浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)學(xué)思想與開(kāi)放探索問(wèn)題 第37講 方案設(shè)計(jì)型問(wèn)題講解篇
《浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)學(xué)思想與開(kāi)放探索問(wèn)題 第37講 方案設(shè)計(jì)型問(wèn)題講解篇》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)學(xué)思想與開(kāi)放探索問(wèn)題 第37講 方案設(shè)計(jì)型問(wèn)題講解篇(11頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第37講 方案設(shè)計(jì)型問(wèn)題 內(nèi)容 特性 方案設(shè)計(jì)型問(wèn)題是指運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)建模的方法,按題目所呈現(xiàn)的要求進(jìn)行計(jì)算、論證、選擇、判斷、設(shè)計(jì)的一種數(shù)學(xué)試題.方案設(shè)計(jì)涉及問(wèn)題的多解性,以函數(shù)、方程等思想的指導(dǎo),利用最優(yōu)化方法解決問(wèn)題. 解題 策略 建立數(shù)學(xué)模型,如方程模型、不等式模型、函數(shù)模型和幾何模型等,依據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型求解,從而設(shè)計(jì)方案. 基本 思想 運(yùn)用方程思想、函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合解決方程或不等式方案設(shè)計(jì)問(wèn)題,函數(shù)方案設(shè)計(jì)問(wèn)題,幾何方案設(shè)計(jì)問(wèn)題. 類型一 利用計(jì)算和判斷比較的方案設(shè)計(jì) 某學(xué)校舉行演講比賽,選出了10名同學(xué)擔(dān)任評(píng)委,并事先
2、擬定從如下4個(gè)方案中選擇合理的方案來(lái)確定每個(gè)演講者的最后得分(滿分為10分): 方案1:所有評(píng)委所給分的平均數(shù); 方案2:在所有評(píng)委所給分中,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分,然后再計(jì)算其余所給分的平均數(shù); 方案3:所有評(píng)委所給分的中位數(shù); 方案4:所有評(píng)委所給分的眾數(shù). 為了探究上述方案的合理性,先對(duì)某個(gè)同學(xué)的演講成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn).下面是這個(gè)同學(xué)的得分統(tǒng)計(jì)圖: (1)分別按上述4個(gè)方案計(jì)算這個(gè)同學(xué)演講的最后得分; (2)根據(jù)(1)中的結(jié)果,請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)說(shuō)明哪些方案不適合作為這個(gè)同學(xué)演講的最后得分. 【解后感悟】通過(guò)計(jì)算得出各個(gè)方案的數(shù)值,逐一比較;學(xué)會(huì)選用適
3、當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量分析問(wèn)題. 1.一家特色煎餅店提供厚度相同、直徑不同的兩種煎餅,甲種煎餅直徑20厘米賣價(jià)10元,乙種煎餅直徑30厘米賣價(jià)15元,請(qǐng)問(wèn):買哪種煎餅劃算?( ) A.甲 B.乙 C.一樣 D.無(wú)法確定 類型二 利用方程(組)的方案設(shè)計(jì) 某乳制品廠現(xiàn)有鮮牛奶10噸,若直接銷售,每噸可獲利500元;若制成酸奶銷售,每噸可獲利1200元;若制成奶粉銷售,每噸可獲利2000元.該工廠的生產(chǎn)能力是:若制成酸奶,每天可加工鮮牛奶3噸;若制成奶粉,每天可加工鮮牛奶1噸(兩種加工方式不能同時(shí)進(jìn)行).
4、受氣溫條件限制,這批鮮牛奶必須在4天內(nèi)全部銷售或加工完成.為此該廠設(shè)計(jì)了以下兩種可行方案: 方案一:4天時(shí)間全部用來(lái)生產(chǎn)奶粉,其余直接銷售鮮奶; 方案二:將一部分制成奶粉,其余制成酸奶,并恰好4天完成. 你認(rèn)為哪種方案獲利最多,為什么? 【解后感悟】本題是一元一次方程的應(yīng)用,注意仔細(xì)理解兩種方案的內(nèi)容,在求解方案二的獲利時(shí),要設(shè)出未知數(shù),利用方程思想求解. 2.某班組織班團(tuán)活動(dòng),班委會(huì)準(zhǔn)備用15元錢(qián)全部用來(lái)購(gòu)買筆記本和中性筆兩種獎(jiǎng)品,已知筆記本2元/本,中性筆1元/支,且每種獎(jiǎng)品至少買1件. (1)若設(shè)購(gòu)買筆記本x本,中性筆y支,寫(xiě)出y與x之間的關(guān)系式;
5、(2)有多少種購(gòu)買方案?請(qǐng)列舉所有可能的結(jié)果; (3)從上述方案中任選一種方案購(gòu)買,求買到的中性筆與筆記本數(shù)量相等的概率. 類型三 利用不等式的方案設(shè)計(jì) (2016·資陽(yáng))某大型企業(yè)為了保護(hù)環(huán)境,準(zhǔn)備購(gòu)買A、B兩種型號(hào)的污水處理設(shè)備共8臺(tái),用于同時(shí)治理不同成分的污水,若購(gòu)買A型2臺(tái)、B型3臺(tái)需54萬(wàn)元,購(gòu)買A型4臺(tái)、B型2臺(tái)需68萬(wàn)元. (1)求出A型、B型污水處理設(shè)備的單價(jià); (2)經(jīng)核實(shí),一臺(tái)A型設(shè)備一個(gè)月可處理污水220噸,一臺(tái)B型設(shè)備一個(gè)月可處理污水190噸,如果該企業(yè)每月的污水處理量不低于1565噸,請(qǐng)你為該企業(yè)設(shè)計(jì)一種最省錢(qián)的購(gòu)買方案.
6、 【解后感悟】此題是一元一次不等式的應(yīng)用,根據(jù)已知得出不等式求出所有方案是解題關(guān)鍵. 3.(2017·紹興模擬)某電器超市銷售每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別為200元、170元的A、B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇,下表是近兩周的銷售情況: 銷售時(shí)段 銷售數(shù)量 銷售收入 A種型號(hào) B種型號(hào) 第一周 3臺(tái) 5臺(tái) 1800元 第二周 4臺(tái) 10臺(tái) 3100元 (進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變,利潤(rùn)=銷售收入-進(jìn)貨成本) (1)求A、B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇的銷售單價(jià); (2)若超市準(zhǔn)備用不多于5400元的金額再采購(gòu)這兩種型號(hào)的電風(fēng)扇共30臺(tái),求A種型號(hào)的電風(fēng)扇最多能采購(gòu)多少臺(tái)? (
7、3)在(2)的條件下,超市銷售完這30臺(tái)電風(fēng)扇能否實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)為1400元的目標(biāo)?若能,請(qǐng)給出相應(yīng)的采購(gòu)方案;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由. 類型四 利用函數(shù)的方案設(shè)計(jì) 某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具,進(jìn)價(jià)為20元,試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn):當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí),每天的銷售量為250件,銷售單價(jià)每上漲1元,每天的銷售量就減少10件. (1)寫(xiě)出商場(chǎng)銷售這種文具,每天所得的銷售利潤(rùn)w(元)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式; (2)求銷售單價(jià)為多少元時(shí),該文具每天的銷售利潤(rùn)最大; (3)商場(chǎng)的營(yíng)銷部結(jié)合上述情況,提出了A、B兩種營(yíng)銷方案 方案A:該文具的銷售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過(guò)3
8、0元; 方案B:每天銷售量不少于10件,且每件文具的利潤(rùn)至少為25元. 請(qǐng)比較哪種方案的最大利潤(rùn)更高,并說(shuō)明理由. 【解后感悟】本題是二次函數(shù)的應(yīng)用,最大銷售利潤(rùn)的問(wèn)題常利用函數(shù)的增減性來(lái)解答,我們首先要吃透題意,確定變量,建立函數(shù)模型,然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案.其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值(或最小值),也就是說(shuō)二次函數(shù)的最值不一定在x=-時(shí)取得. 4.(2017·衢州)“五·一”期間,小明一家乘坐高鐵前往某市旅游,計(jì)劃第二天租用新能源汽車自駕出游. 根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題: (1)設(shè)租車時(shí)間為x小時(shí),租用甲公司的車所需費(fèi)用為y1元,租用乙公司的車所需費(fèi)用為y
9、2元,分別求出y1,y2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式; (2)請(qǐng)你幫助小明計(jì)算并選擇哪個(gè)出游方案合算. 5.(2015·瀘州)某小區(qū)為了綠化環(huán)境,計(jì)劃分兩次購(gòu)進(jìn)A、B兩種花草,第一次分別購(gòu)進(jìn)A、B兩種花草30棵和15棵,共花費(fèi)675元;第二次分別購(gòu)進(jìn)A、B兩種花草12棵和5棵.兩次共花費(fèi)940元(兩次購(gòu)進(jìn)的A、B兩種花草價(jià)格均分別相同). (1)A、B兩種花草每棵的價(jià)格分別是多少元? (2)若購(gòu)買A、B兩種花草共31棵,且B種花草的數(shù)量少于A種花草的數(shù)量的2倍,請(qǐng)你給出一種費(fèi)用最省的方案,并求出該方案所需費(fèi)用. 類型五 利用圖形的
10、方案設(shè)計(jì) 某校數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備做測(cè)量旗桿的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng),來(lái)到旗桿下,發(fā)現(xiàn)旗桿AB頂端A垂下一段繩子ABC如圖.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),原來(lái)制定的一系列測(cè)量方案,在此都不需要.如今只借助垂下的繩子和一根皮尺,在不攀爬旗桿的情況下,測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù),就可以計(jì)算出旗桿的高度. (1)請(qǐng)你給出具體的測(cè)量方案,并寫(xiě)出推算旗桿高度的過(guò)程; (2)推測(cè)這個(gè)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組原來(lái)制定的一系列測(cè)量旗桿的方案是什么? 【解后感悟】關(guān)于物體的測(cè)量是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題,因此必須考慮實(shí)際環(huán)境,結(jié)合實(shí)際環(huán)境,充分運(yùn)用所學(xué)知識(shí)制定方案,制定方案時(shí)要遵循可操作性強(qiáng)、簡(jiǎn)單易行原則.第2個(gè)問(wèn)題的測(cè)量方案還可有其他的,有
11、興趣的同學(xué)可自行進(jìn)一步探討.對(duì)于以上2種測(cè)量方案的相關(guān)計(jì)算方法,請(qǐng)同學(xué)們自己給出. 6.(2017·鎮(zhèn)江模擬)在棋盤(pán)中建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,三顆棋子A,O,B的位置如圖,它們的坐標(biāo)分別是(-1,1),(0,0),(1,0). (1)如圖2,添加棋子C,使四顆棋子A,O,B,C成為一個(gè)軸對(duì)稱圖形,請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出該圖形的對(duì)稱軸; (2)在其他格點(diǎn)位置添加一顆棋子P,使四顆棋子A,O,B,P成為軸對(duì)稱圖形,請(qǐng)直接寫(xiě)出棋子P的位置的坐標(biāo).(寫(xiě)出2個(gè)即可) 7.(2016·海陵模擬)某園藝公司對(duì)一塊直角三角形的花圃進(jìn)行改造,測(cè)得兩直角邊長(zhǎng)分別為6m、8m.現(xiàn)要將其擴(kuò)
12、建成等腰三角形,且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊長(zhǎng)的直角三角形.請(qǐng)你設(shè)計(jì)出所有合適的方案,畫(huà)出草圖,并求出擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的面積. 【探索研究題】 要在一塊長(zhǎng)52m,寬48m的矩形綠地上,修建同樣寬的兩條互相垂直的甬路.下面分別是小亮和小穎的設(shè)計(jì)方案. (1)求小亮設(shè)計(jì)方案中甬路的寬度x; (2)求小穎設(shè)計(jì)方案中四塊綠地的總面積(小穎設(shè)計(jì)方案中的x與小亮設(shè)計(jì)方案中的x取值相同). 【方法與對(duì)策】本題是一元二次方程的應(yīng)用,特別是圖形的面積問(wèn)題更是近幾年中考中考查一元二次方程的應(yīng)用的主要題型.該題型是實(shí)際應(yīng)用和圖形變換相結(jié)合,是中考命題的方式之
13、一. 【忽視變量前系數(shù),導(dǎo)致解答不全而出錯(cuò)】 為了迎接“五·一”小長(zhǎng)假的購(gòu)物高峰,某運(yùn)動(dòng)品牌服裝專賣店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種服裝,甲種服裝每件進(jìn)價(jià)180元,售價(jià)320元;乙種服裝每件進(jìn)價(jià)150元,售價(jià)280元. (1)若該專賣店同時(shí)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種服裝共200件,恰好用去32400元,求購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種服裝各多少件? (2)該專賣店為使甲、乙兩種服裝共200件的總利潤(rùn)(利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià))不少于26700元,且購(gòu)進(jìn)甲服裝不超過(guò)80件,則該專賣店有幾種進(jìn)貨方案? (3)在(2)的條件下,專賣店準(zhǔn)備在5月1日當(dāng)天對(duì)甲種服裝進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動(dòng),決定對(duì)甲種服裝每件優(yōu)惠a(0<a<20)元出售,乙種服
14、裝價(jià)格不變,那么該專賣店要獲得最大利潤(rùn)應(yīng)如何進(jìn)貨? 參考答案 第37講 方案設(shè)計(jì)型問(wèn)題 【例題精析】 例1 (1)方案1最后得分:×(3.2+7.0+7.8+3×8+3×8.4+9.8)=7.7;方案2最后得分:×(7.0+7.8+3×8+3×8.4)=8;方案3最后得分:8;方案4最后得分:8或8.4. (2)因?yàn)榉桨?中的平均數(shù)受極端數(shù)值的影響,不能反映這組數(shù)據(jù)的“平均水平”,所以方案1不適合作為最后得分的方案;又因?yàn)榉桨?中的眾數(shù)有兩個(gè),從而使眾數(shù)失去了實(shí)際意義,所以方案4不適合作為最后得分
15、的方案. 例2 方案一獲利:4×2000+6×500=11000(元).方案二:設(shè)制奶粉x天,則1×x+(4-x)×3=10,解得x=1天.故1×1×2000+3×3×1200=12800(元).故方案二獲利最多. 例3 (1)設(shè)A型污水處理設(shè)備的單價(jià)為x萬(wàn)元,B型污水處理設(shè)備的單價(jià)為y萬(wàn)元,根據(jù)題意可得:,解得:.答:A型污水處理設(shè)備的單價(jià)為12萬(wàn)元,B型污水處理設(shè)備的單價(jià)為10萬(wàn)元; (2)設(shè)購(gòu)進(jìn)a臺(tái)A型污水處理器,根據(jù)題意可得:220a+190(8-a)≥1565,解得:a≥1.5,∵A型污水處理設(shè)備單價(jià)比B型污水處理設(shè)備單價(jià)高,∴A型污水處理設(shè)備買越少,越省錢(qián),∴購(gòu)進(jìn)2臺(tái)A型污
16、水處理設(shè)備,購(gòu)進(jìn)6臺(tái)B型污水處理設(shè)備最省錢(qián). 例4 (1)w=(x-20)(250-10x+250)=-10x2+700x-10000; (2)w=-10x2+700x-10000=-10(x-35)2+2250所以,當(dāng)x=35時(shí),w有最大值2250,即銷售單價(jià)為35元時(shí),該文具每天的銷售利潤(rùn)最大;(3)方案A:由題可得20<x≤30,因?yàn)閍=-10<0,對(duì)稱軸為x=35,拋物線開(kāi)口向下,在對(duì)稱軸左側(cè),w隨x的增大而增大,所以,當(dāng)x=30時(shí),w取最大值為2000元,方案B:由題意得解得:45≤x≤49,在對(duì)稱軸右側(cè),w隨x的增大而減小,所以,當(dāng)x=45時(shí),w取最大值為1250元,因?yàn)?00
17、0元>1250元,所以選擇方案A. 例5 (1)測(cè)量方案設(shè)計(jì)如下:①測(cè)量繩子比旗桿多出的部分BC=am;②把繩子ABC拉緊到地面D處如圖1,測(cè)量B到D的距離BD=bm.推算過(guò)程:設(shè)旗桿的高度為xm,則AD是(x+a)m.在直角△ABD中,根據(jù)AB2+BD2=AD2得x2+b2=(x+a)2,x2+b2=x2+a2+2ax,解得x=. (2)這個(gè)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組原來(lái)制定的測(cè)量旗桿的方案可能有以下幾個(gè): 【變式拓展】 1. B 2. (1)根據(jù)題意得:2x+y=15,∴y與x之間的關(guān)系式為y=15-2x. (2)購(gòu)買方案:x=1,y=13;x=2,y=11;x=3,y=9
18、;x=4,y=7;x=5,y=5;x=6,y=3,x=7,y=1,∴共有7種購(gòu)買方案. (3)∵買到的中性筆與筆記本數(shù)量相等的只有1種情況,∴買到的中性筆與筆記本數(shù)量相等的概率為:. 3.(1)設(shè)A、B兩種型號(hào)電風(fēng)扇的銷售單價(jià)分別為x元、y元,得:解得:答:A、B兩種型號(hào)電風(fēng)扇的銷售單價(jià)分別為250元、210元; (2)設(shè)采購(gòu)A種型號(hào)電風(fēng)扇a臺(tái),依題意得:200a+170(30-a)≤5400,得:a≤10.答:超市最多采購(gòu)A種型號(hào)電風(fēng)扇10臺(tái)時(shí),采購(gòu)金額不多于5400元;(3)依題意有:(250-200)a+(210-170)(30-a)=1400,解得:a=20,∵a>10,∴在(2)
19、的條件下超市不能實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)1400元的目標(biāo). 4. (1)設(shè)y1=k1x+80,把點(diǎn)(1,95)代入,可得95=k1+80,解得k1=15,∴y1=15x+80(x≥0);設(shè)y2=k2x,把(1,30)代入,可得30=k2,即k2=30,∴y2=30x(x≥0); (2)當(dāng)y1=y(tǒng)2時(shí),15x+80=30x,解得x=;當(dāng)y1>y2時(shí),15x+80>30x,解得x<;當(dāng)y1<y2時(shí),15x+80<30x,解得x>;∴當(dāng)租車時(shí)間為小時(shí),選擇甲乙公司一樣合算;當(dāng)租車時(shí)間小于小時(shí),選擇乙公司合算;當(dāng)租車時(shí)間大于小時(shí),選擇甲公司合算. 5. (1)設(shè)A種花草每棵的價(jià)格x元,B種花草每棵的價(jià)格y元
20、,根據(jù)題意得:,解得:,∴A種花草每棵的價(jià)格是20元,B種花草每棵的價(jià)格是5元. (2)設(shè)A種花草的數(shù)量為m株,則B種花草的數(shù)量為(31-m)株,∵B種花草的數(shù)量少于A種花草的數(shù)量的2倍,∴31-m<2m,解得:m>,∵m是正整數(shù),∴m最小值=11,設(shè)購(gòu)買樹(shù)苗總費(fèi)用為W=20m+5(31-m)=15m+155,∵k>0,∴W隨m的減小而減小,當(dāng)m=11時(shí),W最小值=15×11+155=320(元).答:購(gòu)進(jìn)A種花草的數(shù)量為11株、B種20株,費(fèi)用最??;最省費(fèi)用是320元. 6.(1)如圖,答案不唯一; (2)(2,1),(0,-1). 7.如圖1所示:S△ABD=×8×12=48(
21、m2);如圖2所示:S△ABD=×8×10=40(m2);如圖3所示:在Rt△ACD中,AC2+DC2=AD2,即82+x2=(x+6)2,解得:x=,故S△ABD=×8×=(m2). 【熱點(diǎn)題型】 【分析與解】(1)根據(jù)小亮的方案表示出矩形的長(zhǎng)和寬,利用矩形的面積公式列出方程求解即可.根據(jù)小亮的設(shè)計(jì)方案列方程得:(52-x)(48-x)=2300,解得:x=2或x=98(舍去),∴小亮設(shè)計(jì)方案中甬道的寬度為2m; (2)求得甬道的寬后利用平行四邊形的面積計(jì)算方法求得兩個(gè)陰影部分面積的和即可.作AI⊥CD,HJ⊥EF,垂足分別為I,J,∵AB∥CD,∠1=60°,∴∠ADI=60°,
22、∵BC∥AD,∴四邊形ADCB為平行四邊形,∴BC=AD,由(1)得x=2,∴BC=HE=2=AD,在Rt△ADI中,AI=2sin60°=.∴小穎設(shè)計(jì)方案中四塊綠地的總面積為52×48-52×2-48×2+()2=2299平方米. 【錯(cuò)誤警示】(1)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種服裝x件,則乙種服裝是(200-x)件,根據(jù)題意得:180x+150(200-x)=32400,解得:x=80,200-x=200-80=120(件),則購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種服裝分別為80件、120件; (2)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種服裝y件,則乙種服裝是(200-y)件,根據(jù)題意得:(320-180)y+(280-150)(200-y)≥26700,解得:y≥70,而y≤80,∴70≤y≤80,又∵y是正整數(shù),∴共有11種方案; (3)設(shè)總利潤(rùn)為W元,W=(140-a)y+130(200-y),即w=(10-a)y+26000.①當(dāng)0<a<10時(shí),10-a>0,W隨y增大而增大,∴當(dāng)y=80時(shí),W有最大值,即此時(shí)購(gòu)進(jìn)甲種服裝80件,乙種服裝120件;②當(dāng)a=10時(shí),(2)中所有方案獲利相同,所以按哪種方案進(jìn)貨都可以;③當(dāng)10<a<20時(shí),10-a<0,W隨y增大而減?。?dāng)y=70時(shí),W有最大值,即此時(shí)購(gòu)進(jìn)甲種服裝70件,乙種服裝130件. 11
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