《2020年中考數學一輪復習 基礎考點及題型 專題24 相似形（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020年中考數學一輪復習 基礎考點及題型 專題24 相似形（含解析）（40頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、專題24 相似形 考點總結 【思維導圖】 【知識要點】 知識點一 相似圖形及比例線段 相似圖形：在數學上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形. 相似多邊形：若兩個邊數相同的多邊形，它們的對應角相等、對應邊成比例，則這兩個多邊形叫做相似多邊形。 特征：對應角相等，對應邊成比例。 比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段． 【基礎題型】 1．（2019·上海中考模擬）如果a：b＝3：2，且b是a、c的比例中項，那么b：c等于（　?。? A．4：3 B．3：4 C．2：

2、3 D．3：2 【答案】D 【詳解】 解：∵a：b=3：2，b是a和c的比例中項， 即a：b=b：c， ∴b：c=3：2． 故選：D． 2．（2019·上海中考模擬）下列四條線段能成比例線段的是（　　） A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，2，3，3 D．2，3，4，5 【答案】C 【解析】 A選項中，因為1：1≠2：3，所以A中的四條線段不是成比例線段； B選項中，因為1：2≠3：4，所以B中的四條線段不是成比例線段； C選項中，因為2：2=3：3，所以C中的四條線段是成比例線段； D選項中，因為2：3≠3：4，所以D中的四條線段不是成比例線段. 故

3、選C. 3．（2018·安徽中考模擬）若xx+y=35，則xy等于 （ ） A．32 B．38 C．23 D．85 【答案】A 【詳解】根據比例的基本性質得： 5x=3（x+y），即2x=3y， 即得xy=32， 故選A． 4．（2019·河北中考模擬）下列圖案中花邊的內外邊緣（每個圖形邊緣等寬）所圍成的圖形不相似的是（　?。? A． B． C． D． 【答案】D 【詳解】 A、兩個不等邊三角形形狀相同，符合相似形的定義，故A選項不符合要求； B、兩個等邊三角形形狀相同，符合相似形的定義，故B選項不符合要求； C、兩個正方形形狀相同，符合相似形的定義，故C選

4、項不符合要求； D、兩個矩形，雖然四個角對應相等，但對應邊不成比例，故D選項符合要求， 故選D． 5．（2019·四川中考真題）若a:b=3:4，且a+b=14，則2a-b的值是（　?。? A．4 B．2 C．20 D．14 【答案】A 【詳解】 解：由a：b＝3：4a:b=3:4知， 所以． 所以由a+b=14得到：， 解得a=6． 所以b=8． 所以． 故選：A． 【考查題型匯總】 考查題型一 利用平行線分線段成比例定理求線段長度 1．（2019·上海中考模擬）如圖，在△ABC中，D、E分別在邊AB、AC上，DE//BC，EF//CD交AB于F，那么下列比例式

5、中正確的是(　　) A．AFDF=DEBC B．DFDB=AFDF C．EFCD=DEBC D．AFBD=ADAB 【答案】C 【詳解】 A、∵EF∥CD，DE∥BC，∴AFDF=AEEC，AEAC=DEBC，∵CE≠AC，∴AFDF≠DEBC，故本選項錯誤； B、∵EF∥CD，DE∥BC，∴AFDF=AEEC，AEEC=ADBD，∴AFDF=ADBD，∵AD≠DF，∴DFDB≠AFDF，故本選項錯誤； C、∵EF∥CD，DE∥BC，∴DEBC=AEAC，EFCD=AEAC，∴EFCD=DEBC，故本選項正確； D、∵EF∥CD，DE∥BC，∴ADAB=AEAC，AFAD=A

6、EAC，∴AFAD=ADAB，∵AD≠DF，∴AFBD≠ADAB，故本選項錯誤. 故選C. 2．（2019·上海中考模擬）如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，下列條件中能夠判定DE∥BC的是（　?。? A．ADAB=DEBC B．ADBD=AEAC C．BDAB=CEAE D．ADAE=ABAC 【答案】D 【詳解】 A．由ADAB=DEBC，不能得到DE∥BC，故本選項不合題意； B．由ADBD=AEAC，不能得到DE∥BC，故本選項不合題意； C．由BDAB=CEAE，不能得到DE∥BC，故本選項不合題意； D．由ADAE=ABAC，能得到DE∥BC，故本選項

7、符合題意； 故選D． 3．（2019·河北中考模擬）在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列條件能夠判定DE∥BC的是( ) A．DEBC＝23 B．DEBC＝25 C．AEAC＝23 D．AEAC＝25 【答案】D 【詳解】 解：當ADDB=AEEC或ADAB=AEAC時,?DE∥BD, 即AEEC=23或AEAC=25. 所以D選項是正確的. 4．（2017·重慶中考模擬）如圖，在△ABC中，點D，E，F分別是邊AB，AC，BC上的點，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于( ) A．5

8、∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5 【答案】A 【解析】 ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴AEEC=ADDB=35，AEEC=BFFC， ∴BFFC=35， ∴CFBF=53， ∴CFBF+CF=53+5，即CFBC=58. 故選A. 5．（2018·浙江省寧波市鄞州實驗中學中考模擬）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，則EC的長是 A．4.5 B．8 C. 10.5 D．14 【答案】B。 【解析】∵DE∥BC，∴AEEC=ADDB。 又∵AE=

9、6，ADDB=34，∴6EC=34?EC=8。故選B。 考查題型二 作平行線構造成比例線段的方法 1．（2018·浙江中考模擬）如圖，已知直線a∥b∥c，直線m分別交直線a、b、c于點A、B、C，直線n分別交直線a、b、c于點D、E、F，若AB=2，AD=BC=4，則BECF的值應該（　　） A．等于13 B．大于13 C．小于13 D．不能確定 【答案】B 【解析】 作AH∥n分別交b、c于G、H，如圖， 易得四邊形AGED、四邊形AHFD為平行四邊形， ∴HF=GE=AD=4， ∵直線a∥b∥c， ∴ABAC=BGCH，即BGCH=22+4=13， ∴BECF

10、=BG+2CH+2=13CH+2CH+2=13（CH+2）+43CH+2=13+43CH+2， ∴BECF＞13． 故選：B． 2．（2018·廣西中考真題）如圖，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，則 AE：EC 的值是（ ） A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5 【答案】D 【詳解】 如圖，過點 D作 DF∥CA 交 BE于 F， ∵DF∥CE ∴DFCE=BDBC， 而 BD：DC=2：3，BC=BD +CD， ∴DFCE=25，則 CE=52DF， ∵DF∥AE， ∴DFAE=DGAG， ∵AG：GD=4：1， ∴DFAE=14，則

11、 AE=4DF， ∴AECE=4DF52DF=85， 故選D． 3．（2019·山西中考模擬）如圖，ΔABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，延長 CA 至點 D，使 AD＝AC，點 E 是 BC 的中點，連接 DE 交 AB 于點 F，則 AF：FB 的值為( ) A．12 B．23 C．22 D．223 【答案】A 【詳解】 解：過點AD作AG∥BC，與DE交于點G． ∴ADDC=AGEC，AGBE=AFFB， ∵BE=CE， ∴AFFB=ADDC ∵ AC=AD， ∴ AF：FB=1:2. 故選：A. 知識點二 相似三角形 相似圖形

12、的概念：形狀相同的圖形叫做相似圖形。 相似圖形的概念：對應角相等、對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似用符號“∽”，讀作“相似于”。 相似比的概念：相似三角形對應邊的比叫做相似比 相似三角形的判定: 判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形和原三角形相似. 判定方法（二）：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似.　 判定方法（三）：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似. 判定方法（四）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似. 判定方法（

13、五）：斜邊和任意一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似。 相似三角形的性質： 1.相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等； 2.相似三角形中的重要線段的比等于相似比； 相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比. 3.相似三角形的面積比等于相似比的平方． 相似三角形與實際應用： 關鍵：巧妙利用相似三角形性質，構建相似三角形求解。 【考查題型匯總】 考查題型三 相似三角形的判定方法 1．（2019·上海中考模擬）如圖，在△ABC中，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，如果添加下列某個條件，不一定能使△ADE與△ABC相似，那么添加的這個條件是(?? )

14、 A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C．ADAC=AEAB D．ADAB=DEBC 【答案】D 【詳解】 解： A，當∠AED＝∠B時，△ADE∽△ABC(AAA)；故本選項不符合題意；? B，當∠ADE＝∠C時，△ADE∽△ABC(AAA)；故本選項不符合題意；? C, 當ADAC＝AEAB時，△ADE∽△ABC(SAS)；故本選項不符合題意；? D，當ADAB＝DEBC時，公共角不是夾角，不能推斷△ADE∽△ABC；故本選項符合題意， 故選D. 2．（2019·上海中考模擬）如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，且DE與BC不平行．下列條件中，能判定△A

15、DE與△ACB相似的是（　?。? A．ADAC=AEAB B．ADAE=ABAC C．DEBC=AEAB D．DEBC=ADAC 【答案】A 【詳解】 解:在△ADE與△ACB中， ∵ADAC=AEAB，且∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB． 故選:A． 3．（2019·浙江中考模擬）如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，則（　?。? A．ADAB=12 B．AEEC=12 C．ADEC=12 D．DEBC=12 【答案】B 【解析】 ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ADAB=AEAC=DEBC， ∵BD=2A

16、D， ∴ADAB=13，DEBC=13，AEEC=12， 故選A． 4．（2019·四川中考模擬）以下各圖放置的小正方形的邊長都相同，分別以小正方形的頂點為頂點畫三角形，則與△ABC相似的三角形圖形為（　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 設每個小正方形的邊長為1,則△ABC的各邊長分別為：2, 2,10，同理求得： A中三角形的各邊長為：2,1, 5，與△ABC的各邊對應成比例，所以兩三角形相似； 故選A. 5．（2019·廣西中考真題）如圖，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF與AC交于點G，則是相似三角形共有（ ） A．3對 B．5對 C

17、．6對 D．8對 【答案】C 【詳解】 圖中三角形有：ΔAEG，ΔADC，ΔCFG，ΔCBA， ∵AB∥EF∥DC，AD∥BC ∴ΔAEG∽ΔADC∽ΔCFG∽ΔCBA 共有6個組合分別為：∴ΔAEG∽ΔADC，ΔAEG∽ΔCFG，ΔAEG∽ΔCBA，ΔADC∽ΔCFG，ΔADC∽ΔCBA，ΔCFG∽ΔCBA 故選：C． 6．（2013·浙江中考真題）已知△A1B1C1，△A2B2C2的周長相等，現有兩個判斷： ①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，則△A1B1C1≌△A2B2C2； ②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，則△A1B1C1≌△A2B2C2， 對于上述的

18、兩個判斷，下列說法正確的是（　　） A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確 C．①，②都錯誤 D．①，②都正確 【答案】D 【解析】 ①∵A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，且△A1B1C1與△A2B2C2的周長相等， ∴B1C1=B2C2。∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS）。故①正確。 ②∵∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2。 ∴B1C1B2C2=ΔA1B1C1的周長ΔA2B2C2的周長=1?！郆1C1=B2C2?！唷鰽1B1C1≌△A2B2C2（ASA）。故②正確。 綜上所述，①，②都正確。故選D。 考查題型四

19、利用相似三角形的性質進行計算 1．（2018·甘肅中考模擬）有一塊直角邊AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的鐵片，現要把它加工成一個正方形（加工中的損耗忽略不計），則正方形的邊長為（　?。? A．67 B．3037 C．127 D．6037 【答案】D 【解析】 試題解析：如圖，過點B作BP⊥AC，垂足為P，BP交DE于Q． ∵S△ABC=12AB?BC=12AC?BP， ∴BP=AB·BCAC=3×45=125． ∵DE∥AC， ∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C， ∴△BDE∽△BAC， ∴DEAC=BQBP． 設DE=x，則有：x5=125-x125，

20、 解得x=6037， 故選D． 2．（2019·上海中考模擬）如圖，已知?ABCD中，E是邊AD的中點，BE交對角線AC于點F，那么S△AFE：S四邊形FCDE為( ) A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6 【答案】C 【詳解】 解：連接CE，∵AE∥BC，E為AD中點， ∴AEBC=AFFC=12 ． ∴△FEC面積是△AEF面積的2倍． 設△AEF面積為x，則△AEC面積為3x， ∵E為AD中點， ∴△DEC面積=△AEC面積=3x． ∴四邊形FCDE面積為5x， 所以S△AFE：S四邊形FCDE為1：5． 故選：C． 3．（2019·四

21、川中考真題）如圖?ABCD，F為BC中點，延長AD至E，使，連結EF交DC于點G，則＝（ ） A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9 【答案】D 【詳解】 解：設， ∵， ∴， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴，， ∵點F是BC的中點， ∴， ∵， ∴， ∴， 故選：D． 4．（2019·山東中考真題）如圖，在ΔABC中，AC=2，，D為BC邊上的一點，且∠CAD=∠B．若ΔADC的面積為a，則ΔABD的面積為（　　） A．2a B．52a C．3a D．72a 【答案】C 【詳解】 ∵∠CAD=∠B，∠ACD=∠BCA， ∴ΔA

22、CD～ΔBCA， ∴SΔACDSΔBCA=ACAB2，即aSΔBCA=14， 解得，ΔBCA的面積為4a， ∴ΔABD的面積為：4a-a=3a， 故選：C． 5．（2019·江蘇中考真題）若ΔABC～ΔA'B'C'，相似比為1:2，則ΔABC與ΔA'B'C'的周長的比為（　?。? A．2:1 B．1:2 C．4:1 D．1:4 【答案】B 【詳解】 ∵ΔABC～ΔA'B'C'，相似比為1:2， ∴ΔABC與A'B'C'的周長的比為1:2． 故選：B． 6．（2018·黑龍江中考真題）兩個相似三角形的最短邊分別是5cm和3cm，它們的周長之差為12cm，那么小三角形的周長為

23、（ ）． A．14cm B．16cm C．18cm D．30cm 【答案】C 【解析】 由題可得，兩個相似三角形的周長比等于相似比，也就是兩個最短邊的比為5:3，設兩三角形周長分別為5xcm，3xcm，則，解得x=6，所以，即小三角形周長為18cm．故選C． 7．（2019·云南中考模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊DC上，DE：EC=3：1，連接AE交BD于點F，則△DEF的面積與△BAF的面積之比為（ ） A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1 【答案】B 【詳解】 ∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴DC∥AB， ∴△DFE∽△BFA，

24、 ∵DE：EC=3：1， ∴DE：DC=3：4， ∴DE：AB=3：4， ∴S△DFE：S△BFA=9：16． 故選B． 8．（2011·浙江中考真題）（11·臺州）若兩個相似三角形的面積之比為1∶4，則它們的周長之比為（ ） A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶16 【答案】A 【解析】 試題分析：根據相似三角形的性質，相似三角形的面積之比等于相似比的平方，利用面積之比是1:4，求出相似比，然后再根據相似三角形的周長之比等于相似比，即可求出它們的相似比. ∵兩個相似三角形的面積之比是1:4， ∴兩個相似三角形的相似比是1:2. ∴兩個相似三角

25、形的周長之比是1:2. 故選擇A. 考查題型五 ；利用相似三角形的判定和性質求線段或角度 1．（2019·湖南中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接對角線AC，延長AB至點E，使，連接DE，分別交BC，AC交于點F，G． (1)求證：BF=CF； (2)若BC=6，DG=4，求FG的長． 【答案】(1)證明見解析；(2)FG=2. 【詳解】 (1)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥CD，AD=BC， ∴ΔEBF∽ΔEAD， ∴BFAD=BEEA， ∵BE=AB，AE=AB+BE， ∴BFAD=12， ∴BF=12AD=12BC， ∴BF=CF；

26、(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥CD， ∴ΔFGC∽ΔDGA， ∴FGDG=FCAD，即FG4=12， 解得，FG=2． 2．（2016·山東中考模擬）如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F是AM的中點，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長線于點E，交DC于點N． （1）求證：△ABM∽△EFA； （2）若AB=12，BM=5，求DE的長． 【答案】（1）見解析；（2）4.9 【詳解】 （1）∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC， ∴∠AMB=∠EAF， 又∵EF⊥AM， ∴∠AFE=90°， ∴∠B=∠AFE，

27、 ∴△ABM∽△EFA； （2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5， ∴AM==13，AD=12， ∵F是AM的中點， ∴AF=12AM=6.5， ∵△ABM∽△EFA， ∴BMAF=AMAE， 即56.5=13AE， ∴AE=16.9， ∴DE=AE-AD=4.9． 3．（2019·遼寧中考模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE＝∠B． (1)求證：△ADF∽△DEC (2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的長. 【答案】（1）見解析（2）AF=23 【詳解】 （1）證明：∵四邊形

28、ABCD是平行四邊形 ∴AD∥BC AB∥CD ∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF∽△DEC (2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AD∥BC CD=AB=4 又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD 在Rt△ADE中，DE=AD2+AE2=(33)2+32=6 ∵△ADF∽△DEC ∴ADDE=AFCD∴336=AF4 ∴AF=23 4．（2017·江蘇中考模擬）如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且． （1）求證：△ACD∽△CBD； （2）求∠ACB的大小

29、． 【答案】（1）證明見試題解析；（2）90°． 【解析】 （1）∵CD是邊AB上的高， ∴∠ADC=∠CDB=90°， ∵． ∴△ACD∽△CBD； （2）∵△ACD∽△CBD， ∴∠A=∠BCD， 在△ACD中，∠ADC=90°， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴∠BCD+∠ACD=90°， 即∠ACB=90°． 5．（2013·山東中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點， （1）求證：AC2=AB?AD； （2）求證：CE∥AD； （3）若AD=4，AB=6，求的值． 【答案】（1）

30、見解析 （2）見解析 （3）ACAF=74． 【詳解】 解：（1）證明：∵AC平分∠DAB ∴∠DAC=∠CAB． ∵∠ADC=∠ACB=90° ∴△ADC∽△ACB． ∴ADAC=ACAB 即AC2=AB?AD． （2）證明：∵E為AB的中點 ∴CE=12AB=AE ∴∠EAC=∠ECA． ∵∠DAC=∠CAB ∴∠DAC=∠ECA ∴CE∥AD． （3）∵CE∥AD ∴△AFD∽△CFE ∴ADCE=AFCF． ∵CE=12AB ∴CE=12×6=3． ∵AD=4 ∴43=AFCF ∴ACAF=74． 考查題型六 利用相似三角形測量河寬 1

31、．（2019·吉林中考模擬）如圖，一位測量人員，要測量池塘的寬度 AB 的長，他過 A、B 兩點畫兩條相交于點 O 的射線，在射線上取兩點 D、E ，使 ODOB=OEOA=13 ，若測得 DE=37.2 米，他能求出 A、B 之間的距離嗎？若能，請你幫他算出來；若不能，請你幫他設計一個可行方案． 【答案】可以求出A、B之間的距離為111.6米. 【詳解】 解：∵ODOB=OEOA，∠AOB=∠EOD（對頂角相等）， ∴△AOB∽△EOD， ∴DEAB=OEOA=13， ∴37.2AB=13， 解得AB=111.6米． 所以，可以求出A、B之間的距離為111.6米 2．（

32、2018·陜西中考真題）周末，小華和小亮想用所學的數學知識測量家門前小河的寬．測量時，他們選擇了河對岸邊的一棵大樹，將其底部作為點A，在他們所在的岸邊選擇了點B，使得AB與河岸垂直，并在B點豎起標桿BC，再在AB的延長線上選擇點D豎起標桿DE，使得點E與點C、A共線． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，測得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．測量示意圖如圖所示．請根據相關測量信息，求河寬AB． 【答案】河寬為17米． 【詳解】∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠CBA＝∠EDA＝90°， ∵∠CAB＝∠EAD， ∴?ABC∽?ADE， ∴ADAB=DEBC， 又∵A

33、D=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5， ∴AB+8.5AB=1.51， ∴AB＝17， 即河寬為17米． 3．（2019·安徽中考模擬）為了估計河的寬度，勘測人員在河的對岸選定一個目標點A，在近岸分別取點B、D、E、C，使點A、B、D在一條直線上，且AD⊥DE，點A、C、E也在一條直線上，且DE//BC.經測量BC=24米，BD=12米，DE=40米，求河的寬度AB為多少米？ 【答案】河的寬度為18米． 【詳解】 解：設寬度AB為x米， ∵DE//BC， ∴△ABC∽△ADE， ∴ABAD=BCDE， 又∵BC=24，BD=12，DE=40代入得 ∴

34、xx+12=2440， 解得x=18， 答：河的寬度為18米． 考查題型七 利用相似三角形測量物高 1．（2018·陜西省西安高新第一中學初中校區(qū)中考模擬）太原雙塔寺又名永祚寺，是國家級文物保護單位，由于雙塔（舍利塔、文峰塔）聳立，被人們稱為“文筆雙塔”，是太原的標志性建筑之一，某校社會實踐小組為了測量舍利塔的高度，在地面上的C處垂直于地面豎立了高度為2米的標桿CD，這時地面上的點E，標桿的頂端點D，舍利塔的塔尖點B正好在同一直線上，測得EC＝4米，將標桿CD向后平移到點C處，這時地面上的點F，標桿的頂端點H，舍利塔的塔尖點B正好在同一直線上（點F，點G，點E，點C與塔底處的點A在同一

35、直線上），這時測得FG＝6米，GC＝53米． 請你根據以上數據，計算舍利塔的高度AB． 【答案】55米 【詳解】 ∵△EDC∽△EBA，△FHC∽△FBA, ∴GHAB=FGFA,DCBA=ECEA， 又∵DC=HG， ∴FGFA=ECEA， 即659+AC=44+AC， ∴AC=106米， 又 DCAB=ECEA， ∴2AB=44+106， ∴AB=55米. 答：舍利塔的高度AB為55米． 2．（2019·蕪湖市第二十九中學中考模擬）如圖是小明設計利用光線來測量某古城墻CD高度的示意圖，如果鏡子P與古城墻的距離PD＝12米，鏡子P與小明的距離BP＝1.5米，小

36、明剛好從鏡子中看到古城墻頂端點C，小明眼睛距地面的高度AB＝1.2米，那么該古城墻的高度是？ 【答案】9.6米 【詳解】 解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP， ∴△ABP∽△CDP ∴＝， 即：＝， 解得：PD＝9.6（米）． 答：該古城墻的高度是9.6m． 3．（2019·廣東中考模擬）如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調整自己的位置，設法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE=0.4m，EF=0.2m，測得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求樹高． 【答案】樹高為 5.5 米

37、 【詳解】 ∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D， ∴△DEF∽△DCB ∴ DEDC=EFCB， ∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m， ∴0.48=0.2CB， ∴CB＝4（m）， ∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米） 答：樹高為 5.5 米. 4．（2019·西安交通大學附屬中學中考模擬）如圖，河對岸有一路燈桿AB，在燈光下，小亮在點D處測得自己的影長DF＝3m，沿BD方向從D后退4米到G處，測得自己的影長GH＝5，如果小亮的身高為1.7m，求路燈桿AB的高度． 【答案】路燈桿AB高5.1m． 【詳解】 ∵CD⊥BF，AB⊥BF

38、， ∴CD∥AB， ∴△CDF∽△ABF， ∴CDAB＝DFBF， 同理可得EGAB＝GHBH， ∴DFBF＝GHBH， ∴3BD+3＝59+BD， 解得BD＝6， ∴1.7AB＝33+6， 解得AB＝5.1． 答：路燈桿AB高5.1m． 5．（2018·廣西柳州八中中考模擬）一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長來測量一路燈D的高度．如圖，當李明走到點A處時，張龍測得李明直立身高AM與其影子長AE正好相等，接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點B處時，李明直立時身高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB＝1.25 m，已知李明直立時的身高為1.75 m，求路燈的高CD的長．

39、(結果精確到0.1 m) 【答案】路燈的高CD的長約為6.1 m. 【解析】 設路燈的高CD為xm， ∵CD⊥EC，BN⊥EC， ∴CD∥BN， ∴△ABN∽△ACD，∴BNCD=ABAC， 同理，△EAM∽△ECD， 又∵EA＝MA，∵EC＝DC＝xm， ∴1.75x=1.25x-1.75，解得x＝6.125≈6.1． ∴路燈的高CD約為6.1m． 6．（2018·陜西西北工業(yè)大學附屬中學中考模擬）數學活動小組的小穎、小明和小華利用皮尺和自制的兩個直角三角板測量學校旗桿MN的高度，如示意圖，△ABC和△A′B′C′是他們自制的直角三角板，且△ABC≌△A′B′C′，

40、小穎和小明分別站在旗桿的左右兩側，小穎將△ABC的直角邊AC平行于地面，眼睛通過斜邊AB觀察，一邊觀察一邊走動，使得A、B、M共線，此時，小華測量小穎距離旗桿的距離DN=19米，小明將△A′B′C′的直角邊B′C′平行于地面，眼睛通過斜邊B′A′觀察，一邊觀察一邊走動，使得B′、A′、M共線，此時，小華測量小明距離旗桿的距離EN=5米，經測量，小穎和小明的眼睛與地面的距離AD=1米，B′E=1.5米，（他們的眼睛與直角三角板頂點A，B′的距離均忽略不計），且AD、MN、B′E均與地面垂直，請你根據測量的數據，計算旗桿MN的高度. 【答案】11米 【詳解】 解：過點C作CE⊥MN于E，

41、過點C′作C′F⊥MN于F， 則EF＝B′E?AD＝1.5?1＝0.5（m），AE＝DN＝19，B′F＝EN＝5， ∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠MAE＝∠B′MF， ∵∠AEM＝∠B′FM＝90°， ∴△AMF∽△MB′F， ∴AEMF=MEB'F ， ∴19MF=MF+0.55 ∴MF＝192 ， ∵NF=B'E=1.5, MN=MF+NF, ∴MN=MF+B'E=192+1.5=11 答：旗桿MN的高度約為11米． 考查題型八 利用相似三角形解決盲區(qū)問題 1．（2018·陜西省西安高新逸翠園學校中考模擬）如圖，兩棵樹的高度分別為AB=6m，CD

42、=8m，兩樹的根部間的距離AC=4m，小強正在距樹AB的20m的點P處從左向右前進，如果小強的眼睛與地面的距離為1.6m，當小強前進多少米時，就恰好不能看到CD的樹頂D? 【答案】前進11.2米時就恰好能看到樹CD的樹頂D. 【解析】 設FG=x米．那么FH=x+GH=x+AC=x+4（米）． ∵AB=6m，CD=8m，小強的眼睛與地面的距離為1.6m， ∴BG=4.4m，DH=6.4m． ∵BA⊥PC，CD⊥PC，∴AB∥CD， ∴FG：FH=BG：DH，即FG?DH=FH?BG， ∴x×6.4=（x+4）×4.4， 解得：x=8.8（米），20﹣8.8=11.2米．

43、 因此前進11.2米時就恰好能看到樹CD的樹頂D． 考查題型九 利用相似三角形解決其它實際問題 1．（2018·河北中考模擬）一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC＝12 cm，高AD＝8 cm，把它加工成矩形零件如圖，要使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，且矩形的長與寬的比為3∶2，求這個矩形零件的邊長． 【答案】個矩形零件的長為6 cm，寬為4 cm或長為7213cm，寬為4813cm. 【解析】 ∵四邊形PQMN是矩形， ∴BC∥PQ， ∴△APQ∽△ABC， ∴PQBC=AHAD， 由于矩形長與寬的比為3：2， ∴分兩種情況： ①若PQ為

44、長，PN為寬， 設PQ=3k，PN=2k， 則3k12=8-2k8， 解得：k=2， ∴PQ=6cm，PN=4cm； ②PN為6，PQ為寬， 設PN=3k，PQ=2k， 則2k12=8-3k8， 解得：k=2413， ∴PN=7213cm，PQ=4813cm； 綜上所述：矩形的長為6cm，寬為4cm；或長為7213cm，寬為4813cm． 2．（2018·陜西初三期末）一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊BC=120mm,高4D=80mm, .把它加工成正方形零件如圖1,使正方形的一邊在BC上,其余兩個頂點分別在AB,AC上. (1)求證：ΔAEF~ΔABC;

45、 (2)求這個正方形零件的邊長; 【答案】（1）見解析；（2）正方形零件的邊長為48mm 【詳解】 (1)證明：∵四邊形EGFH為正方形， ∴ BC// EF, ∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C ∴△AEF～△ABC; (2)解：設正方形零件的邊長為xmm，則KD=EF=xmm, AK= (80-x) mm， ∵EF// BC, ∴△AEF～△ABC, ∵AD⊥BC, ∴ ∴ 解得x=48. 答：正方形零件的邊長為48mm. 考查題型十 利用相似三角形解決動態(tài)幾何問題 1．（2017·天津中考模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．

46、現有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB也向點B方向運動．如果點P的速度是4cm/秒，點Q的速度是2cm/秒，它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動，設運動的時間為t秒． （1）用含t的代數式表示Rt△CPQ的面積S； （2）當t＝3秒時，P、Q兩點之間的距離是多少？ （3）當t為多少秒時，以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？ 【答案】1 S=（20t-4t2）cm2；210cm；3 t=3秒或t=4011秒時，以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似． 【詳解】 （1）由題意得：AP=4t，CQ=2t，則CP=20﹣4

47、t，因此Rt△CPQ的面積為S=12CP×CQ=12×（20-4t）×2t=20t-4t2（0≤t≤5）； （2）由題意得：AP=4t，CQ=2t，則CP=20﹣4t，當t=3秒時，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm． 在Rt△CPQ中，由勾股定理得：PQ=CP2+CQ2=82+62=10cm； （3）由題意得：AP=4t，CQ=2t，則CP=20﹣4t． 分兩種情況討論： ①當Rt△CPQ∽Rt△CAB時，CPCA=CQCB，即20-4t20=2t15，解得：t=3秒； ②當Rt△CPQ∽Rt△CBA時，CPCB=CQCA，即20-4t15=2t20，解得：t=4011

48、秒． 因此t=3秒或t=4011秒時，以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似． 知識點三 位似 位似圖形定義: 如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心． 注意： 1.位似圖形是相似圖形的一種特殊形式。 2.位似圖形的對應頂點的連線所在直線相交與一點，位似圖形的對應邊互相平行或者共線。 位似中心的位置：形內、形外、形上。 畫位似圖形的步驟： 1.確定位似中心. 2.確定原圖形的關鍵點. 3.確定位似比. 4.根據對應點所在直線經過位似中心且到位似中心的距離之比等于位似比，作出關鍵點的對應點，

49、再按照原圖的順序連接各點 ( 對應點都在位似中心同側，或兩側 ) . 在直角坐標系中的位似圖形坐標關系：在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫一個與原圖形的位似圖形，使它與原圖形的相似比為k，若原圖形上點的坐標為(x，y)，則位似圖形上與它對應的點的坐標為(kx，ky)或(-kx，-ky). 平移、軸對稱、旋轉、位似的區(qū)別： 1.平移：和原圖形一模一樣 （和原圖形全等且能與原圖形重合） 2.軸對稱：面積和原圖形一樣 也是全等，和平移的不同點就是軸對稱之后的圖形不能與原圖形重合，雖然它們全等） 3.旋轉：面積和原圖形一樣，也是全等，和軸對稱的不同點是軸對稱只有一個和原圖形軸對稱的

50、圖形，而旋轉可以旋轉出無數個。 4.位似：位似出的圖形只和原圖形的角相等 邊就不一定相等了。 【考查題型匯總】 考查題型十一 識別位似圖形和位似中心 1．（2018·四川中考模擬）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△A1B1C1是以點P為位似中心的位似圖形，且頂點都在格點上，則點P的坐標為（　?。? A．（﹣4，﹣3） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣3，﹣3） D．（﹣4，﹣4） 【答案】A 【詳解】 如圖，點P的坐標為（-4，-3）． 故選A． 2．（2018·河北中考模擬）如圖，正方形OEFG和正方形ABCD是位似圖形，且點F與點C是一對對應點，點F的坐標是（1，

51、1），點C的坐標是（4，2），則它們的位似中心的坐標是（ ） A．（0，0） B．（－1，0） C．（－2，0） D．（－3，0） 【答案】C 【解析】 ∵點F與點C是一對對應點，可知兩個位似圖形在位似中心同旁，位似中心就是CF與x軸的交點， 設直線CF解析式為y=kx+b， 將C（4，2），F（1，1）代入， 得， 解得， 即y=x+， 令y=0得x=﹣2， ∴O′坐標是（﹣2，0）； 故選C． 3．（2015·四川中考真題）如圖，△OAB與△OCD是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），則點C的坐標為（

52、 ） A．（1，2） B．（1，1） C．（2，2） D．（2，1） 【答案】B 【詳解】 ∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB與等腰Rt△OCD是位似圖形，點B的坐標為(1，0)， ∴BO=1，則AO=AB=22， ∴A(12，12)， ∵等腰Rt△OAB與等腰Rt△OCD是位似圖形，O為位似中心，相似比為1:2， ∴點C的坐標為：(1，1). 故選B. 4．（2018·河北中考模擬）如圖，△A'B'C'是△ABC以點O為位似中心經過位似變換得到的，若△A'B'C'的面積與△ABC的面積比是4：9，則OB'：OB為(　　) A．

53、2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9 【答案】A 【解析】 由位似變換的性質可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC， ∴△A′B′C′∽△ABC． ∵△A'B'C'與△ABC的面積的比4：9， ∴△A'B'C'與△ABC的相似比為2：3， ∴OB'：OB=2：3. 故選：A． 5．（2019·甘肅中考模擬） 如圖，線段AB兩個端點的坐標分別為A（1，3）、B（3，0），以原點為位似中心，將線段AB放大得到線段CD，若點C的坐標為（6，0），則點D的坐標為（　?。? A．（3，6） B．（2，4.5） C．（2，6） D．（1.5，4.5） 【答案】C 【詳解】

54、由題意得，△OAB與△ODC為位似圖形， ∴△OAB∽△ODC， 由題意得，OB＝3，OC＝6， ∴△OAB與△ODC的相似比為1：2， ∴點D的坐標為（1×2，3×2），即（2，6）， 故選C． 6．（2019·陜西中考模擬）如圖，在平面直角坐標中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為13，點A，B，E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為6，則C點坐標為（?。? A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2） 【答案】A 【詳解】 ∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為13， ∴AD

55、BG=13， ∵BG=6， ∴AD=BC=2， ∵AD∥BG， ∴△OAD∽△OBG， ∴=13， ∴OA2+OA=13， 解得：OA=1，∴OB=3， ∴C點坐標為：（3，2）， 故選A． 7．（2018·廣西中考模擬）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（―3，6）、B（―9，一3），以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點A的對應點A′的坐標是（ ） A．（―1，2） B．（―9，18） C．（―9，18）或（9，―18） D．（―1，2）或（1，―2） 【答案】D 【詳解】 試題分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O關于原點位似，∴△ AB

56、O∽△A′B′O且OA'OA＝13 .∴＝＝13.∴A′E＝13AD＝2，OE＝13OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）. 方法二：∵點A（―3，6）且相似比為13，∴點A的對應點A′的坐標是（―3×13，6×13），∴A′（－1,2）. ∵點A′′和點A′（－1,2）關于原點O對稱，∴A′′（1,―2）. 故答案選D. 考查題型十二 位似圖形的應用 1．（2013·浙江中考模擬）如圖，△DEF是由△ABC經過位似變換得到的，點O是位似中心，D，E，F分別是OA，OB，OC的中點，則△DEF與△ABC的面積比是（ ） A．1:2 B．1:4 C．1:5

57、D．1:6 【答案】B 【解析】 由題意可知△DEF與△ABC的位似比為1︰2，∴其面積比是1︰4，故選B． 2．（2019·河北中考模擬）如圖，以點O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，則△A′B′C′與△ABC的面積比為（　?。? A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9 【答案】D 【解析】 解：∵OB=3OB′， ∴OB′：OB=1：3， ∵以點O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A′B′C′， ∴△A′B′C′∽△ABC， ∴A′B′：AB＝OB′：OB=1：3， ∴SΔA'B'C'SΔABC=(13)2=19. 故

58、選D 3．（2016·天津中考模擬）如圖，在?ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，若EF：AF=2：5，則S△DEF：S四邊形EFBC為（　?。? A．2：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35 【答案】C 【解析】 由平行四邊形的性質可證明△DEF∽△BAF，可得DFBF=EFAF=25，由此求得△DEF和△AFE、△ABF的面積之間的關系S△DEFS△ABF=425，S△DEFS△ADF=25， 設S△DEF=S，則S△ABF=254S，S△ADF=52S，所以S△ABD=S△ADF+S△ABF=254S+52S=354S，

59、再由四邊形ABCD為平行四邊形，可得S△ABD=S△DBC=354S， 因此可得S四邊形EFBC=S△BDC﹣S△DEF=354S﹣S=314S，所以S△DEF：S四邊形EFBC=4：31． 故選C． 4．（2012·廣東中考模擬）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于點O，AD=1，BC=3，則S△AOD：S△BOC等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．4：9 D．1：9 【答案】D 【解析】 ∵ＡＤ∥ＢＣ, ∴Ｓ△ＡＯＤ與Ｓ△ＢＯＣ相似， ∵ＡＤ＝１，ＢＣ＝３ ∴Ｓ△ＡＯＤ︰Ｓ△ＢＯＣ=１︰９ 5．（2017·四川中考真題）如圖，四邊

60、形和是以點為位似中心的位似圖形，若，則四邊形與四邊形的面積比為（ ） A．4：9 B．2：5 C．2：3 D． 【答案】A 【解析】 根據位似變換的性質，可知，然后根據相似圖形的面積比等于相似比的平方，可知其面積比為4:9. 故選：A. 6．（2019·廣西中考真題）如圖，ΔABC與ΔA'B'C'是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，若點A2,2???,???B3,4，C6,1?，B'6,8則ΔA'B'C'的面積為__． 【答案】18． 【詳解】 ∵ΔABC與ΔA'B'C'是以坐標原點O為位似中心的位似圖形， 若點??B3,4，B'6,8， ∴位似比為：36=12， ∵A2,2???，C6,1?， ∴A'4,4???,???C'12,2， ∴ΔA'B'C'的面積為：6×8-12×2×4-12×6×6-12×2×8=18， 故答案為：18． 40