浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)學(xué)思想與開放探索問題 第36講 分類討論型問題講解篇
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1、 第36講 分類討論型問題 (建議該講放第21講后教學(xué)) 內(nèi)容 特性 分類討論思想就是將要研究的數(shù)學(xué)對象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干不同的情形,然后逐類進(jìn)行研究和求解的一種數(shù)學(xué)解題思想.對于存在的一些不確定因素而無法解答或結(jié)論不能給予統(tǒng)一表述的數(shù)學(xué)問題,我們往往將問題劃分為若干類或若干個局部問題來解決. 解題 策略 很多數(shù)學(xué)問題很難從整體上去解決,若將其劃分為所包含的各個局部問題,就可以逐個予以解決.分類討論在解題策略上就是分而治之各個擊破.具體是: (1)確定分類對象; (2)進(jìn)行合理分類(理清分類“界限”,選擇分類標(biāo)準(zhǔn),并做到不重復(fù)、不遺漏); (3)逐類進(jìn)行
2、討論; (4)歸納并得出結(jié)論. 基本 思想 分類討論的基本方法是:首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍;其次確定分類標(biāo)準(zhǔn),正確進(jìn)行合理分類,即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥(沒有重復(fù));再對各個分類逐步進(jìn)行討論,分層進(jìn)行,獲取階段性結(jié)果;最后進(jìn)行歸納小結(jié),綜合得出結(jié)論. 類型一 由計算化簡時,運用法則、定理和原理的限制引起的討論 (2016·南通模擬)矩形一個角的平分線分矩形一邊為1cm和3cm兩部分,則這個矩形的面積為( ) A.3cm2 B.4cm2 C.12cm2 D.4cm2或12cm2 【
3、解后感悟】解此題的關(guān)鍵是求出AB=AE,注意AE=1或3不確定,要進(jìn)行分類討論. 1.(1)若關(guān)于x的函數(shù)y=kx2+2x-1與x軸僅有一個公共點,則實數(shù)k的值為____________________. (2)已知平面上有⊙O及一點P,點P到⊙O上一點的距離最長為6cm,最短為2cm,則⊙O的半徑為 cm. (3)若|a|=3,|b|=2,且a>b,則a+b=( ) A.5或-1 B.-5或1 C.5或1 D.-5或-1 類型二 在一個動態(tài)變化過程中,出現(xiàn)不同情況引起的討論 為了節(jié)約資源,科學(xué)指導(dǎo)居民改善居住條件,小
4、王向房管部門提出了一個購買商品房的政策性方案. 人均住房面積(平方米) 單價(萬元/平方米) 不超過30(平方米) 0.3 超過30平方米不超過m平方米部分(45≤m≤60) 0.5 超過m平方米部分 0.7 根據(jù)這個購房方案: (1)若某三口之家欲購買120平方米的商品房,求其應(yīng)繳納的房款; (2)設(shè)該家庭購買商品房的人均面積為x平方米,繳納房款y萬元,請求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式; (3)若該家庭購買商品房的人均面積為50平方米,繳納房款為y萬元,且57<y≤60時,求m的取值范圍. 【解后感悟】本題是房款=房屋單價×購房面積在實際
5、生活中的運用,由于單價隨人均面積而變化,所以用分段函數(shù)的解析式來描述.同時建立不等式組求解,解答本題時求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵. 2.(1)在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-x+2與反比例函數(shù)y=的圖象有唯一公共點,若直線y=-x+b與反比例函數(shù)y=的圖象有2個公共點,則b的取值范圍是( ) A.b>2 B.-22或b<-2 D.b<-2 (2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OBCD是邊長為4的正方形,平行于對角線BD的直線l從O出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動,運動到直線l與正方形沒有交點為止.設(shè)
6、直線l掃過正方形OBCD的面積為S,直線l運動的時間為t(秒),下列能反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的圖象是( ) 3.已知拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于點A,B(點A,B在原點O兩側(cè)),與y軸相交于點C,且點A,C在一次函數(shù)y2=x+n的圖象上,線段AB長為16,線段OC長為8,當(dāng)y1隨著x的增大而減小時,求自變量x的取值范圍. 類型三 由三角形的形狀、關(guān)系不確定性引起的討論 (2017·湖州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線y=kx(k>0)分別交反比例函數(shù)y=和y=在第一象限的圖象于點A,B,過點B作BD⊥x軸于點D,
7、交y=的圖象于點C,連結(jié)AC.若△ABC是等腰三角形,則k的值是________. 【解后感悟】解題的關(guān)鍵是用k表示點A、B、C的坐標(biāo),再進(jìn)行分類討論. 4. (1)在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,點A的坐標(biāo)為(1,),M為坐標(biāo)軸上一點,且使得△MOA為等腰三角形,則滿足條件的點M的個數(shù)為( ) A.4 B.5 C.6 D.8 (2) (2016·北流模擬)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=6,一條線段PQ=AB,P、Q兩點分別在AC和過點A且垂直于AC的射
8、線AX上運動,要使△ABC和△QPA全等,則AP= . (3) (2016·臨淄模擬)如圖,在正方形ABCD中,M是BC邊上的動點,N在CD上,且CN=CD,若AB=1,設(shè)BM=x,當(dāng)x= 時,以A、B、M為頂點的三角形和以N、C、M為頂點的三角形相似. 類型四 由特殊四邊形的形狀不確定性引起的討論 (2017·鄂州模擬)如圖1,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=8cm,AD=16cm,BC=22cm,∠ABC=90°,點P從點A出發(fā),以1cm/s的速度向點D運動,點Q從點C同時出發(fā),以3cm/s的速度向點B運動,其中一個動點到達(dá)端點時,另一個動
9、點也隨之停止運動,設(shè)運動時間為t秒. (1)當(dāng)t為何值時,四邊形ABQP成為矩形? (2)當(dāng)t為何值時,以點P、Q與點A、B、C、D中的任意兩個點為頂點的四邊形為平行四邊形? (3)四邊形PBQD是否能成為菱形?若能,求出t的值;若不能,請說明理由,并探究如何改變Q點的速度(勻速運動),使四邊形PBQD在某一時刻為菱形,求點Q的速度. 【解后感悟】解本題的關(guān)鍵是用方程(組)的思想解決問題,涉及四邊形的知識,同時也是存在性問題,解答時要注意分類討論及數(shù)形結(jié)合. 5.(1)(2016·鹽城模擬)在平面直角坐標(biāo)系中有三點A(1,1),B(1,3),C(3,2),
10、在直角坐標(biāo)系中再找一個點D,使這四個點構(gòu)成平行四邊形,則D點坐標(biāo)為 . (2)(2016·江陰模擬)如圖,在等邊三角形ABC中,BC=6cm,射線AG∥BC,點E從點A出發(fā)沿射線AG以1cm/s的速度運動,點F從點B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運動.如果點E、F同時出發(fā),設(shè)運動時間為t(s),當(dāng)t= s時,以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形. (3) (2016·金華模擬)如圖,B(6,4)在函數(shù)y=x+1的圖象上,A(5,2),點C在x軸上,點D在函數(shù)y=x+1上,以A、B、C、D四個點為頂點構(gòu)成平行四邊形,寫出所有滿足條件的D點的坐標(biāo)
11、 . (4)(2016·蕭山模擬)已知在平面直角坐標(biāo)系中,點A、B、C、D的坐標(biāo)依次為(-1,0),(m,n),(-1,10),(-7,p),且p≤n.若以A、B、C、D四個點為頂點的四邊形是菱形,則n的值是 . 類型五 由直線與圓的位置關(guān)系不確定性引起的討論 如圖,已知⊙O的半徑為6cm,射線PM經(jīng)過點O,OP=10cm,射線PN與⊙O相切于點Q.A、B兩點同時從點P出發(fā),點A以5cm/s的速度沿射線PM方向運動,點B以4cm/s的速度沿射線PN方向運動.設(shè)運動時間為t(s). (1)求PQ的長; (2)當(dāng)t為何值時,直線AB與⊙O相切?
12、 【解后感悟】本題是直線與圓的位置關(guān)系應(yīng)用,題目設(shè)置具有創(chuàng)新性.解決本題的關(guān)鍵是抓住直線與圓的兩種情況位置關(guān)系,及其對應(yīng)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析. 6. (2016·泗洪模擬)如圖,已知⊙P的半徑為2,圓心P在拋物線y=x2-1上運動,當(dāng)⊙P與x軸相切時,圓心P的坐標(biāo)為 . 【壓軸把關(guān)題】 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A,B的坐標(biāo)分別是(-3,0),(0,6),動點P從點O出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動,同時動點C從點B出發(fā),沿射線BO方向以每秒2個單位的速度運動.以CP,CO為鄰邊構(gòu)造?PCOD,在線段OP延長線上取點E,使PE=AO,設(shè)點P運動的時間為t
13、秒. (1)當(dāng)點C運動到線段OB的中點時,求t的值及點E的坐標(biāo); (2)當(dāng)點C在線段OB上時,求證:四邊形ADEC為平行四邊形; (3)在線段PE上取點F,使PF=1,過點F作MN⊥PE,截取FM=2,F(xiàn)N=1,且點M,N分別在第一、四象限,在運動過程中,設(shè)?PCOD的面積為S. ①當(dāng)點M,N中,有一點落在四邊形ADEC的邊上時,求出所有滿足條件的t的值; ②若點M,N中恰好只有一個點落在四邊形ADEC內(nèi)部(不包括邊界)時,直接寫出S的取值范圍. 【方法與對策】本題是四邊形的綜合題,對于第(3)題解題的關(guān)鍵是正確分幾種不同情況求解.①當(dāng)點C在BO上時,第一種
14、情況,當(dāng)點M在CE邊上時,由△EMF∽△ECO求解,第二種情況,當(dāng)點N在DE邊上時,由△EFN∽△EPD求解; 當(dāng)點C在BO的延長線上時,第一種情況,當(dāng)點M在DE邊上時,由EMF∽△EDP求解,第二種情況,當(dāng)點N在CE邊上時,由△EFN∽△EOC求解;②當(dāng)1≤t<時和當(dāng)<t≤5時,分別求出S的取值范圍.這種雙動點型、分類討論問題是中考命題常用的策略. 【分類討論應(yīng)不重復(fù)、不遺漏】 在△ABC中,P是AB上的動點(P異于A,B),過點P的一條直線截△ABC,使截得的三角形與△ABC相似,我們不妨稱這種直線為過點P的△ABC的相似線.如圖,∠A=36°,AB=AC,當(dāng)點P在AC的垂直平分
15、線上時,過點P的△ABC的相似線最多有________條. 參考答案 第36講 分類討論型問題 【例題精析】 例1 ∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,∴∠AEB=∠ABE,∴AB=AE,①當(dāng)AE=1cm時,AB=1cm=CD,AD=1cm+3cm=4cm=BC,此時矩形的面積是1cm×4cm=4cm2;②當(dāng)AE=3cm時,AB=3cm=CD,AD=4cm=BC,此時矩形的面積是:3cm×4cm=12cm2;故選D.
16、例2 (1)由題意,得三口之家應(yīng)繳購房款為:0.3×90+0.5×30=42(萬元); (2)由題意,得①當(dāng)0≤x≤30時,y=0.3×3x=0.9x;②當(dāng)30<x≤m時,y=0.9×30+0.5×3×(x-30)=1.5x-18;③當(dāng)x>m時,y=0.9×30+0.5×3(m-30)+0.7×3×(x-m)=2.1x-18-0.6m.∴y=(45≤m≤60). (3)由題意,得①當(dāng)50≤m≤60時,y=1.5×50-18=57(舍).②當(dāng)45≤m<50時,y=2.1×50-0.6m-18=87-0.6m.∵57<y≤60,∴57<87-0.6m≤60,∴45≤m<50.綜合①②得45≤m
17、<50. 例3 ∵點B是y=kx和y=的交點,y=kx=,解得:x=,y=3,∴點B坐標(biāo)為,點A是y=kx和y=的交點,y=kx=,解得:x=,y=,∴點A坐標(biāo)為,∵BD⊥x軸,∴點C橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo)為=,∴點C坐標(biāo)為,∴BA≠AC,若△ABC是等腰三角形,①AB=BC,則=3-,解得:k=;②AC=BC,則=3-,解得:k=;故答案為k=或. 例4 (1)∵∠ABC=90°,AP∥BQ,∴當(dāng)AP=BQ時,四邊形ABQP成為矩形,由運動知,AP=t,CQ=3t,∴BQ=22-3t,∴t=22-3t,解得t=.∴當(dāng)t=時,四邊形ABQP成為矩形; (2)當(dāng)P、Q兩點與A、B兩點構(gòu)成的四邊形
18、是平行四邊形時,就是(1)中的情形,此時t=.當(dāng)P、Q兩點與C、D兩點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形時,∵PD∥QC,∴當(dāng)PD=QC時,四邊形PQCD為平行四邊形.此時,16-t=3t,t=4;當(dāng)P、Q兩點與B、D兩點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形時,同理,16-t=22-3t,t=3;當(dāng)P、Q兩點與A、C兩點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形時,同理,t=3t,t=0,不符合題意;故當(dāng)t=或t=4或t=3時,以點P、Q與點A、B、C、D中的任意兩個點為頂點的四邊形為平行四邊形. (3)四邊形PBQD不能成為菱形.理由如下:∵PD∥BQ,∴當(dāng)PD=BQ=BP時,四邊形PBQD能成為菱形.由PD=BQ,得16-t=
19、22-3t,解得t=3,當(dāng)t=3時,PD=BQ=13,AP=AD-PD=16-13=3.在Rt△ABP中,AB=8,根據(jù)勾股定理得,BP===≠13,∴四邊形PBQD不能成為菱形;如果Q點的速度改變?yōu)関cm/s時,能夠使四邊形PBQD在時刻ts為菱形,由題意得,解得故點Q的速度為2cm/s時,能夠使四邊形PBQD在某一時刻為菱形. 例5 (1)連結(jié)OQ,∵PN與⊙O相切于點Q,∴OQ⊥PN,即∠OQP=90°.∵OP=10,OQ=6,∴PQ==8(cm). (2)過點O作OC⊥AB,垂足為C.∵點A的運動速度為5cm/s,點B的運動速度為4cm/s,運動時間為ts,∴PA=5t,PB=
20、4t.∵PO=10,PQ=8,∴==.∵∠P=∠P,∴△PAB∽△POQ,∴∠PBA=∠PQO=90°.∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°,∴四邊形OCBQ為矩形,∴BQ=OC.∵⊙O的半徑為6,∴BQ=OC=6時,直線AB與⊙O相切.①當(dāng)AB運動到如圖1所示的位置時,BQ=PQ-PB=8-4t,由BQ=6,得8-4t=6,t=0.5.②當(dāng)AB運動到如圖2所示的位置時,BQ=PB-PQ=4t-8,由BQ=6,得4t-8=6,t=3.5.綜上,當(dāng)t=0.5s或3.5s時,直線AB與⊙O相切. 【變式拓展】 1.(1)0或-1 (2)4或2 (3)C 2.(1)C (2)D 3.
21、根據(jù)OC長為8可得一次函數(shù)中的n的值為8或-8.分類討論:①n=8時,易得A(-6,0),如圖1,∵拋物線經(jīng)過點A、C,且與x軸交點A、B在原點的兩側(cè),∴拋物線開口向下,則a<0,∵AB=16,且A(-6,0),∴B(10,0),而A、B關(guān)于對稱軸對稱,∴對稱軸為直線x==2,要使y1隨著x的增大而減小,∵a<0,∴x≥2;②n=-8時,易得A(6,0),如圖2,∵拋物線過A、C兩點,且與x軸交點A,B在原點兩側(cè),∴拋物線開口向上,則a>0,∵AB=16,且A(6,0),∴B(-10,0),而A、B關(guān)于對稱軸對稱,∴對稱軸為直線x==-2,要使y1隨著x的增大而減小,且a>0,∴x≤-2.
22、 4.(1)C (2)6或12 (3)或 5.(1)(3,0)或(-1,2)或(3,4) (2)2或6 (3)(2,2)或(-6,-2)或(10,6) (4)2,5,18 6.(,2)或(-,2) 【熱點題型】 【分析與解】(1)∵OB=6,C是OB的中點,∴BC=OB=3.∴2t=3,即t=s.∴OE=+3=,E(,0). (2)如圖1,連結(jié)CD交OP于點G,在?PCOD中,CG=DG,OG=PG,∵AO=PE,∴AG=EG .∴四邊形ADEC是平行四邊形. (3)①(Ⅰ)當(dāng)點C在線段BO上時,第一種情況:如圖2,當(dāng)點M在CE邊上時,∵M(jìn)F∥OC,∴△EMF∽△ECO.∴=,即=,
23、解得t=1.第二種情況:如圖3,當(dāng)點N在DE邊時,∵NF∥PD,∴△EFN∽△EPD.∴=即=,解得t=.(Ⅱ)當(dāng)點C在BO的延長線上時,第一種情況:如圖4,當(dāng)點M在DE邊上時,∵M(jìn)F∥PD,∴EMF∽△EDP.∴=即=,解得t=.第二種情況:如圖5,當(dāng)點N在CE邊上時,∵NF∥OC,∴△EFN∽△EOC.∴=即=,解得t=5.綜上所述,所有滿足條件的t的值為1,,,5.②<S≤或<S≤20. 【錯誤警示】當(dāng)PD∥BC時,△APD∽△ABC,當(dāng)PE∥AC時,△BPE∽△BAC,連結(jié)PC,∵∠A=36°,AB=AC,點P在AC的垂直平分線上,∴AP=PC,∠ABC=∠ACB=72°,∴∠ACP=∠PAC=36°,∴∠PCB=36°,∴∠B=∠B,∠PCB=∠A,∴△CPB∽△ACB,故過點P的△ABC的相似線最多有3條.故答案為:3. 12
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