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1、熱點09 二次函數(shù) 【命題趨勢】 中考中對二次函數(shù)的考查除定義、識圖、性質(zhì)、求解析式等常規(guī)題外，還會出現(xiàn)與二次函數(shù)有關(guān)的貼近生活實際的應(yīng)用題，閱讀理解和探究題，二次函數(shù)與其他函數(shù)方程、不等式、幾何知識的綜合題在壓軸題中出現(xiàn)的可能性很大． 【滿分技巧】 一、二次函數(shù)表達(dá)式的確定 步驟： （1）設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式； （2）根據(jù)已知條件，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程組； （3）解方程組，求出待定系數(shù)的值，從而寫出函數(shù)的表達(dá)式． 二、二次函數(shù)的實際應(yīng)用 （1）利用二次函數(shù)解決實際生活中的利潤問題，應(yīng)理清變量所表示的實際意義，注意隱含條件的使用，同時考慮問題要周全，此類問題一般是運用“總

2、利潤=總售價－總成本”或“總利潤=每件商品所獲利潤×銷售數(shù)量”，建立利潤與價格之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）最值：若函數(shù)的對稱軸在自變量的取值范圍內(nèi)，頂點坐標(biāo)即為其最值，若頂點坐標(biāo)不是其最值，那么最值可能為自變量兩端點的函數(shù)值；若函數(shù)的對稱軸不在自變量的取值范圍內(nèi)，可根據(jù)函數(shù)的增減性求解，再結(jié)合兩端點的函數(shù)值對比，從而求解出最值． 三、二次函數(shù)的圖象與幾何圖形的關(guān)系 將函數(shù)知識與幾何知識有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將問題轉(zhuǎn)化函數(shù)模型，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件． 【限時檢測】（建議用時：30分鐘） 一、

3、選擇題 1．（山東省濱州市2019年中考數(shù)學(xué)一模試卷）拋物線y=﹣+1的頂點坐標(biāo)為 A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（，1） D．（﹣，1） 【答案】C 【解析】∵拋物線y=﹣+1中，2x﹣3=0時，x=， 故拋物線y=﹣+1的頂點坐標(biāo)為：（，1）． 故選C． 2．（四川省成都市都江堰市2019屆中考數(shù)學(xué)一診試題）對于函數(shù)y=–2（x–3）2，下列說法不正確的是 A．開口向下 B．對稱軸是 C．最大值為0 D．與y軸不相交 【答案】D 【解析】對于函數(shù)y=–2（x–3）2的圖象， ∵a=–2<0，∴開口向下，對稱軸x=3，頂點坐標(biāo)為（3，0），函數(shù)有最大值0， 故

4、選項A、B、C正確，選項D錯誤， 故選D． 3．（2019?福建）若二次函數(shù)y=|a|x2+bx+c的圖象經(jīng)過A（m，n）、B（0，y1）、C（3-m，n）、D（， y2）、E（2，y3），則y1、y2、y3的大小關(guān)系是 A．y10， ∴y1>y3>y2，故選D． 4．（2019年浙江省金華市婺城區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷）當(dāng)

5、x=a和x=b（a≠b）時，二次函數(shù)y=2x2﹣2x+3的函數(shù)值相等、當(dāng)x=a+b時，函數(shù)y=2x2﹣2x+3的值是 A．0 B．﹣2 C．1 D．3 【答案】D 【解析】∵當(dāng)x=a或x=b（a≠b）時，二次函數(shù)y=2x2﹣2x+3的函數(shù)值相等， ∴以a、b為橫坐標(biāo)的點關(guān)于直線x=對稱，則，∴a+b=1， ∵x=a+b，∴x=1， 當(dāng)x=1時，y=2x2﹣2x+3=2﹣2+3=3，故選D． 5．（2019年河南省濮陽市中考數(shù)學(xué)二模試卷）若函數(shù)y=（m﹣1）x2﹣6x+m的圖象與x軸有且只有一個交點，則m的值為 A．﹣2或3 B．﹣2或﹣3 C．1或﹣2或3 D．1或﹣2或﹣3

6、 【答案】C 【解析】當(dāng)m=1時，函數(shù)解析式為：y=﹣6x+是一次函數(shù)，圖象與x軸有且只有一個交點， 當(dāng)m≠1時，函數(shù)為二次函數(shù)， ∵函數(shù)y=（m﹣1）x2﹣6x+m的圖象與x軸有且只有一個交點， ∴62﹣4×（m﹣1）×m=0， 解得，m=﹣2或3，故選C． 6．（黑龍江省哈爾濱市2019中考模擬測試三數(shù)學(xué)試題）將拋物線向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度，得到的拋物線的解析式為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】拋物線y=x2先向右平移2個單位長度，得：y=（x–2）2；再向上平移3個單位長度，得：y=（x–2）2+3．故選B． 7．（2019年湖北省孝感

7、市安陸市、應(yīng)城市、云夢縣、孝昌縣四縣市中考數(shù)學(xué)三模試卷）反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=2kx2﹣4x+k2的圖象大致是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限， ∴k<0， 由圖知當(dāng)x=﹣1時，y=﹣k<1， ∴k>﹣1， ∴拋物線y=2kx2﹣4x+k2開口向下， 對稱軸為x=﹣=，﹣1<<0， ∴對稱軸在﹣1與0之間， ∵當(dāng)x=0時，y=k2>1． 故選D． 8．（安徽省亳州市蒙城縣第三中學(xué)2019屆中考數(shù)學(xué)模擬試卷（6月份））已知兩點A（﹣5，y1），B（3，y2）均在拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上，點C（x

8、0，y0）是該拋物線的頂點．若y1﹣1 B．x0>﹣5 C．x0<﹣1 D．﹣2|3﹣x0|， ∴x0>﹣1．故選A． 9．（福建省廈門市集美區(qū)2019年初中畢業(yè)班總復(fù)習(xí)練習(xí)（二模）數(shù)學(xué)試題）二次函數(shù)y=x2+bx﹣t的對稱軸為x=2．若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0在﹣1

9、物線的對稱軸x==2， ∴b=﹣4， 則方程x2+bx﹣t=0，即x2﹣4x﹣t=0的解相當(dāng)于y=x2﹣4x與直線y=t的交點的橫坐標(biāo)， ∵方程x2+bx﹣t=0在﹣1

10、中，正確結(jié)論的個數(shù)為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵=x2–x–a2–a， ∴對稱軸為直線x==． ∴①正確， ∵x2–x–a2–a=1， ∴x2–x–a2–a–1=0， ∴=（–1）2–4×1×（–a2–a–1）=1+4a2+4a+4=（2a+1）2+4>0， ∴方程（x+a）（x–a–1）=1有兩個不相等的實數(shù)根； ∴②正確， ∵P（x0，m），Q（1，n）在拋物線上， ∴m=x02–x0–a2–a，n=12–1–a2–a=–a2–a， ∵m

11、>x0–1， ∴x0>0且x0–1<0，即03a；④4a﹣2b>at2+bt（t為實數(shù)）；⑤點（﹣，y1），（﹣，y2），（）是該拋物線上的點，則y2

12、為直線x=﹣2， ∴4a﹣b=0，所以①正確； ∵與x軸的一個交點在（﹣3，0）和（﹣4，0）之間， ∴由拋物線的對稱性知，另一個交點在（﹣1，0）和（0，0）之間， ∴拋物線與y軸的交點在y軸的負(fù)半軸，即c<0，故②正確； ∵由②知，x=﹣1時y>0，且b=4a， 即a﹣b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c>0， 所以③正確； 由函數(shù)圖象知當(dāng)x=﹣2時，函數(shù)取得最大值， ∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c， 即4a﹣2b≥at2+bt（t為實數(shù)），故④錯誤； ∵拋物線的開口向下，且對稱軸為直線x=﹣2， ∴拋物線上離對稱軸水平距離越小，函數(shù)值越大， ∴y2>y1>y3，

13、故⑤錯誤，故選C． 二、填空題 12．（2019?荊州）二次函數(shù)的最大值是__________． 【答案】7 【解析】， 即二次函數(shù)的最大值是7， 故答案為：7． 13．（2019年河南省許昌市中考二模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)y=﹣x2+2x﹣2圖象上兩點A（2，y1），B（a，y2），其中a>2，則y1與y2的大小關(guān)系是__________．（填“<”“>”或“=”） 【答案】> 【解析】y=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1， 對稱軸x=1， ∵A（2，y1），B（a，y2），其中a>2， ∴點A與B在對稱軸的右側(cè)， ∵–1<0， ∴x>2時，y隨x的增大而減小，

14、 ∴y1>y2， 故答案為：>． 14．（2019年江蘇省鹽城市東臺市中考數(shù)學(xué)模擬試卷（5月份））已知拋物線y=ax2+bx+c（a>0）的對稱軸是直線x=2，且經(jīng)過點P（3，1），則a+b+c的值為__________． 【答案】1 【解析】∵拋物線y=ax2+bx+c（a>0）的對稱軸是直線x=2， ∴P（3，1）對稱點坐標(biāo)為（1，1）， ∴當(dāng)x=1時，y=1， 即a+b+c=1， 故答案為：1． 15．（2019年河南省中考數(shù)學(xué)信息卷）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=5的一個根是2，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，則拋物線y=ax2+bx+

15、c的頂點坐標(biāo)為__________． 【答案】（2，5） 【解析】∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，方程ax2+bx+c=5的一個根是2， ∴當(dāng)x=2時，y=ax2+bx+c=5， ∴拋物線的頂點坐標(biāo)是（2，5）． 故答案為：（2，5）． 16．（吉林省德惠市第三中學(xué)2019屆九年級5月質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題）將拋物線y=2（x﹣1）2+3繞它的頂點旋轉(zhuǎn)180°后得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為__________． 【答案】y=﹣2（x﹣1）2+3 【解析】拋物線y=2（x﹣1）2+3的頂點坐標(biāo)為（1，3）， 由于拋物線y=2（x﹣1）2+3繞其頂點旋轉(zhuǎn)180°后拋物

16、線的頂點坐標(biāo)不變，只是開口方向相反， 則所得拋物線解析式為y=﹣2（x﹣1）2+3， 故答案為：y=﹣2（x﹣1）2+3． 17．（2019?襄陽）如圖，若被擊打的小球飛行高度（單位：m）與飛行時間（單位：s）之間具有的關(guān)系為，則小球從飛出到落地所用的時間為__________s． 【答案】4 【解析】依題意，令得：∴， 得：，解得：（舍去）或， ∴即小球從飛出到落地所用的時間為，故答案為：4． 三、解答題 18．（2019?湖州）已知拋物線與軸有兩個不同的交點． （1）求的取值范圍； （2）若拋物線經(jīng)過點和點，試比較與的大小，并說明理由． 【解析】（1）， 由題

17、意，得， ∴， ∴的取值范圍是． （2），理由如下： ∵拋物線的對稱軸為直線， 又∵， ∴當(dāng)時，隨的增大而增大， ∵，∴． 19．（天津市紅橋區(qū)2019屆九年級中考三模數(shù)學(xué)試題）已知拋物線． （1）若該拋物線與x軸有公共點，求c的取值范圍； （2）設(shè)該拋物線與直線交于M，N兩點，若，求C的值； （3）點P，點Q是拋物線上位于第一象限的不同兩點，都垂直于x軸，垂足分別為A，B，若，求c的取值范圍． 【解析】（1）∵拋物線與x軸有交點， ∴一元二次方程有實根． ，即．解得． （2）根據(jù)題意，設(shè) 由，消去y，得①． 由，得． ∴方程①的解為 ， ，解得． （

18、3）設(shè)點P的坐標(biāo)為，則點Q的坐標(biāo)為，且， ，兩式相減，得，即 ，即 ，其中 由，即，得． 當(dāng)時，，不合題意． 又，得． ∴c的取值范圍是． 20．（2019?梧州）我市某超市銷售一種文具，進(jìn)價為5元/件．售價為6元/件時，當(dāng)天的銷售量為100件．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：售價每上漲0.5元，當(dāng)天的銷售量就減少5件．設(shè)當(dāng)天銷售單價統(tǒng)一為x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍數(shù)上漲），當(dāng)天銷售利潤為y元． （1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）； （2）要使當(dāng)天銷售利潤不低于240元，求當(dāng)天銷售單價所在的范圍； （3）若每件文具的利潤不超過80%，要想當(dāng)天獲得利潤最

19、大，每件文具售價為多少元？并求出最大利潤． 【解析】（1）由題意，y=（x-5）（100-×5）=-10x2+210x-800， 故y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=-10x2+210x-800． （2）要使當(dāng)天利潤不低于240元，則y≥240， ∴y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5=240， 解得，x1=8，x2=13， ∵-10<0，拋物線的開口向下， ∴當(dāng)天銷售單價所在的范圍為8≤x≤13． （3）∵每件文具利潤不超過80%， ∴，得x≤9， ∴文具的銷售單價為6≤x≤9， 由（1）得y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5

20、）2+302.5， ∵對稱軸為x=10.5， ∴6≤x≤9在對稱軸的左側(cè)，且y隨著x的增大而增大， ∴當(dāng)x=9時，取得最大值，此時y=-10（9-10.5）2+302.5=280， 即每件文具售價為9元時，最大利潤為280元． 21．（河南省實驗中學(xué)2019年中招模擬大聯(lián)考（三）數(shù)學(xué)試題）如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（–1，0），B（4，0），C（0，2）三點，點D與點C關(guān)于x軸對稱，點P是線段AB上的一個動點，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q，交直線BD于點M． （1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式； （2）在點P運動過程中，是否存在點Q，使得△BQ

21、M是直角三角形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由； （3）連接AC，將△AOC繞平面內(nèi)某點H順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1O1C1，點A、O、C的對應(yīng)點分別是點A、O1、C1、若△A1O1C1的兩個頂點恰好落在拋物線上，那么我們就稱這樣的點為“和諧點”，請直接寫出“和諧點”的個數(shù)和點A1的橫坐標(biāo)． 【解析】（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c， 將點A（–1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式， ∴，∴， ∴y=–+x+2． （2）∵點C與點D關(guān)于x軸對稱， ∴D（0，–2）． 設(shè)直線BD的解析式為y=kx–2． ∵將（4，0）代入得：4k–2=0， ∴k=． ∴直線BD的解析式為y=x–2． 當(dāng)P點與A點重合時，△BQM是直角三角形，此時Q（–1，0）； 當(dāng)BQ⊥BD時，△BQM是直角三角形， 則直線BQ的直線解析式為y=–2x+8， ∴–2x+8=–+x+2，可求x=3或x=4（舍）， ∴x=3； ∴Q（3，2）或Q（–1，0）． （3）兩個和諧點； AO=1，OC=2， 設(shè)A1（x，y），則C1（x+2，y–1），O1（x，y–1）， ①當(dāng)A1、C1在拋物線上時， ∴， ∴， ∴A1的橫坐標(biāo)是1； 當(dāng)O1、C1在拋物線上時， ， ∴， ∴A1的橫坐標(biāo)是． 13