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1、word
第五專題 矩陣的數(shù)值特征
(行列式、跡、秩、相對特征根、數(shù)、條件數(shù))
一、行列式
已知Ap×q, Bq×p, 則|Ip+AB|=|Iq+BA|
證明一:參照課本194頁,例4.3.
證明二:利用AB和BA有相同的非零特征值的性質(zhì);從而Ip+AB,Iq+BA中不等于1的特征值的數(shù)目
相同,大小相同;其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘積,因此|Ip+AB|和|Iq+BA|等于特征值(不等于1)的乘積,所以二者相等。
二、矩陣的跡
矩陣的跡相對其它數(shù)值特征簡單些,然而,它在許多領(lǐng)域,如數(shù)值計算,逼近論,以及統(tǒng)計估計等都有相當(dāng)多的應(yīng)用,許多量的計算都會
2、歸結(jié)為矩陣的跡的運算。下面討論有關(guān)跡的一些性質(zhì)和不等式。
定義:,etrA=exp(trA)
性質(zhì):
1.,線性性質(zhì);
2.;
3.;
4.;
5.為向量;
6.;
從Schur定理(或Jordan標(biāo)準形)和(4)證明;
7.,則,且等號成立的充要條件是A=0;
8.,則,且等號成立的充要條件是A=B();
9.對于n階方陣A,若存在正整數(shù)k,使得Ak=0,則tr(A)=0(從Schur定理或Jordan標(biāo)準形證明)。
若干基本不等式
對于兩個m×n復(fù)矩陣A和B,tr(AHB)是m×n維酉空間上的積,也就是將它們按列依次排成的兩個mn維列向量的積,利用Cauch
3、y-schwarz不等式
[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]
得
定理:對任意兩個m×n復(fù)矩陣A和B
|tr(AHB)|2≤tr(AHA)﹒tr(BHB)
這里等號成立的充要條件是A=cB,c為一常數(shù)。特別當(dāng)A和B為實對稱陣或Hermit矩陣時
0≤|tr(AB)|≤
定理:設(shè)A和B為兩個n階Hermite陣,且A≥0,B≥0,則
0≤tr(AB)≤λ1(B)tr(A)≤tr(A)﹒tr(B)
λ1(B)表示B的最大特征值。
證明:
tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)≥0,又因為
A1/2[λ1(B)I-B]A1/2≥0,所以λ1(B)tr(A)≥A1/
4、2BA1/2,得
tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)≤tr(λ1(B) A)
=λ1(B) tr(A)≤tr(A)﹒tr(B)
推論:設(shè)A為Hermite矩陣,且A>0,則
tr(A)tr(A-1)≥n
另外,關(guān)于矩陣的跡的不等式還有很多,請參考《矩陣論中不等式》。
三、矩陣的秩
矩陣的秩的概念是由Sylvester于1861年引進的。它是矩陣的最重要的數(shù)字特征之一。下面討論有關(guān)矩陣秩的一些性質(zhì)和不等式。
定義:矩陣A的秩定義為它的行(或列)向量的最大無關(guān)組所包含的向量的個數(shù)。記為rank(A)
性質(zhì):
1.;
2.;
3.;
4.,其中X列滿秩,Y行滿秩
5、(消去法則)。
定理(Sylvester):設(shè)A和B分別為m×n和n×l矩陣,則
Sylveste定理是關(guān)于兩個矩陣乘積的秩的不等式。其等號成立的充要條件請參考王松桂編寫的《矩陣論中不等式》,三個矩陣乘積的秩的不等式也一并參考上述文獻。
四、相對特征根
定義:設(shè)A和B均為P階實對稱陣,B>0,方程
|A-λB|=0的根稱為A相對于B的特征根。
性質(zhì):|A-λB|=0等價于|B-1/2AB-1/2-λI|=0
(因為B>0,所以B1/2>0)
注:求A相對于B的特征根問題轉(zhuǎn)化為求B-1/2AB-1/2的特征根問題或AB-1的特征根。因B-1/2AB-1/2是實對稱陣,所以
6、特征根為實數(shù)。
定義:使(A-λiB)li=0的非零向量li稱為對應(yīng)于λi的A相對于B的特征向量。
性質(zhì):
① 設(shè)l是相對于λ的A B-1的特征向量,則
A B-1l=λl 或 A (B-1l)=λB( B-1l)
B-1l 為對應(yīng)λ的A相對于B的特征向量
(轉(zhuǎn)化為求A B-1的特征向量問題)。
② 設(shè)l是相對于λ的B-1/2AB-1/2的特征向量,則
B-1/2AB-1/2l=λl
可得
A (B-1/2l)=λB(B-1/2l)
則B-1/2l 為對應(yīng)λ的A相對于B的特征向量
(轉(zhuǎn)化為求B-1/2AB-1/2對稱陣的特征向量問題)。
五、向量數(shù)與矩陣
7、數(shù)
向量與矩陣的數(shù)是描述向量和矩陣“大小”的一種度量。先討論向量數(shù)。
1. 向量數(shù)定義:設(shè)V為數(shù)域F上的線性空間,若對于V的任一向量x,對應(yīng)一個實值函數(shù),并滿足以下三個條件:
(1)非負性 ,等號當(dāng)且僅當(dāng)x=0時成立;
(2)齊次性
(3)三角不等式。
則稱為V中向量x的數(shù),簡稱為向量數(shù)。定義了數(shù)的線性空間定義稱為賦線性空間。
例1. ,它可表示成,,
就是一種數(shù),稱為歐氏數(shù)或2-數(shù)。
證明:
(i)非負性 ,
當(dāng)且僅當(dāng)時,即x=0時,=0
(ii)齊次性
(iii)三角不等式
,
根據(jù)H?
8、lder不等式:
,
2. 常用的向量數(shù)(設(shè)向量為)
1-數(shù):;
∞-數(shù):;
P-數(shù): (p>1, p=1, 2,…,∞,);
2-數(shù):;
橢圓數(shù)(2-數(shù)的推廣):
,A為Hermite正定陣.
加權(quán)數(shù):,
當(dāng),
證明:顯然滿足非負性和齊次性
(iii)
,,
應(yīng)用H?lder不等式
即
3. 向量數(shù)的等價性
定理 設(shè)、為的兩種向量數(shù),則必定存在正數(shù)m、M,使得 ,(m、M與x無關(guān)),稱此為向量數(shù)的等價性。
同時有
注:
(1)對某一向量X而言,如果它的某一種數(shù)?。ɑ虼螅敲此钠渌鼣?shù)也?。ɑ虼?/p>
9、)。
(2)不同的向量數(shù)可能大小不同,但在考慮向量序列的收斂性問題時,卻表現(xiàn)出明顯的一致性。
4、矩陣數(shù)
向量數(shù)的概念推廣到矩陣情況。因為一個m×n階矩陣可以看成一個mn維向量,所以中任何一種向量數(shù)都可以認為是m×n階矩陣的矩陣數(shù)。
1. 矩陣數(shù)定義:設(shè)表示數(shù)域C上全體階矩陣的集合。若對于中任一矩陣A,均對應(yīng)一個實值函數(shù),并滿足以下四個條件:
(1)非負性: ,等號當(dāng)且僅當(dāng)A=0時成立;
(2)齊次性:
(3)三角不等式:,則稱為廣義矩陣數(shù);
(4)相容性:,則稱為矩陣數(shù)。
5. 常用的矩陣數(shù)
(1)Frobenius數(shù)(F-數(shù))
F-數(shù):
10、= =
矩陣和向量之間常以乘積的形式出現(xiàn),因而需要考慮矩陣數(shù)與向量數(shù)的協(xié)調(diào)性。
定義:如果矩陣數(shù)和向量數(shù)滿足
則稱這兩種數(shù)是相容的。
給一種向量數(shù)后,我們總可以找到一個矩陣數(shù)與之相容。
(2)誘導(dǎo)數(shù)
設(shè)A∈Cm×n,x∈, 為x的某種向量數(shù),
記
則是矩陣A的且與相容的矩陣數(shù),也稱之為A的誘導(dǎo)數(shù)或算子數(shù)。
(3)p-數(shù):,
,x為所有可能的向量,,
,
,,
可以證明下列矩陣數(shù)都是誘導(dǎo)數(shù):
(1) 列(和)數(shù);
(2) 譜數(shù);
的最大特征值稱為的譜半徑。
當(dāng)A是Hermite矩陣時,是A的譜半徑。
注:譜數(shù)有許多良好的性質(zhì),因而經(jīng)常用
11、到。
(3) 行(和)數(shù)
( ,)
定理 矩陣A的任意一種數(shù)是A的元素的連續(xù)函數(shù);矩陣A的任意兩種數(shù)是等價的。
定理 設(shè)A∈×n,x∈, 則和是相容的
即
證明:由于成立。
定理 設(shè)A∈×n,則是酉不變的,即對于任意酉矩陣U,V∈×n,有
證明:
定義 設(shè)A∈×n,A的所有不同特征值組成的集合稱為A的譜;特征值的模的最大值稱為A的譜半徑,記為ρ(A)。
定理 ρ(A)不大于A的任何一種誘導(dǎo)數(shù),即
ρ(A)≤
證明:設(shè)λ是A的任意特征值,x是相應(yīng)的特征向量,即
Ax=λx
則
|λ|·||x||= ||Ax||≤||A||·||x||,
12、 ||x||≠0
即
|λ|≤||A||
試證:設(shè)A是n階方陣,||A||是誘導(dǎo)數(shù),當(dāng)||A||<1時,I-A可逆,且有
||(I-A)-1||≤(1-||A||)-1
證明:
若I-A不可逆,則齊次線性方程組
(I-A)x=0
有非零解x,即x=Ax,因而有
||x||=||Ax||≤||A||﹒||x||<||x||
但這是不可能的,故I-A可逆。
于是 (I-A)-1=[ (I-A)+A] (I-A)-1=I+A (I-A)-1
因此||(I-A)-1||≤||I||+||A(I-A)-1||=1+||A(I-A)-1||
≤1+||A||﹒|| (I-
13、A)-1||
即證
||(I-A)-1||≤(1-||A||)-1
補充證明||I||=1:
由相容性可知:
||A||﹒||A-1||≥||A A-1||=||I||
對于誘導(dǎo)數(shù)( )
。
六、條件數(shù)
條件數(shù)對研究方程的性態(tài)起著重要的作用。
定義:設(shè)矩陣A是可逆方陣,稱||A||﹒||A-1||為矩陣A的條件數(shù),記為cond(A),即
cond(A)= ||A||﹒||A-1||
性質(zhì):
(1)cond(A) ≥1,并且A的條件數(shù)與所取的誘導(dǎo)數(shù)的類型有關(guān)。
因cond(A)= ||A||﹒||A-1||≥||A A-1||=||I||=1
(2)con
14、d(kA)= cond(A)=cond(A-1),這里k為任意非零常數(shù)。
當(dāng)選用不用的數(shù)時,就得到不同的條件數(shù),如:
cond1(A)= ||A||1﹒||A-1||1
cond∞(A)= ||A||∞﹒||A-1||∞
cond2(A)= ||A||2﹒||A-1||2=,其中分別為AHA的特征值的模的最大值和最小值。譜條件數(shù)
特別地,如果A為可逆的Hermite矩陣,則有
cond2(A)=
這里分別為A的特征值的模的最大值和最小值。
如果A為酉陣,則cond2(A)=1
例 求矩陣A的條件數(shù)cond1(A),cond∞(A)
解:
||A||1=max{6;14
15、;4}=14;
||A||∞=max{8;3;13}=14;
故
||A-1||1=17/4;
||A-1||∞=47/4;
cond1(A)= ||A||1﹒||A-1||1=14×17/4=259/2;
cond∞(A)= ||A||∞﹒||A-1||∞=611/4。
例 設(shè)線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A可逆。討論當(dāng)b有誤差δb時,解的相對誤差δx的大小。
解:因矩陣A可逆,所以Ax=b有唯一解x=A-1b,設(shè)解的誤差為δx,由
A(x+δx)=b+δb
得
Aδx=δb或δx=A-1δb
得
(1)
又Ax=b,可得
,或
16、 (2)
所以由(1)和(2),得
這說明相誤差的大小與條件數(shù)cond(A)密切相關(guān);當(dāng)右端b的相對誤差一定時,cond(A)越大,解的相對誤差就可能越大;cond(A)越小,解的相對誤差就可能越小。因而條件數(shù)cond(A)可以反映A的特性。
一般來說:條件數(shù)反映了誤差放大的程度,條件數(shù)越大,矩陣越病態(tài)。條件數(shù)在最小二乘估計的穩(wěn)定性研究中有重要應(yīng)用。
鑒于矩陣A的條件數(shù)數(shù)cond(A)有多種,但最常用的條件數(shù)是由譜數(shù)||A||2導(dǎo)出的,稱為譜條件數(shù)。在本章中,若無特別聲明,討論的條件數(shù)都是譜條件數(shù)。
譜條件數(shù):
若A是m×n階矩陣,且rank(A) =t≤n,則A的條件數(shù)定義為
即最大奇異值與最小非零奇異值的商。
(3)其它性質(zhì)
對任意酉矩陣Q,cond(QAQH)= cond(A-1);
。
(因)
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