《高中數(shù)學(xué)定積分的概念新人教A選修》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)定積分的概念新人教A選修（24頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、會計學(xué)1高中數(shù)學(xué)定積分的概念高中數(shù)學(xué)定積分的概念 新人教新人教A選修選修 1.曲邊梯形曲邊梯形：在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線y=f(x)，直線，直線x=a、x=b及及x x軸所圍成的圖形叫做曲邊軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。梯形。Ox y a b y=f (x)一一. . 求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積x=ax=b第1頁/共24頁 因此，我們可以用這條直線因此，我們可以用這條直線L來代替點來代替點P附附近的曲線，也就是說：在點近的曲線，也就是說：在點P附近，曲線可以附近，曲線可以看作直線（即在很小范圍內(nèi)以直代曲）看作直線（即在很小范圍內(nèi)以直代曲）P放大放大再放大再放大P

2、P第2頁/共24頁 y = f(x)bax yO A1A A1.用一個矩形的面積用一個矩形的面積A A1 1近似代替曲邊梯形的面積近似代替曲邊梯形的面積A A，得得第3頁/共24頁A A1+ A2用兩個矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A，得 y = f(x)bax yOA1A2第4頁/共24頁A A1+ A2+ A3+ A4用四個矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4第5頁/共24頁 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n n個小曲邊梯形，并用小矩個小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊

3、梯形的面積，陣形的面積代替小曲邊梯形的面積， 于是曲邊于是曲邊梯形的面積梯形的面積A A近似為近似為A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,無限逼近無限逼近 第6頁/共24頁（1 1）分割）分割把區(qū)間把區(qū)間0，1等分成等分成n個小區(qū)間：個小區(qū)間：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1inix 每個區(qū)間的長度為過各區(qū)間端點作過各區(qū)間端點作x軸的垂線，從而得到軸的垂線，從而得到n個小個小曲邊梯形，他們的面積分別記作曲邊梯形，他們的面積分別記作.S,S,S,Sni21 n1n2nknnxOy2xy 例例1.求拋物線求拋物線y=x2、直線直線x=1和和x軸所圍成的軸所圍成的曲邊

4、梯形的面積曲邊梯形的面積。幾何畫板幾何畫板第7頁/共24頁（2 2） 以直代曲以直代曲n1)n1i(x)n1i(fS2i（3 3）作和）作和) 1n(210n1 n1)n1- i(n1)n1- if( SSSSS22223n1i2n1in1iin21 第8頁/共24頁（4 4）逼近）逼近。面積為，即所求曲邊三角形的所以時，亦即當(dāng)分割無限變細(xì)，即3131S31)n12)(n11 (61) 12n(n) 1n(61n1) 1n(210n1)n(0 x322223 小結(jié)小結(jié): :求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y f(x)對應(yīng)的對應(yīng)的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法（1 1）分分割割 （2 2）求面積的

5、和求面積的和 （3 3）取極限取極限 n 第9頁/共24頁利用導(dǎo)數(shù)我們解決了“已知物體運動路程與時利用導(dǎo)數(shù)我們解決了“已知物體運動路程與時間的關(guān)系，求物體運動速度”的問題反之，如果間的關(guān)系，求物體運動速度”的問題反之，如果已知物體的速度與時間的關(guān)系，如何求其在一定時已知物體的速度與時間的關(guān)系，如何求其在一定時間內(nèi)經(jīng)過的路程呢？間內(nèi)經(jīng)過的路程呢？ 問題：問題： 汽車以速度汽車以速度v組勻速直線運動時， 經(jīng)過時間組勻速直線運動時， 經(jīng)過時間t所行駛的路程為所行駛的路程為Svt 如果汽車作變速直線運動， 如果汽車作變速直線運動，在時刻在時刻t的速度為的速度為 22v tt （單位：（單位：kmkm/

6、 /h h） ，那） ，那么它在么它在 0 0t1(1(單位：單位： h)h)這段時間內(nèi)行駛的路程這段時間內(nèi)行駛的路程S（單位：（單位：kmkm）是多少？是多少？ 引入引入二、汽車行駛的路程二、汽車行駛的路程第10頁/共24頁分析：分析：與求曲邊梯形面積類似，采取與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代“以不變代變”變”的方法，把求勻變速直線運動的路程問題，化歸的方法，把求勻變速直線運動的路程問題，化歸為勻速直線運動的路程問題把區(qū)間為勻速直線運動的路程問題把區(qū)間0,1分成分成n個小個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，由于區(qū)間，在每個小區(qū)間上，由于( )v t的變化很小，可以的變化很小，可以近似的看作汽車作于

7、速直線運動，從而求得汽車在每近似的看作汽車作于速直線運動，從而求得汽車在每個小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得個小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得S（單位：（單位：kmkm）的近似值，最后讓）的近似值，最后讓n趨緊于無窮大就得到趨緊于無窮大就得到S（單（單位：位：kmkm）的精確值）的精確值 （思想：思想：用化歸為各個小區(qū)間上用化歸為各個小區(qū)間上勻速直線運動路程和無限逼近的思想方法求出勻變勻速直線運動路程和無限逼近的思想方法求出勻變速直線運動的路程） 速直線運動的路程） 第11頁/共24頁解：解：1 1分割分割 在時間區(qū)間在時間區(qū)間0,1上等間隔地插入上等間隔地插入1n個點，個點，將區(qū)間將區(qū)間

8、0,1等分成等分成n個小區(qū)間：個小區(qū)間： 10,n，1 2,n n，1,1nn 記第記第i個區(qū)間為個區(qū)間為1,(1,2, )iiinnn，其長度為，其長度為11iitnnn 把汽車在時間段把汽車在時間段10,n，1 2,n n，1,1nn上行上行駛的路程駛的路程分別記作：分別記作：1S，2S，nS 顯然，顯然，1niiSS 第12頁/共24頁（2 2）近似代替）近似代替 當(dāng)當(dāng)n很大，即很大，即t很小時，在區(qū)間很小時，在區(qū)間1,iinn上，可以認(rèn)為函數(shù)上，可以認(rèn)為函數(shù) 22v tt 的值變化很的值變化很小， 近似的等于一個常數(shù)， 不妨認(rèn)為它近似的等于左端小， 近似的等于一個常數(shù)， 不妨認(rèn)為它近似

9、的等于左端點點1in處的函數(shù)值處的函數(shù)值2112iivnn ，從從物理意義物理意義上看，上看，即使汽車在時間段即使汽車在時間段1,iinn(1,2, )in上的上的速度變化很小， 不妨認(rèn)為它近似地以時刻速度變化很小， 不妨認(rèn)為它近似地以時刻1in處的速度處的速度2112iivnn 作勻速直線運動作勻速直線運動 第13頁/共24頁即使汽車在時間段即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變即使汽車在時間段即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速” ，于是的用小矩形的面積速” ，于是的用小矩形的面積iS近似的代替近似的代替iS，則有則有 21112iiiiSSvtnnn 2112(1,2, )iinnnn 第14頁/共24

10、頁（3 3）求和）求和 由由得，得， 21111112nnnniiiiiiSSvtnnnn = =221111102nnnnnn = =222311212nn = = 3121126nnnn= =11111232nn 從而得到從而得到S的近似值的近似值 11111232nSSnn 第15頁/共24頁（4 4）取極限）取極限 當(dāng)當(dāng)n趨向于無窮大時，即趨向于無窮大時，即t趨向于趨向于 0 0 時，時，11111232nSnn 趨向于趨向于S， 從而有從而有111limlimnnnniiSSvnn 1115lim112323nnn 第16頁/共24頁思考：思考：結(jié)合求曲邊梯形面積的過程，你認(rèn)結(jié)合求曲

11、邊梯形面積的過程，你認(rèn)為汽車行駛的路程為汽車行駛的路程S 與與由直線由直線0,1,0ttv和曲線和曲線22vt 所圍成的曲邊梯形的面積有什所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？么關(guān)系？ 結(jié)合上述求解過程可知結(jié)合上述求解過程可知，汽車行駛的路程，汽車行駛的路程limnnSS在數(shù)據(jù)上等于在數(shù)據(jù)上等于由直線由直線0,1,0ttv和曲線和曲線22vt 所圍成的曲邊梯形的面積所圍成的曲邊梯形的面積 思考思考第17頁/共24頁一般地，如果物體做變速直線運動，速度函一般地，如果物體做變速直線運動，速度函數(shù)為數(shù)為 vv t， 那么我們也可以采用分割、 近似代， 那么我們也可以采用分割、 近似代替、求和、取極限的方

12、法，利用“以不變代變”替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無限逼近的思想，求出它在的方法及無限逼近的思想，求出它在a atb b內(nèi)內(nèi)所作的位移所作的位移S 結(jié)論結(jié)論第18頁/共24頁練習(xí)：練習(xí)：彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量成正比， 即力成正比， 即力 F xkx（k為常數(shù)，為常數(shù)，x是伸長量） ，是伸長量） ，求彈簧從平衡位置拉長求彈簧從平衡位置拉長b所作的功所作的功 分析：分析：利用“以不變代變”的思想，采用分割、近似代替、求和、取極限的方法求解 練習(xí)練習(xí)第19頁/共24頁解：解： 將物體用常力將物體用常力F沿力的方向移動距離沿力的方向移動距離x

13、，則所，則所作的功為作的功為WF x （1 1） 分割 分割 在區(qū)間在區(qū)間0,b上等間隔地插入上等間隔地插入1n個點，個點，將區(qū)間將區(qū)間0,1等分成等分成n個小區(qū)間：個小區(qū)間： 0,bn，2,bbnn，1,nbbn 記第記第i個區(qū)間為個區(qū)間為1,(1,2, )ib i binnn， 其長度為其長度為1ibi bbxnnn 把在分段把在分段0,bn， 第20頁/共24頁（2 2）近似代替）近似代替 有條件知：有條件知：11iibib bWFxknnn (1,2, )in 2,bbnn，1,nbbn上所作的功上所作的功分別記作：分別記作：1W，2W，nW （3 3）求和）求和 111nnniiii

14、b bWWknn 第21頁/共24頁= =220 121kbnn 22211122n nkbkbnn 從而得到從而得到W的近似值的近似值 2112nkbWWn （4 4）取極限）取極限 2211limlimlim122nninnnikbkbWWWn 所以得到彈簧從平衡位置拉長所以得到彈簧從平衡位置拉長b所作的功為：所作的功為：22kb 第22頁/共24頁2)(xxfnini,1C1、當(dāng)、當(dāng)n很大時，函數(shù)很大時，函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的值，可以用上的值，可以用( )近似代替近似代替 A. B.C. D.)1(nf)2(nf)(nif 0f1,iixx2、在、在“近似代替近似代替”中，函數(shù)中，函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間 上上的近似值等于（的近似值等于（ ）A.只能是左端點的函數(shù)值只能是左端點的函數(shù)值B.只能是右端點的函數(shù)值只能是右端點的函數(shù)值 C.可以是該區(qū)間內(nèi)任一點的函數(shù)值可以是該區(qū)間內(nèi)任一點的函數(shù)值D.以上答案均不正確以上答案均不正確)(ixf)(1ixf),)(1iiiixxfC第23頁/共24頁