五年級(jí)上冊(cè)奧數(shù)專題系列-長方體和正方體的體積與表面積 滬教版(2015秋)(含答案)
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1、課程主題 : 長方體和正方體的體積與表面積 課前熱身: 如右圖,長方體共有六個(gè)面(每個(gè)面都是長方形),八個(gè)頂點(diǎn),十二條棱. ①在六個(gè)面中,兩個(gè)對(duì)面是全等的,即三組對(duì)面兩兩全等. (疊放在一起能夠完全重合的兩個(gè)圖形稱為全等圖形.) ②長方體的表面積和體積的計(jì)算公式是: 長方體的表面積:; 長方體的體積:. ③正方體是各棱相等的長方體,它是長方體的特例,它的六個(gè)面都是正方形. 如果它的棱長為,那么:,. 知識(shí)精講: 長方體與正方體的表面積: 【例 1】 右圖中共有多少個(gè)面?多少條棱? 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】1
2、星 【題型】解答 【解析】 如右圖所示,可以分前、后、左、右、上、下六個(gè)方向看這個(gè)立體圖形.前、后看各有1個(gè)面,左面看有1個(gè)面,右面看有2個(gè)面,上面看有2個(gè)面,下面看有1個(gè)面.所以共有(個(gè))面.前后方向的棱有6條,左右方向的棱有6條,上下方向的棱也有6條,所以共有棱(條). 【答案】8個(gè)面,18條棱 【例 2】 如右圖,在一個(gè)棱長為10的立方體上截取一個(gè)長為8,寬為3,高為2的小長方體,那么新的幾何體的表面積是多少? 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】2星 【題型】
3、解答 【解析】 我們從三個(gè)方向(前后、左右、上下)考慮,新幾何體的表面積仍為原立方體的表面積:10106600. 【答案】600 【例 3】 如右圖,有一個(gè)邊長是5的立方體,如果它的左上方截去一個(gè)邊分別是5,3,2的長方體,那么它的表面積減少了多少? 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 原來正方體的表面積為556150.現(xiàn)在立體圖形的表面積減少了前后兩個(gè)面中的部分面,它們的面積為(32)212,所以減少的面積就是12. 【答案】12 【例 4】 如圖,有一個(gè)邊長是5的立方體,如果它的左上方截去
4、一個(gè)邊分別是5,3,2的長方體,那么它的表面積減少了百分之幾? 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】2星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】1993年,奧林匹克,初賽,10題 【解析】 原來正方體的表面積為5 ×5×6=150,現(xiàn)在立體圖形的表面積截了兩個(gè)面向我們的側(cè)面,它們的面積為(3×2)×2=12,12÷150=0.08=8%.即表面積減少了百分之八. 【答案】百分之八 【例 5】 右圖是一個(gè)邊長為4厘米的正方體,分別在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個(gè)邊長l厘米的正方體,做成一種玩具.它的表面積是多少平方厘米?(圖中只畫出了前面、右面、上面
5、挖去的正方體) 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 原正方體的表面積是44696(平方厘米).每一個(gè)面被挖去一個(gè)邊長是1厘米的正方形,同時(shí)又增加了5個(gè)邊長是1厘米的正方體作為玩具的表面積的組成部分.總的來看,每一個(gè)面都增加了4個(gè)邊長是1厘米的正方形. 從而,它的表面積是:9646120平方厘米. 【答案】120 【例 6】 從一個(gè)棱長為10厘米的正方形木塊中挖去一個(gè)長10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長方體,剩下部分的表面積是多少?(寫出符合要求的全部答案) 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度
6、】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào) 【解析】 按圖1所示沿一條棱挖,為592平方厘米; 按圖2所示在某一面上挖,為632平方厘米; 按圖3所示在某面上斜著挖,為648平方厘米; 按圖4所示挖通兩個(gè)對(duì)面,為672平方厘米. 圖1 圖2 圖3 圖4 【答案】按圖1所示沿一條棱挖,為592平方厘米; 按圖2所示在某一面上挖,為632平方厘米; 按圖3所示在某面上斜著挖,為648平方厘米; 按圖4所示挖通兩個(gè)對(duì)面,為672平方厘米.
7、 【例 7】 從一個(gè)長8厘米、寬7厘米、高6厘米的長方體中截下一個(gè)最大的正方體(如下圖),剩下部分的表面積之和是 平方厘米. 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【解析】 可以將這個(gè)圖形看作一個(gè)八棱柱,表面積和為: (平方厘米). 也可以這樣想:由于截去后原來的長方體的表面少了3個(gè)的正方形,而新圖形凹進(jìn)去的部分恰好是3個(gè)的正方形,所以新圖形的表面積與原圖形的表面積相等,為(平方厘米). 【答案】292 【例 8】 右圖是一個(gè)表面被涂上紅色的棱長為10厘米的正方體木塊,如果把它沿虛線切成8個(gè)正方體,這些小
8、正方體中沒有被涂上紅色的所有表面的面積和是多少平方厘米? 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 10106600(平方厘米). 【答案】600 【例 9】 由六個(gè)棱長為1的小正方體拼成如圖所示立體,它的表面積是 . 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】2006年,第四屆,走美杯,4年級(jí),決賽,第3題,8分 【解析】 三視圖法:表面積為: 【答案】26 【例 10】 將個(gè)棱長為的正方體堆放在桌子上,噴上紅色后再將它們分開
9、。涂上紅色的部分,面積是( )平方厘米 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】2010年,第8屆,走美杯,3年級(jí),初賽,第12題 【解析】 注意底面放在桌子上,不能被染到。從上向下看有10個(gè):從左向右看有6個(gè);從前向后看有7個(gè)。因此被染色的面有個(gè)面 【答案】36 【例 11】 用6塊右圖所示(單位:cm)的長方體木塊拼成一個(gè)大長方體,有許多種拼法,其中表面積最小的是多少平方厘米?最大是多少平方厘米? 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】4星 【題型】解答 【解析】
10、 要使表面積最小,需重疊的面積最大,如圖⑴的拼接方式新的長方體長為,寬為,高為,所以表面積為;要使表面積最大需重疊的面積最小,如圖⑵所示,長為,寬為2,高為,所以最大的表面積為 【答案】112 【例 12】 要把12件同樣的長a、寬b、高h(yuǎn)的長方體物品拼裝成一件大的長方體,使打包后表面積最小,該如何打包? ⑴當(dāng) b2h時(shí),如何打包? ⑵當(dāng) b2h時(shí),如何打包? ⑶當(dāng) b2h時(shí),如何打包? 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】5星 【題型】解答 【解析】 圖2和圖3正面的面積相同,側(cè)面面積正面周長長方體長,所以正面的周長愈大表面積越大,圖
11、2的正面周長是8h6b,圖3的周長是12h4b.兩者的周長之差為2(b2h). 當(dāng)b2h時(shí),圖2和圖3周長相等,可隨意打包;當(dāng)b2h時(shí),按圖2打包;當(dāng)b2h時(shí),按圖3打包. 【答案】當(dāng)b2h時(shí),圖2和圖3周長相等,可隨意打包; 當(dāng)b2h時(shí),按圖2打包; 當(dāng)b2h時(shí),按圖3打包. 【例 13】 如圖,把正方體用兩個(gè)與它的底面平行的平面切開,分成三個(gè)長方體,這三個(gè)長方體的表面積比是3:4:5時(shí),用最簡單的整數(shù)比表示這三個(gè)長方體的體積比: : : 。 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】4星
12、 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】2007年,第五屆,走美杯,初賽,六年級(jí),第11題 【解析】 體積比為 【答案】 【例 14】 有30個(gè)邊長為1米的正方體,在地面上擺成右上圖的形式,然后把露出的表面涂成紅色.求被涂成紅色的表面積. 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 (平方米). 【答案】56 【例 15】 如圖,這是一個(gè)用若干塊體積相同的小正方體粘成的模型.把這個(gè)模型的表面(包括底面)都涂成紅色,那么,把這個(gè)模型拆開以后,有三面涂上紅色的小正方體比有兩面涂上紅色的小正方體多______ 塊. 【考點(diǎn)
13、】長方體與正方體 【難度】4星 【題型】填空 【解析】 三面涂上紅色的小正方體有:個(gè),兩面涂上紅色的小正方體有:個(gè), 所以三面涂紅色的比兩面涂紅色的多塊. 【答案】12 【例 16】 小明用若干個(gè)大小相同的正方體木塊堆成一個(gè)幾何體,這個(gè)幾何體從正面看如圖1所示,從上面看如圖2,那么這個(gè)幾何體至少用了 塊木塊. 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】4星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】2007年,迎春杯,中年級(jí),復(fù)賽,9題 【解析】 這道題很多同學(xué)認(rèn)為答案是26塊.這是受
14、思維定勢(shì)的影響,認(rèn)為圖2中每一格都要至少放一塊.其實(shí),有些格不放,看起來也是這樣的.如下圖,帶陰影的3塊不放時(shí),小正方體塊數(shù)最少,為23塊. 【答案】23塊 【例 17】 右圖是正方體,如果將其表面涂成紅色,那么其中一面、二面、三面被涂成紅色的小正方體各有多少塊? 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 三面涂紅色的只有8個(gè)頂點(diǎn)處的8個(gè)立方體; 兩面涂紅色的在棱長處,共塊; 一面涂紅的表面中間部分:塊. 【答案】52 【例 18】 如右圖,一個(gè)邊長為3a厘米的正方體,分別在它的前后、左右、上下各面的中心位
15、置挖去一個(gè)截口是邊長為a厘米的正方形的長方體(都和對(duì)面打通).如果這個(gè)鏤空的物體的表面積為2592平方厘米,試求正方形截口a的邊長. 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 原來正方體的表面積為:63a3a69a2(平方厘米), 六個(gè)邊長為a的小正方形的面積為(減少部分):6aa6a2(平方厘米); 挖成的每個(gè)長方體空洞增加的側(cè)面積為:aa428a2(平方厘米); 根據(jù)題意可得:54a26a238a22592,解得a236(平方厘米),故a6厘米. 【答案】6 【例 19】 大正方體的
16、棱長是小正方體棱長的4倍,那么它的表面積是小正方體表面積的______倍. 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】2008年,迎春杯,六年級(jí),初賽 【解析】 . 【答案】 【例 20】 如圖所示,有大小不同的兩個(gè)正方體,大正方體的棱長是小正方體棱長的6倍.將大正方體的6個(gè)面都染上紅色,將小正方體的6個(gè)面都染上黃色,再將兩個(gè)正方體粘合在一起.那么這個(gè)立體圖形表面上紅色面積是黃色面積的 倍. 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關(guān)鍵
17、詞】2010年,迎春杯,高年級(jí)復(fù)賽,3題 【解析】 假設(shè)小正方體棱長是1,大正方體棱長就是6,大正方體露在外面的表面積是,小正方體露在外面的表面積是5,所以有倍. 【答案】43 【例 21】 如圖,棱長分別為1厘米、2厘米、3厘米的三個(gè)正方體緊貼在一起,則所得到的立體圖形的表面積是 平方厘米。 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】2009年,學(xué)而思杯,6年級(jí),第3題 【解析】 把頂面往下補(bǔ),把最下面的這個(gè)正方體補(bǔ)全了,上面兩個(gè)正方體各剩4個(gè)側(cè)面, 表面積一共是: =54+16+4=74 【答案】7
18、4 【例 22】 一個(gè)表面積為56 cm2的長方體如圖切成27個(gè)小長方體,這27個(gè)小長方體表面積的和是______cm2. 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】2008年,第六屆,走美杯,六年級(jí),初賽,第2題 【解析】 每一刀增加兩個(gè)切面,增加的表面積等于與切面平行的兩個(gè)表面積, 所以每個(gè)方向切兩刀后,表面積增加到原來的3倍,即表面積的和為168cm2. 【答案】168 【例 23】 圖是一個(gè)正方體木塊。M是AB的中點(diǎn),N是AD的中點(diǎn)。用一把鋒利的鋸,過M、N、G三個(gè)點(diǎn)將木塊鋸成兩塊,使截面是平的,這個(gè)截面是
19、______ 邊形。 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】2003年,第一屆,希望杯,4年級(jí),初賽,23題 【解析】 應(yīng)該是過M、N、G三點(diǎn),那樣的話截面是一個(gè)五邊形,還會(huì)過BF、DH中點(diǎn)。 【答案】五邊形 課后作業(yè): 作業(yè)1、有l(wèi)25個(gè)同樣大小的正方體木塊,木塊的每個(gè)面的面積均為1平方厘米,其中63個(gè)表面涂上白色,還有62個(gè)表面涂上藍(lán)色。將這l25個(gè)正方體木塊粘在一起,形成一個(gè)棱長為5厘米大正方體木塊。這個(gè)大正方體木塊的表面上,藍(lán)色的面積最多是 平方厘米。 【考點(diǎn)】長方體與正方體
20、 【難度】3星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】2008年,迎春杯,三年級(jí),初賽,第10題 【解析】 8個(gè)頂點(diǎn)上的正方體木塊表面積是3平方厘米,棱上的正方體木塊表面積是2平方厘米,面上的正方體木塊表面積是1平方厘米,所以要先在頂點(diǎn)和棱上放藍(lán)色的正方體木塊,剩下的放在面上,不放在內(nèi)部,藍(lán)色的面積最多是3×8+2×(5-2)×12+1×(62-8-36)=114 平方厘米. 【答案】114 作業(yè)2、有l(wèi)00個(gè)棱長為l厘米的正方體木塊,表面均為白色,還有25個(gè)棱長為l厘米的正方體木塊,表面均為藍(lán)色。將這125個(gè)正方體木塊粘在一起,形成一個(gè)大正方體。大正方體的表面為
21、白色的面積至少是 平方厘米。 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】2008年,迎春杯,四年級(jí),初賽,8題 【解析】 將藍(lán)色正方體盡量依次往角上、棱上放,因?yàn)檫@三個(gè)位置上的正方體的裸露表面有3、2塊。這二個(gè)位置上的正方體依次有8、(5-1-1)×12=36個(gè).所以25個(gè)正方體在角上放8個(gè),棱上放17個(gè),那么所占的表面積有8×3+17×2=58塊.白色面積為150-58=92塊,即92平方厘米. 【答案】92 作業(yè)3、64個(gè)同樣大小的小正方體,其中34個(gè)為白色的,30個(gè)為黑色的?,F(xiàn)將它們拼成一個(gè)4×4×4
22、的大正方體,在大正方體的表面上白色部分的面積與黑色部分的面積之比最大為 。 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】2004年,第二屆,走美杯,6年級(jí),決賽,第6題,10分 【解析】 沒有露在表面的小正方體有(4-2)=8(個(gè)),用黑色的。在面上但不在邊上的小正方體有(4-2)×6=24(個(gè)),其中22個(gè)用黑色。這樣,在表面的4×4×6=96(個(gè))小正方形中,22個(gè)是黑色,96-22=74(個(gè))是白色,白色與黑色的面積比為74:2237:ll。 【答案】 作業(yè)4、將16個(gè)相同的小正方形拼成一個(gè)體積為16平方厘
23、米的長方體,將表面涂漆,然后分開,結(jié)果,其中2面涂漆的小正方體有8個(gè),那么3面涂漆的小正方體有__________個(gè),4面涂漆的小正方體有__________個(gè)。 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】2007年,希望杯,第五屆,四年級(jí),復(fù)賽,第12題,5分 【解析】 16=1×1×16=1×2×8=1×4×4=2×2×4,其中只有2×2×4的長方體有8個(gè)小正方體2面涂漆,它的3面小正方體有8個(gè)(8個(gè)角),沒有4面都涂漆的. 【答案】三面涂漆的有8個(gè),無四面涂漆的 作業(yè)5、由27個(gè)棱長為1的小正方體組成一個(gè)棱長為3
24、的大正方體,若自上而下去掉中間的3個(gè)小正方體,如圖所示,則剩下的幾何體的表面積是 。 【考點(diǎn)】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】2006年,希望杯,第四屆,五年級(jí),初賽,第15題,5分 【解析】 64,沒去掉3個(gè)小正方體之前的表面積為3×3×6=54,去掉之后增加了3×1×4-1×1×2=10,所以剩下的表面積為54+10=64。 【答案】64 作業(yè)1、把三個(gè)完全相等的正方體拼成一個(gè)長方體,這個(gè)長方體的表面積是350平方米。這個(gè)正方形的表面積是多少平方米? 答案:150平方厘米;
25、 作業(yè)2、用三個(gè)長5厘米、寬3厘米、高2厘米的長方體木塊拼成一個(gè)表面積最大的長方體,這個(gè)大長方體的表面積是多少平方厘米? 答案:112平方厘米; 作業(yè)3、一個(gè)長方體,如果高增加3厘米,就成為一個(gè)正方體。這時(shí)表面積比原來增加了96平方厘米。原來的長方體的體積是多少立方厘米? 答案:320平方厘米; 作業(yè)4、一個(gè)長方體棱長之和是36厘米,底面是一個(gè)邊長3.5厘米的正方形,這個(gè)長方體的高是多少厘米? 答案:1厘米; 作業(yè)5、把一個(gè)長16厘米,寬6厘米,高8厘米的大長方體切成兩個(gè)小長方體,這兩個(gè)
26、小長方體的表面積的和最大是多少平方厘米,最小是多少? 答案:992平方厘米;832平方厘米; 作業(yè)6、一個(gè)正方體的表面積是24平方分米,把它分成兩個(gè)完全相同的長方體,每個(gè)長方體的表面積是多少平方分米? 答案:16平方厘米; 作業(yè)7、把一個(gè)棱長為5厘米的正方體木塊外表涂上紅色,然后切成棱長為1厘米的小正方體木塊。則三面涂色的小正方體有多少個(gè)?,兩面涂色的小正方體呢?一面涂色的小正方體呢?一面都沒有被涂色的小正方體呢? 答案:3面:8塊;2面:36塊;1面:54塊;沒有涂色:27塊。 作業(yè)8、把一個(gè)長5厘米、寬4厘米、高4厘米的長方體木塊外表涂上紅色,然后切成棱長為1厘米的小正方體木塊。則三面涂色的小正方體有多少個(gè)?兩面涂色的小正方體有多少個(gè)?一面涂色的小正方體有多少個(gè)?一面都沒有被涂色的小正方體呢? 答案:3面:8塊;2面:28塊;1面:32塊;沒有涂色:12塊。
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