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1、 課時訓練(二十一)　直角三角形與勾股定理 (限時:30分鐘) |夯實基礎(chǔ)| 1.能說明命題“對于任何實數(shù)a,|a|>-a”是假命題的一個反例可以是 ( ) A.a=-2 B.a= C.a=1 D.a= 2.[2018·青島] 如圖K21-1,已知三角形紙片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,點E為AB中點.沿過點E的直線折疊,使點B與點A 重合,折痕EF交BC于點F.已知EF=,則BC的長是 (　　) 圖K21-1 A. B.3 C.3 D.3 3.

2、木桿AB斜靠在墻壁上,當木桿的上端A沿墻壁NO豎直下滑時,木桿的底端B也隨之沿著射線OM方向滑動.下列圖中 用虛線畫出木桿中點P隨之下落的路線,其中正確的是 ( ) 圖K21-2 4.[2017·湖州] 如圖K21-3,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,點P是Rt△ABC的重心,則點P到AB所在直線的 距離等于 (　　) 圖K21-3 A.1 B. C. D.2 5.[2016·連云港] 如圖K21-4①,分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形,面積分別為S1,S2,S3;如圖②,

3、分別以直角三 角形三個頂點為圓心,三邊長為半徑向外作圓心角相等的扇形,面積分別為S4,S5,S6.其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14,則 S3+S4= ( ) 圖K21-4 A.86 B.64 C.54 D.48 6.[2017·十堰] 如圖K21-5,已知圓柱的底面直徑BC=,高AB=3,小蟲在圓柱表面爬行,從C點爬到A點,然后再沿另一面 爬回C點,則小蟲爬行的最短路程為 (　　) 圖K21-5 A.3 B.3

4、 C.6 D.6 7.[2018·德州] 如圖K21-6,OC為∠AOB的平分線,CM⊥OB,OC=5,OM=4,則點C到射線OA的距離為　　　　.? 圖K21-6 8.如圖K21-7,在△ABC中,∠ACB=90°,M,N分別是AB,AC的中點,延長BC至點D,使CD=BD,連接DM,DN,MN.若AB=6, 則DN=　　　　.? 圖K21-7 9.如圖K21-8所示,△ABC中,CD⊥AB于點D,E是AC的中點,若AD=6,DE=5,則CD的長等于　　　　.? 圖K21-8 10.[2017·麗水] 我國三國時期數(shù)學家趙爽為了證

5、明勾股定理,繪制了一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”,如圖K21-9①所 示.在圖②中,若正方形ABCD的邊長為14,正方形IJKL的邊長為2,且IJ∥AB,則正方形EFGH的邊長為　　　　.? 圖K21-9 11.如圖K21-10,折疊矩形紙片ABCD,得折痕BD,再折疊使AD邊與對角線BD重合,得折痕DF.若AB=4,BC=2,則 AF=　　　　.? 圖K21-10 12.如圖K21-11,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,點D在BC邊上,且△ABD是等邊三角形.若AB=2,求△ABC的周長.(結(jié)果保留 根號) 圖K21-11

6、 |拓展提升| 13.[2018·成都] 如圖K21-12,在矩形ABCD中,按以下步驟作圖:①分別以點A和C為圓心,以大于AC的長為半徑作弧, 兩弧相交于點M和N;②作直線MN交CD于點E,若DE=2,CE=3,則矩形的對角線AC的長為　　　　.? 圖K21-12 14.[2018·重慶A卷] 如圖K21-13,把三角形紙片折疊,使點B,點C都與點A重合,折痕分別為DE,FG,得到∠AGE=30°,若 AE=EG=2厘米,則△ABC的邊BC的長為　　　　厘米.? 圖K21-13 15.[2018·衡陽] 如圖K21-14,在Rt△ABC中

7、,∠C=90°,AC=BC=4 cm,動點P從點C出發(fā)以1 cm/s的速度沿CA勻速運動, 同時動點Q從點A出發(fā)以 cm/s的速度沿AB勻速運動,當點P到達點A時,點P,Q同時停止運動.設運動時間為t(s). (1)當t為何值時,點B在線段PQ的垂直平分線上? (2)是否存在某一時刻t,使△APQ是以PQ為腰的等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由. (3)以PC為邊,往CB方向作正方形CPMN,設四邊形QNCP的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式. 圖K21-14 參考答案 1.A　[解析] 說明命題“

8、對于任何實數(shù)a,|a|>-a”是假命題的一個反例可以是a=-2,|-2|=2. 故選A. 2.B　[解析] ∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=45°.由折疊的性質(zhì)可得∠BEF=90°,∴∠BFE=45°,∴BE=EF=. ∵點E為AB中點,∴AB=3,∴AC=3.在Rt△ABC中,BC===3.故選B. 3.D　[解析] 如圖,連接OP,由于OP是Rt△AOB斜邊上的中線,所以OP=AB,不管木桿如何滑動,它的長度不變,即OP是一個定值,點P就在以O為圓心,以OP長為半徑的一段圓弧上,所以點P下落的路線是一段弧線.故選D 4.A　[解析] 在Rt△ABC中,連接CP并延長至

9、AB于點D,由三角形的重心性質(zhì)得到,重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2∶1,即CP∶PD=2∶1.又∵AC=BC,在等腰直角三角形ABC中,由三線合一,得到CD垂直平分線段AB,AB=6,∴CD=BD=3,點P到AB所在直線的距離即為PD的長度,即PD=1. 5.C　[解析] 如圖①,S1=AC2,S2=AB2,S3=BC2. ∵AB2=AC2+BC2, ∴S1+S3=AC2+BC2=AB2=S2, ∴S3=S2-S1. 如圖②,易求S4=S5+S6,∴S3+S4=S2-S1+S5+S6=45-16+11+14=54. 故選C. 6.D　[解析] 把圓柱

10、側(cè)面展開,展開圖如圖所示,點A,C的最短距離為線段AC的長.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,∵CB為底面半圓弧長,∴CB=3,∴AC=3,∴從C點爬到A點,然后再沿另一面爬回C點,則小蟲爬行的最短路程為2AC=6. 7.3　[解析] 因為CM⊥OB,OC=5,OM=4,所以CM=3,過點C作CN⊥OA于N,又因為OC為∠AOB的平分線,CM⊥OB,所以CN=CM=3,即點C到射線OA的距離為3. 8.3　[解析] 連接CM, ∵M,N分別是AB,AC的中點, ∴NM=CB,MN∥BC.又CD=BD, ∴MN=CD.又MN∥BC, ∴四邊形DCM

11、N是平行四邊形,∴DN=CM. ∵∠ACB=90°,M是AB的中點, ∴CM=AB=3,∴DN=3. 9.8　[解析] ∵CD⊥AB于點D,∴∠ADC=90°.點E是Rt△ADC斜邊上的中點,∴DE是Rt△ADC斜邊上的中線,根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可得DE=AE=CE=5,∴AC=10.因此CD==8. 10.10　[解析] 設直角三角形的勾(較短的直角邊)為a,股(較長的直角邊)為b,根據(jù)題意得解得由勾股定理得直角三角形的弦(斜邊)為==10,即正方形EFGH的邊長為10. 11.-1　[解析] 在Rt△ABD中,AB=4,AD=BC=2,∴BD===2,由折疊的性質(zhì)可得,△A

12、DF≌ △EDF,∴ED=AD=2,EF=AF,∴EB=BD-ED=2-2,設AF=x,則EF=AF=x,BF=4-x,在Rt△EBF中,x2+(2-2)2=(4-x)2,解得x=-1,即AF=-1. 12.解:∵△ABD是等邊三角形,∴∠B=60°. ∵∠BAC=90°,∴∠C=180°-90°-60°=30°,∴BC=2AB=4.在Rt△ABC中,由勾股定理得 AC===2, ∴△ABC的周長=AC+BC+AB=2+4+2=6+2. 13.　[解析] 連接AE,由作圖可知MN為線段AC的垂直平分線,∴AE=CE=3,在Rt△ADE中,AE2=AD2+DE2, ∴AD==,

13、在Rt△ADC中,AC2=AD2+CD2, ∵CD=DE+CE=5,∴AC==. 14.(4+6)　[解析] 如圖,過點E作EM⊥AG于點M,則由AE=EG,得AG=2MG. ∵∠AGE=30°, EG=2厘米, ∴EM=EG=(厘米). 在Rt△EMG中,由勾股定理,得 MG==3(厘米),從而AG=6厘米. 由折疊可知,BE=AE=2厘米,GC=AG=6厘米. ∴BC=BE+EG+GC=2+2+6=4+6(厘米). 15.[解析] (1)由題意知CP=t,AQ=t,進而得出BQ=4-t,BP=,點B在線段PQ的垂直平分線上,則有BQ=BP,即4-t=,解方程即可

14、求出t值; (2)應分兩種情況討論:①若AQ=PQ,∠AQP=90°;②若AP=PQ,∠APQ=90°,分別用t表示出AP的長,利用AP+PC=4,建立方程,求解即可; (3)連接QM,過Q作QG⊥AC于G,則△AQG為等腰直角三角形,且QG=AG=t,結(jié)合題意可證得四邊形QMPG為矩形,從而得出Q,M,N三點共線,所以四邊形QNCP為梯形,然后由QN=BN=4-t,CP=CN=t,利用梯形的面積公式求出四邊形QNCP的面積即可. 解:(1)由題意可知:CP=t,AQ=t. ∵∠C=90°,AC=BC=4, ∴AB===4. ∴BQ=4-t. 如果點B在線段PQ的垂直平分線上,則

15、BQ=BP,∴4-t=,∴t1=8-4,t2=8+4>4,舍去. ∴當t=(8-4)s時,點B在線段PQ的垂直平分線上. (2)假設存在某一時刻t,使得△APQ是以PQ為腰的等腰三角形. 如圖①, ① 若AQ=PQ,則∠AQP=90°,AP=AQ=2t, ∴2t+t=4,即t=. 如圖②, ② 若AP=PQ,則∠APQ=90°,AP=PQ=t, ∴AP+PC=2t=4,即t=2. ∴存在t=或t=2,使△APQ是以PQ為腰的等腰三角形. (3)如圖③,連接QM,過Q作QG⊥AC于G,則△AQG為等腰直角三角形, ③ ∴QG=AG=t.∵四邊形PMNC是正方形, ∴PM=CN=PC=t. ∵QG∥CN,QG=t, ∴四邊形QMPG為矩形. ∴∠QMP=90°. ∴Q,M,N三點共線. ∴四邊形QNCP為梯形. ∵QN=BN=4-t,CP=CN=t, ∴四邊形QNCP的面積S=·CN=(4-t+t)t=2t(0