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河南省2019年中考數(shù)學專題復習 專題四 與圓有關的計算訓練

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1、專題四 與圓有關的計算 類型一 與切線有關的簡單證明與計算 (2018·昆明)如圖,AB是⊙O的直徑,ED切⊙O于點C,AD交⊙O于點F,AC平分∠BAD,連接BF. (1)求證:AD⊥ED; (2)若CD=4,AF=2,求⊙O的半徑. 【分析】 (1)連接OC,先證明OC∥AD,然后利用切線的性質(zhì)得OC⊥DE,從而得到AD⊥ED;(2)OC交BF于H,如解圖,利用圓周角定理得到∠AFB=90°,再證明四邊形CDFH為矩形得到FH=CD,∠CHF=90°,利用垂徑定理得到BH=FH,在Rt△ABF中,利用勾股定理計算出AB,從而得到⊙O的半徑. 【自主解答】 (1)證明:連

2、接OC,如解圖, ∵AC平分∠BAD, ∴∠1=∠2, ∵OA=OC, ∴∠1=∠3, ∴∠2=∠3, ∴OC∥AD, ∵ED切⊙O于點C, ∴OC⊥DE,∴AD⊥ED; 例1題解圖 (2)解:OC交BF于點H,如解圖, ∵AB為直徑, ∴∠AFB=90°, 易得四邊形CDFH為矩形, ∴FH=CD=4,∠CHF=90°, ∴OH⊥BF, ∴BH=FH=4, ∴BF=8, 在Rt△ABF中,AB===2, ∴⊙O的半徑為. 1.(2018·河南說明與檢測)如圖,AB為半圓O的直徑,點C為半圓上任一點. (1)若∠BAC=30°,過點C作半圓O的

3、切線交直線AB于點P.求證:△PBC≌△AOC; (2)若AB=6,過點C作AB的平行線交半圓O于點D,當以點A、O、C、D為頂點的四邊形為菱形時,求的長. 2.(2018·河南說明與檢測)如圖,在⊙O中,∠AOB=120°,點C為的中點,延長OC到點D,使CD=OC,AB交OC于點E. (1)求證:DA是⊙O的切線; (2)若OA=6,求弦AB的長. 3.(2018·河南說明與檢測)如圖,△ABC中,∠ACB=90°,D為AB上一點,以CD為直徑的⊙O交BC于點E,連接AE交CD于點P,交⊙O于點F

4、,∠CAE=∠ADF. (1)判斷AB與⊙O的位置關系,并說明理由; (2)若PF∶PC=1∶2,AF=5,求CP的長. 4.(2018·金華)如圖,在Rt△ABC中,點O在斜邊AB上,以O為圓心,OB為半徑作圓,分別與BC,AB相交于點D,E,連接AD.已知∠CAD=∠B. (1)求證:AD是⊙O的切線; (2)若BC=8,tan B=,求⊙O的半徑. 5.(2018·玉林)如圖,在△ABC中,以AB為直徑作⊙O交BC于點D,∠DAC=∠B. (1)求證:AC是⊙O的切線; (2)點E是AB上一點,若∠BCE

5、=∠B,tan∠B=,⊙O的半徑是4,求EC的長. 6.(2018·天津)已知AB是⊙O的直徑,弦CD與AB相交,∠BAC=38°. (Ⅰ)如圖①,若D為的中點,求∠ABC和∠ABD的大?。? (Ⅱ)如圖②,過點D作⊙O的切線,與AB的延長線交于點P,若DP∥AC,求∠OCD的大?。? 圖① 圖② 7.(2018·信陽一模)如圖,AB是⊙O的弦,D為半徑OA的中點,過D作CD⊥OA交弦AB于點E,交⊙O于點F,且CE=CB. (1)求證:BC是⊙O的切線; (2)連接AF,BF,求∠AB

6、F的度數(shù). 8.(2018·河南說明與檢測)如圖,AB是⊙O的直徑,C是的中點,⊙O的切線BD交AC的延長線于點D,E是OB的中點,CE的延長線交切線BD于點F,AF交⊙O于點H,連接BH. (1)求證:AC=CD; (2)若OB=2,求BH的長. 類型二 與四邊形判定結(jié)合的證明與計算 (2018·河南)如圖,AB是⊙O的直徑,DO⊥AB于點O,連接DA交⊙O于點C,過點C作⊙O的切線交DO于點E,連接BC交DO于點F. (1)求證:CE=EF; (2)連接AF并延長,交⊙O于點G.填空: ①當

7、∠D的度數(shù)為________時,四邊形ECFG為菱形; ②當∠D的度數(shù)為________時,四邊形ECOG為正方形. 例2題圖 【分析】 (1)連接OC,如解圖,利用切線的性質(zhì)得∠1+∠4=90°,再利用等腰三角形的性質(zhì)和互余證明∠1=∠2,然后根據(jù)等腰三角形的判定定理得到結(jié)論; (2)①要證明四邊形ECFG為菱形,可知△CEF為等邊三角形,∵∠ACB=90°,∠CFE=60°,∴∠D可求; ②∵四邊形ECOG為正方形,∴∠COG=90°,∠COF=45°,則∠COA=45°,根據(jù)△ACO是等腰三角形,在Rt△AOD中,已知∠DAO,則∠D可求. 【自主解答】 (1)證明:連接

8、OC,如解圖, ∵CE為切線,∴OC⊥CE, ∴∠OCE=90°,即∠1+∠4=90°, ∵DO⊥AB,∴∠3+∠B=90°, ∵∠2=∠3,∴∠2+∠B=90°, 又∵OB=OC,∴∠4=∠B,∴∠1=∠2,∴CE=FE; (2)解:①當∠D=30°時,四邊形ECFG為菱形, 【解法提示】∵四邊形ECFG為菱形, ∴CE=CF=FG=EG, 由(1)知CE=EF, ∴△ECF是等邊三角形, ∴∠CFD=60°, ∵∠ACB=90°, ∵∠DCF=90°, ∴∠D=90°-60°=30°. ②當∠D=22.5°時,四邊形ECOG為正方形. 【解法提示】 例

9、2題解圖 ∵四邊形ECOG為正方形, ∴CO=CE,∴∠OCE=90°, ∴△COE是等腰直角三角形, ∴∠COE=45°, ∵DO⊥AB, ∴∠DOA=90°, ∴COA=∠DOA-∠COE=45°, ∵OA=OC, ∴∠CAB=67.5°, ∴∠D=90°-62.5°=22.5°. 1.(2016·河南)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點M是AC的中點,以AB為直徑作⊙O分別交AC,BM于點D,E. (1)求證:MD=ME; (2)填空: ①若AB=6,當AD=2DM時,DE=______; ②連接OD,OE,當∠A的度數(shù)為__________時

10、,四邊形ODME是菱形. 2.(2015·河南)如圖,AB是半圓O的直徑,點P是半圓上不與點A、B重合的一個動點,延長BP到點C,使PC=PB,D是AC的中點,連接PD、PO. (1)求證:△CDP≌△POB; (2)填空: ①若AB=4,則四邊形AOPD的最大面積為______; ②連接OD,當∠PBA的度數(shù)為__________時,四邊形BPDO是菱形. 3.(2014·河南)如圖,CD是⊙O的直徑,且CD=2 cm,點P為CD的延長線上一點,過點P作⊙O的切線PA,PB,切點分別為點A,B. (

11、1)連接AC,若∠APO=30°,試證明△ACP是等腰三角形; (2)填空: ①當DP=______ cm時,四邊形AOBD是菱形; ②當DP=________ cm時,四邊形AOBP是正方形. 4.(2018·駐馬店一模)如圖,AC是⊙O的直徑,點P在線段AC的延長線上,且PC=CO,點B在⊙O上,且∠CAB=30°. (1)求證:PB是⊙O的切線; (2)若D為圓O上任一動點,⊙O的半徑為5 cm時, ①當弧CD長為______時,四邊形ADPB為菱形; ②當弧CD長為______時,四邊形ADCB為矩形.

12、 5.(2018·濮陽一模)如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是直徑,OD∥AC,AD=OC. (1)求證:四邊形OCAD是平行四邊形; (2)探究: ①當∠B=________°時,四邊形OCAD是菱形; ②當∠B滿足什么條件時,AD與⊙O相切?請說明理由. 6.(2017·河南模擬)已知:如圖,在平行四邊形ABCD中,⊙O是經(jīng)過A、B、C三點的圓,CD與⊙O相切于點C,點P是上的一個動點(點P不與B、C點重合),連接PA、PB、PC. (1)求證:CA=CB; (2)①當點P滿足______________時,△CPA≌△ABC,

13、請說明理由; ②當∠ABC的度數(shù)為__________時,四邊形ABCD是菱形. 7.(2018·河南說明與檢測)如圖,△ABC內(nèi)接于圓O,且AB=AC.延長BC到點D,使CD=CA,連接AD交圓O于點E. (1)求證:△ABE≌△CDE. (2)填空: ①當∠ABC的度數(shù)為________時,四邊形AOCE是菱形; ②若AE=,AB=2,則DE的長為_________. 8.(2018·河南說明與檢測)如圖,半圓O的直徑為AB,點M為半圓上一動點(不與點A,B重合),點N為的中點,ND⊥AB

14、于點D,過點M的切線交DN的延長線于點C. (1)若MC∥AB, ①求證:AD=CN; ②填空:四邊形OMCD是何種特殊的四邊形?________. (2)填空:當∠ANM=____________時,四邊形ANMO為菱形. 9.(2018·河南說明與檢測)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑的⊙O與AC邊交于點D,過點D作⊙O的切線交BC于點E,連接OE. (1)求證:OE∥AD; (2)填空: ①∠BAC=________°時,四邊形ODEB是正方形; ②當∠BAC=________°時,AD=

15、3DE. 10.(2017·濮陽一模)如圖,AB是⊙O的直徑,點P是AB下方的半圓上不與點A,B重合的一個動點,點C為AP中點,延長CO交⊙O于點D,連接AD,過點D作⊙O的切線交PB的延長線于點E,連CE交AB于點F,連接DF. (1)求證:△DAC≌△ECP; (2)填空: ①四邊形ACED是何種特殊的四邊形? ②在點P運動過程中,線段DF、AP的數(shù)量關系是______________. 11.如圖,已知⊙A的半徑為4,EC是⊙A的直徑,點B是⊙A的切線CB上的一

16、個動點,連接AB交⊙A于點D,弦EF平行于AB,連接DF,AF. (1)試判斷直線BF與⊙A的位置關系,并說明理由; (2)填空: ①當∠CAB=__________時,四邊形ADFE為菱形; ②當EF=___________時,四邊形ACBF為正方形. 12.(2018·河南說明與檢測)如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點D,交AC于點E,過點D作DF⊥AC于點F. (1)求證:DF為⊙O的切線; (2)若過點A且與BC平行的直線交BE延長線于點G,連接CG.設⊙O的半徑為5. ①當CF=__

17、________時,四邊形ABCG為菱形; ②當BC=4時,四邊形ABCG的面積是__________. 參考答案 類型一 針對訓練 1.(1)證明:∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ACB=90°. ∵∠BAC=30°,∴∠ABC=60°. ∵OB=OC,∴△OBC是等邊三角形. ∴OC=BC,∠OBC=∠BOC=60°. ∴∠AOC=∠PBC=120°. ∵CP是⊙O的切線,∴OC⊥CP. ∴∠OCP=90°.∴∠ACO=∠PCB. 在△AOC和△PBC中, ,∴△PBC≌△AOC. (2)解:如解圖①,∵四邊形

18、AOCD為菱形, ∴OA=AD=CD=OC. 連接OD,則OA=OD=OC, ∴△AOD和△COD都是等邊三角形. ∴∠AOD=∠COD=60°. ∴∠BOC=60°. ∴的長為=π. 如解圖②,同理,∠BOC=120°,的長為=2π. 綜上可知,的長為π或2π. 圖① 圖② 第1題解圖 2.(1)證明:如解圖,連接AC.∵C是的中點, ∴=. 第2題解圖 ∵∠AOB=120°, ∴∠AOC=∠BOC=60°. ∵OA=OC, ∴△AOC是等邊三角形. ∴∠OAC=∠OCA=60°,AC=OC. ∵CD=OC, ∴CD=AC. ∴∠DAC

19、=∠D=∠OCA=30°. ∴∠DAO=∠OAC+∠DAC=90°. ∵OA是⊙O的半徑, ∴DA是⊙O的切線. (2)解:∵OA=OC,∠AOC=∠BOC=60°, ∴AE=BE,OE⊥AB. 在Rt△AOE中,AE=OA·sin 60°=6×=3. ∴AB=2AE=6. 3.(1)證明:AB與⊙O相切,理由如下: ∵∠ACB=90°, ∴∠CAE+∠AEC=90°, ∵∠CAE=∠ADF, ∠AEC=∠FDC, ∴∠ADF+∠FDC=90°,即∠ADC=90°. ∴CD⊥AB. 又∵CD為⊙O的直徑,∴AB與⊙O相切. 第3題解圖 (2)解:連接FC,

20、DE,如解圖, ∵CD為⊙O的直徑,∴∠DEC=90°, ∵∠ACB=90°, ∴DE∥AC,∴∠CAE=∠DEA, ∵∠DEA=∠DCF, ∴∠CAE=∠DCF,即∠CAP=∠FCP, ∵∠CPA=∠FPC, ∴△CAP~△FCP, ∴=, ∴==, ∴PA=2PC=4PF, ∴PF=AF=, ∴CP=2PF=. 4.(1)證明:連接OD, ∵OB=OD, ∴∠3=∠B, ∵∠B=∠1, ∴∠1=∠3, 在Rt△ACD中,∠1+∠2=90°, ∴∠4=180°-(∠2+∠3)=90°, 第4題解圖 ∴OD⊥AD, ∵OD為⊙O的半徑, ∴AD

21、為⊙O的切線; (2)解:設⊙O的半徑為r, 在Rt△ABC中,AC=BC·tan B=4, 根據(jù)勾股定理得:AB==4, ∴OA=4-r, 在Rt△ACD中,tan∠1=tan B=, ∴CD=AC·tan∠1=2, 根據(jù)勾股定理得:AD2=AC2+CD2=16+4=20, 在Rt△ADO中,OA2=OD2+AD2,即(4-r)2=r2+20, 解得:r=. 5.(1)證明:∵AB是直徑,∴∠ADB=90°, ∴∠B+∠BAD=90°, ∵∠DAC=∠B,∴∠DAC+∠BAD=90°, ∴∠BAC=90°, ∴BA⊥AC, ∴AC是⊙O的切線. (2)解:∵∠

22、BCE=∠B, ∴EC=EB,設EC=EB=x, 在Rt△ABC中,tan∠B==,AB=8, ∴AC=4, 在Rt△AEC中,∵EC2=AE2+AC2, ∴x2=(8-x)2+42,解得x=5, ∴CE=5. 6.解:(Ⅰ)∵AB是⊙O的直徑,弦CD與AB相交,∠BAC=38°, ∴∠ACB=90°,∠ABC=52°, ∵D為的中點,∠AOB=180°, ∴∠AOD=90°, ∴∠ABD=45°. (Ⅱ)連接OD,如解圖, ∵DP切⊙O于點D, ∴OD⊥DP,即∠ODP=90°, 由DP∥AC,又∵∠BAC=38°, ∴∠P=∠BAC=38°, ∵∠AOD是

23、△ODP的一個外角, ∴∠AOD=∠P+∠ODP=128°, ∴∠ACD=64°, ∵OC=OA,∠BAC=38°, ∴∠OCA=∠BAC=38°, ∴∠OCD=∠ACD-∠OCA=64°-38°=26°. 第6題解圖 7.(1)證明:連接OB,如解圖, ∵CE=CB, ∴∠CBE=∠CEB, ∵CD⊥OA, ∴∠DAE+∠AED=90°, 又∵∠CEB=∠AED, ∴∠DAE+∠CBE=90°, ∵OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA, ∴∠OBA+∠CBE=90°,即∠OBC=90°, ∴OB⊥BC,∵OB是⊙O的半徑, ∴BC是⊙O的切線; (2)

24、解:連接OF,交AB于點H,如解圖, ∵DF⊥OA,AD=OD, ∴FA=FO, 又∵OF=OA, ∴△OAF為等邊三角形, ∴∠AOF=60°, ∴∠ABF=∠AOF=30°. 第7題解圖 8.(1)證明:連接OC,如解圖, 第8題解圖 ∵C是的中點,AB是⊙O的直徑, ∴CO⊥AB. ∵BD是⊙O的切線, ∴BD⊥AB. ∴OC∥BD, ∵OA=OB, ∴AC=CD. (2)解:∵E是OB的中點, ∴OE=BE. 在△COE和△FBE中,∠CEO=∠FEB,OE=BE, ∠COE=∠FBE, ∴△COE≌FBE, ∴CO=BF,∵OB=2

25、, ∴BF=2,∴AF==2, ∵AB是直徑,∴BH⊥AF, ∴△ABF∽△BHF, ∴=, 即AB·BF=AF·BH, ∴BH===. 類型二 針對訓練 1.(1)證明:∵∠ABC=90°,AM=MC, ∴BM=AM=MC,∴∠A=∠ABM, ∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形, ∴∠ADE+∠ABE=180°, 又∵∠ADE+∠MDE=180°,∴∠MDE=∠MBA, 同理證明:∠MED=∠A, ∴∠MDE=∠MED,∴MD=ME. (2)解:①由(1)可知,∠A=∠MDE, ∴DE∥AB,∴=, ∵AD=2DM,∴DM∶MA=1∶3, ∴DE=AB=×6

26、=2. 故答案為2. 第1題解圖 ②當∠A=60°時,四邊形ODME是菱形.理由如下: 如解圖,∵四邊形ODME是菱形,∴OD=OE=DM=MG, ∵DM=ME, ∴△DME是等邊三角形,∴∠EDM=60°,∵DE∥AB, ∴∠A=∠MDE=60°. 2.(1)證明:∵PC=PB,D是AC的中點, ∴DP∥AB, ∴DP=AB,∠CPD=∠PBO, ∵BO=AB, ∴DP=BO, 在△CDP與△POB中, , ∴△CDP≌△POB(SAS); (2)4【解法提示】①當四邊形AOPD的AO邊上的高等于半徑時有最大面積,∵AB=4,∴OA=2,∴最大面積為2×2

27、=4; 第2題解圖 ②60°【解法提示】連接OD,如解圖,∵DP∥AB,DP=BO, ∴四邊形BPDO是平行四邊形, ∵四邊形BPDO是菱形,∴PB=BO, ∵PO=BO,∴PB=BO=PO, ∴△PBO是等邊三角形,∴∠PBA的度數(shù)為60°. 第3題解圖 3.(1)證明:連接OA,如解圖, ∵PA是⊙O的切線,∴OA⊥PA, 在Rt△AOP中,∠AOP=90°-∠APO=90°-30°=60°, ∴∠ACP=30°, ∵∠APO=30°,∴∠ACP=∠APO,∴AC=AP, ∴△ACP是等腰三角形. (2)解:①DP=1,理由如下: ∵四邊形AOBD

28、是菱形, ∴OA=AD=OD,∴∠AOP=60°, ∴OP=2OA,DP=OD.∴DP=1, ②DP=-1,理由如下: ∵四邊形AOBP是正方形,∴∠AOP=45°, ∵OA=PA=1,OP=, ∴DP=OP-1,∴DP=-1. 4.(1)證明:如解圖①,連接OB、BC. ∵OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA=30°, ∴∠COB=∠OAB+∠OBA=60°, ∵OB=OC, ∴△OBC是等邊三角形, ∴BC=OC,∵PC=OC, ∴BC=CO=CP, ∴∠PBO=90°, ∴OB⊥PB,∵OB是⊙O的半徑, ∴PB是⊙O的切線. 圖① 圖②

29、 圖③ 第4題解圖 (2)解:①的長為 cm時,四邊形ADPB是菱形.理由如下: 如解圖②,∵四邊形ADPB是菱形,∠CAB=30°, ∴∠DAC=30°, ∴∠COD=2∠CAD=60°, ∴的長為= cm. ②當弧CD的長為 cm時, 四邊形ADCB為矩形,理由如下: 如解圖③,當四邊形ADCB是矩形時,易知∠COD=120°,∴的長為= cm. 5.(1)證明:∵OA=OC,AD=OC, ∴OA=AD, ∠AOD=∠ADO, ∵OD∥AC, ∴∠OAC=∠AOD, ∴∠OAC=∠OCA=∠AOD=∠ADO, ∴∠AOC=∠OAD, ∴OC∥AD, ∴四

30、邊形OCAD是平行四邊形; (2)解:①30【解法提示】∵四邊形OCAD是菱形, ∴OC=AC, 又∵OC=OA, ∴OC=OA=AC, ∴∠AOC=60°, ∴∠B=∠AOC=30°; ②當∠B=45°時,AD與⊙O相切,理由如下: ∵AD與⊙O相切, ∴∠OAD=90°, ∵AD∥OC, ∴∠AOC=90°, ∴∠B=∠AOC=45°. 6.(1)證明:連接CO并延長交AB于點E,如解圖①, ∵CD與⊙O相切于點C, ∴CE⊥CD, ∵四邊形ABCD為平行四邊形, ∴AB∥CD, ∴CE⊥AB, ∴AE=BE, ∴BC=AC; (2)解:①當AC=

31、AP時,△CPA≌△ABC. 理由如下:∵AC=BC,AC=AP, ∴∠ABC=∠BAC,∠APC=∠ACP, ∵∠ABC=∠APC, ∴∠BAC=∠ACP, 在△CPA與△ABC中,, ∴△CPA≌△ABC; 圖① 圖② 第6題解圖 ②當∠ABC的度數(shù)為60°時,四邊形ABCD是菱形.理由如下: 如解圖②,連接OC,OB, ∵∠ABC=60°, ∴∠BCD=120°, ∵CD與⊙O相切于點C, ∴∠OCD=90°, ∴∠BCO=30°, ∵OB=OC, ∴∠OBC=30°, ∴∠ABO=30°, ∴BO垂直平分AC, ∴AB=BC, ∴四邊

32、形ABCD是菱形. 7.(1)證明:∵AB=AC, CD=CA, ∴∠ABC=∠ACB,AB=CD. ∵四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形, ∴∠ABC+∠AEC=180°,∠BAE+∠BCE=180°. ∵∠CED+∠AEC=180°,∠ECD+∠BCE=180°, ∴∠CED=∠ABC,∠ECD=∠BAE. ∴∠CED=∠ACB. ∵∠ACB=∠AEB, ∴∠CED=∠AEB. 在△ABE和△CDE中, ∴△ABE≌△CDE. (2)解:①60;②. 8.解:(1)① 連接ON,如解圖. 點N為的中點,∴AN=MN, ∵OA=OM,ON=ON,∴△AON≌△MON.

33、 ∴∠OAN=∠OMN, ∵CM為⊙O的切線,∴CM⊥OM. 第8題解圖 ∴∠CMN+∠OMN=90°, ∵ND⊥AB, ∴∠NAD+∠AND=90°, ∴∠AND=∠CMN, ∵MC∥AB,CD⊥AB, ∴MC⊥ND,即∠NCM=90°. 又∵AN=NM,∠ADN=90°, ∴△AND≌△NMC,∴AD=CN. ②矩形. (2)120. 9.(1)證明:連接OD, ∵DE是⊙O的切線, ∴OD⊥DE, 第9題解圖 在Rt△ODE和Rt△OBE中, ∴Rt△ODE≌Rt△OBE. ∴∠DOE=∠BOE=∠DOB, ∵OA=OD,∴∠A=∠A

34、DO=∠DOB, ∴∠BOE=∠A, ∴OE∥AD. (2)解:①45°?、?0° 10.(1)證明:∵DE為⊙O的切線, ∴OD⊥DE, ∴∠CDE=90°, ∵點C為AP的中點, ∴DC⊥AP, ∴∠DCA=∠DCP=90°, ∵AB是⊙O直徑, ∴∠APB=90°, ∴四邊形DEPC為矩形, ∴DC=EP, 在△DAC和△ECP中, , ∴△DAC≌△ECP; (2)解:①∵△DAC≌△ECP, ∴AD=CE,∠DAC=∠ECP, ∴AD∥CE, ∴四邊形ACED是平行四邊形; ②DF=AP.理由如下: ∵OA=OD, ∴∠DAO=∠ADO,

35、 ∵AD∥CE, ∴∠ADO=∠DCF, ∴∠DAO=∠DCF, ∴A,C,F(xiàn),D四點共圓, ∴=, ∴AC=DF, ∵AC=AP, ∴DF=AP. 11.(1)證明:BF與⊙A相切,理由如下: ∵BC是⊙A的切線,∠ACB=90°, ∵EF∥AB, ∴∠AEF=∠CAB,∠AFE=∠FAB, 又∵AE=AF, ∴∠AEF=∠AFE, ∴∠FAB=∠CAB, 在△ABC和△ABF中 , ∴△ABC≌△ABF(SAS); ∴∠AFB=∠ACB=90°,∵AF是⊙A的半徑, ∴BF與⊙O相切. (2)①解:60°理由如下: 連接CF,如解圖所示,

36、第11題解圖 若四邊形ADFE為菱形,則AE=EF=FD=DA, 又∵CE=2AE,CE是圓A的直徑, ∴CE=2EF,∠CFE=90°, ∴∠ECF=30°, ∴∠CEF=60°, ∵EF∥AB, ∴∠AEF=∠CAB, ∴∠CAB=60°; ②4.理由如下: 若四邊形ACBF為正方形,則AC=CB=BF=FA=4,且AF⊥AE, ∴EF==4. 第12題解圖 12.(1)證明:連接OD, ∵AB=AC,OB=OD, ∴∠ABC=∠ACB,∠OBD=∠ODB, ∴∠ACB=∠ODB,∴OD∥AC. ∵DF⊥AC,∴DF⊥OD, ∴DF為⊙O的切線. (2)解:①2.5.?、?00. 30

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