2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題32 尺規(guī)作圖(含解析)
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1、專題32 尺規(guī)作圖問(wèn)題 專題知識(shí)回顧 1.尺規(guī)作圖的定義:只用不帶刻度的直尺和圓規(guī)通過(guò)有限次操作,完成畫圖的一種作圖方法.尺規(guī)作圖可以要求寫作圖步驟,也可以要求不一定要寫作圖步驟,但必須保留作圖痕跡。 2.尺規(guī)作圖的五種基本情況: (1)作一條線段等于已知線段; (2)作一個(gè)角等于已知角; (3)作已知線段的垂直平分線; (4)作已知角的角平分線; (5)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線。 3.對(duì)尺規(guī)作圖題解法: 寫出已知,求作,作法(不要求寫出證明過(guò)程)并能給出合情推理。 4.中考要求: (1)能完成以下基本作圖:作一條線段等于已知線段,作一個(gè)角等于已
2、知角,作角的平分線,作線段的垂直平分線. (2)能利用基本作圖作三角形:已知三邊作三角形;已知兩邊及其夾角作三角形;已知兩角及其夾邊作三角形;已知底邊及底邊上的高作等腰三角形. (3)能過(guò)一點(diǎn)、兩點(diǎn)和不在同一直線上的三點(diǎn)作圓. (4)了解尺規(guī)作圖的步驟,對(duì)于尺規(guī)作圖題,會(huì)寫已知、求作和作法(不要求證明). 專題典型題考法及解析 【例題1】(2019?湖南長(zhǎng)沙)如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心,大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于M、N兩點(diǎn),作直線MN,交BC于點(diǎn)D,連接AD,則∠CAD的度數(shù)是( ) A.20° B.
3、30° C.45° D.60° 【答案】B 【解析】根據(jù)內(nèi)角和定理求得∠BAC=60°,由中垂線性質(zhì)知DA=DB,即∠DAB=∠B=30°,從而得出答案. 在△ABC中,∵∠B=30°,∠C=90°, ∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°, 由作圖可知MN為AB的中垂線, ∴DA=DB, ∴∠DAB=∠B=30°, ∴∠CAD=∠BAC﹣∠DAB=30°。 【例題2】(2019山東棗莊)如圖,BD是菱形ABCD的對(duì)角線,∠CBD=75°, (1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法,作AB的垂直平分線EF,垂足為E,交AD于F;(不要求寫作法,保留作圖痕跡) (2)在(1)條件下,連接B
4、F,求∠DBF的度數(shù). 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】(1)分別以A.B為圓心,大于AB長(zhǎng)為半徑畫弧,過(guò)兩弧的交點(diǎn)作直線即可。 如圖所示,直線EF即為所求; (2)根據(jù)∠DBF=∠ABD﹣∠ABF計(jì)算即可。 ∵四邊形ABCD是菱形, ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°,DC∥AB,∠A=∠C. ∴∠ABC=150°,∠ABC+∠C=180°, ∴∠C=∠A=30°, ∵EF垂直平分線段AB, ∴AF=FB, ∴∠A=∠FBA=30°, ∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°. 【例題3】(2019年貴州安順模擬題)用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角,如圖,能得出∠
5、A′O′B′=∠AOB的依據(jù)是( ) A.(SAS) B. (SSS) C. (ASA) D. (AAS) 【答案】B 【解析】我們可以通過(guò)其作圖的步驟來(lái)進(jìn)行分析,作圖時(shí)滿足了三條邊對(duì)應(yīng)相等,于是我們可以判定是運(yùn)用SSS,答案可得. 作圖的步驟: ①以O(shè)為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫弧,分別交OA、OB于點(diǎn)C、D; ②任意作一點(diǎn)O′,作射線O′A′,以O(shè)′為圓心,OC長(zhǎng)為半徑畫弧,交O′A′于點(diǎn)C′; ③以C′為圓心,CD長(zhǎng)為半徑畫弧,交前弧于點(diǎn)D′; ④過(guò)點(diǎn)D′作射線O′B′. 所以∠A′O′B′就是與∠AOB相等的角; 作圖完畢. 在△OCD與△O′C′D′, ,
6、 ∴△OCD≌△O′C′D′(SSS), ∴∠A′O′B′=∠AOB, 顯然運(yùn)用的判定方法是SSS. 【例題4】(2019?山東青島)請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖,不寫作法,但要保留作圖痕跡. 已知:∠α,直線l及l(fā)上兩點(diǎn)A,B. 求作:Rt△ABC,使點(diǎn)C在直線l的上方,且∠ABC=90°,∠BAC=∠α. 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖:復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖,一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì),結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖,逐步操作. 先作∠DAB=α,再過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AB
7、,則AD與BE的交點(diǎn)為C點(diǎn). 如圖,△ABC為所作. 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題 1.(2019?廣西北部灣)如圖, 在△ABC中,AC=BC, ∠A=400 ,觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡,可知∠BCG的度數(shù)為( ?。? A. 400 B. 450 C.500 D.600 【答案】C 【解析】利用等腰三角形的性質(zhì)和基本作圖得到CG⊥AB,則CG平分∠ACB,利用∠A=∠B和三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠ACB,從而得到∠BCG的度數(shù). 本題考查了作圖-基本作圖:熟練掌握基本作圖(作一條線段等于已知線
8、段;作一個(gè)角等于已知角;作已知線段的垂直平分線;作已知角的角平分線;過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線).也考查了等腰三角形的性質(zhì). 由作法得CG⊥AB, ∵AB=AC, ∴CG平分∠ACB,∠A=∠B, ∵∠ACB=180°-40°-40°=100°, ∴∠BCG=∠ACB=50°. 2.(2019·貴州貴陽(yáng))如圖,在△ABC中,AB=AC,以點(diǎn)C為圓心,CB長(zhǎng)為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)B和點(diǎn)D,再分別以點(diǎn)B,D為圓心,大于BD長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)M,作射線CM交AB于點(diǎn)E.若AE=2,BE=1,則EC的長(zhǎng)度是( ?。? A.2 B.3 C. D. 【答案】D. 【解析】利用基
9、本作圖得到CE⊥AB,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AC=3,然后利用勾股定理計(jì)算CE的長(zhǎng). 由作法得CE⊥AB,則∠AEC=90°, AC=AB=BE+AE=2+1=3, 在Rt△ACE中,CE==. 3.(2019?河北?。└鶕?jù)圓規(guī)作圖的痕跡,可用直尺成功找到三角形外心的是( ?。? A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】三角形外心為三邊的垂直平分線的交點(diǎn),由基本作圖得到C選項(xiàng)作了兩邊的垂直平分線,從而可用直尺成功找到三角形外心. 4.(2019?山東濰坊)如圖,已知∠AOB.按照以下步驟作圖: ①以點(diǎn)O為圓心,以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧,分別交∠AOB的兩邊于C,D兩點(diǎn),連
10、接CD. ②分別以點(diǎn)C,D為圓心,以大于線段OC的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)E,連接CE,DE. ③連接OE交CD于點(diǎn)M. 下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( ?。? A.∠CEO=∠DEO B.CM=MD C.∠OCD=∠ECD D.S四邊形OCED=CD?OE 【答案】C. 【解析】利用基本作圖得出角平分線的作圖,進(jìn)而解答即可. 由作圖步驟可得:OE是∠AOB的角平分線, ∴∠CEO=∠DEO,CM=MD,S四邊形OCED=CD?OE, 但不能得出∠OCD=∠ECD 5.(2019?湖北宜昌)通過(guò)如下尺規(guī)作圖,能確定點(diǎn)D是BC邊中點(diǎn)的是( ) A.
11、 B. C. D. 【答案】A 【解析】作線段BC的垂直平分線可得線段BC的中點(diǎn). 作線段BC的垂直平分線可得線段BC的中點(diǎn).由此可知,選項(xiàng)A符合條件,故選A. 6.(經(jīng)典題)作一條線段等于已知線段。 已知:如圖,線段a . 求作:線段AB,使AB = a . 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】作法: ① 作射線AP; ② 在射線AP上截取AB=a . 則線段AB就是所求作的圖形。 7.(經(jīng)典題)已知三邊作三角形。 已知:如圖,線段a,b,c. 求作:△ABC,使AB = c,AC
12、 = b,BC = a. 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】作法: ① 作線段AB = c; ② 以A為圓心b為半徑作弧,以B為圓心 a為半徑作弧與前弧相交于C; ③ 連接AC,BC。 則△ABC就是所求作的三角形。 8.(經(jīng)典題)已知兩邊及夾角作三角形。 已知:如圖,線段m,n, ∠. 求作:△ABC,使∠A=∠,AB=m,AC=n. 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】作法: ① 作∠A=∠; ② 在AB上截取AB=m ,AC=n; ③ 連接BC。 則△ABC就是所求作的三角形。 9.(經(jīng)典題)做已知線段的中點(diǎn) 已知:如圖,線段MN. 求作:點(diǎn)O
13、,使MO=NO(即O是MN的中點(diǎn)). 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】作法:① 分別以M、N為圓心,大于1/2MN的相同 線段為半徑畫弧,兩弧相交于P,Q; ② 連接PQ交MN于O. 則點(diǎn)O就是所求作的MN的中點(diǎn)。 10.(經(jīng)典題)作已知角的角平分線。 已知:如圖,∠AOB, 求作:射線OP, 使∠AOP=∠BOP(即OP平分∠AOB)。 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】作法: ① 以O(shè)為圓心,任意長(zhǎng)度為半徑畫弧, 分別交OA,OB于M,N; ② 分別以M、N為圓心,大于1/2MN 的相同線段為半徑畫弧,兩弧交∠AOB內(nèi)于P; ③ 作射線OP。則射線OP就是∠
14、AOB的角平分線。 11.(經(jīng)典題)已知兩角及夾邊作三角形。 已知:如圖,∠,∠,線段m . 求作:△ABC,使∠A=∠,∠B=∠,AB=m. 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】作法: ① 作線段AB=m; ② 在AB的同旁作∠A=∠,作∠B=∠, ∠A與∠B的另一邊相交于C。 則△ABC就是所求作的圖形(三角形)。 12.(2019?河北模擬題)如圖,已知△ABC(AC<BC),用尺規(guī)在BC上確定一點(diǎn)P,使PA+PC=BC,則符合要求的作圖痕跡是( ?。? A. B. C. D. 【答案】D 【解析】要使PA+P
15、C=BC,必有PA=PB,所以選項(xiàng)中只有作AB的中垂線才能滿足這個(gè)條件,故D正確 D選項(xiàng)中作的是AB的中垂線, ∴PA=PB, ∵PB+PC=BC, ∴PA+PC=BC 13.(2019?麗水模擬題)如圖,小紅在作線段AB的垂直平分線時(shí),是這樣操作的:分別以點(diǎn)A,B為圓心,大于線段AB長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑畫弧,相交于點(diǎn)C,D,則直線CD即為所求.連結(jié)AC,BC,AD,BD,根據(jù)她的作圖方法可知,四邊形ADBC一定是( ?。? A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 【答案】B 【解析】根據(jù)垂直平分線的畫法得出四邊形ADBC四邊的關(guān)系進(jìn)而得出四邊形一定
16、是菱形。 ∵分別以A和B為圓心,大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧相交于C、D, ∴AC=AD=BD=BC, ∴四邊形ADBC一定是菱形。 14.(2019?湖南益陽(yáng))已知M、N是線段AB上的兩點(diǎn),AM=MN=2,NB=1,以點(diǎn)A為圓心,AN長(zhǎng)為半徑畫??;再以點(diǎn)B為圓心,BM長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)C,連接AC,BC,則△ABC一定是( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形 【答案】B 【解析】依據(jù)作圖即可得到AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=5,進(jìn)而得到AC2+BC2=AB2,即可得出△ABC是直角三角形. 如圖所示,AC=AN=4
17、,BC=BM=3,AB=2+2+1=5, ∴AC2+BC2=AB2, ∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,故選B. 二、填空題 15.(2019武漢)如圖,BD是矩形ABCD的對(duì)角線,在BA和BD上分別截取BE,BF,使BE=BF;分別以E,F(xiàn)為圓心,以大于EF的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在∠ABD內(nèi)交于點(diǎn)G,作射線BG交AD于點(diǎn)P,若AP=3,則點(diǎn)P到BD的距離為 ?。? 【答案】3 【解析】結(jié)合作圖的過(guò)程知:BP平分∠ABD, ∵∠A=90°,AP=3, ∴點(diǎn)P到BD的距離等于AP的長(zhǎng),為3。 16.(2019濟(jì)南)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以頂點(diǎn)
18、B為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫弧,分別交AB,BC于點(diǎn)M,N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心,大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線BP交AC于點(diǎn)D.若∠A=30°,則= ?。? 【答案】. 【解析】由作法得BD平分∠ABC, ∵∠C=90°,∠A=30°, ∴∠ABC=60°, ∴∠ABD=∠CBD=30°, ∴DA=DB, 在Rt△BCD中,BD=2CD, ∴AD=2CD, ∴ =1/2 17. ( 2019甘肅省蘭州市) 如圖, 矩形ABCD, ∠BAC=600. 以點(diǎn)A為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑作弧分別交AB.AC于點(diǎn)M、N兩點(diǎn),再分別以點(diǎn)M、N 為圓心,以大
19、于MN的長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)P ,作射線AP交BC于點(diǎn)E,若BE=1,則矩形ABCD的面積等于___________. 【答案】3. 【解析】 由題可知AP是∠BAC的角平分線 ∵∠BAC=600 ∴∠BAE=∠EAC=300 ∴AE=2 BE=2. ∴AB= ∴∠AEB=600 又∵∠AEB=∠EAC+∠ECA ∴∠EAC=∠ECA=300 ∴AE=EC=2 ∴BC=3 ∴S矩形ABCD=3. 18. (2019四川成都)如圖,□ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,按以下步驟作圖:①以點(diǎn)A為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑作弧,分別交AO,AB于點(diǎn)M,N;②以點(diǎn)O為圓心,
20、以AM長(zhǎng)為半徑作弧,交OC于點(diǎn);③以點(diǎn)為圓心,以MN長(zhǎng)為半徑作弧,在∠COB內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn);④過(guò)點(diǎn)作射線交BC于點(diǎn)E,若AB=8,則線段OE的長(zhǎng)為 . 【答案】4 【解析】此題考察的是通過(guò)尺規(guī)作圖構(gòu)造全等三角形的原理及兩直線平行的判定,連接和,因?yàn)椋?,,所以,所以,,所以,又因?yàn)槭侵悬c(diǎn),所以是△的中位線,所以,所以. 三、填空題 19.(2019?六盤水模擬題)如圖,在△ABC中,利用尺規(guī)作圖,畫出△ABC的外接圓或內(nèi)切圓(任選一個(gè).不寫作法,必須保留作圖痕跡) 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】分別利用三角形外心的確定方法以及內(nèi)心的確定方法得出圓心位置,進(jìn)
21、而得出即可。 如圖所示: 20.(2019石景山二模)下面是小華設(shè)計(jì)的“作一個(gè)角等于已知角的2倍”的尺規(guī)作圖過(guò)程. 已知:∠AOB. 求作:∠APC,使得∠APC=2∠AOB. 作法:如圖, ①在射線OB上任取一點(diǎn)C; ②作線段OC的垂直平分線, 交OA于點(diǎn)P,交OB于點(diǎn)D; ③連接PC; 所以∠APC即為所求作的角. 根據(jù)小華設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程, (1)使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡); (2)完成下面的證明(說(shuō)明:括號(hào)里填寫推理的依據(jù)). 證明:∵DP是線段OC的垂直平分線, ∴OP= (
22、 ). ∴∠O=∠PCO. ∵∠APC=∠O+∠PCO( ). ∴∠APC =2∠AOB. 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】(1)補(bǔ)全的圖形如圖所示: (2)PC;線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等; 三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和. 21.(2019?湖北省仙桃市)請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成下列畫圖,不寫畫法,保留畫圖痕跡. (1)如圖①,四邊形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D,畫出四邊形ABCD的對(duì)稱軸m; (2)如圖②,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠D,畫
23、出BC邊的垂直平分線n. 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】本題考查了軸對(duì)稱作圖,根據(jù)全等關(guān)系可以確定點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系,從而確定對(duì)稱軸所在,即可畫出直線. (1)連接AC,AC所在直線即為對(duì)稱軸m. 如圖①,直線m即為所求 (2)(2)延長(zhǎng)BA,CD交于一點(diǎn),連接AC,BC交于一點(diǎn),連接兩點(diǎn)獲得垂直平分線n. 如圖②,直線n即為所求 22.(2019?四川省達(dá)州市)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=3. (1)尺規(guī)作圖:不寫作法,保留作圖痕跡. ①作∠ACB的平分線,交斜邊AB于點(diǎn)D; ②過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線,垂足為點(diǎn)E. (2)在(1)作出的圖形中
24、,求DE的長(zhǎng). 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】(1)利用基本作圖,先畫出CD平分∠ACB,然后作DE⊥BC于E。 如圖,DE為所作; (2)利用CD平分∠ACB得到∠BCD=45°,再判斷△CDE為等腰直角三角形,所以DE=CE,然后證明△BDE∽△BAC,從而利用相似比計(jì)算出DE. ∵CD平分∠ACB, ∴∠BCD=∠ACB=45°, ∵DE⊥BC, ∴△CDE為等腰直角三角形,∴DE=CE, ∵DE∥AC,∴△BDE∽△BAC, ∴=,即=, ∴DE=. 23.(2019?廣東)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn). (1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法,在△ABC內(nèi),求
25、作∠ADE.使∠ADE=∠B,DE交AC于E;(不要 求寫作法,保留作圖痕跡) (2)在(1)的條件下,若=2,求的值. 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】(1)如圖所示,∠ADE為所求. (2)∵∠ADE=∠B ∴DE∥BC ∴= ∵=2 ∴=2 24.(2019?廣西貴港)尺規(guī)作圖(只保留作圖痕跡,不要求寫出作法): 如圖,已知△ABC,請(qǐng)根據(jù)“SAS”基本事實(shí)作出△DEF,使△DEF≌△ABC. 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖:復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖,一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基
26、本幾何圖形的性質(zhì),結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖,逐步操作.也考查了全等三角形的判定. 先作一個(gè)∠D=∠A,然后在∠D的兩邊分別截取ED=BA,DF=AC,連接EF即可得到△DEF。如圖, △DEF即為所求. 25.(2019?湖北孝感)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,一同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成如下操作: ①以點(diǎn)C為圓心,以CB為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)G;分別以點(diǎn)G、B為圓心,以大于GB的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交點(diǎn)K,作射線CK; ②以點(diǎn)B為圓心,以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫弧,交BC于點(diǎn)M,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N;分別以點(diǎn)M、N為圓心,以大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P
27、,作直線BP交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,交射線CK于點(diǎn)E. 請(qǐng)你觀察圖形,根據(jù)操作結(jié)果解答下列問(wèn)題; (1)線段CD與CE的大小關(guān)系是 ??; (2)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若AC=12,BC=5,求tan∠DBF的值. 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】(1)由作圖知CE⊥AB,BD平分∠CBF,據(jù)此得∠1=∠2=∠3,結(jié)合∠CEB+∠3=∠2+∠CDE=90°知∠CEB=∠CDE,從而得出答案; CD=CE, 由作圖知CE⊥AB,BD平分∠CBF, ∴∠1=∠2=∠3, ∵∠CEB+∠3=∠2+∠CDE=90°, ∴∠CEB=∠CDE, ∴CD=CE,
28、 故答案為:CD=CE; (2)證△BCD≌△BFD得CD=DF,從而設(shè)CD=DF=x,求出AB==13,知sin∠DAF==,即=,解之求得x=,結(jié)合BC=BF=5可得答案. ∵BD平分∠CBF,BC⊥CD,BF⊥DF, ∴BC=BF,∠CBD=∠FBD, 在△BCD和△BFD中, ∵, ∴△BCD≌△BFD(AAS), ∴CD=DF, 設(shè)CD=DF=x, 在Rt△ACB中,AB==13, ∴sin∠DAF==,即=, 解得x=, ∵BC=BF=5, ∴tan∠DBF==×=. 26.( 2019?廣東模擬題)如圖,點(diǎn)D在△ABC的AB邊上,且∠ACD=∠A.
29、 (1)作∠BDC的平分線DE,交BC于點(diǎn)E(用尺規(guī)作圖法,保留作圖痕跡,不要求寫作法); (2)在(1)的條件下,判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系(不要求證明). 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】(1)根據(jù)角平分線基本作圖的作法作圖即可; (2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BDE=∠BDC,根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠A=∠BDE,再根據(jù)同位角相等兩直線平行可得結(jié)論. DE∥AC ∵DE平分∠BDC, ∴∠BDE=∠BDC, ∵∠ACD=∠A,∠ACD+∠A=∠BDC, ∴∠A=∠BDC, ∴∠A=∠BDE, ∴DE∥AC. 27.(2019平谷二模)下面是小元設(shè)
30、計(jì)的“經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過(guò)程. 已知:如圖1,直線l和l外一點(diǎn)P. 求作:直線l的垂線,使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)P. 作法:如圖2, (1)在直線l上任取一點(diǎn)A; (2)連接AP,以點(diǎn)P為圓心,AP長(zhǎng)為半徑作弧,交直線l于點(diǎn)B(點(diǎn)A,B不重合); (3)連接BP,作∠APB的角平分線,交AB于點(diǎn)H; (4)作直線PH,交直線l于點(diǎn)H. 所以直線PH就是所求作的垂線. 根據(jù)小元設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程, (1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形 (保留作圖痕跡); (2)完成下面的證明. 證明:∵PH平分∠APB, ∴∠APH= .
31、∵PA= , ∴PH⊥直線l于H.( )(填推理的依據(jù)) 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】(1)如圖所示。 (2)證明:∵PH平分∠APB, ∴∠APH= ∠BPH . ∵PA= PB , ∴PH⊥直線l于H.( 等腰三角形三線合一 ) 28.(2019?甘肅慶陽(yáng))已知:在△ABC中,AB=AC. (1)求作:△ABC的外接圓.(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法) (2)若△ABC的外接圓的圓心O到BC邊的距離為4,BC=6,則S⊙
32、O= ?。? 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖,等腰三角形的性質(zhì),三角形的外接圓與外心等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí),屬于中考??碱}型. (1)作線段AB,BC的垂直平分線,兩線交于點(diǎn)O,以O(shè)為圓心,OB為半徑作⊙O,⊙O即為所求.如圖⊙O即為所求. (2)在Rt△OBE中,利用勾股定理求出OB即可解決問(wèn)題. 設(shè)線段BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E. 由題意OE=4,BE=EC=3, 在Rt△OBE中,OB==5, ∴S圓O=π?52=25π. 29.(2019?廣東廣州)如圖,⊙O的直徑AB=10,弦AC=8,連接BC. (1)尺規(guī)作圖:作弦C
33、D,使CD=BC(點(diǎn)D不與B重合),連接AD;(保留作圖痕跡,不寫作法) (2)在(1)所作的圖中,求四邊形ABCD的周長(zhǎng). 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】(1)以C為圓心,CB為半徑畫弧,交⊙O于D,線段CD即為所求. 如圖,線段CD即為所求. (2)連接BD,OC交于點(diǎn)E,設(shè)OE=x,構(gòu)建方程求出x即可解決問(wèn)題. 連接BD,OC交于點(diǎn)E,設(shè)OE=x. ∵AB是直徑, ∴∠ACB=90°, ∴BC===6, ∵BC=CD, ∴=, ∴OC⊥BD于E. ∴BE=DE, ∵BE2=BC2﹣EC2=OB2﹣OE2, ∴62﹣(5﹣x)2=52﹣x2, 解得x=, ∵BE=DE,BO=OA, ∴AD=2OE=, ∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=6+6+10+=. 24
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