《浙江省2018年中考數(shù)學總復習 第七章 數(shù)學思想與開放探索問題 第40講 實驗與動態(tài)型問題講解篇》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《浙江省2018年中考數(shù)學總復習 第七章 數(shù)學思想與開放探索問題 第40講 實驗與動態(tài)型問題講解篇（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第40講　實驗與動態(tài)型問題 內(nèi)容 特性 動態(tài)型問題是指以三角形、四邊形、圓等幾何圖形或函數(shù)圖象為載體，設(shè)計動態(tài)變化，并對變化過程中伴隨著的等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進行實驗、觀察、猜想和歸納，進行推理的一類問題，這類問題信息量大，靈活多變，出現(xiàn)的結(jié)果往往有多種情況．涉及到平行線、相似三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，方程、不等式及函數(shù)的知識，以及幾何變換，數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)與方程，特殊與一般的思想. 解題 策略 解決此類問題需要運用運動和變化的觀點，把握運動和變化的全過程，動中取靜，靜中求動，抓住運動中的某一瞬間，抓住變化過程中的特殊情形

2、，確定運動變化過程中的數(shù)量關(guān)系、圖形位置關(guān)系，從而建立方程、不等式、函數(shù)、幾何模型，找到解決問題的途徑. 基本 思想 解題時利用方程與函數(shù)的思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，恰當?shù)厥褂梅治鼍C合法，挖掘題目的隱含條件，將復雜問題分解為基本問題，逐個擊破，進一步得到新的結(jié)論. 類型一　由點運動產(chǎn)生的問題 　(2017·麗水)如圖1，在△ABC中，∠A＝30°，點P從點A出發(fā)以2cm/s的速度沿折線A－C－B運動，點Q從點A出發(fā)以a(cm/s)的速度沿AB運動，P，Q兩點同時出發(fā)，當某一點運動到點B時，兩點同時停止運動．設(shè)運動時間為x(s)，△APQ的面積為y(c

3、m2)，y關(guān)于x的函數(shù)圖象由C1，C2兩段組成，如圖2所示． (1)求a的值； (2)求圖2中圖象C2段的函數(shù)表達式； (3)當點P運動到線段BC上某一段時△APQ的面積大于當點P在線段AC上任意一點時△APQ的面積，求x的取值范圍． 　　　 　　　　　　　　 　　　 【解后感悟】解題的關(guān)鍵是從運動圖與描述圖中獲取信息，根據(jù)圖象確定x的運動時間與面積的關(guān)系，同時關(guān)注圖象不同情況的討論．這類問題往往探究點在運動變化過程中的變化規(guī)律，如等量關(guān)系、圖形的特殊位置、圖形間的特殊關(guān)系等，且體現(xiàn)分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想． 1． (2016·白銀)如圖，△ABC是等腰直角三角

4、形，∠A＝90°，BC＝4，點P是△ABC邊上一動點，沿B→A→C的路徑移動，過點P作PD⊥BC于點D，設(shè)BD＝x，△BDP的面積為y，則下列能大致反映y與x函數(shù)關(guān)系的圖象是(　　) 2．(1)如圖，在平面直角坐標系中，點A在拋物線y＝x2－2x＋2上運動，過點A作AC⊥x軸于點C，以AC為對角線作矩形ABCD，連結(jié)BD，則對角線BD的最小值為　　　　　　　　　. (2) (2016·舟山)如圖，在直角坐標系中，點A，B分別在x軸，y軸上，點A的坐標為(－1，0)，∠ABO＝30°，線段PQ的端點P從點O出發(fā)，沿△OBA的邊按O→B→A→O運動一周，同時另一端點Q隨之在x軸的非

5、負半軸上運動，如果PQ＝，那么當點P運動一周時，點Q運動的總路程為　　　　　　　　. 類型二　由線運動產(chǎn)生的問題 　(2015·無錫)如圖，C為∠AOB的邊OA上一點，OC＝6，N為邊OB上異于點O的一動點，P是線段CN上一點，過點P分別作PQ∥OA交OB于點Q，PM∥OB交OA于點M. (1)若∠AOB＝60°，OM＝4，OQ＝1，求證：CN⊥OB； (2)當點N在邊OB上運動時，四邊形OMPQ始終保持為菱形． ①問：－的值是否發(fā)生變化？如果變化，求出其取值范圍；如果不變，請說明理由； ②設(shè)菱形OMPQ的面積為S1，△NOC的面積為S2，求的取值范圍． 【解后感悟】

6、解答這類問題時要用運動與變化的觀點去觀察和研究圖形，把握直線或曲線變化的全過程，本題中PQ∥OA，PM∥OB，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，抓住等量關(guān)系，特別注意一些不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系． 3． (1)(2016·長春市南關(guān)區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的邊BC在x軸的正半軸上，點B在點C的左側(cè)，直線y＝kx經(jīng)過點A(3，3)和點P，且OP＝6.將直線y＝kx沿y軸向下平移得到直線y＝kx＋b，若點P落在矩形ABCD的內(nèi)部，則b的取值范圍是(　　) A．0

7、0)與此正方形的邊有交點，則a的取值范圍是　　　　　　　　. (3) (2016·新昌模擬)已知Rt△ABC的頂點坐標為A(1，2)，B(2，2)，C(2，1)，若拋物線y＝ax2與該直角三角形無公共點，則a的取值范圍是　　　　　　　　. (4) (2016·海陵模擬)如圖，等腰直角三角形的斜邊長AB＝8，一直線l繞頂點B任意旋轉(zhuǎn)，過A向l作垂線，垂足為H，則線段CH長的取值范圍是　　　　　　　　. 類型三　由圖形運

8、動產(chǎn)生的問題 　(2016·金華)由6根鋼管首尾順次鉸接而成六邊形鋼架ABCDEF，相鄰兩鋼管可以轉(zhuǎn)動．已知各鋼管的長度為AB＝DE＝1米，BC＝CD＝EF＝FA＝2米．(鉸接點長度忽略不計) (1)轉(zhuǎn)動鋼管得到三角形鋼架，如圖1，則點A，E之間的距離是　　　　　　　　米； (2)轉(zhuǎn)動鋼管得到如圖2所示的六邊形鋼架，有∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝120°，現(xiàn)用三根鋼條連接頂點使該鋼架不能活動，則所用三根鋼條總長度的最小值是　　　　　　　米． 【解后感悟】由圖形變化產(chǎn)生的問題包括由點引起的圖形變化，圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)等；圖形在變化過程中，抓住不變的圖形和量；以三角形、四邊形和圓的變化

9、為常見的一種題型．本題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊三角形以及平行四邊形． 4． (2016·金華)如圖，Rt△ABC紙片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點D在邊BC上，以AD為折痕折疊△ABD得到△AB′D，AB′與邊BC交于點E.若△DEB′為直角三角形，則BD的長是　　　　 . 5．(2016·寧波)如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為(5，0)，菱形OABC的頂點B，C都在第一象限，tan∠AOC＝，將菱形繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α(0°＜∠α＜∠AOC)得到菱形FADE(點O的對應(yīng)點為點F)，EF與OC交于點G，連結(jié)AG. (1)求點B的坐標； (2)

10、當OG＝4時，求AG的長； (3)求證：GA平分∠OGE； (4)連結(jié)BD并延長交x軸于點P，當點P的坐標為(12，0)時，求點G的坐標． 【動點實驗題】 用如圖1，2所示的兩個直角三角形(部分邊長及角的度數(shù)在圖中已標出)，完成以下兩個探究問題： 探究一：將以上兩個三角形如圖3拼接(BC和ED重合)，在BC邊上有一動點P. (1)當點P運動到∠CFB的角平分線上時，連結(jié)AP，求線段AP的長； (2)當點P在運動的過程中出現(xiàn)PA＝FC時，求∠PAB的度數(shù)． 探究二：如圖4，將△DEF的頂點D放在△ABC的BC邊上的中點處，并以點D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)△DEF，使△DEF的兩

11、直角邊與△ABC的兩直角邊分別交于M、N兩點，連結(jié)MN.在旋轉(zhuǎn)△DEF的過程中，△AMN的周長是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，請說明理由． 【方法與對策】本題是幾何綜合題，運用了解直角三角形、勾股定理、全等三角形、二次函數(shù)最值等知識點．第(3)問，由發(fā)現(xiàn)并證明△AMD≌△CND取得解題的突破點，再利用勾股定理和二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值．這種題型要注意問題的前后關(guān)系，要利用前面方法來指導后面的問題，要利用特殊到一般的思想，這是中考常見題型． 【沒有畫圖和動態(tài)分析，致使問題分析不全】 如圖，已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(1，4

12、)，B(4，1)，C(1，1)，若雙曲線y＝(x＞0)與△ABC有公共點，則k的取值范圍是________． 第40講　實驗與動態(tài)型問題 【例題精析】 例1　(1)如圖1，作PD⊥AB于D，∵∠A＝30°，∴PD＝AP＝x，∴y＝AQ·PD＝ax2，由圖象可知，當x＝1時，y＝，∴×a×12＝，解得a＝1； (2)如圖2，作PD⊥AB于D，由圖象可知，PB＝5×2－2x＝10－2x，PD＝PB·sinB＝(10－2x)·sinB，∴y＝×AQ×PD＝x×(10－2x)·sinB，∵當x＝4時，y＝，

13、∴×4×(10－2×4)·sinB＝，解得，sinB＝，∴y＝x×(10－2x)×＝－x2＋x；(3)x2＝－x2＋x，解得，x1＝0，x2＝2，由圖象可知，當x＝2時，y＝x2有最大值，最大值是×22＝2，－x2＋x＝2，解得，x1＝3，x2＝2，∴當2＜x＜3時，點P運動到線段BC上某一段時△APQ的面積大于當點P在線段AC上任意一點時△APQ的面積． 例2　(1)過P作PE⊥OA于E，∵PQ∥OA，PM∥OB，∴四邊形OMPQ為平行四邊形．∴PM＝OQ＝1，∠PME＝∠AOB＝60°，∴PE＝PM·sin60°＝，ME＝，∴CE＝OC－OM－ME＝，∴tan∠PCE＝＝，∴∠PCE

14、＝30°，∴∠CPM＝90°，又∵PM∥OB，∴∠CNO＝∠CPM＝90°，即CN⊥OB. (2)①－的值不發(fā)生變化．理由如下：設(shè)OM＝x，ON＝y(tǒng).∵四邊形OMPQ為菱形，∴OQ＝QP＝OM＝x，NQ＝y(tǒng)－x.∵PQ∥OA，∴∠NQP＝∠O.又∵∠QNP＝∠ONC，∴△NQP∽△NOC，∴＝，即＝，∴6y－6x＝xy.兩邊都除以6xy，得－＝，即－＝. ②過P作PE⊥OA于E，過N作NF⊥OA于F，則S1＝OM·PE，S2＝OC·NF，∴＝.∵PM∥OB，∴∠PMC＝∠O.又∵∠PCM＝∠NCO，∴△CPM∽△CNO.∴＝＝.∴＝＝－(x－3)2＋.∵0＜x＜6，由這個二次函數(shù)的圖

15、象可知，0＜≤.　 例3　(1)如圖1中，∵FB＝DF，F(xiàn)A＝FE，∴∠FAE＝∠FEA，∠B＝∠D，∴∠FAE＝∠B，∴AE∥BD，∴＝，∴＝，∴AE＝，故答案為. (2)如圖2中，作BN⊥FA于N，延長AB、DC交于點M，連結(jié)BD、AD、BF、CF.在Rt△BFN中，∵∠BNF＝90°，BN＝，F(xiàn)N＝AN＋AF＝＋2＝，∴BF＝＝，同理得到AC＝DF＝，∵∠ABC＝∠BCD＝120°，∴∠MBC＝∠MCB＝60°，∴∠M＝60°，∴CM＝BC＝BM，∵∠M＋∠MAF＝180°，∴AF∥DM，∵AF＝CM，∴四邊形AMCF是平行四邊形，∴CF＝AM＝3，∵∠BCM＝∠CBD＋∠C

16、DB＝60°，∠CBD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∵∠M＝60°，∴∠MBD＝90°，∴BD＝＝2，BE＝＝，∵<3<2＜，∴用三根鋼條連接頂點使該鋼架不能活動，∴連結(jié)AC、BF、DF即可，∴所用三根鋼條總長度的最小值為3，故答案為3. 【變式拓展】 1． B　 2. (1)1　(2)4　 3.(1)C　(2)2≤a≤3　(3)a<0或a>2或0

17、直角△BAH中，AB＝5，∴BH＝AB＝4，AH＝AB＝3，∴OH＝OA＋AH＝5＋3＝8，∴點B的坐標為(8，4)； (2)如圖1，過點A作AM⊥OC于點M，在直角△AOM中，∵tan∠AOC＝，OA＝5，∴AM＝OA＝4，OM＝OA＝3，∵OG＝4，∴GM＝OG－OM＝4－3＝1，∴AG＝＝＝； (3)如圖1，過點A作AN⊥EF于點N，∵在△AOM與△AFN中，∴△AOM≌△AFN(AAS)，∴AM＝AN，∴GA平分∠OGE. (4)如圖2，過點G作GQ⊥x軸于點Q，由旋轉(zhuǎn)可知：∠OAF＝∠BAD＝α.∵AB＝AD，∴∠ABP＝，∵∠AOT＝∠F，∠OTA＝∠GTF，∴∠OGF＝∠O

18、AF＝α，∴∠OGA＝∠EGA＝，∴∠OGA＝∠ABP，又∵∠GOA＝∠BAP，∴△GOA∽△BAP，∴＝，∴GQ＝×4＝.∵tan∠AOC＝，∴OQ＝×＝，∴G. 【熱點題型】 【分析與解】探究一：(1)依題意畫出圖形，如圖1所示：由題意，得∠CFB＝60°，F(xiàn)P為角平分線，則∠CFP＝30°.∴CF＝BC·tan30°＝3×＝.∴CP＝CF·tan∠CFP＝×＝1.過點A作AG⊥BC于點G，則AG＝BC＝，∴PG＝CG－CP＝－1＝.在Rt△APG中，由勾股定理得：AP＝＝＝. 　(2)由(1)可知，F(xiàn)C＝，如圖2所示，以點A為圓心，以FC＝長為半徑畫弧，與BC交于點P1、P

19、2，則AP1＝AP2＝.過點A作AG⊥BC于點G，則AG＝BC＝，在Rt△AGP1中，cos∠P1AG＝＝＝，∴∠P1AG＝30°.∴∠P1AB＝45°－30°＝15°.同理求得，∠P2AG＝30°，∠P2AB＝45°＋30°＝75°.∴∠PAB的度數(shù)為15°或75°. 探究二：△AMN的周長存在最小值．如圖3所示，連結(jié)AD，∵△ABC為等腰直角三角形，點D為斜邊BC的中點，∴AD＝CD，∠C＝∠MAD＝45°.∵∠EDF＝90°，∠ADC＝90°，∠MDA＝∠NDC.∵在△AMD與△CND中，∴△AMD≌△CND(ASA)．∴AM＝CN.設(shè)AM＝x，則CN＝x，AN＝AC－CN＝BC－CN＝－x，在Rt△AMN中，由勾股定理得：MN＝＝＝＝，∴△AMN的周長為：AM＋AN＋MN＝＋.當x＝時，有最小值，最小值為＋＝.∴△AMN周長的最小值為. 【錯誤警示】 如圖2，若雙曲線與△ABC有公共點，則雙曲線向下最多到點C，向上最多到與直線AB只有一個交點，當過點C時，解得k＝1；當雙曲線與直線AB只有一個交點時，設(shè)直線AB解析式為y＝ax＋b，∵A(1，4)，B(4，1)，∴解得∴直線AB的解析式為y＝－x＋5，∴∴x2－5x＋k＝0，則該方程有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝0，即(－5)2－4k＝0，解得k＝，∴k的取值范圍為：1≤k≤. 11