福建師范大學21秋《常微分方程》平時作業(yè)一參考答案75
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1、福建師范大學21秋《常微分方程》平時作業(yè)一參考答案 1. 根據(jù)研究對象的不同性質,預測模型可以分為( )。 A.比例關系模型 B.時間關系模型 C.相關關系模型 D.結構 根據(jù)研究對象的不同性質,預測模型可以分為(??)。 ??A.比例關系模型??B.時間關系模型 ??C.相關關系模型??D.結構關系模型 ??E.發(fā)展關系模型 BC 2. 無窮小量是一種很小的量。( ) A.正確 B.錯誤 參考答案:B 3. 下列集合中為空集的是( ) A.{x|e^x=1} B.{0} C.{(x,y)|x^2+y^2=0} D.{x|x^
2、2+1=0,x∈R} 參考答案:D 4. 函數(shù)f(x)=1/x在(0,+∞)是減函數(shù)。( ) A.錯誤 B.正確 參考答案:B 5. 設X是度量空間,f:X→.證明f連續(xù)的充要條件是對每個a∈,集合{x∈X:f(x)≤a}與{x∈X:f(x)≥a}都是閉集. 設X是度量空間,f:X→.證明f連續(xù)的充要條件是對每個a∈,集合{x∈X:f(x)≤a}與{x∈X:f(x)≥a}都是閉集. [證明]方法1 必要性 ?設f連續(xù),則 ? ?{x∈X:f(x)≥a}=f-1([a,∞))與 ? ?{x∈X:f(x)≤a}=f-1((-∞,a])
3、? ?都是閉集的逆像,從而都是閉集. ? ?充分性 ?設X的度量拓撲為τρ,上的通常拓撲為τ.由題設有 ? ?f-1((-∞,a))=f-1([a,∞)c)=(f-1([a,∞)))c∈τρ ? ?f-1((a,∞))=f-1((-∞,a]c)=(f-1((-∞,a]))c∈τρ ? ?從而對c,d∈,c<d,f-1((c,d))=f-1((c,∞))∩f-1((-∞,d))∈τρ由于每個V∈τ是若干個形如(-∞,a),(a,∞),(c,d)類型的開區(qū)間之并,故對每個V∈τ,有f-1(V)∈τρ.因此f是連續(xù)的. ? ?方法2 令Ga={x:f(x)≤a},Ha=
4、{x:f(x)≥a}. ? ?必要性 ?設{xn}Ga,xn→x0(n→∞),則f(xn)≤a.令n→∞,由f連續(xù)得f(x0)≤a,故x0∈Ga.這表明Ga是閉集.同理可知Ha是閉集. ? ?充分性 ?假設f在某點x0∈X不連續(xù),則ε0>0,n∈,xn∈X,ρ(xn,x0)<1/n,但f(xn)-f(x0)|≥ε0.于是 ? ?xn→x0(n→∞)且 ? ?由是閉集得出x0∈,即f(x0)>≥f(x0)+ε0與f(x0)≤f(x0)-ε0必有一個成立,這是矛盾的.因此f在X上連續(xù). 6. 給定環(huán)({5x|x∈Z},+,·),其中Z是整數(shù)集,+和·是普通的加法和
5、乘法,它______整環(huán),因為______ 給定環(huán)({5x|x∈Z},+,·),其中Z是整數(shù)集,+和·是普通的加法和乘法,它______整環(huán),因為______ 不是$沒有乘單位元素 7. f(x)=|cosx|+|sinx|的最小正周期是( ) A.π/4 B.π/2 C.π D.2π 參考答案:B 8. 標志變異指標是反映統(tǒng)計數(shù)列中以______為中心總體各單位標志值的______。 標志變異指標是反映統(tǒng)計數(shù)列中以______為中心總體各單位標志值的______。 平均數(shù)$差異大小范圍或差離程度 9. 曲線y=x^2+x-2在點(1.5,
6、1.75)處的切線方程為( ) A.16x-4y-17=0 B.16x+4y-31=0 C.2x-8y+11=0 D.2x+8y-17=0 參考答案:A 10. 計算下列曲線圍成的平面圖形的面積: (1) y=ex,y=e-x ,x=1 ;(2)y=x3-4x,y=0; (3) y=x2,y=x,y=2 計算下列曲線圍成的平面圖形的面積: (1) y=ex,y=e-x ,x=1 ;(2)y=x3-4x,y=0; (3) y=x2,y=x,y=2x; (4)y2=12(x+3),y2=-1 正確答案:解 (1)另所求平面圖形面積為A如圖6—12所示則\r\n
7、 解(1)另所求平面圖形面積為A,如圖6—12所示,則 11. 設S={a,b},定義二元運算:*為a*a=b*a=a,a*b=b*b=b,證明(S,*)是半群. 設S={a,b},定義二元運算:*為a*a=b*a=a,a*b=b*b=b,證明(S,*)是半群. 由條件可知滿足封閉性,且滿足結合律. ? ?(a*b)*a=b*a=a, ? ?a*(b*a)=a*a=a; ? ?(b*a)*a=a*a=a, ? ?b*(a*a)=b*a=a; ? ?(a*b)*b=b*b=b, ? ?a*(b*b)=a*b=b; ? ?(b*a)*b=a*b=b, ? ?b
8、*(a*b)=b*b=b; ? ?故是半群. 12. 設函數(shù)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù),且在[a,b]區(qū)間積分∫f(x)dx=∫g(x)dx,則( ) A.f(x)在[a,b]上恒等于g(x) B.在[a,b]上至少有一個使f(x)≡g(x)的子區(qū)間 C.在[a,b]上至少有一點x,使f(x)=g(x) D.在[a,b]上不一定存在x,使f(x)=g(x) 參考答案:C 13. 描繪函數(shù)y=e-x2圖形(圖3-1)。 描繪函數(shù)y=e-x2圖形(圖3-1)。 該函數(shù)的定義域為(-∞,+∞),且函數(shù)為偶函數(shù),因此,只要作出它在(0,+∞)
9、內的圖形,即可根據(jù)其對稱性得到它的全部圖形。 ? ?求其一、二階導數(shù),得 ? ?y'=-2xe-x2 ? ? y″=2e-x2(2x2-1), ? ?令y'=0,得駐點x=0, ? ?令y″=0,得, ? ?當x→∞時y→0,所以y=0為該函數(shù)圖形的水平漸近線。 ? ?討論y',y″的正負情況,確定函數(shù)y=e-x2的增減區(qū)間和極值、凹凸區(qū)間和拐點,將上述結果歸結為表3-16。 ? ? ? ?根據(jù)以上討論,即可描繪所給函數(shù)的圖形。 ? ? 14. 已知f(x)在點x0處可導,且f&39;(x0)=2,求極限 已知f(x)在點x0處可
10、導,且f'(x0)=2,求極限 原式= 15. 選擇以下題中給出的四個結論中一個正確的結論: 設在[0,1]上f"(x)>0,則f&39;(0),f&39;(1),f(1)-f(0) 選擇以下題中給出的四個結論中一個正確的結論: ??設在[0,1]上f"(x)>0,則f'(0),f'(1),f(1)-f(0)或f(0)-f(1)幾個數(shù)的大小順序為(??). ??(A) f'(1)>f'(0)>f(1)-f(0)??(B) f'(1)>f(1)-f(0)>f'(0) ??(C) f(1)-f(0)>f'(1)>f'(0)??(D) f'(1)>f(0)-f(1)>f'(0)
11、 B 16. 設(ξ,η)的聯(lián)合密度函數(shù)為 試求: 設(ξ,η)的聯(lián)合密度函數(shù)為 ?? ??試求: $因為Cov(ξ,η)≠0,所以ξ與η不獨立. ? ?相關系數(shù)為 17. 定積分是微分的逆運算。( ) A.正確 B.錯誤 參考答案:B 18. 已知P(A)=P(B)=,則下列結論肯定正確的是( ) A.P(A+B)=1 B. C. D. 已知P(A)=P(B)=,則下列結論肯定正確的是(??) ??A.P(A+B)=1 B.?C.D. D 19. 證明下列方程(組)存在唯一的
12、穩(wěn)定極限環(huán): 證明下列方程(組)存在唯一的穩(wěn)定極限環(huán): 將方程組轉化為二階方程: ? ? ? ?此為李納方程f(x)=3x2-1,g(x)=x+x5.f(x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù),且f(0)=-1<0,xg(x)=x2+x6>0,同時有唯一正零點x=1,當x≥1時F(x)單調增加,且當x→±∞時F(x)→±∞.方程存在唯一穩(wěn)定極限環(huán).$f(x)=α(x2n-β),g(x)=γx2m-1,. 20. 設原問題為 min f=5x1-6x2+7x3+4x4, s.t.x1+2x2-x3-x4=-7, 6x1-3x2+x3-7x4≥14, -28x1-17x
13、2+4x3+2x4≤-3, 設原問題為 ??min?f=5x1-6x2+7x3+4x4, ??s.t.x1+2x2-x3-x4=-7, ??6x1-3x2+x3-7x4≥14, ??-28x1-17x2+4x3+2x4≤-3, x1,x2≥0,x3,x4無符號限制.把不等式約束統(tǒng)一成≥的形式.為清楚起見,列出表格,如表3-4所示. ? ?表3-4 ? ? ?于是可寫出它的對偶規(guī)劃為 ? ?max ?g=-7u1+14u2+3u3, ? ?s.t. u1+6u2+28u3≤5, ? ?2u1-3u2+17u3≤-6, ? ?-u1+u2-4
14、u3=7, ? ?-u1-7u2-2u3=4, ? ?u1無符號限制,u2≥0,u3≥0. 21. 給定三點Ai(xi,yi),i=1,2,3. 求證按最小二乘擬合這三點的直線過△A1A2A3的重心. 給定三點Ai(xi,yi),i=1,2,3. 求證按最小二乘擬合這三點的直線過△A1A2A3的重心. 記,,則為△A1A2A3的重心. ? ?設擬合直線為 ? ?y=a+bx, ?(5.7) ? ?則a,b滿足正規(guī)方程組 ? ? ? ?其中s0=3,,,,.考慮第一個方程 ? ? ? ?兩邊同除以3得,即點在直線(5.7)式上
15、.因而按最小二乘擬合三點Ai(i=1,2,3)的直線過△A1A2A3的重心. 22. 兩個無窮小的差也為無窮小。( ) 兩個無窮小的差也為無窮小。( ) 正確答案: √ 23. ( )是函數(shù)f(x)=1/2x的原函數(shù)。 A.F(x)=ln2x B.F(x)=-1/x^2 C.F(x)=ln(2+x) D.F(x)=lnx/2 參考答案:D 24. 已知基金F以利息力函數(shù)(t≥0)累積,基金G以利息力函數(shù)(t≥0)累積.若分別用aF(t)和aG(t)表示兩個基金在t(t≥0)時 已知基金F以利息力函數(shù)(t≥0)累積,基金G以利息力函數(shù)(
16、t≥0)累積.若分別用aF(t)和aG(t)表示兩個基金在t(t≥0)時刻的累積函數(shù),并令h(t)=aF(t)-aG(t),試計算使h(t)達到最大的時刻T. 由題設條件有 ? ? ? ? ? ?根據(jù)h(t)定義得 ? ?h(t)=t-2t2, ? ?由此求出. 25. 設數(shù)項級數(shù)收斂,則( )必收斂。 A. B. C. D. 設數(shù)項級數(shù)收斂,則(??)必收斂。 ??A.??B.?C.?D. B 26. 求兩平行平面π1:3x+2y+6z-35=0;π2:3x+2y+6z-56=0之間的距離. 求兩平行平面π1:3x+2y+
17、6z-35=0;π2:3x+2y+6z-56=0之間的距離. 27. 函數(shù)y=cosx+tan2x的值域是所有實數(shù)。( ) A.正確 B.錯誤 參考答案:A 28. 當x→0時,確定無窮小量y的主要部分cxn(c是常數(shù)):y=tan(sinx)-sin(tanx) 當x→0時,確定無窮小量y的主要部分cxn(c是常數(shù)):y=tan(sinx)-sin(tanx) 首先建立展式 ? ? ? ?事實上,將tanx表為 ? ? ? ?并利用展式2)、3)、4),得 ? ?即為所求的結果. ? ?利用此公式以及先前的展式得
18、 ? ? ? ?由此得 29. 設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是實系數(shù)多項式,n≥2,且某個ak=0(1≤k≤n-1),及當i≠k時,ai≠0。證明:若f(x)有n個 設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是實系數(shù)多項式,n≥2,且某個ak=0(1≤k≤n-1),及當i≠k時,ai≠0。證明:若f(x)有n個相異的實根,則ak-1·ak+1<0 證法1 ?由羅爾定理可知,在可導函數(shù)的兩個零點之間,其導數(shù)在某點為零,因此,如果f(k-1)(x)有n-k+1個相異的零點,則f(k)(x)有n-k個零點,且f(k)(x)的零點位
19、于f(k-1)(x)的每兩個相鄰零點之間 ? ?由于f(x)=anxn+…+a1x+a0,則 ? ?f(k-1)(x)=C0+C1x+C2x2+…+Cn-k+1xn-k+1其中C0=(k11)!ak-1,C1=k!ak=0, ? ?假設ak-1,ak+1同號,不妨設ak-1>0,ak+1>0,則f(k-1)(x)在點x=0的左方某鄰域內單調減少;在點x=0的右方某鄰域內單調增加,而f(k)(0)=0,可知f(k-1)(0)=C0>0為f(k-1)(x)的極小值 ? ?若f(k)(x)無其他零點,則對任意x≠0,應有f(k-1)(x)>f(k-1)(0)=C0>0,因此f(
20、k-1)(x)也沒有零點,矛盾 ? ?若x0是f(k)(x)與x=0相鄰的零點,則在x=0與x0之間有f(k-1)(x)≥C0>0,這與f(k-1)(x)在0與x0為端點的區(qū)間內存在零點矛盾 ? ?從而可知ak-1·ak+1<0 ? ?證法2 ?由于 ? ?f(k-1)(x)=C0+C1x+C2x2+…+Cn-k+1xn-k+1其中C0=(k-1)!ak-1≠0,C1=k!ak=0, ? ?f(k-1)(x)有n-k+1個互異的零點,設為x1<x2<…<xn-k+1, ? ?由于C0≠0,可見 ? ?x1·x2·…·xn-k+1≠0則多項式 ?
21、?ψ(x)=Cn-k+1+Cn-kx+…+C2xn-k-1+C1xn-k+C0xn-k+1有互異的零點由羅爾定理可知 ? ?有不相等的二實根但C1=0,因此 ? ? ? ?即 ? ?ak-1·ak+1<0由前面幾題可以發(fā)現(xiàn),討論方程根的存在性,常常利用函數(shù)的單調性、函數(shù)的極值、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理、羅爾定理以及綜合運用上述性質 30. F[x]中,不與x-1相伴的是A、2x-2B、3x-3C、3x+3D、-2x+2 F[x]中,不與x-1相伴的是 A、2x-2 B、3x-3 C、3x+3 D、-2x+2 正確答案: C 31.
22、已知4階方陣A=(α1,α2,α3,α4),α1,α2,α3,α4均為4維列向量,其中α2,α3,α4線性無關,α1=2α2-α3,如果β=α1+α2+α3+α4 已知4階方陣A=(α1,α2,α3,α4),α1,α2,α3,α4均為4維列向量,其中α2,α3,α4線性無關,α1=2α2-α3,如果β=α1+α2+α3+α4,求線性方程組Ax=β的通解. 由可得 ? ?x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α1+α2+α3+α4,將α1=2α2-α3代入后整理可得(2x1+x2-3)α2+(-x1+x3)α3+(x4-1)α1=0.而α2,α3,α4線性無關,則有 ? ?
23、 ? ?解得:,其中k為任意常數(shù),此即方程組Ax=β的通解. 32. 設隨機變量,求函數(shù)y=1-3X的數(shù)學期望與方差. 設隨機變量,求函數(shù)y=1-3X的數(shù)學期望與方差. 函數(shù)的數(shù)字特征. ? ?用函數(shù)的數(shù)學期望公式,得 ? ? ? ? ? ?由方差公式,有 ? ? 33. 設總體X~N(8,22),抽取樣本X1,X2,…,X10.求下列概率. 設總體X~N(8,22),抽取樣本X1,X2,…,X10.求下列概率. $ 34. 設簡單圖Gi=(i=1,2,…,6),其中V={a,b,c,d,
24、e}, E1={(a,b),(b,c),(c,d),(a,e)}; E2={(a,b),(b,e 設簡單圖Gi=i>(i=1,2,…,6),其中V={a,b,c,d,e}, ??E1={(a,b),(b,c),(c,d),(a,e)}; ??E2={(a,b),(b,e),(e,b),(a,e),(d,e)}; ??E3={(a,b),(b,e),(e,d),(c,c)}; ??E4={(a,b),(b,c),(c,a),(a,d),(d,a),(d,e)}; ??E5={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(d,e),(e,a)}; ??E6={(a,a),(a
25、,b),(b,c),(e,c),(e,d)}. ??做出各圖,試問: (1)其中圖②④⑤是有向圖,①③⑥是無向圖.$ ? ?圖⑤是強連通圖,圖④是單向連通圖,無弱連通圖. 35. 下列關于導數(shù)的結論正確的是( )。 A.兩個函數(shù)的和的導數(shù)等于兩個函數(shù)導數(shù)的和 B.兩個函數(shù)的差的導數(shù)等于兩個函數(shù)導數(shù)的差 C.反函數(shù)的導數(shù)等于原來函數(shù)導數(shù)的倒數(shù) D.兩個函數(shù)的積的導數(shù)等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù),再加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù) 參考答案:ABCD 36. 有限多個函數(shù)的線性組合的不定積分等于他們不定積分的線性組合。( ) A.正確
26、 B.錯誤 參考答案:A 37. 設某產品的成本函數(shù)為C(Q)=Q2+24Q+8500,求: 設某產品的成本函數(shù)為C(Q)=Q2+24Q+8500,求: 邊際成本函數(shù)為 ? ?C'(Q)=(Q2+24Q+8500)'=Q+24.$當Q=50時,總成本為C(50)=10950;半均成本為;邊際成本為C'(50)=74. ? ?C'(50)=74表示當產量Q=50時,再多(少)生產一個單位的產品,成本增加(減少)50個單位. 38. 下列論斷哪些是對的,哪些是錯的?對于錯的舉出反例,并且把錯誤的論斷改正過來. (i) (ii) (iii)
27、 (iv) 下列論斷哪些是對的,哪些是錯的?對于錯的舉出反例,并且把錯誤的論斷改正過來.? ??(i) ??(ii) ??(iii) ??(iv) (i)對. ? ? ?(ii)錯. 例如,A={1,2},B={2)應改為 ? ?(iii)錯. 例如,以、B同(ii)所設,應改為 ? ?(iv)對. 39. 設曲線y=e-x(x≥0), (1)把曲線y=e-x,x軸,y軸和直線x=ξ(ξ>0)所圍成平面圖形繞x軸旋轉一周,得一旋轉體,求此旋 設曲線y=e-x(x≥0), ??(1)把曲線y=e-x,x軸,y軸和直線x=ξ(ξ>0)所圍成平面
28、圖形繞x軸旋轉一周,得一旋轉體,求此旋轉體體積V(ξ);求滿足的a. ??(2)在此曲線上找一點,使過該點的切線與兩個坐標軸所夾平面圖形的面積最大,并求出該面積. 這是微分學與積分學的綜合題,按步驟逐個求解便可. ? ?(1)如下圖所示, ? ? ? ? ? ? ? ?易知 ?,故從 ? ?解出 ? ? ? ?(2)如下圖所示,設A為曲線y=e-x上的切點,則因y'(a)=-e-a,可以求出切線方程為 ? ? ? ?y-e-a=-e-a(x-a) ? ?令x=0,得切線與y軸交點為(0,(1+a)·e-a);令y=0,得切線與x
29、軸交點為(1+a,0),從而切線與坐標軸所圍圖形面積為 ? ? ? ?令,得駐點a=1(a=-1舍去).分析S'(a)的符號可知,S(a)在0<a<1時單調增,在a>1時單調減,故是所求的最大面積. 40. 有兩臺用來充裝凈容量為16.0(盎司)的塑料瓶的機器.充裝過程假定為正態(tài)的,其標準差為σ1=0.015和σ2=0.018.質 有兩臺用來充裝凈容量為16.0(盎司)的塑料瓶的機器.充裝過程假定為正態(tài)的,其標準差為σ1=0.015和σ2=0.018.質量管理部門懷疑那兩臺機器是否充裝同樣的16.0盎司凈容量.從機器的產品中各取一個隨機樣本. ??機器1:16.03?
30、16.04?16.05?16.05?16.02?16.01?15.96?15.98?16.02?15.99 ??機器2:16.02 15.97?15.96?16.01?15.99 16.03 16.04 16.02 16.01?16.00 ??在顯著水平α=0.05下,質量管理部門的懷疑是正確的嗎? 41. 設f(x)是可導函數(shù),則( ) A.∫f(x)dx=f'(x)+C B.∫[f'(x)+C]dx=f(x) C.[∫f(x)dx]'=f(x) D.[∫f(x)dx]'=f(x)+C 參考答案:C 42. 系統(tǒng)的熱力學能的絕對值(U)______
31、____,但是系統(tǒng)發(fā)生狀態(tài)變化導致的熱力學能的變化值(△U)________ 系統(tǒng)的熱力學能的絕對值(U)__________,但是系統(tǒng)發(fā)生狀態(tài)變化導致的熱力學能的變化值(△U)__________。 正確答案:不可測量、可以測量 不可測量、可以測量 43. 下列函數(shù)F(x)是的一個原函數(shù)的為( )。 A.F(x)=ln2x B. C.F(x)=ln(2+x) D. 設f(x)是連續(xù)函數(shù),F(xiàn)(x)是f(x)的一個原函數(shù),則( ) A.當f(x)為單調函數(shù)時,F(xiàn)(x)必為單調函數(shù) B.當f(x)為奇函數(shù)時,F(xiàn)(x)必為偶函數(shù) C.當f(x)為有界函數(shù)時,F(xiàn)(
32、x)必為有界函數(shù) D.當f(x)為周期函數(shù)時,F(xiàn)(x)必為周期函數(shù) Ab 44. 極值反映的是函數(shù)的( )性質。 A.局部 B.全體 C.單調增加 D.單調減少 參考答案:A 45. 已知函數(shù)y=|x|/x,則下列結論正確的是( )。 A.在x=0處有極限 B.在x=0處連續(xù) C.在定義域內連續(xù)不可導 D.在定義域內連續(xù)可導 參考答案:D 46. 仿射變換把菱形變成________。 仿射變換把菱形變成________。 參考答案:平行四邊形 47. 設f(x)=lnx,給出如下數(shù)據(jù),求f(0.6)的近似值。
33、 xi 0.4 0.5 0.7 0.8 f(xi) -0.91629 設f(x)=lnx,給出如下數(shù)據(jù),求f(0.6)的近似值。 ??xi0.40.50.70.8f(xi)-0.916291-0.693147-0.356675-0.223144 ? ?同理可計算,, ? ? ? ?準確值ln0.6=-0.5108256 ? ?余項 ? ξ∈[0.4,0.8] ? ? 48. 若函數(shù)f(x)在(a,b)內存在原函數(shù),則原函數(shù)有( )。 A.一個 B.兩個 C.無窮多個 D.其他選項都選
34、 參考答案:C 49. 試證明: 設m(E)<∞,f(x),f1(x),f2(x),…,fk(x),…是E上幾乎處處有限的可測函數(shù),則{fk(x)}在E上依測度收斂于f( 試證明: ??設m(E)<∞,f(x),f1(x),f2(x),…,fk(x),…是E上幾乎處處有限的可測函數(shù),則{fk(x)}在E上依測度收斂于f(x)的充分且必要條件是: ??. [證明] 必要性 ?依題設知,對任給ε>0,α<ε/2,存在N,使得 ? ?m({x∈E:|fk(x)-f(x)|>α})<ε/2 ?(k≥N). ? ?從而得α+m({x∈E:|fk(x)-f(x)|>α}
35、)<ε(k≥N).對α取下確界更成立,再令k→∞也然,由此即得所證. ? ?充分性 ?記Ek(α)={x∈E:|fk(x)-f(x)|>α},由假設知,對任給ε>0,存在N,當k≥N時有.從而對每個k:k≥N,可取αk>0,使得αk+m(Ek(αk))<ε,自然有αk<ε(k≥N).現(xiàn)在令,則αε≤ε(k≥N).因此,對任給ε>0,0<δ<ε,存在N,使得 ? ?m({x∈E:|fk(x)-f(x)|>δ)<ε ?(k≥N). ? ?這說明fk(x)在E上依測度收斂于f(x). 50. 設f(x)=e3x,則f&39;&39;(0)=( )。 A.1 B.3
36、 C.9 D.9e 設f(x)=e3x,則f''(0)=(??)。 ??A.1??B.3??C.9??D.9e C 51. 已知是全微分表達式.則a=( ). (A) -1 (B)0 (C) 1 (D) 2 已知是全微分表達式.則a=(??). ??(A)?-1??(B)0??(C)?1??(D)?2 D用湊全微分法:由于分母是x+y的平方,故分子應湊為(x+y)及d(x+y)的形式為此考察 ? ?(x+2y)dx+ydy=(x+y)d(x+y)+yd(x+y)-(x+y)dy與(x+y)-2恰好構成全微分: ? ?因此a=2 ? ? ?
37、?解2 ?用即可得a=2. ? ?解3 ?用待定系數(shù)法,原函數(shù)必為的形式,作全微分得 ? ? ? ? ? ? ? ?比較得A=1(B=0,C=-1),因而a=2. 52. 設函數(shù)f和g分別為f(x)=2x+1,g(x)=x2-2,試找出定義復合函數(shù)的數(shù)學公式. 設函數(shù)f和g分別為f(x)=2x+1,g(x)=x2-2,試找出定義復合函數(shù)的數(shù)學公式. 因為f(x)=2x+1,g(x)=x2-2, ? ?所以=g(f(x))=g(2x+1)=(2x+1)2-2 ? ?=4x2+4x+1-2=4x2+4x-1. 53. A,B為兩個
38、事件,則( )成立。 A.(A∪B)-B=A B. C.(A-B)+B=A D. A,B為兩個事件,則(??)成立。 ??A.(A∪B)-B=A??B. ??C.(A-B)+B=A??D. B 54. 怎樣利用斯托克斯公式計算第二類曲線積分∮LPdx+Qdy+Rdz? 怎樣利用斯托克斯公式計算第二類曲線積分∮LPdx+Qdy+Rdz? 一般說來,當所給的曲線積∮LPdx+Qdy+Rdz滿足下列兩個條件時,可考慮用斯托克斯公式進行計算. ? ?(1)積分曲線L為一平面與一曲面的交線;(2)比較簡單. 55. 函數(shù),則是( )概率密度 A.指數(shù)
39、分布 B.正態(tài)分布 C.均勻分布 D.泊松分布 函數(shù),則是(??)概率密度 ??A.指數(shù)分布??B.正態(tài)分布??C.均勻分布??D.泊松分布 A 56. y=x3cos2x求一階、二階導數(shù). y=x3cos2x求一階、二階導數(shù). y'=3x2cos2x-2x2sin2x, ? ?y"=6xcos2x-6x2sin2x-6x2sin2x-4x3cos2x ? ?=(6x-4x3)cos2x-12x2sin2x. 57. 利用夾逼準則,求(a≥0). 利用夾逼準則,求(a≥0). 當a≥1時,,而(n→∞),由夾逼準則知. ? ?當0≤
40、a<1時,,而(n→∞),由夾逼準則知.所以 ? ?. 58. 據(jù)理回答: (1)何種函數(shù)具有“任意下和等于任意上和”的性質? (2)何種連續(xù)函數(shù)具有“所有下和( 據(jù)理回答: (1)何種函數(shù)具有“任意下和等于任意上和”的性質? (2)何種連續(xù)函數(shù)具有“所有下和(或上和)都相等”的性質? (3)對于可積函數(shù),若“所有下和(或上和)都相等”,是否仍有(2)的結論? 正確答案: 59. 設有一代數(shù)系統(tǒng)(I,*)滿足封閉性,其中l(wèi)為整數(shù)集,運算“*”定義為:對于任意的a.b∈I,a*b=a+b-5.證明(I,*)是群. 設有一代數(shù)系統(tǒng)(I,*)滿足封閉性,其中l(wèi)
41、為整數(shù)集,運算“*”定義為:對于任意的a.b∈I,a*b=a+b-5.證明(I,*)是群. 證明 ?(1)(a*b)*c=(a+b-5)*c ? ?=a+b-5+c-5=a+b+c-10, ? ?a*(b*c)=a*(b+c-5) ? ?=a+b+c-5-5 ? ?=a+b+c-10. ? ?滿足結合律. ? ?(2)根據(jù)單位元素的定義有: ? ?a*e=e*a=aa+e-5e=5.單位元素為5. ? ?(3)找逆元素a-1: ? ?a*a-1=a-1*a=ea+a-1-5=5a-1=10-a ? ?故存在逆元素. ? ?由
42、(1)~(3)得:(I,*)是群.本題對“*”賦予具體的含義,證明時要找出符合本題的結合律、單位元素、逆元素(不是抽象的證明). 60. 把長為ι的線段截為兩段,問怎樣截法能使以這兩段線為邊所組成的矩形的面積最大? 把長為ι的線段截為兩段,問怎樣截法能使以這兩段線為邊所組成的矩形的面積最大? 正確答案:設一段長為x則另一段長為ι-x矩形面積為f(x)=x(ι-x)則f\"(x)=ι-2x=0故x=ι/2f\"(x)=-2<0故x=ι/2是f(x)的極大值點。 \r\n 故當兩段等長度截開時以這兩線段為邊所組成的矩形面積最大。 設一段長為x,則另一段長為ι-x,矩形面積為f(x)=x(ι-x),則f\"(x)=ι-2x=0,故x=ι/2,f\"(x)=-2<0,故x=ι/2是f(x)的極大值點。故當兩段等長度截開時,以這兩線段為邊所組成的矩形面積最大。
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