解：因?yàn)锳BC = ?，所以P(ABC) =0, 因?yàn)锳，B，C兩兩相互獨(dú)立，所以 由加法公式得 即 考慮到得 2．設(shè)事件A，B，C的概率都是，且，證明： ． 證明：因?yàn)?，所? 將代入上式得到 整理得 3．設(shè)0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1，P(A|B) +，試證A與B獨(dú)立． 證明：因?yàn)镻(A|B) +，所以 將代入上式得 兩邊同乘非零的P(B)[1-P(B

13、)]并整理得到 所以A與B獨(dú)立. 4．設(shè)A，B是任意兩事件，其中A的概率不等于0和1，證明是事件A與B獨(dú)立的充分必要條件． 證明：充分性，由于，所以即 兩邊同乘非零的P(A)[1-P(A)]并整理得到所以A與B獨(dú)立. 必要性：由于A與B獨(dú)立，即且所以 一方面 另一方面 所以 5．一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試．第一次與格的概率為p，假如第一次與格如此第二次與格的概率也為p；假如第一次不與格如此第二次與格的概率為. (1) 假如至少有一次與格如此他能取得某種資格，求他取得該資格的概率． (2) 假如他第二次與

14、格了，求他第第一次與格的概率． 解：設(shè)Ai=“第i次與格〞，i= 由全概率公式得 (1) 他取得該資格的概率為 (2) 假如他第二次與格了，他第一次與格的概率為 6．每箱產(chǎn)品有10件，其中次品從0到2是等可能的，開箱檢驗(yàn)時(shí)，從中任取一件，如果檢驗(yàn)為次品，如此認(rèn)為該箱產(chǎn)品為不合格而拒收．由于檢驗(yàn)誤差，一件正品被誤判為次品的概率為2%，一件次品被誤判為正品的概率為10%．求檢驗(yàn)一箱產(chǎn)品能通過驗(yàn)收的概率． 解：設(shè)Ai=“一箱產(chǎn)品有i件次品〞，i=M=“一件產(chǎn)品為正品〞，N=“一件產(chǎn)品被檢驗(yàn)為正品〞. 由全概率公式 又 由全概率公式得一箱產(chǎn)

15、品能通過驗(yàn)收的概率為 7．用一種檢驗(yàn)法檢驗(yàn)產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下．假如真含有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為含有的概率為0.8；假如真含不有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為不含有的概率為0.9；據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)或真不含有雜質(zhì)的概率分別為0.4和0.6．今獨(dú)立地對一產(chǎn)品進(jìn)展三次檢驗(yàn)，結(jié)果是兩次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，而有一次認(rèn)為不含有雜質(zhì)，求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率． 解：A=“一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)〞，Bi=“對一產(chǎn)品進(jìn)展第i次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)〞，i=1,2,3. 獨(dú)立進(jìn)展的三次檢驗(yàn)中兩次認(rèn)為含有雜質(zhì)，一次認(rèn)為不含有雜質(zhì)，不妨假設(shè)前兩次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，第三次認(rèn)為檢驗(yàn)不含有雜質(zhì)，即B1

16、，B2發(fā)生了，而B3未發(fā)生. 又知所以 所求概率為 由于三次檢驗(yàn)是獨(dú)立進(jìn)展的，所以 8．火炮與坦克對戰(zhàn)，假設(shè)坦克與火炮依次發(fā)射，且由火炮先射擊，并允許火炮與坦克各發(fā)射2發(fā)，火炮與坦克每次發(fā)射的命中概率不變，它們分別等于0.3和0.35.我們規(guī)定只要命中就被擊毀．試問 (1) 火炮與坦克被擊毀的概率各等于多少？ (2) 都不被擊毀的概率等于多少？ 解：設(shè)Ai=“第i次射擊目標(biāo)被擊毀〞，i=1,2,3,4. 所以 (1) 火炮被擊毀的概率為 坦克被擊毀的概率為 (2) 都不被擊毀的概率為

17、 9．甲、乙、丙三人進(jìn)展比賽，規(guī)定每局兩個(gè)人比賽，勝者與第三人比賽，依次循環(huán)，直至有一人連勝兩次為止，此人即為冠軍，而每次比賽雙方取勝的概率都是，現(xiàn)假定甲乙兩人先比，試求各人得冠軍的概率． 解：Ai=“甲第i局獲勝〞， Bi=“乙第i局獲勝〞，Bi=“丙第i局獲勝〞，i=1,2,….， ，由于各局比賽具有獨(dú)立性，所以 在甲乙先比賽，且甲先勝第一局時(shí)，丙獲勝的概率為 同樣，在甲乙先比賽，且乙先勝第一局時(shí)，丙獲勝的概率也為 丙得冠軍的概率為甲、乙得冠軍的概率均為 第二章 2 一、填空題： 1. ， 2. ，k = 0，1，…，n 3. 為參數(shù)，k = 0，1，… 4

18、. 5. 6. 7. 8. 9. X -1 1 2 pi 分析：由題意，該隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)求法，可觀察出隨機(jī)變量的取值與概率。 10. 分析：每次觀察下根本結(jié)果“X≤1/2〞出現(xiàn)的概率為，而此題對隨機(jī)變量X取值的觀察可看作是3重伯努利實(shí)驗(yàn)，所以 11. , 同理，P{| X | ￡ 3.5} =0.8822. 12. . 13. ，利用全概率公式來求解： 二、單項(xiàng)選擇題： 1. B，由概率密度是偶函數(shù)即關(guān)于縱軸對稱，容易推導(dǎo) F(-a)= 2. B，只有B的結(jié)果滿足

19、3. C，根據(jù)分布函數(shù)和概率密度的性質(zhì)容易驗(yàn)證 4. D，，可以看出不超過2，所以 ， 可以看出，分布函數(shù)只有一個(gè)連續(xù)點(diǎn). 5. C, 事件的概率可看作為事件A〔前三次獨(dú)立重復(fù)射擊命中一次〕與事件B〔第四次命中〕同時(shí)發(fā)生的概率，即 . 三、解答題 〔A〕 1．(1) X 1 2 3 4 5 6 pi 分析：這里的概率均為古典概型下的概率，所有可能性結(jié)果共36種，如果X=1，如此明確兩次中至少有一點(diǎn)數(shù)為1，其余一個(gè)1至6點(diǎn)均可，共有〔這里指任選某次點(diǎn)數(shù)為1，6為另一次有6種結(jié)果均可取，減1即減去兩次均為1的情形，因?yàn)槎嗨懔艘淮巍郴?/p>

20、種，故,其他結(jié)果類似可得. (2) 2． X -1 99 pi 注意，這里X指的是贏錢數(shù)，X取0-1或100-1，顯然. 3．，所以. 4．(1) ， (2) 、 、 ； 5．(1) ， (2) ， (3) . 6．(1) . (2) . 7．解：設(shè)射擊的次數(shù)為X，由題意知 ，其中8=400×0.02. 8．解：設(shè)X為事件A在5次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)， 如此指示燈發(fā)出信號的概率 ； 9. 解：因?yàn)閄服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，如此，， 如此 10. (1)、由歸一性知：，所以. (2)、. 11. 解 〔

21、1〕由F(x)在x=1的連續(xù)性可得，即A=1. 〔2〕. 〔3〕X的概率密度. 12. 解 因?yàn)閄服從〔0，5〕上的均勻分布，所以 假如方程有實(shí)根，如此，即 ，所以有實(shí)根的概率為 13. 解: (1) 因?yàn)?所以 (2) ，如此，經(jīng)查表得 ，即，得；由概率密度關(guān)于x=3對稱也容易看出。 (3) ， 如此，即，經(jīng)查表知， 故，即； 14. 解： 所以 ，；由對稱性更容易解出； 15. 解 如此 上面結(jié)果與無關(guān)，即無論怎樣改變，都不會改變； 16. 解：由X的分布律知 p

22、 x -2 -1 0 1 3 4 1 0 1 9 2 1 0 1 3 所以 Y的分布律是 Y 0 1 4 9 p Y 0 1 2 3 p Z的分布律為 17. 解 因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，所以， 如此，， 當(dāng)時(shí)，，如此 當(dāng)時(shí)， 所以Y的概率密度為； 18. 解，， ， 所以 19. 解：，如此 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)， ， 20. 解: (1) 因?yàn)? 所以 (2) ， 因?yàn)椋? 所以

23、 〔3〕 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 所以 ， 因?yàn)椋? 所以 四．應(yīng)用題 1．解：設(shè)X為同時(shí)打的用戶數(shù)，由題意知 設(shè)至少要有k條線路才能使用戶再用時(shí)能接通的概率為0.99，如此 ，其中 查表得k=5. 2．解：該問題可以看作為10重伯努利試驗(yàn)，每次試驗(yàn)下經(jīng)過5個(gè)小時(shí)后組件不能正常工作這一根本結(jié)果的概率為1-，記X為10塊組件中不能正常工作的個(gè)數(shù)，如此 ， 5小時(shí)后系統(tǒng)不能正常工作，即，其概率為 3．解：因?yàn)椋? 設(shè)Y表示三次測量中誤差絕對值不超過30米的次數(shù)，如此， (1) . (2) . 4．解： 當(dāng)時(shí)

24、，是不可能事件，知， 當(dāng)時(shí)，Y和X同分布,服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，知， 當(dāng)時(shí)，為必然事件,知， 因此，Y的分布函數(shù)為 ； 5．解：(1) 挑選成功的概率； (2) 設(shè)10隨機(jī)挑選成功的次數(shù)為X，如此該， 設(shè)10隨機(jī)挑選成功三次的概率為： ， 以上概率為隨機(jī)挑選下的概率，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于該人成功的概率3/10=0.3，因此，可以斷定他確有區(qū)分能力。 〔B〕 1. 解：由概率密度可得分布函數(shù) ，即，易知； 2. 解： X服從的均勻分布，，又 如此， -1 1 P 所以Y的分布律為 3. 解：， ； 4. 證明

25、：因是偶函數(shù)，故， 所以. 5. 解：隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 ，顯然， ， 當(dāng)時(shí)，是不可能事件，知， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，是必然事件，知， 即 。 6. 〔1〕 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，即y>1時(shí)，， 所以 ； 〔2〕， 當(dāng)時(shí)，為不可能事件，如此， 當(dāng)時(shí)，，如此， 當(dāng)時(shí)，，如此， 根據(jù)得 ； 〔3〕， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 所以 ； 7. (1) 證明：由題意知。 ， 當(dāng)時(shí)，即， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 故有，可以看出服從區(qū)間〔0，1〕均勻分布； 〔2〕 當(dāng)時(shí)，，

26、 當(dāng)時(shí)， ， 當(dāng)時(shí)，， 由以上結(jié)果，易知，可以看出服從區(qū)間〔0，1〕均勻分布。 第三章 1解：(X,Y)取到的所有可能值為(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式： P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1|X=1|=2/3′1/2=/3 同理可求得P{X=1,Y=1}=1/3; P{X=2,Y=1}=1/3 (X,Y)的分布律用表格表示如下： Y X 1 2 1 1/3 1/3 2 1/3 0 2 解：X，Y所有可能取到的值是0, 1, 2 (1) P{X=i, Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i|= ,

27、 i,j=0,1,2, i+j￡2 或者用表格表示如下： Y X 0 1 2 0 3/28 6/28 1/28 1 9/28 6/28 0 2 3/28 0 0 (2)P{(X,Y)?A}=P{X+Y￡1}=P{X=0, Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=0}=9/14 3 解：P(A)=1/4, 由P(B|A)=得P(AB)=1/8 由P(A|B)=得P(B)=1/4 (X,Y)取到的所有可能數(shù)對為(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),如此 P{X=0,Y=0}=)=P( (A)-P(B)+P(AB)=5/8 P

28、{X=0,Y=1}=P(B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=0}=P(A)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=1}=P(AB)=1/8 4.解：(1)由歸一性知： 1=, 故A=4 (2)P{X=Y}=0 (3)P{X

29、 3 Pi. 0 0 0 1 0 0 2 0 0 P.j 1 7. 解： 8. 解： (1) 所以 c=21/4 (2) 9 解： (X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，故f(x,y)的概率密度為 10 解： 當(dāng)00時(shí)， 所以， 12 解：由得 13解：Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的所有可能取值如下表 pi (X,Y) (0,-1)

30、 (0,0) (0,1) (1,-1) (1,0) (1,1) (2,-1) (2,0) (2,1) max(X,Y) 0 0 1 1 1 1 2 2 2 Min(X,Y) -1 0 0 -1 0 1 -1 0 1 Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的分布律為 Z 0 1 2 Pk W -1 0 1 Pj 14 解： 由獨(dú)立性得X，Y的聯(lián)合概率密度為 如此P{Z=1}=P{X￡Y}= P{Z=0}=1-P{Z 故Z的分布律為 Z 0 1 Pk 15

31、解： 同理， 顯然，，所以X與Y不相互獨(dú)立. 16 解：(1) 利用卷積公式：求fZ(z) = (2) 利用卷積公式： 17 解：由定理3.1〔p75〕知，X+Y~N(1,2) 故 18解：(1) (x>0) 同理，y>0 顯然，，所以X與Y不相互獨(dú)立 (2).利用公式 19解：并聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)L的使用壽命Z=max{X,Y} 因X~E(a),Y~E(b),故 串聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)L的使用壽命Z=min{X,Y} (B)組 1 解：P{X=0}=a+0.4, P{X+Y=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=

32、1}=a+b P{X=0,X+Y=1}=P{X=0,Y=1}=a 由于{X=0|與{X+Y=1}相互獨(dú)立, 所以 P{X=0, X+Y=1}=P{X=0} P{X+Y=1} 即 a=(a+0.4)(a+b) (1) 再由歸一性知： 0.4+a+b+0.1=1 (2) 解(1),(2)得 a=0.4, b 2 解: (1) (2) 利用公式計(jì)算 3.解：(1) FY(y)

33、=P{Y￡y}=P{X2￡y} 當(dāng)y<0時(shí)，fY(y)=0 當(dāng)y30時(shí)， 從而， (2) F(-1/2,4)=P{X￡-1/2,Y￡4}= P{X￡-1/2,X2￡4} =P{-2￡X￡-1/2}= 4.解：P{XY10}=1-P{XY=0}=0 即 P{X=-1,Y=1}+P{X=1,Y=1}=0 由概率的非負(fù)性知，P{X=-1,Y=1}=0，P{X=1,Y=1}=0 由邊緣分布律的定義，P{X=-1}= P{X=-1,Y=0}+ P{X=-1,Y=1}=1/4 得P{X=-1,Y=0}=1/4 再由P{X=1}= P{X=1,Y=0}+ P{X=1,Y=1}=1/4

34、 得P{X=1,Y=0}=1/4 再由P{Y=1}=P{X=-1,Y=1}+ P{X=0,Y=1}+ P{X=1,Y=1}= P{X=0,Y=1} 知P{X=0,Y=1}=1/2 最后由歸一性得：P{X=0,Y=0}=0 (X,Y)的分布律用表格表示如下： Y X 0 1 P{X=i} -1 1/4 0 1/4 0 0 1/2 1/2 1 1/4 0 1/4 P{Y=j} 1/2 1/2 1 (2) 顯然，X和Y不相互獨(dú)立，因?yàn)镻{X=-1,Y=0}1P{X=-1}P{Y=0} 5 解：X與Y相互獨(dú)立，利用卷積公式計(jì)算

35、 6.解：(X,Y)～Ｕ(G) 設(shè)F(x)和f(s)分別表示S=XY的分布函數(shù)和密度函數(shù) F(s)=P{XY

36、 當(dāng)z32時(shí)，F(xiàn)Z(z)=1 當(dāng)0￡z<2時(shí): 綜上所述， 所以Z的概率密度為： 9.解：(1) (2) (3) 10.解：(1)P{Z￡1/2|X=0}=P{X+Y￡1/2|X=0}=P{Y￡1/2}=1/2 (2) 由全概率公式： FZ(z)=P{Z￡z}=P{X+Y￡z}=P{X=1}P{X+Y￡z|X=1} +P{X=0}P{X+Y￡z|X=0}=P{X=-1}P{X+Y￡z|X=-1} = P{X=1}P{1+Y￡z}+P{X=0}P{Y￡z}=P{X=-1}P{-1+Y￡z} =1/3′[FY(z-1)+ FY(z

37、)+ FY(z+1)] 從而，fZ(z) =1/3′[fY(z-1)+ fY(z)+ fY(z+1)]= 11.解： 如圖，當(dāng)z<0時(shí)，F(xiàn)Z(z)=0; 當(dāng)z31時(shí)，F(xiàn)Z(z)=1 當(dāng)0￡z<1時(shí): 綜上得：12 Z的概率密度為 12 解： 當(dāng)z<0時(shí)，F(xiàn)Z(z)=0; 當(dāng)z30時(shí)， 所以，Z的概率密度為 第四章 4三、解答題 1. 設(shè)隨機(jī)變量的分布律為 X – 2 0 2 pi 求，，． 解：E (X ) = = +0+2 E (X 2) = = 4+ 0+ 4 E (3 X +5) =3 E (X

38、 ) +5 =3 2. 同時(shí)擲八顆骰子，求八顆骰子所擲出的點(diǎn)數(shù)和的數(shù)學(xué)期望． 解：記擲1顆骰子所擲出的點(diǎn)數(shù)為Xi，如此Xi 的分布律為 記擲8顆骰子所擲出的點(diǎn)數(shù)為X ，同時(shí)擲8顆骰子，相當(dāng)于作了8次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)， E (Xi) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/3=28 3. 某圖書館的讀者借閱甲種圖書的概率為p1，借閱乙種圖書的概率為p2，設(shè)每人借閱甲乙圖書的行為相互獨(dú)立，讀者之間的行為也是相互獨(dú)立的． (1) 某天恰有n個(gè)讀者，求借閱甲種圖書的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望． (2) 某天恰有n個(gè)讀者，求甲乙兩種圖書至少借閱一種的人數(shù)的

39、數(shù)學(xué)期望． 解：(1) 設(shè)借閱甲種圖書的人數(shù)為X ，如此X~B(n, p1),所以E (X )= np1 (2) 設(shè)甲乙兩種圖書至少借閱一種的人數(shù)為Y , 如此Y~B(n, p), 記A ={借甲種圖書}， B ={借乙種圖書}，如此p =｛A∪ B｝= p1+ p2 - p1 p2 所以E (Y )= n (p1+ p2 - p1 p2 ) 4. 將n個(gè)考生的的錄取通知書分別裝入n個(gè)信封，在每個(gè)信封上任意寫上一個(gè)考生的、地址發(fā)出，用X表示n個(gè)考生中收到自己通知書的人數(shù)，求E(X)． 解：依題意，X~B(n，1/n)，所以E (X ) =1. 5. 設(shè)，且，求E(X)． 解：由

40、題意知X～P〔〕，如此X的分布律P=，k = 1,2,... 又P=P, 所以 解得 ，所以E(X) = 6. 6. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為問X的數(shù)學(xué)期望是否存在？ 解：因?yàn)榧墧?shù)， 而 發(fā)散，所以X的數(shù)學(xué)期望不存在. 7. 某城市一天的用電量X〔十萬度計(jì)〕是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為 求一天的平均耗電量． 解：E(X) ==6. 8. 設(shè)某種家電的壽命X〔以年計(jì)〕是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為 求這種家電的平均壽命E(X)． 解：由題意知，隨機(jī)變量X的概率密度為 當(dāng)>5時(shí)，，當(dāng)￡5時(shí)，0. E(X) = 所以這種家電的平均壽命E

41、(X)=10年. 9. 在制作某種食品時(shí)，面粉所占的比例X的概率密度為 求X的數(shù)學(xué)期望E(X)． 解：E(X) ==1/4 10. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度如下，求E(X)． 解：. 11. 設(shè)，求數(shù)學(xué)期望． 解：X的分布律為，k = 0，1，2，3，4， X取值為0，1，2，3，4時(shí)，相應(yīng)的取值為0，1，0，-1，0，所以 12. 設(shè)風(fēng)速V在(0，a)上服從均勻分布，飛機(jī)機(jī)翼受到的正壓力W是V的函數(shù)：，〔k > 0，常數(shù)〕，求W的數(shù)學(xué)期望． 解：V的分布律為，所以 13. 設(shè)隨機(jī)變量(X, Y )的分布律為 YX 0 1 2 0

42、 3/28 9/28 3/28 1 3/14 3/14 0 2 1/28 0 0 求E(X)，E(Y )，E(X –Y )． 解：E(X)=0×(3/28+9/28+3/28〕+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E(Y)=0×〔3/28+3/14+1/28〕+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=21/28=3/4 E(X-Y) = E(X)- E(Y)=1/2-3/4= -1/4. 14. 設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)具有概率密度，求E(X)，E(Y)，E(XY) 解：E(X)= 1

43、5. 某工廠完成某批產(chǎn)品生產(chǎn)的天數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，具有分布律 X 10 11 12 13 14 pi 所得利潤〔以元計(jì)〕為,求E(Y)，D(Y)． 解： E(Y) = E［1000(12-X)］ =1000×[(12-10)×0.2+(12-11)]×0.3+(12-12)×0.3+(12-13)×0.1+(12-14)×0.1] = 400 E(Y2) = E［10002(12-X)2］ =10002[(12-10)2×0.2+〔12-11〕2×0.3+〔12-12〕2×+〔12-13〕2× +〔12-14〕2××106 D(

44、Y)=E(Y2)-［E(Y)］2×106- 4002×106 16. 設(shè)隨機(jī)變量X服從幾何分布 ，其分布律為 其中0 < p < 1是常數(shù)，求E(X)，D(X)． 解：令q=1- p ,如此 D(X) = E(X2)- E(X) =2q/p2+1/p-1/p2 = (1-p)/p2 17. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，試求E(X)，D(X)． 解：E(X)= D(X)= E(X2)= 18. 設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)具有D(X) = 9，D(Y) = 4，，求，． 解：因?yàn)?，所? =-1/6×3×2=-1, 19. 在題13中求Cov(X，Y)，r

45、XY． 解：E(X) =1/2, E(Y) =3/4, E(XY)=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28〕+1×3/14+2×0+4×0=3/14, E(X2)= 02×〔3/28+9/28+3/28〕+12×(3/14+3/14+0)+ 22×(1/28+0+0)=4/7, E(Y2)= 02×〔3/28+3/14+1/28〕+12×(9/28+3/14+0)+ 22×(3/28+0+0)=27/28, D(X)= E(X2) -［E(X)］2 = 4/7-(1/2)2= 9/28, D(Y)= E(Y2)- ［E(Y)］2=27/28-(3/4)2= 45/1

46、12, Cov(X，Y)= E(XY)- E(X) E(Y) =3/14- (1/2) ×(3/4)= -9/56, rXY = Cov(X，Y) /()=-9/56 ? ()= -/5 20. 在題14中求Cov(X，Y)，rXY，D(X + Y)． 解：, 21. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y )的概率密度為 試驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的． 解： ， 所以Cov(X，Y)=0，rXY =0，即X和Y是不相關(guān). 當(dāng)x2 + y2≤1時(shí)，f ( x,y)≠fX( x) f Y(y),所以X和Y不是相互獨(dú)立的 22. 設(shè)隨機(jī)變量

47、(X, Y )的概率密度為 驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的． 解：由于f ( x,y)的非零區(qū)域?yàn)镈: 0 < x < 1, | y |< 2x , , ,所以Cov(X，Y)=0，從而 ，因此X與Y不相關(guān) . 所以，當(dāng)0

48、x件產(chǎn)品時(shí)，獲利Q為銷售量Y的函數(shù) y 0< y

49、 當(dāng)給定m,n,λ之后，求r，使得E(g(Y))達(dá)到最大. (B)組題 1. 甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品，從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望； (2) 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率． 解：(1) X的可能取值為0，1，2，3，X的概率分布律為 ， k=0,1,2,3. 即 X 0 1 2 3 pi 因此 (2) 設(shè)A表示事件“從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品〞，由于，，，構(gòu)成完備事

50、件組，因此根據(jù)全概率公式，有 = = 2. 隨機(jī)變量X的概率密度為，對X獨(dú)立重復(fù)觀察4次，用Y表示觀察值大于的次數(shù)，求Y2的數(shù)學(xué)期望 解：依題意，Y~B(4, p), p=P{X >}= 所以E(Y)= 4p =2，D(Y)= 4p(1-p)=1， E(Y2) = D(Y)+[E(Y)]2=1+4=5 3. 設(shè)隨機(jī)變量U在區(qū)間(-2，2)上服從均勻分布，隨機(jī)變量 試求：(1)和的聯(lián)合分布律；(2)． 解：(1) P{X =-1, Y =-1}= P{U ≤-1且U ≤1}= P{U ≤-1}=， P{X =-1, Y

51、=1}= P{U ≤-1且U >1}=0， P{X =1, Y =-1}= P{-1 -1且U >1}= P{U > 1}=， 所以和的聯(lián)合分布律為 XY -1 1 -1 1/4 1/2 1 0 1/4 (2) 和的邊緣分布律分別為 X – 1 1 pi 1/4 3/4 Y – 1 1 pi 3/4 1/4 所以E(X)= -1/4+3/4=1/2，E(Y)= -3/4+1/4=-1/2，E(XY)= 1/4-1/2+1/4=0， E(X2)= 1/4+3/4=1，E

52、(Y2)=1，D(X)=1-1/4=3/4，D(Y)=1-1/4=3/4， Cov(X，Y)=1/4，D(X+Y)= D(X)+ D(Y)+2 Cov(X，Y)=3/4+3/4+2/4=2 4. 設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)與方差存在，且有，，證明． 證明：首先證明E〔Y〕存在 (1) 假如隨機(jī)變量X為離散型隨機(jī)變量，分布律為： 如此由E(X)存在知，絕對收斂，且 記,如此絕對收斂， 所以E〔Y〕存在，, (2) 假如X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x),如此： 5. 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為，且E(X)，E(X2)，D(X)都存在，試證明：函數(shù)在時(shí)取得最小值，且最

53、小值為D(X)． 證明：令， 如此， ，所以， 又，所以時(shí)，取得最小值，此時(shí) 6. 隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同分布，且X的分布律為 X 1 2 pi 2/3 1/3 記， (1) 求(U，V)的分布律； (2) 求U與V的協(xié)方差Cov(U，V). 解：(1) (X ,Y)的分布律 YX 1 2 1 4/9 2/9 2 2/9 1/9 (X ,Y) 〔1，1〕 〔1，2〕 〔2，1〕 〔2，2〕 pij 4/9 2/9 2/9 1/9 U 1 2 2 2 V 1 1 1 2 VU 1 2

54、 1 4/9 0 2 4/9 1/9 (2) E(U)= 4/9+2×5/9=14/9， E(V)= (4/9+2/9+2/9)+ 2×1/9=10/9， E(UV)= 4/9+2×4/9+4×1/9=16/9, Cov(U，V)=16/9-140/81=4/81 7. 隨機(jī)變量X的概率密度為 令為二維隨機(jī)變量〔X，Y〕的分布函數(shù)，求Cov(X，Y)． 解： 8. 對于任意二事件A和B，0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1， 稱作事件A和B的相關(guān)系數(shù)． (1) 證明事件A和B獨(dú)立的充分必要條件是其相關(guān)系數(shù)等于零．

55、 (2) 利用隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)的根本性質(zhì)，證明． 證明: (1) , 即 (2) 考慮隨機(jī)變量X和Y X服從0-1分布: X 0 1 pi 1-P(A) P(A) Y服從0-1分布: X 0 1 pi 1-P(B) P(B) 可見, 隨機(jī)變量Ｘ和Ｙ的相關(guān)系數(shù) 由兩隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)的根本性質(zhì)有 第五章 5三、解答題 1. 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn獨(dú)立同分布，且X～P(l)，，試?yán)闷醣确虿坏仁焦烙?jì)的下界。 解：因?yàn)閄～P(l)， 由契比夫不等式可得 2. 設(shè)E(X) = – 1，E(Y) =

56、1，D(X) = 1，D(Y) = 9，rXY = – 0.5，試根據(jù)契比夫不等式估計(jì)P{|X + Y | 3 3}的上界。 解：由題知 ==0 Cov== 所以 3. 據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布．現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的．求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率． 解：設(shè)i個(gè)元件壽命為Xi小時(shí)，i = 1 ,2 , ...... , 16 ， 如此X1 ，X2 ，... ，X16獨(dú)立同分布，且 E(Xi ) =100，D(Xi ) =10000，i = 1 ,2 , ...... , 16 ， ， 由獨(dú)立同分布的

57、中心極限定理可知：近似服從N10000)，所以 = 4. 某商店負(fù)責(zé)供給某地區(qū)1000人商品，某種商品在一段時(shí)間每人需要用一件的概率為0.6，假定在這一時(shí)間段各人購置與否彼此無關(guān)，問商店應(yīng)預(yù)備多少件這種商品，才能以99.7%的概率保證不會脫銷〔假定該商品在某一時(shí)間段每人最多可以買一件〕． 解：設(shè)商店應(yīng)預(yù)備n件這種商品，這一時(shí)間段同時(shí)間購置此商品的人數(shù)為X ， 如此X ~ B〔1000，0.6〕，如此E(X) = 600，D (X ) = 240， 根據(jù)題意應(yīng)確定最小的n，使P{X ≤n }= 99.7%成立. 如此P{X ≤n } 所以，取n=643。 即商店應(yīng)預(yù)備643件

58、這種商品，才能以99.7%的概率保證不會脫銷。 5. 某種難度很大的手術(shù)成功率為0.9，先對100個(gè)病人進(jìn)展這種手術(shù)，用X記手術(shù)成功的人數(shù)，求P{84 < X < 95}． 解：依題意, X ~ B〔100，0.9〕，如此E(X) = 90，D (X ) = 9， 6. 在一零售商店中，其結(jié)帳柜臺替顧客服務(wù)的時(shí)間〔以分鐘計(jì)〕是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均值為1.5，方差為1．求對100位顧客的總服務(wù)時(shí)間不多于2小時(shí)的概率． 解：設(shè)柜臺替第i位顧客服務(wù)的時(shí)間為X i ，i = 1,2,3.....100. 如此X i ，i = 1,2,3.....100獨(dú)立同分布，且E〔X i〕=1.5

59、，D(X i )=1，所以 即對100位顧客的服務(wù)時(shí)間不多于兩個(gè)小時(shí)的概率為0.0013. 7. 筆記本電腦中某種配件的合格率僅為80%，某大型電腦廠商月生產(chǎn)筆記本電腦10000臺，為了以99.7%的把握保證出廠的電腦均能裝上合格的配件，問：此生產(chǎn)廠商每月至少應(yīng)購置該種配件多少件？ 解：設(shè)此生產(chǎn)廠商每月至少應(yīng)購置n件該種配件，其中合格品數(shù)為X，如此X ~ B(n，0.8), 0.997=P{X310000}= ， 解得 n=12655 的把握保證出廠的電腦均能裝上合格的配件。 8. 一本300頁的書中，每頁的印刷錯誤的個(gè)數(shù)服從參數(shù)為0.2的泊松分布，試求整書中的印刷錯誤總數(shù)

60、不多于70個(gè)的概率． 解：記每頁印刷錯誤個(gè)數(shù)為，i=1，2，3，…300， 如此它們獨(dú)立同服從參數(shù)為0.2的泊松分布，所以E〔X i〕=0.2，D(X i 所以 9. 設(shè)車間有100臺機(jī)床，假定每臺機(jī)床是否開工是獨(dú)立的，每臺機(jī)器平均開工率為0.64，開工時(shí)需消耗電能a千瓦，問發(fā)電機(jī)只需供給該車間多少千瓦的電能就能以概率0.99保證車間正常生產(chǎn)？ 解：設(shè)發(fā)電機(jī)只需供給該車間m千瓦的電能就能以概率0.99保證車間正常生產(chǎn)， 記X為100臺機(jī)床中需開工的機(jī)床數(shù)，如此X ~ B(100，0.64), E〔aX〕=64a ，D(aX ) =100××a2 ，所以 10. 某保

61、險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有1萬人參加,每人每年交200元．假如老人在該年死亡，公司付給家屬1萬元．設(shè)老年人死亡率為，試求保險(xiǎn)公司在一年的這項(xiàng)保險(xiǎn)中賠本的概率． 解：設(shè)當(dāng)年投保老人的死亡數(shù)為X，如此X ~ B (10000,0.017)。 保險(xiǎn)公司在一年的保險(xiǎn)賠本的概率為 四、應(yīng)用題 1. 某餐廳每天接待400名顧客，設(shè)每位顧客的消費(fèi)額〔單位：元〕服從區(qū)間(20，100)上的均勻分布，且顧客的消費(fèi)額是相互獨(dú)立的，求該餐廳的日營業(yè)額在其平均營業(yè)額760元的概率． 解：設(shè)每位顧客的消費(fèi)額為Xi ，i =1,2,…400, 且 X i ~ U (20，100)，如此 ， 由獨(dú)

62、立同分布的中心極限定理 , 所以 2. 設(shè)某型號電子元件的壽命〔單位：小時(shí)〕服從指數(shù)分布，其平均壽命為20小時(shí)，具體使用時(shí)當(dāng)一元件損壞后立即更換另一新元件，每個(gè)元件進(jìn)價(jià)為110元，試問在年計(jì)劃中應(yīng)為此元件作多少元的預(yù)算，才可以有95%的把握保證一年的供給〔假定一年工作時(shí)間為2000小時(shí)〕． 解：設(shè)應(yīng)為這種元件作m元的預(yù)算，即需進(jìn)m/110個(gè)元件， 記第件的壽命為Xi小時(shí)，i =1，2，3···, m/110，且X i ~ E (20)， 所以E〔X i〕= 20 ，D(X i ) = 400， = ，所以所以m=12980 即在年計(jì)劃中應(yīng)為此元件作12980元的

63、預(yù)算，才可以有95%的把握保證一年的供給. 3. 據(jù)調(diào)查某村莊中一對夫妻無孩子、有1個(gè)孩子、有2個(gè)孩子的概率分別為，，．假如該村共有400對夫妻，試求：(1) 400對夫妻的孩子總數(shù)超過450的概率；(2) 只有1個(gè)孩子的夫妻數(shù)不多于340的概率． 解：(1) 設(shè)第k對夫妻 孩子數(shù)為X k ，如此X k的分布律為 Xk 0 1 2 p 如此， 故即400對夫妻的孩子總數(shù)超過450 (2) 設(shè)Y為只有一個(gè)孩子的夫妻對數(shù)，如此Y ~ B (400,0.8)， 即只有1個(gè)孩子的夫妻數(shù)不多于340的概率為0.9938． 〔B〕 1. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密

64、度為，m為正整數(shù)，證明：〔提示：利用Chebyshev不等式〕． 證明：E〔X〕=f(x)d=， 由切比雪夫不等式 == 2. 設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其共同的分布如下表所示，證明服從Chebyshev大數(shù)定律． Xn 0 pk 1/4 1/2 1/4 證明： ， 又因?yàn)楠?dú)立且同分布，所以服從切比雪夫大數(shù)定律. 3. 設(shè)隨機(jī)變量序列獨(dú)立同分布，，又存在〔n=1,2,…〕，證明：．〔提示：利用Chebyshev大數(shù)定律〕 證明：因?yàn)殡S機(jī)變量序列獨(dú)立同分布，所以也獨(dú)立同分布 ，存在 由Chebyshev大數(shù)定律， 第六章 〔

65、A〕 、解答題 1. 總體X～B(1，p)，X1，X2，…，Xn是X的一個(gè)樣本，求 (1) X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布律; (2) 的分布律; (3) 三 解：因?yàn)閄的分布律為 且X1，X2，…，Xn均于X獨(dú)立同分布，所以 〔1〕X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布律為 〔2〕因?yàn)?，所? 〔3〕因?yàn)?，所? 2. 從總體N2)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為36的樣本，計(jì)算樣本均值落在50.8到53.8之間的概率． 解：因?yàn)閄~N2)，所以 ， 3. 某種燈管壽命X〔以小時(shí)計(jì)

66、〕服從正態(tài)分布X ～ N(m，s2)，為來自總體X的樣本均值． (1) 求與m的偏差大于的概率． (2) 假如m未知，s2 = 100，現(xiàn)隨機(jī)取100只這種燈管，求與m的偏差小于1的概率． 解：因?yàn)閄～N(m，s2)，，所以 (1) (2) 因?yàn)閟2 = 100，n=100，，所以 4. 在天平上反復(fù)稱量重量為w的物體，每次稱量結(jié)果獨(dú)立同服從N(w，0.04)，假如以表示n次稱重的算術(shù)平均，如此為使，n至少應(yīng)該是多少？ 解：X1，X2，…，Xn為稱重的結(jié)果，如此X1，X2，…，Xn相互對立且均服從N(w，0.04)，于是，欲使，須使，即 解得查表得 由于是遞增函數(shù)，須使解得n>15.366,故n至少為16. 5. 從正態(tài)總體中抽取樣本X1，X2，…，X10 (1) m = 0，求； (2) m未知，求． 解：〔1〕因?yàn)閄i～N(0，2)，，即, 令 ，如此 由于 查表知，所以. (2) 〕因?yàn)閄i～N(m，2)，即，所以 , ,