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1、word 第二十講容斥原理〔2〕 [知識提要] 前面講述過簡單的容斥原理，“容〞就是相容，相加，而“斥〞就是相斥，相減，容斥原理作為一種計數方法，說簡單點，就是從多的往下減，減過頭了在加回來，加多了再減，減多了再加……最終得到正確結果。對于計數中容易出現重復的題目，我們常常采用容斥原理，去掉重復的情況。應用于計數集合劃分有重疊，無法簡單應用加法原理的情況下。 在計數時，為了使重疊局部不被重復計算，人們研究出一種新的計數方法，這種方法的根本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來，然后再把計數時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復，這種計數

2、的方法稱為容斥原理。 如果被計數的事物有A、B兩類，那么，具體公式為: A類或B類元素個數= A類元素個數+ B類元素個數—既是A類又是B類的元素個數。 如果被計數的事物有A、B、C三類，那么，具體公式為: A類或B類或C類元素個數= A類元素個數+ B類元素個數+C類元素個數—既是A類又是B類的元素個數—既是A類又是C類的元素個數—既是B類又是C類的元素個數+既是A類又是B類而且是C類的元素個數。 有了以上的容斥原理,一些看起來頭緒很多的問題就可以比擬方便地得到解決。 [經典例題] [例1]五〔1〕班有學生42人，參加體育代表隊的有30人，參加文藝代表隊的25人，并且

3、每個人都至少參加了一個隊，這個班兩隊都參加的有幾個人？ [分析]我們可以畫一個圖幫助思考，畫兩個相交的圓圈: 其中一個表示體育代表隊，另一個表示文藝代表隊，那么兩圓的內部共有42人，而體育代表隊的圓中有30人，文藝代表隊的圖中有25人，但：30+25=55>42，這是因為兩隊都參加的人被計算了兩次，因此55-42=13，即是兩隊都參加的人數。 [解答] 解：〔30+25〕-42=13〔人〕 答：兩隊都參加的有13人。 [評注]可能有很多同學還是剛剛接觸容斥原理，所以我們用圖形來形象地描繪整個問題。當容斥原理的題目做多了之后，很多根本的題目就不再需要一個一個的畫圖了。但是，當遇到復

4、雜的問題時，圖形還是幫助我們理解和解決問題的一個幫手。 [舉一反三] 1、某班學生每人家里至少有空調和電腦兩種電器中的一種，家中有空調的有41人，有電腦的有34人，二者都有的有27人，這個班有學生多少人？ 2、六年級共有96人，兩種刊物每人至少訂其中一種，有的人訂《少年報》，有的人訂《數學報》，兩種刊物都訂的有多少人？ 3、森林中住著很多動物，據說獅子大王派仙鶴去統(tǒng)計鳥的種數，蝙蝠跑去說：“我有翅膀，我算鳥類。〞仙鶴把蝙蝠統(tǒng)計進去了，結果得出森林中共有80種鳥類，獅子大王又派大象去統(tǒng)計獸類的種數，蝙蝠又跑去說：“我沒有羽毛，我應該算獸類。〞大家又把蝙蝠算為獸類，統(tǒng)計出森林中共有70種獸

5、類。最后獅子大王問：森林中共有鳥類和獸類多少種？狐貍軍師聽了仙鶴和大象的統(tǒng)計結果，向獅子大王報告：“森林中鳥類與獸類共計150種。〞 聽了上面的故事，請你說說狐貍軍師這樣統(tǒng)計對嗎？為什么，正確的答案應該是多少種呢？ [思路拓展] [例2]在一個炎熱的夏日，幾個小朋友去冷飲店，每人至少要了一樣冷飲，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的沒有，只要汽水和雪碧的有1人；三樣都要的有1人。問：共有幾個小朋友去了冷飲店？ [分析]：根據題意畫圖。 [解答]方法一：〔人〕 方法二：〔人〕 答：共有10個小朋友去了冷飲店。 [評

6、注]這道題目變成了三種事件，我們仍然可以用圖形來簡單的描述。只要同學們能夠明白每一種人的數量應該填在哪個空位里，題目就變得非常容易了。同學們還要注意的一點是，最外圈的6，6，4三個數，并不是指的數字所在X圍里的人數，而是指的整個圓里〔即買了某種冷飲而并非只買這種冷飲〕的人數。另外，方法二里，為什么要減去1×2，同學們能明白嗎？ [舉一反三] 1， 三年級一班的同學們報名參加趣味體育運動會，比賽內容共三項，分別是跳繩、拍球跑和踢毽子，每個人至少報了一項。報跳繩的有15人，報拍球跑的有18人，報踢毽子的有20人，同時包跳繩和拍球跑的有8人，同時報跳繩和踢毽子的有5人，沒有報了拍球跑和踢毽子，但

7、是沒報跳繩的同學。三樣都報的有2人。那么三年級一班有多少名同學呢？ 2， 班里組織了一次語數外三科的小測驗，每名同學都至少有一門得總分為，但是沒有人拿到三個總分為。語文得總分為的有10人，數學得總分為的有20人，外語得總分為的有25人，語文數學都得總分為的有6人，數學外語都得總分為的有12人，語文外語都得總分為的有2人。那么全班一共有多少人？ 3， 一次中、美、俄三方的學術交流會上，有28人會說中文，有25人會說英文，有20人會說俄文，有13人會說中文和英文，有10人會說中文和俄文，有6人會說英文和俄文，僅有大會組織者一人三種語言全會。那么這次交流會一共有多少人參與？ [例3] 某班同學

8、參加升學考試，得總分為的人數如下：數學20人，語文20人，英語20人，數學、英語兩科總分為者8人，數學、語文兩科總分為者7人，語文、英語兩科總分為者9人，三科都沒得總分為者3人。問這個班最多多少人？最少多少人？ [分析]分析與解：根據題意畫圖。 [解答] 設三科都得總分為者為x 全班人數 整理后：全班人數＝39＋x 39+x表示全班人數，當x取最大值時，全班人數就最多，當x取最小值時，全班人數就最少。x是數學、語文、英語三科都得總分為的同學，因而x中的人數一定不超過兩科得總分為的人數，即且，由此我們得到。另一方面x最小可能是0，即沒有三科都得總分為的。 當x取最

9、大值7時，全班有人，當x取最小值0時，全班有39人。 答：這個班最多有46人，最少有39人。 [評注]這道題目里，我們不知道三科都得總分為者的人數，也就無法直接用容斥原理來計算班里的總人數。但是我們可以假設出三科都得總分為的人數，再利用包含原如此，即三科都得總分為的人數不能小于0，也不能超過某兩科得總分為的人數，從而確定了三科都總分為的人數的一個X圍，再代入全班人數的計算式子，便可得出最多的人數與最少的人數。遇到這種需要假設的題目，同學們一定要注意設，并且要知道設哪個。如果這道題目假設了語文、數學得總分為但英語沒得總分為的人數，雖然也能計算，但是會麻煩很多。 [舉一反三] 1， 在四年

10、級二班里，有25名男生，有30名少先隊員，有13名三好學生。男少先隊員有12人，男三好學生有6人，少先隊員里的三好學生有5人，有3名女生既不是少先隊員又不是三好學生。那么四年級二班最少有多少人，最多有多少人？ 2， 某公司的員工為地震災區(qū)捐款、獻血和游行鼓勵，每位員工至少參加了一項。捐款的有40人，獻血的有35人，游行的有25人，捐款、獻血但是沒有游行的有8人，捐款、游行但是沒有獻血的有12人，同時獻血和游行的有10人。那么這個公司最少有多少名員工，最多又有多少名呢？ 3， 小玉在黑板上寫下了一些數，其中每個數都至少能被2、3、5之一整除。被2整除的數有10個，被3整除的數有9個，被5整除

11、的數有6個。被2、3整除但是不被5整除的有4個，被2、5整除但是不被3整除的有3個、被3、5整除但是不被2整除的有2個。那么小玉最少寫下了幾個數？最多又寫下了幾個呢？ [例4]有28人參加田徑運動會，每人至少參加跑、跳、投中的兩種比賽。有8人沒參加跑的項目，參加投擲項目的人數與參加跑和跳兩項的人數都是17人。問：只參加跑和投擲兩項的有多少人？ [分析]“每人至少參加兩項比賽〞說明沒有不參加的，也沒有參加一項比賽的，我們可以在如下圖中參加一項的區(qū)域用0表示。 [解答]〔人〕 答：只參加跑和投擲兩項的有3人。 [評注]在畫出象形圖并且標注了各個區(qū)域的人數和需要求的區(qū)域的人數之后，題目

12、就變得很清楚了。當然，這道題目也可以這么想：只參加跑和投擲的，就是沒有參加跳的項目的人數。而參加了跳類項目的人數，又可以分為參加了跑的和沒參加跑的，后者就是只參加了跳和投擲的人數，前者就是參加了跑和跳的人數。這樣也能計算出結果，但是畢竟不如我們畫圖來得清晰與直接。 [舉一反三] 1， 有28人參加田徑運動會，沒有人同時參加跑、跳、投三種比賽。有20人參加了跑的項目，參加投擲項目的人數與參加跑和跳兩項的人數都是10人，只參加跳項目的有5人。問：只參加跑和投擲兩項的有多少人？ 2， 56名小朋友，每名小朋友胸前都戴著紅、白、藍三種顏色的花，每人每種花至多戴一朵。有30名小朋友戴了紅花，有15

13、名小朋友戴了白花和藍花，只戴一種花的有21人，他們中戴每個顏色的花的人數都一樣。那么有多少名小朋友三種花都戴了呢？ 3， 一次聚會，對參與聚會的人規(guī)定，如果穿了西服，打了領帶，如此必須穿黑皮鞋。來的50人里穿西服、打領帶、穿黑皮鞋的各有20人，穿西服和黑皮鞋的有12人，穿黑皮鞋打領帶但是沒有穿西服的有6人。那么有多少人沒穿西服，沒打領帶，并且沒穿黑皮鞋？ [例5]某校六年級二班有49人參加了數學、英語、語文學習小組，其中數學有30人參加，英語有20人參加，語文小組有10人。教師告訴同學既參加數學小組又參加語文小組的有3人，既參加數學又參加英語和既參加英語又參加語文的人數均為質數，而三種全參

14、加的只有1人，求既參加英語又參加數學小組的人數。 [分析]根據條件畫出圖。 [解答]三圓蓋住的總體為49人，假設既參加數學又參加英語的有x人，既參加語文又參加英語的有y人，可以列出這樣的方程： 整理后得： 由于x、y均為質數，因而這兩個質數中必有一個偶質數2，另一個質數為7。 答：既參加英語又參加數學小組的為2人或7人。 [評注]所以，我們應該按容斥原理的方法來解決此問題。用容斥原理的那一個呢？想一想，被計數的事物有那幾類？每一類的元素個數是多少？另外，這道題目也幫助我們復習了質數與合數的概念和性質。 [舉一反三] 1， 某校五年級三班有51人參加了數學、英語、語文學習小

15、組，其中數學有30人參加，英語有20人參加，語文小組有20人。教師告訴同學既參加數學小組又參加語文小組的有8人，既參加數學又參加英語和既參加英語又參加語文的人數均為質數，而三種全參加的只有1人，求既參加英語又參加數學小組的人數。 2， 27塊立方體，每個都用紅、黃、藍三種顏料中的一種或幾種涂上了色。涂了紅色的有21塊，涂了黃色和藍色的立方體個數都各自是一個整數的平方。同時涂了紅、黃兩色的有10塊，同時涂了黃、藍兩色的有3塊，同時涂了紅、藍兩色的有2塊。僅有一塊立方體三種顏色都涂了。那么有多少塊涂了黃色呢？ 3， 有20名同學，愛唱歌的有8人，愛跳舞的有9人，愛演奏樂器的有10人，愛唱歌跳舞

16、的有5人，愛唱歌和演奏樂器的有4人，愛跳舞和演奏樂器的有5人。三種都愛的和三種都不愛的同學的個數都是一個質數，那么有多少名同學至少有一個愛好？ [例6] 有25人參加跳遠達標賽，每人跳三次，每人至少有一次達到優(yōu)秀。第一次達到優(yōu)秀的有10人，第二次達到優(yōu)秀的有13人，第三次達到優(yōu)秀的有15人，三次都達到優(yōu)秀的只有1人。只有兩次達到優(yōu)秀的有多少人？ [分析]“每人至少有一次達到優(yōu)秀〞說明沒有三次都沒達到優(yōu)秀的。要求只有兩次達到優(yōu)秀的人數，就是求重疊兩層的局部〔圖中陰影局部〕。 [解答]〔人〕 答：只有兩次達到優(yōu)秀的有11人。 [評論]這道題目，圖形對我們的幫助依然很大。通過畫圖，我

17、們就可以清晰地看出如何在容斥中進展扣除。準確地畫出“只有兩次達到優(yōu)秀〞的人數在圖中的位置，是解決此問題的關鍵。 [舉一反三] 1、學校先后舉行數學、作文、自然三科競賽，某班有25人報名參加。其中14人參加數學競賽，12人參加作文競賽，10人參加自然競賽，并且有4人參加數學作文兩科競賽，有2人參加數學、自然兩科競賽；只有1人三科競賽都參加。問有多少人參加作文、自然兩科的競賽？ 2、有A、B、C三本書，至少讀過其中一本的有20人，讀過A書的有10人，讀過B書的有12人，讀過C書的有15人，讀過A、B兩書的有12人，讀過B、C兩書的有9人，讀過A、C兩書的有7人，三本書全都讀過有多少人？ 3

18、、某班四年級時，五年級時和六年級時分別評出10名三好學生，又知四、五年級連續(xù)三好生4人，五、六年級連續(xù)三好生3人，四年級、六年級兩年評上三好生的有5人，四、五、六三年沒評過三好生的有20人，問這個班最多有多少名同學，最少有多少名同學？ [例7] 在1到1000的自然數中，能被3或5整除的數共有多少個？不能被3或5整除的數共有多少個？ [分析]顯然，這是一個重復計數問題〔當然，如果不怕麻煩你可以分別去數3的倍數，5的倍數〕。我們可以把“能被3或5整除的數〞分別看成A類元素和B類元素，能“同時被3或5整除的數〔15的倍數〕〞就是被重復計算的數，即“既是A類又是B類的元素〞。求的是“A類或B

19、類元素個數〞?，F在我們還不能直接計算，必須先求出所需條件。1000÷3=333……1，能被3整除的數有333個。同理，可以求出1000÷5=200，能被5整除的數有200個?？梢郧蟪?000÷15=66……10，能被15整除的數有66個。 [解答]333+200-66=467(個) 1000+66-333-200=533(個) 答：在1到1000的自然數中，能被3或5整除的數共有467個；不能被3或5整除的數共有533個。 [評注]這樣的題目在考試中經常會出現。被什么數整除，其實等于既告訴了各自集合的元素個數，也告訴了公共局部的元素個數。此外，這道題目和數論還要一些聯系，同學們要注意知

20、識的關聯呦。 ?[舉一反三] 1、在1到10000這10000個自然數中，即不能被8整除也不能被125整除的數有多少個？ 2、分母是1001的最簡分數一共有多少個？ 3、求在1~100的自然數中不是5的倍數也不是6的倍數的數有多少個？ [例8]50名學生面向教師站成一行，按教師的口令從左往右依次報數：1、2、3……50。報完后，教師讓所報數是4的倍數的同學向后轉，接著又讓所報數是6的倍數的同學向后轉。問：現在仍然面向教師的有多少名同學？ [分析] 面向教師的學生有兩種情況：一是兩次都沒有向后轉的學生；二是兩次都向后轉的學生。所以此題可求出只向后轉一次的學生數，用學生總數減去這個

21、數字就可得出結果。 [解答]因為50÷4=12.5，即1至50這50個數中，有12個數是4的倍數。同樣，50÷6=8……2，即這些數中，有8個數是6的倍數。但50÷12=4……2，即這些數中，有4個數既是4的倍數又是6的倍數。 所以，向后轉一次的學生數=12+8-4=16〔名〕 最后面向教師的學生數=50-16=34〔名〕 答：還有34名學生面向教師。 [評注]這道題目將不單單是求兩次都轉向或者是兩次都不轉向的同學人數。由于轉向的特殊性，需要求這兩類同學的人數和。當然，這仍然只需要利用公式將每一局部的人數求出再求和即可。當總人數增多時，必須利用容斥原理才能得出結論。 [舉一

22、反三] 1， 20名學生面向教師站成一行，按教師的口令從左往右依次報數：1、2、3……20。報完后，教師讓所報數是3的倍數的同學向后轉，接著又讓所報數是質數的同學向后轉。問：現在仍然面向教師的有多少名同學？ 2， 200名學生，每名學生有一個學號，分別是1、2、3……200。現在他們全部面對教學樓站好，接著讓學號是4的倍數的同學向后轉，接著又讓學號是5的倍數的同學向后轉，接著再讓學號是6的倍數的同學向后轉。問：現在仍然面向教學樓的有多少名同學？ 3， 馬路上有40盞燈連成一排，每盞燈的底下都有一個開關，現在所有燈都是亮著的。小成從第一盞燈數起，每隔4盞燈就按一盞燈的開關。等小成按完后，小

23、亮也從第一盞燈數起，每隔3盞燈就按一盞燈的開關。當他們都按完后，還有多少盞燈是亮的？ [例9]在一根長的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種將木棍分成12等份，第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？ [分析]很顯然，要計算木棍被鋸成多少段，只需要計算出木棍上共有多少條不同的刻度線，在此根底上加1就是段數了。 假如按將木棍分成10等份的刻度線鋸開，木棍有9條刻度線。在此木棍上加上將木棍分成12等份的11條刻度線，顯然刻度線有重復的，如5/10和6/12都是1/2。同樣再加上將木棍分成15等份的刻度線，也是如此。所以，我們應該按容斥

24、原理的方法來解決此問題。 [解答] 第一種和第二種刻度線重合的次數為(10,12)-1=1〔次〕 第二種和第三種刻度線重合的次數為(12,15)-1=2〔次〕 第一種和第三種刻度線重合的次數為(10,15)-1=4〔次〕 三種刻度線一起重合的次數為(10,12,15)-1=0〔次〕 因此最后實際上有(10-1)+(12-1)+(15-1)-1-2-4+0=27〔條〕刻度線 因此木棍一共被鋸成了27+1=28〔段〕 答：木棍總共被鋸成28段。 [評注]這道題目不但要注重容斥原理的使用，還要注意計算每種刻度線的個數時存在一個植樹問題，這實際上也是兩類數學問題的結合。 ?[舉一反

25、三] 1、文宮中心校參加大型團體操的同學共240名，他們面對教練站成一排，自左至右按1，2，3，4……依次報數，教練讓每個同學記住自己報的數，并做以下動作：先讓報數是3的倍數的學生向后轉，接著又讓報數是5的倍數的學生向后轉，最后讓報數是7的倍數的學生向后轉，問此時還有多少名學生面對教練？ 2、邊長為2的正方形與邊長為3的正方形，如下列圖放在桌面上，它們所蓋住的面積有多大？ 3、邊長分別為6，5，2的三個正方形，如下列圖放在桌面上。問它們蓋住的面積是多大？ [本章小結] 容斥原理說簡單點,就是從多的往下減,減過頭了在加回來,加多了再減,減多了再加……,最終得到正確結果。對

26、于計數中容易出現重復的題目,我們常常采用容斥原理,去掉重復的情況。 同學們在使用容斥原理時，必須要分析清楚不同類的元素。 對于有兩類元素的問題，要分清： 哪些是A類元素？哪些是B類元素？哪些既是A類又是B類的元素？ 對于有兩類元素的問題，如此要分清： 哪些是A類元素？哪些是B類元素？哪些是C類元素？哪些既是A類又是B類的元素？哪些既是A類又是C類的元素？哪些既是B類又是C類的元素？哪些既是A類又是B類而且是C類的元素？ 這樣，才能夠正確地解決問題。 [本章自測] 1、某大學某班學生總數為32人，在第一次考試中有26人與格，在第二次考試中有24人與格，假如兩次考試中，都沒有與格

27、的有4人，那么兩次考試都與格的人數是多少？ 2、一次期末考試，某班有15人數學得總分為，有12人語文得總分為，并且有4人語、數都是總分為，那么這個班至少有一門得總分為的同學有多少人？ 3、在100個學生中，愛好音樂的有58人，愛好體育的有75人。那么，既愛好音樂又愛好體育的，至少有多少人？至多有多少人？ 4、某班45名同學參加體育測試，其中百米得優(yōu)者20人，跳遠得優(yōu)者18人，又知百米、跳遠都得優(yōu)者7人，跳高、百米得優(yōu)者6人，跳高、跳遠均得優(yōu)者8人，跳高得優(yōu)者22人，全班只有1名同學各項都沒達優(yōu)秀，求三項都是優(yōu)秀的人數。 5、某班學生手中分別拿有紅、黃、藍三種顏色的球。手中有紅球的共有

28、34人，手中有黃球的共有26人，手中有藍球的共有18人。其中手中有紅、黃、藍三種球的有6人。而手中只有紅、黃兩種球的有9人，手中只有黃、藍兩種球的有4人，手中只有紅、藍兩球的有3人，那么這個班共有多少人？ 6、有40名運動員，其中有25人會摔跤，有20人會擊劍，有10人擊劍、摔跤都不會，問既會摔跤、又會擊劍的運動員有多少人？ 7、某次語文競賽共有五道題〔總分為不是100分〕，丁一只做對了〔1〕、〔2〕、〔3〕三題得了16分；于山只做對了〔2〕、〔3〕、〔4〕三題，得了25分；王水只做對了〔3〕、〔4〕、〔5〕三題，得了28分，X燦只做對了〔1〕、〔2〕、〔5〕三題，得了21分，李明五個題都

29、對了他得了多少分？ 8、某校六〔1〕班有學生54人，每人在暑假里都參加體育訓練隊，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有34人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有18人，排球、游泳都參加的有14人，問：三項都參加的有多少人？ 9、某校參加數學競賽有120名男生，80名女生，參加語文競賽的有120名女生，80名男生，該?？偣灿?60名學生參加競賽，其中75名男生兩科教參加了，那么只參加數學競賽而沒有參加語文競賽的女生有多少人？ 10、某單位有青年員工85人，其中68人會騎自行車，62人會游泳，既不會騎車又不會游泳的有12人，如此既會騎車又會游泳的有多少

30、人 11、六〔一〕班60名同學，參加乒乓球賽的40人，參加足球賽的45人，參加籃球賽的48人，三項都參加的22人，問至多有幾人三項都未參加？ 12、電視臺向100人調查前一天收看電視的情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，11人兩個頻道都看過。兩個頻道都沒看過的有多少人？ 13、對某單位的100名員工進展調查，結果發(fā)現他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，如此只喜歡看電影的有多少人？ 14、某校組織棋類比賽，分成圍棋、中國象棋和國際象棋三

31、個組進展。參加圍棋比賽的共有42人，參加中國象棋比賽的共有51人，參加國際象棋比賽的共有30人。同時參加了圍棋和中國象棋比賽的共有13人，同時參加了圍棋和國際象棋比賽的7人，同時參加了中國象棋和國際象棋比賽的11人，其中三種棋賽都參加的3人。問參加棋類比賽的共有多少人？ 15、某年級的課外小組分為美術、音樂、手工三個小組，參加美術小組有20人，參加音樂小組有24人，參加手工小組有31人，同時參加美術和音樂兩個小組有5人，同時參加音樂和手工兩個小組有6人，同時參加美術和手工兩個小組的有7人，三個小組都參加的有3人，這個年級參加課外小組的同學共有多少人? 16、某校有學生960人，其中510人

32、訂閱《中國少年報》，330人訂閱《少年文藝》；120人訂閱《中小學數學報》；其中有270人訂閱兩種報刊，有58人訂閱三種報刊。問這個學校沒有訂閱任何報刊的學生有多少人？ 17、某大學有外語教師120名，其中教英語的有50名，教日語的有45名，教法語的有40名，有15名既教英語又教日語，有10名既教英語又教法語，有8名既教日語又教法語，有4名教英語、日語和法語三門課，如此不教三門課的外語教師有多少名？ 18、從1到100的自然數中， 　　〔1〕不能被6和10整除的數有多少個？ 〔2〕至少能被2，3，5中一個數整除的數有多少個？ 19、分母是385的最簡真分數共有多少個？ 20、一次會議有1990名數學家參加，每人至少有1327位合作者，求證：可以找到4個數學家，他們中每兩個人都合作過。 9 / 9