《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 12.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理練習(xí) 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 12.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理練習(xí) 理 北師大版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 12.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 核心考點·精準(zhǔn)研析 考點一　分類加法計數(shù)原理及其應(yīng)用? 1.從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中,任取兩個不同數(shù)字相加,其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)有 (　　) A.30 B.20 C.10 D.6 2.甲、乙、丙三個人踢毽,互相傳遞,每人每次只能踢一下,由甲開始踢,經(jīng)過4次傳遞后,毽又被踢回給甲,那么不同的傳遞方法共有 (　　) A.4種 B.6種 C.10種 D.16種 3.“漸升數(shù)〞是指每個數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù)(如1 458),假設(shè)把四位“漸升數(shù)〞按從小到大的順序排列,那么第30個“漸升數(shù)〞是___________

2、_____.? 【解析】1.選D.可分兩類:一類兩個數(shù)都為奇數(shù):1,3;1,5;3,5,共3種方法;另一類兩個數(shù)都為偶數(shù):0,2;0,4;2,4,共3種方法,所以共有3+3=6種取法. 2.選B.分兩類:甲第一次踢給乙時, 滿足條件有3種方法(如圖), 同理,甲先傳給丙時,滿足條件有3種方法. 由分類加法計數(shù)原理知,共有3+3=6(種)傳遞方法. 3.漸升數(shù)由小到大排列,形如的漸升數(shù)共有6+5+4+3+2+1=21(個). 形如 的漸升數(shù)共有5個. 形如 的漸升數(shù)共有4個. 故此時共有21+5+4=30(個). 因此從小到大的四位漸升數(shù)的第30個必為1 359. 答案

3、:1 359 　應(yīng)用分類加法計數(shù)原理的四個步驟 (1)完成的一件事是什么. (2)確定分類時,n類方法的每一種方法都可以獨立完成這件事. (3)確定恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn),對完成這件事的方法分類時要“不重不漏〞,即每一種的方法必屬于某一類,不同類中的方法都是不相同的. (4)把所有類中的方法數(shù)相加,即得完成這件事的方法數(shù). 考點二　分步乘法計數(shù)原理及其應(yīng)用? 【典例】 1.一個小朋友從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數(shù)字中選取3個不同的數(shù)字組成三位數(shù),那么他寫出的三位數(shù)有____________個. (　　)? A.1 000 B.900 C.720 D.648 2.

4、集合A中有4個元素,B中有3個元素,C中有9個元素,那么集合中的元素個數(shù)為________________.? 3.有4個同學(xué)各自在2021年元旦的三天假期中任選一天去敬老院參加活動,那么有多少種選法? 【解題導(dǎo)思】 序號 聯(lián)想解題 1 由組成三位數(shù)想到先確定百位數(shù)字,再確定十位數(shù)字,最后確定個位數(shù)字 2 由x∈A,y∈B,z∈C想到先確定x,再確定y,最后確定z 3 由4個同學(xué)在三天中任選一天,聯(lián)想到每個人有3種選擇. 【解析】1.選D.分三個步驟:第一步確定百位數(shù)字,有9種方法,第二步確定十位數(shù)字,有9種方法,第三步確定個位數(shù)字,有8種方法,所以由分步乘法計數(shù)原理得他

5、寫出的三位數(shù)有9×9×8=648(個). 2.分三個步驟,第一步確定x,有4種方法,第二步確定y,有3種方法,第三步確定z,有9種方法,由分步乘法計數(shù)原理得集合中元素個數(shù)為4×3×9=108. 答案:108 3.每個同學(xué)都有3種選擇,所以4個同學(xué)的選法共有3×3×3×3=81(種). 　應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理的三個步驟 (1)完成的一件事是什么. (2)需要分幾個步驟.每一步各有多少種方法. 每一步中的每一種方法都能獨立完成這個步驟,但是不能完成這件事. (3)把每一步中的方法數(shù)相乘即得完成這件事的方法數(shù). 1.(2021·濟南模擬)某校2021年數(shù)理化三科奧賽進入冬令營的

6、選手共15人,其中數(shù)學(xué)科有7人,物理科有5人,化學(xué)科有3人,從三個學(xué)科中各選一人作護旗手,那么選出這3個人的方法有____________種 (　　)? A.15 B.35 C.56 D.105 【解析】選D.因為從三個學(xué)科中各選一人作護旗手,所以應(yīng)該分成三步: 第一步,從數(shù)學(xué)科7人中選出1人,有7種方法, 第二步,從物理科5人中選出1人,有5種方法, 第三步,從化學(xué)科3人中選出1人,有3種方法, 所以由分步乘法計數(shù)原理得選出這3個人的方法有7×5×3=105(種). 2.從集合{1,2,3,…,11}中任意取兩個元素作為橢圓方程+=1中的m和n,那么能組成落在矩形區(qū)域B={(x

7、,y)||x|<11,|y|<9}內(nèi)的橢圓的個數(shù)是 (　　) A.43 B.72 C.86 D.90 【解析】選B.根據(jù)題意,m是不大于10的正整數(shù),n是不大于8的正整數(shù).但是當(dāng)m=n時,+=1是圓而不是橢圓.先確定n,n有8種可能,對每一個確定的n,m有10-1=9種可能,故滿足條件的橢圓有8×9=72個.應(yīng)選B. 考點三　兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用? 命 題 精 解 讀 1.考什么:(1)考查“分類〞與“分步〞的關(guān)系 (2)考查兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用 2.怎么考:以實際問題(數(shù)字組數(shù)、小球入盒、方塊染色、人員安排等)為背景,考查兩個計數(shù)原理,多數(shù)是以選擇題或填空題,或者解

8、答題的一個小題的形式考查 3.新趨勢:結(jié)合新背景,考查兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用 學(xué) 霸 好 方 法 利用兩個計數(shù)原理解題的關(guān)鍵: (1)認真閱讀審題,選擇適合的分類標(biāo)準(zhǔn)進行合理分類,簡化問題 (2)根據(jù)題意,弄清楚完成一件事的要求,正確區(qū)分先分類再分步還是先分步再分類 數(shù)字問題 【典例】用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字,且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有________________個.(用數(shù)字作答) 【解析】分兩種情況:第一種:四位數(shù)都不是偶數(shù)的個數(shù)為:5×4×3×2=120,第二種:四位數(shù)中有一位為偶數(shù)的個數(shù)為4×4×5×4×

9、3=960,那么共有1 080個. 答案:1 080 如何求與數(shù)字有關(guān)的計數(shù)問題? 提示:(1)先確定是分類還是分步,分類時確定好統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn),不重復(fù),也不遺漏,分步時,確定好步驟. (2)先根據(jù)題意確定特殊數(shù)位的數(shù)字(如首位不能為0,奇數(shù)的個位為奇數(shù)等),再確定其他位置上的數(shù)字. 染色問題 【典例】如下圖,將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色,并使同一條棱上的兩端異色,如果只有5種顏色可供使用,求不同的染色方法總數(shù). 【解析】可分為兩大步進行,先將四棱錐一側(cè)面三頂點染色,然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù),用分步乘法計數(shù)原理即可得出結(jié)論.由題設(shè),四棱錐S-ABCD的頂點S,

10、A,B所染的顏色互不相同,它們共有5×4×3=60(種)染色方法. 當(dāng)S,A,B染好時,不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3,假設(shè)C染2,那么D可染3或4或5,有3種染法;假設(shè)C染4,那么D可染3或5,有2種染法;假設(shè)C染5,那么D可染3或4,有2種染法.可見,當(dāng)S,A,B已染好時,C,D還有7種染法,故不同的染色方法有60×7=420(種). 如何求解染色問題的計數(shù)? 提示:(1)分清所給的顏色是否用完,并選擇恰當(dāng)?shù)娜旧樞? (2)選擇好分類標(biāo)準(zhǔn),分清楚哪些可以同色,分類與分步交叉時不要計數(shù)重復(fù),也不要遺漏. 幾何中的計數(shù)問題 【典例】設(shè)α,β是兩個平行平面,假設(shè)α內(nèi)有3個不共線的

11、點,β內(nèi)有4個點(任意3點不共線),從這些點中任取4個點最多可以構(gòu)成____________個四面體 (　　)? A.34 B.18 C.12 D.7 【解析】選A.完成的一件事是“任取4個點構(gòu)成四面體〞,所以分成三類:第一類,從α上取1個點,β上取3個不同的點,可以構(gòu)成四面體的個數(shù)為3×4=12,第二類,從α上取2個點,β上取2個不同的點,可以構(gòu)成四面體的個數(shù)為3×6=18,第三類,從α上取3個點,β上取1個不同的點,可以構(gòu)成四面體的個數(shù)為1×4=4,所以共有四面體的個數(shù)為12+18+4=34. 如何解決幾何中的計數(shù)問題? 提示:(1)準(zhǔn)確讀取題目中的有用信息,明確與未知; (

12、2)正確進行分類與分步,會在實際問題中應(yīng)用它. 1.小明有一盒10種顏色的畫筆,給如下圖圖形涂上顏色,相鄰的兩塊顏色不能相同,那么他可以有____________種涂色方法 (　　)? A B C A.810 B.1 000 C.27 D.4 320 【解析】選A.分三個步驟:第一步涂A,有10種方法,第二步涂B,有9種方法,第三步涂C,有9種方法,所以由分步乘法計數(shù)原理得共有10×9×9=810(種)涂色方法. 2.用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40 000大的偶數(shù)共有 (　　) A.144個 B.120個 C.96個 D.72個 【解

13、析】選B.由題意可得,比40 000大的五位數(shù)萬位只能是4或5, 當(dāng)萬位是4時,由于該五位數(shù)是偶數(shù),個位只能從0或2中任選一個,其余三位數(shù)字從剩下的四個數(shù)中任選三個,有2×4×3×2=48(種)情況; 當(dāng)萬位是5時,由于該五位數(shù)是偶數(shù),個位只能從0,2或4中任選一個,其余三位數(shù)字從剩下的四個數(shù)中任選三個,有3×4×3×2=72(種)情況; 由分類加法計數(shù)原理可得,滿足題意的數(shù)共有48+72=120(個). 3.某班要從5名男生和3名女生中選出2人作為社區(qū)效勞志愿者,假設(shè)用變量x表示選出的志愿者中女生的人數(shù),y表示對應(yīng)的方法數(shù),試用列表法表示這個函數(shù). 【解析】x的取值為0,1,2

14、(1)x=0,即選出的2人都是男生,把5名男生編號為1,2,3,4,5,那么選出的兩人有12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,共10種方法,此時y=10. (2)x=1,即選出的2人中1個男生,1個女生, 分兩個步驟,第一步選出男生,有5種方法,第二步選出女生,有3種方法,所以共有5×3=15種方法,此時y=15. (3)x=2,即選出的2人都是女生,有3種方法,此時y=3. 列表如下: x 0 1 2 y 10 15 3 1.一個小朋友用1,2,3,4,5,6,7,8,9寫出的兩位數(shù)中偶數(shù)的個數(shù)為________________.? 【解

15、析】分兩個步驟:第一步,寫個位數(shù)字,從2,4,6,8中選一個,有4種方法,第二步,寫十位數(shù)字,有9種方法,所以寫出的兩位數(shù)中偶數(shù)的個數(shù)為4×9=36. 答案:36 2.如果一條直線與一個平面垂直,那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對〞.在一個正方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對〞的個數(shù)是________________.? 【解析】分兩種情況討論:(1)對于每一條棱,都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對〞,這樣的“正交線面對〞有2×12=24(個). (2)對于每一條面對角線,都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對〞,這樣的“正交線面對〞有12個. 所以正方體中“正交線面對〞共有36個. 答案:36 - 7 -