2020中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專練05 一元二次方程(含解析)
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1、熱點(diǎn)05 一元二次方程 【命題趨勢(shì)】 1.用直接開平方法、配方法、公式法或因式分解法解一元二次方程. 2.一元二次方程根的判別式,有兩種考查方式:①給出一元二次方程,求方程的根的情況;②給出帶有參數(shù)的一元二次方程和根的情況,求參數(shù)的取值范圍. 3.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,主要考查方式:①不解方程,判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根;②已知方程及方程的一個(gè)根,求另一個(gè)根及未知數(shù);③不解方程求關(guān)于根的式子的值,如求等等;④判斷兩根的符號(hào).⑤求作新方程;⑥由給出的兩根滿足的條件,確定字母的取值. 4.列一元二次方程解決實(shí)際問題,以實(shí)際生活為背景,命題比較廣泛(常見的題型是增長(zhǎng)率問題
2、). 【滿分技巧】 一、一元二次方程根的情況 1.一元二次方程有實(shí)數(shù)根的前提是b2-4ac≥0. 利用一元二次方程根的判別式(=b2﹣4ac)判斷方程的根的情況. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與=b2﹣4ac有如下關(guān)系: ①當(dāng)>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根; ②當(dāng)=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根; ③當(dāng)<0時(shí),方程無實(shí)數(shù)根. 2.一元二次方程根與系數(shù)的特點(diǎn): (1)若二次項(xiàng)系數(shù)為1,常用以下關(guān)系:x1,x2是方程x2+px+q=0的兩根時(shí),x1+x2=﹣p,x1x2=q,反過來可得p=﹣(x1+x2),q=x1x2,前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題,
3、后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù). (2)若二次項(xiàng)系數(shù)不為1,則常用以下關(guān)系:x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時(shí),x1+x2=,x1x2=,反過來也成立,即=﹣(x1+x2),=x1x2. 二、一元二次方程的應(yīng)用 列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”: 1.審:理解題意,明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系. 2.設(shè):根據(jù)題意,可以直接設(shè)未知數(shù),也可以間接設(shè)未知數(shù). 3.列:根據(jù)題中的等量關(guān)系,用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量,從而列出方程. 4.解:準(zhǔn)確求出方程的解. 5.驗(yàn):檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問題. 6.答:寫出答案.
4、 列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題: (1)數(shù)字問題:個(gè)位數(shù)為a,十位數(shù)是b,則這個(gè)兩位數(shù)表示為10b+a. (2)增長(zhǎng)率問題:增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)數(shù)量/原數(shù)量×100%.如:若原數(shù)是a,每次增長(zhǎng)的百分率為x,則第一次增長(zhǎng)后為a(1+x);第二次增長(zhǎng)后為a(1+x)2,即 原數(shù)×(1+增長(zhǎng)百分率)2=后來數(shù). (3)形積問題:①利用勾股定理列一元二次方程,求三角形、矩形的邊長(zhǎng).②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積,以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程.③利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系,列比例式,通過兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積,得到一元二次方程. (4)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問題:物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線
5、或形成一條痕跡,運(yùn)行的路線與其他條件會(huì)構(gòu)成直角三角形,可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解. 【限時(shí)檢測(cè)】(建議用時(shí):30分鐘) 一、選擇題 1.(天津市濱海區(qū)2019屆九年級(jí)中考二模數(shù)學(xué)試卷)一元二次方程的根為 A. B. C., D., 【答案】D 【解析】∵, ∴x(x+1)=0, 即x=0或x+1=0, 解得:x=0或x=–1. 故選D. 2. (2019?河南)一元二次方程(x+1)(x–1)=2x+3的根的情況是 A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D.沒有實(shí)數(shù)根 【答案】A 【解析】原方程可化為:x2–2x–4=0
6、,∴a=1,b=–2,c=–4,∴△=(–2)2–4×1×(–4)=20>0, ∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故選A. 3.(山東省濟(jì)南歷下區(qū)2019屆九年級(jí)第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題)已知關(guān)于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2x+1=0有實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是 A.m≤2 B.m≥2 C.m≤2且m≠1 D.m≥﹣2且m≠1 【答案】C 【解析】∵關(guān)于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2x+1=0有實(shí)數(shù)根, ∴, 解得:m≤2且m≠1.故選C. 4.(2019?廣東)已知x1,x2是一元二次方程x2–2x=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 A.x1≠x2 B.x12–2x1=0
7、 C.x1+x2=2 D.x1?x2=2 【答案】D 【解析】∵Δ=(–2)2–4×1×0=4>0,∴x1≠x2,選項(xiàng)A不符合題意; ∵x1是一元二次方程x2–2x=0的實(shí)數(shù)根,∴x12–2x1=0,選項(xiàng)B不符合題意; ∵x1,x2是一元二次方程x2–2x=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,∴x1+x2=2,x1?x2=0,選項(xiàng)C不符合題意,選項(xiàng)D符合題意.故選D. 5.(2019年廣西梧州市中考數(shù)學(xué)二模試卷)一元二次方程2x2﹣5x﹣4=0根的情況是 A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C.沒有實(shí)數(shù)根 D.無法判定該方程根的情況 【答案】A 【解析】=(﹣5)2﹣4×
8、2×(﹣4)=57>0, 所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. 故選A. 6.(2019?河北)小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)時(shí),只抄對(duì)了a=1,b=4,解出其中一個(gè)根是x=–1.他核對(duì)時(shí)發(fā)現(xiàn)所抄的c比原方程的c值小2,則原方程的根的情況是 A.不存在實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C.有一個(gè)根是x=–1 D.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 【答案】A 【解析】∵小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)時(shí),只抄對(duì)了a=1,b=4, 解出其中一個(gè)根是x=–1, ∴(–1)2–4+c=0,解得:c=3,故原方程中c=5,則b2–4ac=16–4×1×5=–4<
9、0,則原方程的根的情況是不存在實(shí)數(shù)根.故選A. 7.(2019?廣西)揚(yáng)帆中學(xué)有一塊長(zhǎng)30 m,寬20 m的矩形空地,計(jì)劃在這塊空地上劃出四分之一的區(qū)域種花,小禹同學(xué)設(shè)計(jì)方案如圖所示,求花帶的寬度.設(shè)花帶的寬度為x m,則可列方程為 A.(30–x)(20–x)=×20×30 B.(30–2x)(20–x)=×20×30 C.30x+2×20x=×20×30 D.(30–2x)(20–x)=×20×30 【答案】D 【解析】設(shè)花帶的寬度為x m,則可列方程為(30–2x)(20–x)=×20×30,故選D. 8.(江蘇省蘇州市部分學(xué)校中考2019年5月份數(shù)學(xué)模擬試卷)若a、b
10、是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1=0的兩根,且等腰三角形三邊長(zhǎng)分別為a、b、4,則n的值為 A.8 B.7 C.8或7 D.9或8 【答案】C 【解析】∵等腰三角形三邊長(zhǎng)分別為a、b、4, ∴a=b,或a、b中有一個(gè)數(shù)為4. 當(dāng)a=b時(shí),有b2﹣4ac=(﹣6)2﹣4(n+1)=0, 解得:n=8; 當(dāng)a、b中有一個(gè)數(shù)為4時(shí),有42﹣6×4+n+1=0, 解得:n=7, 故選C. 9.(安徽省池州市貴池區(qū)2019年中考數(shù)學(xué)三模試卷)據(jù)池州市統(tǒng)計(jì)局發(fā)布,2018年我市全年生產(chǎn)總值684.9億元,比上年增長(zhǎng)5.7%,若今、明兩年年增長(zhǎng)率保持不變,則2020年全年生產(chǎn)總值
11、為 A.(1+5.7%×2)×684.9億元 B.(1+5.7%)2×684.9億元 C.2×(1+5.7%)×684.9億元 D.2×5.7%(1+5.7%)×684.9億元 【答案】B 【解析】∵2018年我市全年生產(chǎn)總值684.9億元,比上年增長(zhǎng)5.7%,且今、明兩年年增長(zhǎng)率保持不變, ∴2020年的生產(chǎn)總值為(1+5.7%)2×684.9億元, 故選B. 10.(2019年天津市南開區(qū)九年級(jí)第二學(xué)期基礎(chǔ)訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題)某校羽毛球隊(duì)有若干名隊(duì)員,任意兩名隊(duì)員之間進(jìn)行一場(chǎng)友誼賽,共進(jìn)行了36場(chǎng)比賽.如果全隊(duì)有名隊(duì)員,根據(jù)題意下列方程正確的是 A. B. C. D. 【答
12、案】C 【解析】設(shè)有x名隊(duì)員,每個(gè)隊(duì)員都要賽(x–1)場(chǎng),但兩人之間只有一場(chǎng)比賽, 故, 故選C. 二、填空題 11.(2019年浙江省紹興市越城區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷)一元二次方程x(x+5)=x+5的解為__________. 【答案】x1=﹣5,x2=1 【解析】方程整理得:x(x+5)﹣(x+5)=0, 分解因式得:(x+5)(x﹣1)=0, 解得:x1=﹣5,x2=1, 故答案為:x1=﹣5,x2=1. 12.(河南省安陽(yáng)市2019屆九年級(jí)中考一模數(shù)學(xué)試題)一元二次方程x2+2x﹣4=0的解是__________. 【答案】 【解析】∵x2+2x=4, ∴x2
13、+2x+1=4+1,即(x+1)2=5, 則x+1=, 即x=﹣1, 故答案為:﹣1. 13.(2019年山東省濰坊市中考數(shù)學(xué)一模試卷)已知關(guān)于x的方程x2+(k2﹣4)x+k﹣1=0的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù),則k=__________. 【答案】﹣2 【解析】設(shè)方程的兩根分別為x1,x2, ∵x2+(k2﹣4)x+k﹣1=0的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù), ∴x1+x2,=﹣(k2﹣4)=0,解得k=±2, 當(dāng)k=2,方程變?yōu)椋簒2+1=0,=﹣4<0,方程沒有實(shí)數(shù)根,所以k=2舍去; 當(dāng)k=﹣2,方程變?yōu)椋簒2﹣3=0,=12>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根; ∴k=﹣2. 故答案
14、為:﹣2. 14.(山東省德州市齊河縣2019年中考數(shù)學(xué)二模試卷)若x1,x2分別是一元二次方程x2+2x﹣1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則的值是__________. 【答案】2 【解析】∵x1,x2分別是一元二次方程x2+2x﹣1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根, ∴x1+x2=﹣2,x1x2=﹣1, ∴=2. 故答案為:2. 15.(江蘇省南京市高淳區(qū)2019年中考二模數(shù)學(xué)試卷)已知關(guān)于x的方程x2+mx-3=0的兩個(gè)根為x1、x2,若x1+x2=2x1x2,則m=__________. 【答案】6 【解析】∵x1,x2是方程x2+mx?3=0的兩根, ∴x1+x2=–m,x1?x2=–3,
15、 則–m=2×(–3),解得:m=6, 故答案為:6. 16.(黑龍江省哈爾濱市平房區(qū)2019屆中考第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題)某商品每件元,經(jīng)過兩次降價(jià)后,售價(jià)為元,若每次降價(jià)的百分比相同,則第一次降價(jià)后的售價(jià)為每件__________元. 【答案】 【解析】設(shè)每次降價(jià)的百分率為x,根據(jù)題意得:300(1–x)=243, 解得:x=0.1=10%,x=1.9(不合題意,舍去). 每次降價(jià)的百分率為10%. ∴第一次降價(jià)后的售價(jià)為300–(300×0.1)=270(元), 故答案為:270. 三、解答題 17.(江蘇省南京市高淳區(qū)第一中學(xué)2019屆中考三模數(shù)學(xué)試題)解下列一元二
16、次方程: (1)x2﹣4x﹣5=0; (2)(x﹣3)2=2(x﹣3). 【解析】(1)x2﹣4x﹣5=0, x2?4x=5, 則x2?4x+4=5+4,即(x?2)2=9, 所以x1=5,x2=﹣1. (2)(x﹣3)2﹣2(x﹣3)=0, (x﹣3)(x﹣3﹣2)=0, x﹣3=0或x﹣3﹣2=0, 所以x1=3,x2=5. 18.(2019?十堰)已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2. (1)求a的取值范圍;[ (2)若x12+x22﹣x1x2≤30,且a為整數(shù),求a的值. 【解析】(1)∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+
17、2a+5=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2, ∴>0,即(﹣6)2﹣4(2a+5)>0,解得a<2. (2)由根與系數(shù)的關(guān)系知:x1+x2=6,x1x2=2a+5, ∵x1,x2滿足x12+x22﹣x1x2≤30,∴(x1+x2)2﹣3x1x2≤30, ∴36﹣3(2a+5)≤30,∴a≥﹣, ∵a為整數(shù),∴a的值為﹣1,0,1. 19.(河北省保定市高陽(yáng)縣宏潤(rùn)中學(xué)2019屆九年級(jí)上學(xué)期期末調(diào)研考數(shù)學(xué)試題)對(duì)于實(shí)數(shù)m、n,定義一種運(yùn)算“※”為:m※n=mn+n. (1)求2※5與2※(﹣5)的值; (2)如果關(guān)于x的方程x※(a※x)=﹣有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的值. 【
18、解析】(1)2※5=2×5+5=15. 2※(﹣5)=2×(﹣5)+(﹣5)=﹣15. (2)x※(a※x)=x※[(a+1)x]=x(x+1)(a+1)=﹣, 整理得:4(a+1)x2+4(a+1)x+1=0. ∵關(guān)于x的方程x※(a※x)=﹣有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根, ∴, ∴a=0. 20.(2019?南京)某地計(jì)劃對(duì)矩形廣場(chǎng)進(jìn)行擴(kuò)建改造.如圖,原廣場(chǎng)長(zhǎng)50m,寬40m,要求擴(kuò)充后的矩形廣場(chǎng)長(zhǎng)與寬的比為3:2.?dāng)U充區(qū)域的擴(kuò)建費(fèi)用每平方米30元,擴(kuò)建后在原廣場(chǎng)和擴(kuò)充區(qū)域都鋪設(shè)地磚,鋪設(shè)地磚費(fèi)用每平方米100元.如果計(jì)劃總費(fèi)用642000元,擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長(zhǎng)和寬應(yīng)分別是多少米?
19、【解析】設(shè)擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長(zhǎng)為3xm,寬為2xm, 依題意得:3x?2x?100+30(3x?2x–50×40)=642000, 解得x1=30,x2=–30(舍去). 所以3x=90,2x=60. 答:擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長(zhǎng)為90m,寬為60m. 21.(2019?山東德州)習(xí)近平總書記說:“讀書可以讓人保持思想活力,讓人得到智慧啟發(fā),讓人滋養(yǎng)浩然之氣”.某校為響應(yīng)我市全民閱讀活動(dòng),利用節(jié)假日面向社會(huì)開放學(xué)校圖書館.據(jù)統(tǒng)計(jì),第一個(gè)月進(jìn)館128人次,進(jìn)館人次逐月增加,到第三個(gè)月末累計(jì)進(jìn)館608人次,若進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率相同. (1)求進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率; (2)因條件限制,學(xué)校圖書館每月接納能力不超過500人次,在進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率不變的條件下,校圖書館能否接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次,并說明理由. 【解析】(1)設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為x, 根據(jù)題意得:128+128(1+x)+128(1+x)2=608, 化簡(jiǎn)得:4x2+12x﹣7=0, ∴(2x﹣1)(2x+7)=0, ∴x=0.5=50%或x=﹣3.5(舍). 答:進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為50%. (2)∵進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為50%, ∴第四個(gè)月的進(jìn)館人次為:128(1+50%)3=128×=432<500. 答:校圖書館能接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次. 9
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