2022年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺過(guò)關(guān)回歸教材重難點(diǎn)12 三角形與四邊形的綜合應(yīng)用-【查漏補(bǔ)缺】,查漏補(bǔ)缺,2022年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺過(guò)關(guān)回歸教材重難點(diǎn)12,三角形與四邊形的綜合應(yīng)用-【查漏補(bǔ)缺】,2022,年中,數(shù)學(xué),三輪,沖刺,過(guò)關(guān),回歸,教材,難點(diǎn),12,三角形,四邊形,綜合,應(yīng)用,補(bǔ)缺 回歸教材重難點(diǎn)12 三角形與四邊形綜合應(yīng)用 三角形與四邊形綜合應(yīng)用是初中《特殊平行四邊形》章節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，考查的相對(duì)比較綜合，把圖像圖形的性質(zhì)結(jié)合起來(lái)，聯(lián)系圖形的幾何變換考查。在中考數(shù)學(xué)中，主要是以解答題形式出現(xiàn)。通過(guò)熟練掌握?qǐng)D形的性質(zhì)與幾何變換，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，提高邏輯思維推斷能力。 本考點(diǎn)是中考五星高頻考點(diǎn)，在全國(guó)各地的中考試卷中均有出現(xiàn)，題目難度較大，甚至有些地方將其作為解答題的壓軸題。 1．全等三角形的判定與性質(zhì) （1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件． （2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形． 2．直角三角形斜邊上的中線 （1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)） （2）定理：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形． 3．相似三角形的判定與性質(zhì) 三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可單獨(dú)使用，有時(shí)需要綜合運(yùn)用，無(wú)論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可． 4．三角形、四邊形、幾何變換運(yùn)用 1．（2021·山東青島·中考真題）已知：如圖，在矩形和等腰中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)．速度為；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為．過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作 第1頁(yè)/共23頁(yè) ，交于點(diǎn)．分別連接，，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為． 解答下列問(wèn)題： （1）當(dāng)時(shí)，求的值； （2）設(shè)五邊形的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）當(dāng)時(shí)，求的值； （4）若與相交于點(diǎn)，分別連接和．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在， 【分析】（1）先證，得代數(shù)計(jì)算即可； （2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)P作PO⊥QM于點(diǎn)O．證明S=S四邊形DQPM+S△DNQ=（PQ+DH）?QM+QN?ND=（HA+DH）?QM+QN?ND=?AD?QM+QN?ND，可得結(jié)論． （3）如圖3中，延長(zhǎng)NQ交BE于點(diǎn)G．根據(jù)PQ=PM，構(gòu)建方程求解即可． （4）存在．證明△HQW∽△AEW，△MHW∽△PAW，推出，，推出，由此構(gòu)建方程求解即可 【詳解】（1）由題意可得，，， 在矩形中，∵，，， 在中，，，∴， ∵，∴， 又∵，∴，∴，∴，∴.答：為時(shí)，. 第2頁(yè)/共23頁(yè) （2）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)， 在等腰中，，，則. ∵，∴，∴四邊形是矩形，∴. ∵，∴， 又∵，∴，∴，∴，∴. ∵，∴， 又∵，∴，∴，∴，∴，. ∴ . 答：與的函數(shù)關(guān)系式是. （3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由（1），（2）可得， ，， ∵，∴四邊形是矩形，∴， 同理可證，四邊形是矩形.∴， 當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴. 又∵，∴，∴. 答：當(dāng)時(shí)，. 第3頁(yè)/共23頁(yè) （4）由（2）得，， ∵，，∴， ∴為矩形，∴，且.∴， ∵，∴， 同理可證，∴，，∴，∴，∴. 答：在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，存在時(shí)刻，使. 【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題． 2．（2021·甘肅蘭州·中考真題）已知正方形，，為平面內(nèi)兩點(diǎn)． 【探究建?！? 第4頁(yè)/共23頁(yè) （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，，且，，三點(diǎn)共線．求證：； 【類(lèi)比應(yīng)用】 （2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在正方形外部時(shí)，，，且，，三點(diǎn)共線．猜想并證明線段，，之間的數(shù)量關(guān)系； 【拓展遷移】 （3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在正方形外部時(shí)，，，，且，，三點(diǎn)共線，與交于點(diǎn)．若，，求的長(zhǎng)． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；理由見(jiàn)解析（3） 【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)以及題意證明即可得出結(jié)論； （2）根據(jù)已知條件證明，然后證明為等腰直角三角形即可得出結(jié)論； （3）先證明，得出為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)度，即可得出結(jié)論． 【詳解】解：（1）∵四邊形是正方形，，，三點(diǎn)共線，∴, ∵，∴，∴, 在和中，,∴,∴; （2）∵，四邊形是正方形，∴,,∴, ∵，，∴,∴, 在和中，,∴,∴, ∴為等腰直角三角形，∴,即； （3）過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，連接BD， ∵， ∵，∴， 第5頁(yè)/共23頁(yè) ∵,∴， 在和中，,∴,∴，， ∵且,∴為等腰直角三角形，∴， 在中，,∴, ∵是正方對(duì)角線，∴, ∵∴,∴為等腰直角三角形，∴, ∴在中，,∴． 【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，熟知性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵． 3．（2021·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在中，，，過(guò)點(diǎn)A作射線AM交射線BC于點(diǎn)D，將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AN，過(guò)點(diǎn)C作交直線AN于點(diǎn)F，在AM上取點(diǎn)E，使． （1）當(dāng)AM與線段BC相交時(shí)， ①如圖1，當(dāng)時(shí)，線段AE，CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系為 　?。? ②如圖2，當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出線段AE，CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由． （2）當(dāng)，時(shí)，若是直角三角形，直接寫(xiě)出AF的長(zhǎng)． 【答案】（1）①；②，理由見(jiàn)解析；（2）或 【分析】（1）①結(jié)論：．如圖1中，作交AM于T．想辦法證明，，可得結(jié)論． ②結(jié)論：．過(guò)點(diǎn)C作于Q．想辦法證明，，可得結(jié)論． 第6頁(yè)/共23頁(yè) （2）分兩種情形：如圖3－1中，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作于J，過(guò)點(diǎn)F作于K．利用勾股定理以及面積法求出CD，再證明，可得結(jié)論．如圖3－2中，當(dāng)時(shí)，，解直角三角形求出AK，可得結(jié)論． 【詳解】解：（1）①結(jié)論：．理由：如圖1中，作交AM于T． ，，是等邊三角形，，， ，，四邊形AFCT是平行四邊形，， ，，，，， ，，， ，，是等邊三角形，，． 故答案為：． ②如圖2中，結(jié)論：．理由：過(guò)點(diǎn)C作于Q． ，， ，， ，四邊形AFCQ是矩形，， ，，，，， ，，， ，，，． （2）如圖3－1中，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作于J，過(guò)點(diǎn)F作于K． 第7頁(yè)/共23頁(yè) 在中，，，，， ，，， ，，， ，，， ，四邊形CDKF是平行四邊形， ，四邊形CDKF是矩形，， ，，，． 如圖3－2中，當(dāng)時(shí)，同理可得：， ，， 在中，，，，， ，，，， ，， ， 第8頁(yè)/共23頁(yè) ． 綜上所述，滿(mǎn)足條件的AF的值為或． 【點(diǎn)睛】 此題是幾何變換綜合題．考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，此題是一道幾何綜合題，掌握各知識(shí)點(diǎn)并掌握推理能力是解題的關(guān)鍵． 4．（2021·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖①，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，連接AC．易證：AC（EC＋FG）．（提示：取AB的中點(diǎn)M，連接EM） （1）當(dāng)點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，請(qǐng)直接寫(xiě)出AC，EC，F(xiàn)G的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖②進(jìn)行證明； （2）已知正方形ABCD的面積是27，連接AF，當(dāng)△ABE中有一個(gè)內(nèi)角為30°時(shí)，則AF的長(zhǎng)為 　 ?。? 【答案】（1）當(dāng)點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，AC=（EC＋FG）；當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，AC=（FG－CE）； （2）或． 【分析】（1）在AB的取一點(diǎn)M，使得AM=EC，連接EM，先證明△AME≌△ECF ，得到AE=EF，再證明△ABE≌△EGF，得到BE=GF，結(jié)合圖形中的點(diǎn)E所在的位置，即可得出AC，EC，F(xiàn)G的數(shù)量關(guān)系； （2）根據(jù)（1）證明過(guò)程中得出的結(jié)論：AE=EF，分∠BAE =30°或∠AEB=30°兩種情況,解直角三角形即可． 【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，AC=（EC＋FG）；當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，AC=（FG－CE）； 證明如下：當(dāng)點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，如圖②， 在AB的取一點(diǎn)M，使得AM=EC，連接EM． 第9頁(yè)/共23頁(yè) ∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEG=90°． ∵在正方形ABCD中，∠B =90°，∴∠BAE+∠AEB=90°．∴∠BAE=∠FEG．∴∠BME=45°． ∴∠AME=180°－∠BME=180°－45°=135°． ∵CF平分∠DCG，GF⊥BC，∴∠ECF=180°－∠FCG=180°－45°=135°，GF=CG． ∴∠AME = ∠ECF．∴△AME≌△ECF．∴AE=EF． 在△ABE和△EGF中，∠BAE=∠FEG，∠B=∠G ，AE=EF，∴△ABE≌△EGF．∴BE=GF． ∵AB=BC，∴AB=BC=CE+BE=CE+FG． ∵AC=AB，∴當(dāng)點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，AC=（EC＋FG）； 當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，在AB的取一點(diǎn)M，使得AM=EC，連接EM． 同理可證得BE=FG．∴AB=BC = BE－CE= FG－CE． ∵AC=AB，∴當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)， AC=（FG－CE）． （2）∵正方形ABCD的面積是27，∴AB=BC=． 根據(jù)（1）中AE=EF，∠AEF＝90°，可知AF=AE． 當(dāng)在△ABE中，∠BAE =30°時(shí)，點(diǎn)E在BC邊上．∵cos∠BAE==，∴AE=6．∴AF=． 當(dāng)在△ABE中，∠AEB=30°時(shí)，點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上． ∵sin∠BAE==，∴AE=．∴AF=．故答案為：或． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)在幾何中的應(yīng)用、解直角三角形，考查了分類(lèi)討論這一基本數(shù)學(xué)思想方法．解決這類(lèi)題目的關(guān)鍵是正確的分情況討論，數(shù)形結(jié)合，化繁為簡(jiǎn)． 5．（2021·四川成都·中考真題）在中，，將繞點(diǎn)B 第10頁(yè)/共23頁(yè) 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，． （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，求的長(zhǎng)； （2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，交于點(diǎn)M，求的長(zhǎng)； （3）如圖3，連接，直線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值為1 【分析】（1）根據(jù)題意利用勾股定理可求出AC長(zhǎng)為4．再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，最后由等腰三角形的性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)． （2）作交于點(diǎn)D，作交于點(diǎn)E．由旋轉(zhuǎn)可得，．再由平行線的性質(zhì)可知，即可推出，從而間接求出，．由三角形面積公式可求出．再利用勾股定理即可求出，進(jìn)而求出．最后利用平行線分線段成比例即可求出的長(zhǎng)． （3）作且交延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接．由題意易證明， ，，即得出．再由平行線性質(zhì)可知，即得出，即可證明，由此即易證，得出，即點(diǎn)D為中點(diǎn)．從而證明DE為的中位線，即．即要使DE最小，最小即可．根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)最小，且最小值即為，由此即可求出DE的最小值． 【詳解】（1）在中，． 根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，即為等腰三角形． ∵，即，∴，∴． （2）如圖，作交于點(diǎn)D，作交于點(diǎn)E． 第11頁(yè)/共23頁(yè) 由旋轉(zhuǎn)可得，． ∵，∴，∴，∴，． ∵，即，∴． 在中，，∴．∴． ∵，∴，即，∴． （3）如圖，作且交延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接．∵，∴， ∵，即， 又∵，∴． ∵，∴，∴，∴，∴． ∴在和中 ，∴，∴，即點(diǎn)D為中點(diǎn)． ∵點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，∴DE為的中位線，∴，即要使DE最小，最小即可． 根據(jù)圖可知，即當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)最小，且最小值為． ∴此時(shí)，即DE最小值為1． 第12頁(yè)/共23頁(yè) 【點(diǎn)睛】本題為旋轉(zhuǎn)綜合題．考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，全等三角形的判定和性質(zhì)，中位線的判定和性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系，綜合性強(qiáng)，為困難題．正確的作出輔助線為難點(diǎn)也是解題關(guān)鍵． 6．（2021·河南洛陽(yáng)·一模）如圖①，在正方形ABCD中，AB＝5，點(diǎn)F在AC上，且CF＝2，過(guò)點(diǎn)F作EF⊥AC于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)E，連接AE，BF． (1)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】線段AE與BF的數(shù)量關(guān)系是 ，直線AE與BF所夾銳角的度數(shù)是 ； (2)【拓展探究】當(dāng)CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論，并結(jié)合圖②給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由； (3)【解決問(wèn)題】在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)F到直線BC的距離為2時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng)． 【答案】(1)AE＝BF，45°；(2)結(jié)論不變，見(jiàn)解析；(3)或 【分析】（1）如圖①中，延長(zhǎng)BF交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T．證明△ACE∽△BCF，推出＝＝，∠CAE＝∠CBF，可得結(jié)論． （2）結(jié)論不變，證明方法類(lèi)似（1）． （3）分四種情形：如圖③﹣1中，當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí)，如圖③﹣2中，當(dāng)點(diǎn)F到BC的距離為2時(shí)，利用勾股定理求出BF即可，當(dāng)點(diǎn)F在直線BC的下方時(shí)，同法可得AE的長(zhǎng)． 【詳解】(1)如圖①中，延長(zhǎng)BF交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T． ∵四邊形ABCD是正方形，∴AC＝BC，∠ACB＝∠ACE＝45°， ∵EF⊥CF，∴∠CFE＝90°，∴∠CEF＝∠FCE＝45°，∴EC＝CF，∴＝＝，∴△ACE∽△BCF， ∴＝＝，∠CAE＝∠CBF，∴AE＝BF， ∵∠CFB＝∠AFT，∴∠ATF＝∠BCF＝45°，∴直線AE與直線BF的夾角為45°， 第13頁(yè)/共23頁(yè) 故答案為：AE＝BF，45°． (2)結(jié)論不變． 理由：如圖②中，設(shè)AC交BF于點(diǎn)O，延長(zhǎng)BF交AE于點(diǎn)J． ∵△ABC，△CFE都是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠ECF＝45°，AC＝BC，EC＝CF，∴∠BCF＝∠ACE，＝， ∴△ACE∽△BCF，∴＝＝，∠CAE＝∠CBF，∴AE＝BF， ∵∠BOC＝∠AOJ，∴∠AJO＝∠ACB＝45°， ∴直線AE與直線BF的夾角為45°． (3)如圖③﹣1中，當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H． ∴△CFH是等腰直角三角形， ∵點(diǎn)F到BC的距離為2，∴FH＝CH＝2，CF＝2，∴BH＝BC-CH＝5﹣2＝3， ∴BF＝＝＝，∴AE＝BF＝． 如圖③﹣2中，當(dāng)點(diǎn)F到BC的距離為2時(shí)， 第14頁(yè)/共23頁(yè) BF＝＝＝，∴AE＝BF＝， 當(dāng)點(diǎn)F在直線BC的下方時(shí)，同法可得AE的長(zhǎng)為或， 綜上所述，滿(mǎn)足條件的AE的值為或． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，利用勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題． 7．（2021·山東臨沂·二模）如圖1，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對(duì)角線（不含點(diǎn)）上的點(diǎn)． (1)當(dāng)點(diǎn)是與的交點(diǎn)時(shí)，如圖1，求的度數(shù)； (2)如圖2，若點(diǎn)是上任意一點(diǎn)時(shí)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，求證：； (3)當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的值最小，說(shuō)明理由． 【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析；(3)當(dāng)點(diǎn)位于，交點(diǎn)時(shí)，的值最小，理由見(jiàn)解析 【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)得出∠BCE，進(jìn)而利用三角形外角性質(zhì)解答即可； （2）根據(jù)SAS證明△BMC和△BNE全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可； （3）當(dāng)M點(diǎn)位于BD，CE交點(diǎn)時(shí)，BM+2CM的值最小，根據(jù)SAS證明△ENB和△AMB全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答． 【詳解】(1)解：是等邊三角形，，， 第15頁(yè)/共23頁(yè) 四邊形是正方形，，， ，， ， 是正方形的對(duì)角線，， 是的外角，； (2)證明：由旋轉(zhuǎn)可知，，， ，， ，， 在和中，，，； (3)當(dāng)點(diǎn)位于，交點(diǎn)時(shí)，的值最小，理由如下： 如圖，連接 在和中，，，， 將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到， ，，， 在和中，，，， ，，是等邊三角形，， ，即，，，四點(diǎn)共線時(shí)，有最小值． 【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)． 8．（2021·江蘇常州·一模）中，，，，點(diǎn)D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接 第16頁(yè)/共23頁(yè) CD． (1)如圖1，當(dāng)是以CD為腰的等腰三角形時(shí)，AD長(zhǎng)為_(kāi)______； (2)如圖2，作于點(diǎn)E，作交DE于點(diǎn)F，且，求AE的長(zhǎng)； (3)將沿CD翻折得，若，求的值． 【答案】(1)5或；(2)；(3)． 【分析】（1）分兩種情況討論，利用等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可求解； （2），利用相似三角形的性質(zhì)分別求出DE，DF，BF的長(zhǎng)，由面積關(guān)系列出方程，可求解； （3）設(shè)，由相似三角形的性質(zhì)分別求出，，列出方程可求m的值，即可求解． 【詳解】(1)解：∵，，，∴， ∵是的腰，∴或， ①當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)D作交BC于點(diǎn)H， ??? ∵，，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ②當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)C作交AB于點(diǎn)M， 第17頁(yè)/共23頁(yè) ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，綜上所述：或． (2)解：設(shè)，∵，，∴，∴，∴， ∵，∴四邊形CBFE是矩形，∴，∴， ∵，∴， ∵，，且， ∴，解得： ，∴． (3)解：如圖3，設(shè)CP交AB于點(diǎn)Q， ∴，， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 第18頁(yè)/共23頁(yè) ∵，，∴，∴，∴， 設(shè)，∴，∴， ∵∴，解得： ，∴，∴． 【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定及性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，關(guān)鍵是能夠掌握三角形相似的判定定理，利用相似的性質(zhì)求解． 9．（2021·河南·商丘市第一中學(xué)一模）如圖1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，M、N分別是AC、AB的中點(diǎn)，過(guò)B作BD⊥MN于D，E是直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，作Rt△BEF使∠BEF＝90°，∠EBF＝45°，連接FN． (1)【觀察猜想】 如圖2所示，當(dāng)E與N重合時(shí)，的值為_(kāi)______； (2)【問(wèn)題探究】 如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)E與N不重合時(shí)，請(qǐng)求出的值及直線FN與MN所夾銳角的度數(shù)并說(shuō)明理由； (3)【問(wèn)題解決】 如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)A、E、F在同一直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值． 【答案】(1)；(2)＝，夾角45°，理由見(jiàn)解析；(3)2﹣ 【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得到MN∥BC，進(jìn)而得出∠DNB＝∠ANM＝45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可； （2）證明△FBN∽△EBD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答； （3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠FNB＝90°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AN＝NB，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案． 【詳解】(1)解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，N是AB的中點(diǎn)，則CN＝BN，即FN＝BN， 第19頁(yè)/共23頁(yè) ∵M(jìn)、N分別是AC、AB的中點(diǎn)，∴MN∥BC，∴∠ANM＝∠ABC＝45°，∴∠DNB＝∠ANM＝45°， ∵BD⊥MN，∴＝，∴＝，故答案為：； 【詳解】(2)∵∠ABC＝45°，∠EBF＝45°，∴∠ABC＝∠EBF， ∴∠ABC﹣∠ABE＝∠EBF﹣∠ABE，即∠FBN＝∠EDB， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，∴＝，同理：＝， ∴＝，∴△FBN∽△EBD，∴＝＝，∠BNF＝∠BDE＝90°， ∴∠FNE＝∠FNB+∠BND＝90°+45°＝135°； (3)由（2）可知，△FBN∽△EBD，∴∠FNB＝∠EDB＝90°， ∵AN＝NB，∴FA＝FB＝EF＝BE，∴＝＝2﹣． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵． 10．（2021·江蘇鹽城·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝9cm，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s，點(diǎn)P同時(shí)從D出發(fā)，沿DC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為3cm/s．過(guò)點(diǎn)M作MN∥BD交AC邊于點(diǎn)E，交AB邊于點(diǎn)N，連接PO并延長(zhǎng)，交AB于Q，連接PM、MQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜）． (1)當(dāng)t＝時(shí)，求MN的長(zhǎng)； (2)設(shè)四邊形MNQP的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式； (3)是否存在某一時(shí)刻t，將△MQP沿MQ折疊時(shí)，使得點(diǎn)P落在直線AD上？若存在，求出此時(shí)t的值，若不存在，說(shuō)明理由． 【答案】(1)5cm；(2)（0＜t＜）；(3) 【分析】（1），先根據(jù)題意可得DM的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AM，再根據(jù)勾股定理求出BD，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，再代入數(shù)值即可得出答案； 第20頁(yè)/共23頁(yè) （2），先求出，再表示出AM，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式表示出AN，最后根據(jù)直角梯形的面積-2個(gè)直角三角形的面積得出關(guān)系式即可； （3），先作QH⊥CD于H，并設(shè)△MQP沿MQ折疊后點(diǎn)P落在直線DA上的點(diǎn)F處， 由折疊的性質(zhì)及勾股定理表示MF，進(jìn)而得出AF，再說(shuō)明DP＝BQ＝CH，可知AQ，最后根據(jù)勾股定理表示出FQ2，PQ2，即可得出方程，并求出解即可． 【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，DM＝4t＝6（cm），∴AM＝9﹣6＝3（cm）． ∵在Rt△ABD中，AB＝12cm，BC＝9cm，∴BD＝15（cm）． ∵，∴，∴，∴，∴MN＝5（cm）； (2)∵PQ過(guò)矩形的中心O，∴（cm2）． ∵DM＝4t（cm），DP＝3t（cm），∴AM＝（9﹣4t ）（cm）． ∵，∴，∴，∴，∴（cm）， ∴，∴（0＜t＜）； (3)過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥CD于H，設(shè)△MQP沿MQ折疊后點(diǎn)P落在直線DA上的點(diǎn)F處， 則MP＝MF，QP＝FQ， ∵DM＝4t（cm），DP＝3t（cm），∴MP＝MF＝5t（cm），∴AF＝5t﹣（9﹣4t）＝（9t﹣9）（cm）． 又∵四邊形ABCD是矩形，∴BO=DO，，∴∠OBQ=∠ODP． ∵∠BOQ=∠DOP，∴△OBQ≌△ODP，∴DP＝BQ＝CH＝3t（cm），∴AQ＝（12﹣3t）（cm）， ∴FQ2＝（12﹣3t）2+（9t﹣9）2，PQ2＝（12﹣3t﹣3t）2+92，∴（12﹣3t）2+（9t﹣9）2＝（12﹣3t﹣3t）2+92， ∴t1＝0（舍去）；，∴t的值為． 第21頁(yè)/共23頁(yè) 【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的綜合問(wèn)題，考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等． 第22頁(yè)/共23頁(yè) 第23頁(yè)/共23頁(yè)