8、f(b)的坐標(biāo)；
(3)求使f(c)=(p、q)(p、q為常數(shù))的向量c的坐標(biāo).
解：(1)設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),則ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2).
∴f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),
mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1).
∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.
(2)f(a)=(1,2×1-1)=(1,1),
f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).
9、(3)設(shè)c=(x,y),則f(c)=(y,2y-x)=(p,q).∴y=p,2y-x=q.
∴x=2p-q，即向量c=(2p-q,p).
講評：要利用題設(shè)條件，必須將向量用坐標(biāo)表示，通過坐標(biāo)進行計算，從而解決問題，這也是向量運算中比較常用的方法.
【例3】 已知m、n、p、q∈R,求證：mp+nq≤·.
剖析：本題若采用平方法，則需對mp+nq的符號進行討論，然后再平方，若能把握其結(jié)構(gòu)特點，聯(lián)想到平面向量的數(shù)量積性質(zhì)，則問題容易解決.
證明：設(shè)a=(m,n),b=(p,q),
度 ∵|a·b|≤|a||b|,
∴|mp+nq|≤·.
∴mp+nq≤·.
10、
狀元訓(xùn)練
復(fù)習(xí)篇
1.(2004遼寧高考)已知點A(-2,0)、B(3,0),動點P(x,y)滿足·=x2,則點P的軌跡是( )
A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線
解析：=(-2-x,-y),=(3-x,-y),·=(-2-x)(3-x)+(-y)2=x2,整理得y2=x+6.∴P點的軌跡為拋物線.
答案：D
2.臺風(fēng)中心從A地以20 km/h的速度向東北方向移動,離臺風(fēng)中心30 km內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū),城市B在A的正東40 km處,B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為( )
A.0.5 h B.1 h C.1.
11、5 h D.2 h
解析：臺風(fēng)中心移動t h,城市B處在危險區(qū),則(20t)2+402-2×20t×40×cos45°≤900.
∴-≤t≤+.∴B城市處在危險區(qū)的時間為1 h.
答案：B
3.已知向量集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},則M∩N等于( )
A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,-2)}
C.{(-2,-2)} D.
解析：∴(注意λ不一定相等).∴M∩
12、N={(-2,2)}.
答案：C
4.在一座20 m高的觀測臺頂測得地面一水塔塔頂仰角為60°,塔底俯角為45°,那么這座塔的高為_______________________.
解析：如圖,AD=DC=20.
∴BD=ADtan60°=20.
∴塔高為20(1+) m.
答案：20(1+) m
5.有一兩岸平行的河流，水速為1，小船的速度為，為使所走路程最短，小船應(yīng)朝_____方向行駛.
解析：如右圖,為使小船所走路程最短,v水+v船應(yīng)與岸垂直.又v水==1,v船==,∠ADC=90°,
∴∠CAD=45°.
答案：與水速成135°角的
6.平面
13、內(nèi)有向量=(1,7)，=(5,1)，=(2,1)，點X為直線OP上的一個動點.
(1)當(dāng)·取最小值時，求的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)點X滿足(1)的條件和結(jié)論時，求cos∠AXB的值.
解：(1)設(shè)=(x,y),∵點X在直線OP上，
∴向量與共線.
又=(2,1),∵x·1-y·2=0,即x=2y,∴=(2y,y).
又=-=(1,7)-(2y,y),
∴=(1-2y,7-y).
同理,=-=(5-2y,1-y).
于是,·=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=4y2-12y+5+y2-8y+7=5y2-20y+12
=5(y-2)2-8.
由二次函數(shù)的
14、知識，可知當(dāng)y=2時，·=5(y-2)2-8有最小值-8，此時=(4,2).
(2)當(dāng)=(4,2)，即y=2時，有=(-3,5)，=(1，-1)，||=,||=,
·=(-3)×1+5×(-1)=-8,∴cos∠AXB===-.
講評：向量的坐標(biāo)表示與運算可以大大簡化數(shù)量積的運算，由于有關(guān)長度、角度和垂直問題可以利用向量的數(shù)量積來解決，因此，我們可以利用向量的直角坐標(biāo)去研究有關(guān)長度、角度和垂直問題.
7.已知向量a=(cosx,sinx),b=(cos,-sin),且x∈［0，］.求：
(1)a·b及|a+b|;
(2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-，求λ的
15、值.
解：(1)a·b=cosx·cos-sinx·sin=cos2x,
|a+b|=
==2.
∵x∈［0，］，∴cosx>0.
∴|a+b|=2cosx.
(2)f(x)=cos2x-4λcosx,即f(x)=2(cosx-λ)2-1-2λ2.
∵x∈［0,］，∴0≤cosx≤1.
①當(dāng)λ<0時，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=0時，f(x)取得最小值-1，這與已知矛盾.
②當(dāng)0≤λ≤1時，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=λ時，f(x)取得最小值-1-2λ2，由已知得-1-2λ2=-,解得λ=.
③當(dāng)λ>1時，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時，f(x)取得最小
16、值1-4λ.由已知得1-4λ=-，解得λ=.這與λ>1相矛盾.綜上所述，λ=為所求.
加強篇
8.(2006北京海淀模擬)設(shè)a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),其中α∈(0,π),β∈(π,2π),a與c的夾角為θ1,b與c的夾角為θ2,且θ1-θ2=,求sin的值.
解：a=(2cos2,2sincos)
=2cos(cos,sin),
b=(2sin2,2sincos)
=2sin(sin,cos),
∵α∈(0,π),β∈(π,2π),
∴∈(0,),∈(,π).
故|a|=2cos
17、,|b|=2sin,
cosθ1===cos,
cosθ2===sin=cos(-).∴θ1=.
∵0<-<,∴θ2=-.又θ1-θ2=,∴-+=.
故=-,∴sin=sin(-)=-.
講評：本題考查向量的坐標(biāo)表示及其運算，向量數(shù)量積的夾角公式的運用，注意角度范圍的變化應(yīng)用，結(jié)合三角函數(shù)的關(guān)系進行求值.
9.(全新創(chuàng)編題)如圖所示，點F(a,0)(a>0),點P在y軸上運動，M在x軸上，N為動點，且·=0,+=0.
(1)求點N的軌跡C的方程；
(2)過點F(a,0)的直線l(不與x軸垂直)與曲線C交于A、B兩點，設(shè)點K(-a,0),與的夾角為θ，
18、求證：0<θ<.
解：(1)設(shè)N(x,y)、M(x0,0)、P(0,y0),
則=(x0,-y0),=(a,-y0),=(x,y-y0).
由·=0,得ax0+y02=0. ①
由+=0，得(x+x0,y-2y0)=0,即所以
代入①,得y2=4ax即為所求.
(2)設(shè)l的方程為y=k(x-a),由消去x,得y2-y-4a2=0.
設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則y1y2=-4a2,=(x1+a,y1),=(x2+a,y2),
·=(x1+a)(x2+a)+y1y2=x1x2+a(x1+x2)+a2+y1y2=+a·(+)+a
19、2-4a2
=(y12+y22)-2a2>(2|y1y2|)-2a2=×4a2-2a2=0,所以cosθ=>0.所以0<θ<.
講評：向量及其運算是新課程的新增內(nèi)容，由于向量融數(shù)、形于一體，具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點，成為聯(lián)系多項內(nèi)容的媒介.本題是將向量與解析幾何、方程、不等式以及三角函數(shù)等知識有機結(jié)合，體現(xiàn)了《考試大綱》要求的“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點處命題”的精神，我們預(yù)測今年的向量高考題的難度可能上升到壓軸題水平.
一、教學(xué)思路
向量兼具代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀，向量本身是一個數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，因此在向量的復(fù)習(xí)中要注意數(shù)與形的結(jié)合
20、、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合.應(yīng)用向量可以解決平面幾何中的一些問題，在物理和工程技術(shù)中應(yīng)用也很廣泛，教學(xué)要結(jié)合實例，引導(dǎo)學(xué)生把向量的相關(guān)知識和實際問題相結(jié)合，滲透向量解決問題的高效性.
二、注意問題
與向量相關(guān)的綜合應(yīng)用問題類型較多，往往都和幾何圖形或某種類型曲線相關(guān)聯(lián)，這就要求在轉(zhuǎn)化成向量方法或抽象為確定的數(shù)學(xué)模型時，一定要注意和題意等價，善于綜合全局，把握轉(zhuǎn)化合理性.
三、參考資料
【例1】 已知a=(x2,x),b=(x,x-3),x∈［-4,4］.
(1)求f(x)=a·b的表達(dá)式;
(2)求f(x)的最小值,并求此時a與b的夾角.
解：(1)f(x)
21、=a·b=x2·x+x·(x-3)=x3+x2-3x,x∈［-4,4］.
(2)f′(x)=x2+2x-3=(x+3)(x-1).
列表:
x
-4
(-4,-3)
-3
(-3,1)
1
(1,4)
4
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
極大值9
↘
極小值-
↗
故當(dāng)x=1時,f(x)有最小值為-.
此時a=(,1),b=(1,-2).
設(shè)θ為a與b的夾角,則cosθ==-.
又由θ∈［0,π］,得θ=.
【例2】 如圖所示,對于同一高度(足夠高)的兩個定滑輪,用一條(足夠長)繩子跨過它們,并
22、在兩端分別掛有4 kg和2 kg的物體,另在兩個滑輪中間的一段繩子懸掛另一物體,為使系統(tǒng)保持平衡狀態(tài),此物體的質(zhì)量應(yīng)是多少?(忽略滑輪半徑、繩子的重量)
剖析：先進行受力分析,列出平衡方程,然后用數(shù)學(xué)方法求解.
解：設(shè)所求物體質(zhì)量為m kg時,系統(tǒng)保持平衡,再設(shè)F1與豎直方向的夾角為θ1,F2與豎直方向的夾角為θ2,則有
(其中g(shù)為重力加速度)
由①式和②式消去θ2,得
m2-8mcosθ1+12=0,
即m=4cosθ1±2.③
∵cosθ2＞0,由②式知,③式中m=4cosθ1-2不合題意,舍去.
又∵4cos2θ1-3≥0,解得≤cosθ1≤1.
經(jīng)檢驗
23、,當(dāng)cosθ1=時,cosθ2=0,不合題意,舍去.
∴2＜m＜6.
綜上,所求物體的質(zhì)量在2kg到6 kg之間變動時,系統(tǒng)可保持平衡.
講評：(1)m的范圍是通過函數(shù)y=4x+2的單調(diào)性求得的.(2)實際問題的處理要注意變量的實際意義,本題容易忽略cosθ2＞0的實際限制.
優(yōu)化測控
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分，共60分)
1.(2006江蘇南京期末)已知向量a=(1,0),b=(1,1),c=(-1,0),若c=λa+μb(λ,μ∈R),則λ,μ的值分別為( )
A.1,0 B.1,1
24、C.0,1 D.-1,0
解析：∵c=λa+μb=λ(1,0)+μ(1,1)=(λ+μ,μ),而c=(-1,0),∴
∴故選擇D.
答案：D
2.有三個命題：①向量與是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是=.其中正確的是( )
A.②B.③C.①③D.②③
解析：①與共線，AB與CD也可以平行.②中a與b也可能有0.
答案：B
3.(2006四川成都檢測)設(shè)向量a=(cos25°,sin25°),b=(sin20°,cos20°),若t是實數(shù),且
25、u=a+t b,則|u|的最小值為( )
A. B.1 C. D.
解析：|a|=|b|=1,a·b=sin20°cos25°+cos20°sin25°=sin45°=,
∴|u|2=|a+t b|2=a2+2t a·b+t2b2=t2+t+1=(t+)2+≥.
∴|u|≥.選C.
答案：C
4.已知|a|=4，|b|=8，且a與2b-a互相垂直，則向量a與b的夾角是( )
A.arccosB.π-arccosC.D.
解析：由a⊥(2b-a),得a·(2b-a)=0.
26、
∴2|a||b|cosθ-|a|2=0.
∴cosθ=,θ=arccos.
答案：A
5.(2006北京西城模擬)向量=(1,),=(0,1),若動點P(x,y)滿足條件則P(x,y)的變動范圍(不含邊界的陰影部分)是( )
解析：=(1,),=(0,1).
設(shè)P(x,y),則=(x,y),
∵即
經(jīng)分析，選A.
答案：A
6.已知向量=(1,1)，=(1,a)，其中a為實數(shù)，O為原點，當(dāng)這兩向量的夾角在(0,)變動時，a的取值范圍是( )
A.(0,1) B.(,) C.(,1)∪(1,)
27、 D.(1,)
解析：只需保證直線AO和OB的夾角為此范圍就行，顯然kOA=1,kOB=a.應(yīng)用夾角公式tanθ=||<,可得選項C.
答案：C
7.已知向量m與向量n互相垂直且|m|=|n|,若m=(2,1),則n等于( )
A.(1,-2) B.(-2,1)
C.(-2,1)或(2,-1) D.(1,-2)或(-1,2)
解析：設(shè)n=(x,y),由題意設(shè)解得或
∴n=(1,-2)或(-1,2).
答案：D
8.已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上
28、(不包括端點A、C)，則等于( )
A.λ(+),λ∈(0,1) B.λ(+),λ∈(0,)
C.λ(-),λ∈(0,1) D.λ(-),λ∈(0,)
解析：由平行四邊形法則及共線的充要條件容易得到選項A.
答案：A
9.(2006西安五校聯(lián)考)已知向量a=(3,4)，b=(2，-1)，如果向量a+λb與向量-b互相垂直，則實數(shù)λ的值為( )
A. B. C.2 D.-
解析：a+λb=(3,4)+λ(2,-1)=(3+2λ,4-λ),-
29、b=(-2,1),若(a+λb)⊥(-b)，則-2(3+2λ)+4-λ=0.∴λ=-.故選D.
答案：D
10.若a與b的夾角為60°，|b|=4，(a+2b)·(a-3b)=-72，則向量a的模是( )
A.2 B.4 C.6 D.12
解析：由題意知a2-a·b-6b2=-7a,把|b|=4,cos60°=代入得|a|2-2|a|-24=0.∴|a|=6或|a|=-4(舍).
答案：C
11.命題p:△ABC及點G滿足++=0；命題q：G是△ABC的重心，則p
30、是q的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件
解析：若G是△ABC的重心，由課本例題可知，++=0成立.若++=0，則+=-，可證CG必經(jīng)過AB的中點.
答案：C
12.在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，=a,=b，對任意一點M，它關(guān)于A的對稱點為S，S關(guān)于點B的對稱點為N，則用a、b表示為( )
A.2(b-a) B.(a-b) C.a+b D.(a+b)
解析：=+=2+2=2-2(四邊形OASB是平行四邊形).
答案：A
二、填空題(本大題共4小題,每小題4
31、分，共16分)
13.=3e1,=3e2,且=,則=__________________________.
解析：=3e2-3e1,==e2-e1,=+=2e1+e2.
答案：2e1+e2
14.(2006北京海淀模擬)若向量a=(3,2),b=(0,-1),則向量2a-b的坐標(biāo)是_______________；a·b=_______________________.
解析：a=(3,2),b=(0,-1),∴2a-b=(6,4)-(0,-1)=(6,5),a·b=3×0+2×(-1)=-2.
答案：(6,5) -2
15.若對n個向量a1,a2,…,an存在n個不全為零的實數(shù)
32、k1,k2,…,kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立，則稱向量a1,a2,…,an為“線性相關(guān)”.依此規(guī)定，能說明a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)“線性相關(guān)”的實數(shù)k1、k2、k3依次可以取_____________________________(寫出一組數(shù)值即可，不必考慮所有情況).
解析：設(shè)k1a1+k2a2+k3a3=0,
即k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=(0,0).
∴
∴k1=-4k3,k2=2k3.
取k3=1得一組k1、k2、k3依次為-4、2、1.
答案：-4、2、1
16.(2006江蘇南
33、京期末)若|a|=1,|b|=2,c=a-b,且c⊥a,則向量a與b的夾角為__________.
解析：∵c=a-b且c⊥a,∴c·a=0,即(a-b)·a=0,a2=a·b=1,cos〈a,b〉==.∴〈a,b〉=.
答案：
三、解答題(本大題共6小題，共74分)
17.(本小題滿分12分)已知向量a=(3，-4)，求：
(1)與a平行的單位向量b；
(2)與a垂直的單位向量c；
(3)將a繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的向量e的坐標(biāo).
解：(1)設(shè)b=λa,則|b|=1，b=(,-)或b=(-,).
(2)由a⊥c，a=(3,-4),可設(shè)c=λ(4,3),求得c
34、=(,)或c=(-,-).
(3)設(shè)e=(x,y),則x2+y2=25.
又a·e=3x-4y=|a|·|e|cos45°,即3x-4y=,由上面關(guān)系求得e=(,-)或e=(-,-).
而向量e由a繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到，故e=(,-).
18.(本小題滿分12分)已知a、b、c分別是△ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊,
(1)若△ABC面積為,c=2,A=60°,求a、b的值；
(2)若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論.
解：(1)由已知得=bcsinA=bsin60°,
∴b=1.
由余弦定理a2=b
35、2+c2-2bccosA=3,
∴a=.
(2)由正弦定理得2RsinA=a,2RsinB=b,
∴2RsinAcosA=2RsinBcosB,即sin2A=sin2B.
由已知A、B為三角形內(nèi)角，∴A+B=90°或A=B.
故△ABC為直角三角形或等腰三角形.
19.(本小題滿分12分)向量a=(1,cos2θ),b=(2,1),c=(4sinθ,1),d=(sinθ,1),其中θ∈(0,).
(1)求a·b-c·d的取值范圍；
(2)若函數(shù)f(x)=|x-1|,判斷f(a·b)與f(c·d)的大小，并說明理由.
解：(1)a·b=2+cos2θ,c·
36、d=2sin2θ+1=2-cos2θ,
∵a·b-c·d=2cos2θ,
∴0<θ<.∴0<2θ<.
∴00.
∴f(a·b
37、)>f(c·d).
20.(本小題滿分12分)△ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足下列條件：(1)A
38、c=AD+DB=4+4.
21.(本小題滿分12分)已知a=(cosθ,sinθ),b=(cosβ,sinβ),a與b之間有關(guān)系式|ka+b|=|a-kb|(k>0).
(1)用k表示a·b;
(2)求a·b的最小值，并求此時a與b夾角的大小.
解：(1)將|ka+b|=|a-kb|兩邊平方得
a·b==.
(2)∵(k-1)2≥0,又k>0,∴≥=,即a·b≥,cosα=.又0°≤α≤180°，故a與b的夾角為60°.
22.(本小題滿分14分)已知平面向量a=(，-1)，b=(,),
(1)證明a⊥b；
(2)若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使x=a+(t2
39、-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y，試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t);
(3)據(jù)(2)的結(jié)論，確定函數(shù)k=f(t)的單調(diào)區(qū)間.
(1)證明：a·b=(,-1)·(,)=-=0,∴a⊥b.
(2)解：∵x⊥y,∴x·y=0且a·b=0,a2=4,b2=1.
整理得-4k+t(t2-3)=0.
∴k=t(t2-3).
(3)解：記f(t)=(t3-3t),
∴f′(t)=t2-.
令f′(t)>0,得t<-1或t>1.
因此，當(dāng)t∈(-∞,-1)時，f(t)是增函數(shù)；
當(dāng)t∈(1,+∞)時，f(t)也是增函數(shù).
再令f′(t)<0得-1
高一數(shù)學(xué)下第5章【向量的應(yīng)用】解析與答案解析
