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第五專題 矩陣地數(shù)值特征(行列式、范數(shù)、條件數(shù)、跡、秩、相對特征根)

上傳人:仙*** 文檔編號:86918165 上傳時間:2022-05-08 格式:DOC 頁數(shù):17 大小:472KB
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1、word 第五專題 矩陣的數(shù)值特征 (行列式、跡、秩、相對特征根、數(shù)、條件數(shù)) 一、行列式 已知Ap×q, Bq×p, 則|Ip+AB|=|Iq+BA| 證明一:參照課本194頁,例4.3. 證明二:利用AB和BA有相同的非零特征值的性質(zhì);從而Ip+AB,Iq+BA中不等于1的特征值的數(shù)目 相同,大小相同;其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘積,因此|Ip+AB|和|Iq+BA|等于特征值(不等于1)的乘積,所以二者相等。 二、矩陣的跡 矩陣的跡相對其它數(shù)值特征簡單些,然而,它在許多領(lǐng)域,如數(shù)值計算,逼近論,以及統(tǒng)計估計等都有相當(dāng)多的應(yīng)用,許多量的計算都會

2、歸結(jié)為矩陣的跡的運算。下面討論有關(guān)跡的一些性質(zhì)和不等式。 定義:,etrA=exp(trA) 性質(zhì): 1.,線性性質(zhì); 2.; 3.; 4.; 5.為向量; 6.; 從Schur定理(或Jordan標(biāo)準形)和(4)證明; 7.,則,且等號成立的充要條件是A=0; 8.,則,且等號成立的充要條件是A=B(); 9.對于n階方陣A,若存在正整數(shù)k,使得Ak=0,則tr(A)=0(從Schur定理或Jordan標(biāo)準形證明)。 若干基本不等式 對于兩個m×n復(fù)矩陣A和B,tr(AHB)是m×n維酉空間上的積,也就是將它們按列依次排成的兩個mn維列向量的積,利用Cauch

3、y-schwarz不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理:對任意兩個m×n復(fù)矩陣A和B |tr(AHB)|2≤tr(AHA)﹒tr(BHB) 這里等號成立的充要條件是A=cB,c為一常數(shù)。特別當(dāng)A和B為實對稱陣或Hermit矩陣時 0≤|tr(AB)|≤ 定理:設(shè)A和B為兩個n階Hermite陣,且A≥0,B≥0,則 0≤tr(AB)≤λ1(B)tr(A)≤tr(A)﹒tr(B) λ1(B)表示B的最大特征值。 證明: tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)≥0,又因為 A1/2[λ1(B)I-B]A1/2≥0,所以λ1(B)tr(A)≥A1/

4、2BA1/2,得 tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)≤tr(λ1(B) A) =λ1(B) tr(A)≤tr(A)﹒tr(B) 推論:設(shè)A為Hermite矩陣,且A>0,則 tr(A)tr(A-1)≥n 另外,關(guān)于矩陣的跡的不等式還有很多,請參考《矩陣論中不等式》。 三、矩陣的秩 矩陣的秩的概念是由Sylvester于1861年引進的。它是矩陣的最重要的數(shù)字特征之一。下面討論有關(guān)矩陣秩的一些性質(zhì)和不等式。 定義:矩陣A的秩定義為它的行(或列)向量的最大無關(guān)組所包含的向量的個數(shù)。記為rank(A) 性質(zhì): 1.; 2.; 3.; 4.,其中X列滿秩,Y行滿秩

5、(消去法則)。 定理(Sylvester):設(shè)A和B分別為m×n和n×l矩陣,則 Sylveste定理是關(guān)于兩個矩陣乘積的秩的不等式。其等號成立的充要條件請參考王松桂編寫的《矩陣論中不等式》,三個矩陣乘積的秩的不等式也一并參考上述文獻。 四、相對特征根 定義:設(shè)A和B均為P階實對稱陣,B>0,方程 |A-λB|=0的根稱為A相對于B的特征根。 性質(zhì):|A-λB|=0等價于|B-1/2AB-1/2-λI|=0 (因為B>0,所以B1/2>0) 注:求A相對于B的特征根問題轉(zhuǎn)化為求B-1/2AB-1/2的特征根問題或AB-1的特征根。因B-1/2AB-1/2是實對稱陣,所以

6、特征根為實數(shù)。 定義:使(A-λiB)li=0的非零向量li稱為對應(yīng)于λi的A相對于B的特征向量。 性質(zhì): ① 設(shè)l是相對于λ的A B-1的特征向量,則 A B-1l=λl 或 A (B-1l)=λB( B-1l) B-1l 為對應(yīng)λ的A相對于B的特征向量 (轉(zhuǎn)化為求A B-1的特征向量問題)。 ② 設(shè)l是相對于λ的B-1/2AB-1/2的特征向量,則 B-1/2AB-1/2l=λl 可得 A (B-1/2l)=λB(B-1/2l) 則B-1/2l 為對應(yīng)λ的A相對于B的特征向量 (轉(zhuǎn)化為求B-1/2AB-1/2對稱陣的特征向量問題)。 五、向量數(shù)與矩陣

7、數(shù) 向量與矩陣的數(shù)是描述向量和矩陣“大小”的一種度量。先討論向量數(shù)。 1. 向量數(shù)定義:設(shè)V為數(shù)域F上的線性空間,若對于V的任一向量x,對應(yīng)一個實值函數(shù),并滿足以下三個條件: (1)非負性 ,等號當(dāng)且僅當(dāng)x=0時成立; (2)齊次性 (3)三角不等式。 則稱為V中向量x的數(shù),簡稱為向量數(shù)。定義了數(shù)的線性空間定義稱為賦線性空間。 例1. ,它可表示成,, 就是一種數(shù),稱為歐氏數(shù)或2-數(shù)。 證明: (i)非負性 , 當(dāng)且僅當(dāng)時,即x=0時,=0 (ii)齊次性 (iii)三角不等式 , 根據(jù)H?

8、lder不等式: , 2. 常用的向量數(shù)(設(shè)向量為) 1-數(shù):; ∞-數(shù):; P-數(shù): (p>1, p=1, 2,…,∞,); 2-數(shù):; 橢圓數(shù)(2-數(shù)的推廣): ,A為Hermite正定陣. 加權(quán)數(shù):, 當(dāng), 證明:顯然滿足非負性和齊次性 (iii) ,, 應(yīng)用H?lder不等式 即 3. 向量數(shù)的等價性 定理 設(shè)、為的兩種向量數(shù),則必定存在正數(shù)m、M,使得 ,(m、M與x無關(guān)),稱此為向量數(shù)的等價性。 同時有 注: (1)對某一向量X而言,如果它的某一種數(shù)?。ɑ虼螅敲此钠渌鼣?shù)也?。ɑ虼?/p>

9、)。 (2)不同的向量數(shù)可能大小不同,但在考慮向量序列的收斂性問題時,卻表現(xiàn)出明顯的一致性。 4、矩陣數(shù) 向量數(shù)的概念推廣到矩陣情況。因為一個m×n階矩陣可以看成一個mn維向量,所以中任何一種向量數(shù)都可以認為是m×n階矩陣的矩陣數(shù)。 1. 矩陣數(shù)定義:設(shè)表示數(shù)域C上全體階矩陣的集合。若對于中任一矩陣A,均對應(yīng)一個實值函數(shù),并滿足以下四個條件: (1)非負性: ,等號當(dāng)且僅當(dāng)A=0時成立; (2)齊次性: (3)三角不等式:,則稱為廣義矩陣數(shù); (4)相容性:,則稱為矩陣數(shù)。 5. 常用的矩陣數(shù) (1)Frobenius數(shù)(F-數(shù)) F-數(shù):

10、= = 矩陣和向量之間常以乘積的形式出現(xiàn),因而需要考慮矩陣數(shù)與向量數(shù)的協(xié)調(diào)性。 定義:如果矩陣數(shù)和向量數(shù)滿足 則稱這兩種數(shù)是相容的。 給一種向量數(shù)后,我們總可以找到一個矩陣數(shù)與之相容。 (2)誘導(dǎo)數(shù) 設(shè)A∈Cm×n,x∈, 為x的某種向量數(shù), 記 則是矩陣A的且與相容的矩陣數(shù),也稱之為A的誘導(dǎo)數(shù)或算子數(shù)。 (3)p-數(shù):, ,x為所有可能的向量,, , ,, 可以證明下列矩陣數(shù)都是誘導(dǎo)數(shù): (1) 列(和)數(shù); (2) 譜數(shù); 的最大特征值稱為的譜半徑。 當(dāng)A是Hermite矩陣時,是A的譜半徑。 注:譜數(shù)有許多良好的性質(zhì),因而經(jīng)常用

11、到。 (3) 行(和)數(shù) ( ,) 定理 矩陣A的任意一種數(shù)是A的元素的連續(xù)函數(shù);矩陣A的任意兩種數(shù)是等價的。 定理 設(shè)A∈×n,x∈, 則和是相容的 即 證明:由于成立。 定理 設(shè)A∈×n,則是酉不變的,即對于任意酉矩陣U,V∈×n,有 證明: 定義 設(shè)A∈×n,A的所有不同特征值組成的集合稱為A的譜;特征值的模的最大值稱為A的譜半徑,記為ρ(A)。 定理 ρ(A)不大于A的任何一種誘導(dǎo)數(shù),即 ρ(A)≤ 證明:設(shè)λ是A的任意特征值,x是相應(yīng)的特征向量,即 Ax=λx 則 |λ|·||x||= ||Ax||≤||A||·||x||,

12、 ||x||≠0 即 |λ|≤||A|| 試證:設(shè)A是n階方陣,||A||是誘導(dǎo)數(shù),當(dāng)||A||<1時,I-A可逆,且有 ||(I-A)-1||≤(1-||A||)-1 證明: 若I-A不可逆,則齊次線性方程組 (I-A)x=0 有非零解x,即x=Ax,因而有 ||x||=||Ax||≤||A||﹒||x||<||x|| 但這是不可能的,故I-A可逆。 于是 (I-A)-1=[ (I-A)+A] (I-A)-1=I+A (I-A)-1 因此||(I-A)-1||≤||I||+||A(I-A)-1||=1+||A(I-A)-1|| ≤1+||A||﹒|| (I-

13、A)-1|| 即證 ||(I-A)-1||≤(1-||A||)-1 補充證明||I||=1: 由相容性可知: ||A||﹒||A-1||≥||A A-1||=||I|| 對于誘導(dǎo)數(shù)( ) 。 六、條件數(shù) 條件數(shù)對研究方程的性態(tài)起著重要的作用。 定義:設(shè)矩陣A是可逆方陣,稱||A||﹒||A-1||為矩陣A的條件數(shù),記為cond(A),即 cond(A)= ||A||﹒||A-1|| 性質(zhì): (1)cond(A) ≥1,并且A的條件數(shù)與所取的誘導(dǎo)數(shù)的類型有關(guān)。 因cond(A)= ||A||﹒||A-1||≥||A A-1||=||I||=1 (2)con

14、d(kA)= cond(A)=cond(A-1),這里k為任意非零常數(shù)。 當(dāng)選用不用的數(shù)時,就得到不同的條件數(shù),如: cond1(A)= ||A||1﹒||A-1||1 cond∞(A)= ||A||∞﹒||A-1||∞ cond2(A)= ||A||2﹒||A-1||2=,其中分別為AHA的特征值的模的最大值和最小值。譜條件數(shù) 特別地,如果A為可逆的Hermite矩陣,則有 cond2(A)= 這里分別為A的特征值的模的最大值和最小值。 如果A為酉陣,則cond2(A)=1 例 求矩陣A的條件數(shù)cond1(A),cond∞(A) 解: ||A||1=max{6;14

15、;4}=14; ||A||∞=max{8;3;13}=14; 故 ||A-1||1=17/4; ||A-1||∞=47/4; cond1(A)= ||A||1﹒||A-1||1=14×17/4=259/2; cond∞(A)= ||A||∞﹒||A-1||∞=611/4。 例 設(shè)線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A可逆。討論當(dāng)b有誤差δb時,解的相對誤差δx的大小。 解:因矩陣A可逆,所以Ax=b有唯一解x=A-1b,設(shè)解的誤差為δx,由 A(x+δx)=b+δb 得 Aδx=δb或δx=A-1δb 得 (1) 又Ax=b,可得 ,或

16、 (2) 所以由(1)和(2),得 這說明相誤差的大小與條件數(shù)cond(A)密切相關(guān);當(dāng)右端b的相對誤差一定時,cond(A)越大,解的相對誤差就可能越大;cond(A)越小,解的相對誤差就可能越小。因而條件數(shù)cond(A)可以反映A的特性。 一般來說:條件數(shù)反映了誤差放大的程度,條件數(shù)越大,矩陣越病態(tài)。條件數(shù)在最小二乘估計的穩(wěn)定性研究中有重要應(yīng)用。 鑒于矩陣A的條件數(shù)數(shù)cond(A)有多種,但最常用的條件數(shù)是由譜數(shù)||A||2導(dǎo)出的,稱為譜條件數(shù)。在本章中,若無特別聲明,討論的條件數(shù)都是譜條件數(shù)。 譜條件數(shù): 若A是m×n階矩陣,且rank(A) =t≤n,則A的條件數(shù)定義為 即最大奇異值與最小非零奇異值的商。 (3)其它性質(zhì) 對任意酉矩陣Q,cond(QAQH)= cond(A-1); 。 (因) 17 / 17

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