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慣性矩的計算方法及常用截面慣性矩計算公式 截面圖形的幾何性質 一.重點及難點： (一).截面靜矩和形心 1.靜矩的定義式 如圖1所示任意有限平面圖形，取其單元如面積，定義它對任意軸的一次矩為它對該軸的靜矩，即 y x 整個圖形對y、z軸的靜矩分別為 C y （I-1） 0 A x 2.形心與靜矩關系 圖I-1 設平面圖形形心C的坐標為 則 0 ， （I-2） 推論1 如果y軸通過形心（即），則靜矩；同理，如果x軸通過形心（即），則靜矩；反之也成立。 推論2 如果x、y軸均為圖形的對稱軸，則其交點即為圖形形心；如果y軸為圖形對稱軸，則圖形形心必在此軸上。 3.組合圖形的靜矩和形心 設截面圖形由幾個面積分別為的簡單圖形組成，且一直各族圖形的形心坐標分別為，則圖形對y軸和x軸的靜矩分別為 （I-3） 截面圖形的形心坐標為 ， （I-4） 4.靜矩的特征 (1) 界面圖形的靜矩是對某一坐標軸所定義的，故靜矩與坐標軸有關。 (2) 靜矩有的單位為。 (3) 靜矩的數(shù)值可正可負，也可為零。圖形對任意形心軸的靜矩必定為零，反之，若圖形對某一軸的靜矩為零，則該軸必通過圖形的形心。 (4) 若已知圖形的形心坐標。則可由式（I-1）求圖形對坐標軸的靜矩。若已知圖形對坐標軸的靜矩，則可由式（I-2）求圖形的形心坐標。組合圖形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出圖形對某一坐標系的靜矩，然后由式（I-4）求出其形心坐標。 （二）.慣性矩 慣性積 慣性半徑 1. 慣性矩 定義 設任意形狀的截面圖形的面積為A（圖I-3），則圖形對O點的極慣性矩定義為 （I-5） 圖形對y軸和x軸的光性矩分別定義為 ， （I-6） 慣性矩的特征 （1） 界面圖形的極慣性矩是對某一極點定義的；軸慣性矩是對某一坐標軸定義的。 （2） 極慣性矩和軸慣性矩的單位為。 （3） 極慣性矩和軸慣性矩的數(shù)值均為恒為大于零的正值。 （4） 圖形對某一點的極慣性矩的數(shù)值，恒等于圖形對以該點為坐標原點的任意一對坐標軸的軸慣性矩之和，即 （I-7） （5） 組合圖形（圖I-2）對某一點的極慣性矩或某一軸的軸慣性矩，分別等于各族紛紛圖形對同一點的極慣性矩或同一軸慣性矩之和，即 ， ， （I-8） y y x dA y 0 x 0 x 圖I-2 圖I-3 2. 慣性積 定義 設任意形狀的截面圖形的面積為A（圖I-3），則圖形對y軸和x軸的慣性積定義為 （I-9） 慣性積的特征 （1） 界面圖形的慣性積是對相互垂直的某一對坐標軸定義的。 （2） 慣性積的單位為。 （3） 慣性積的數(shù)值可正可負，也可能等于零。若一對坐標周中有一軸為圖形的對稱軸，則圖形對這一對稱軸的慣性積必等于零。但圖形對某一對坐標軸的慣性積為零，這一對坐標軸重且不一定有圖形的對稱軸。 （4） 組合圖形對某一對坐標軸的慣性積，等于各組分圖形對同一坐標軸的慣性積之和，即 （I-10） 3. 慣性半徑 定義： 任意形狀的截面圖形的面積為A（圖I-3）,則圖形對y軸和x軸的慣性半徑分別定義為 ， （I-11） 慣性半徑的特征 （1） 慣性半徑是對某一坐標軸定義的。 （2） 慣性半徑的單位為m。 （3） 慣性半徑的數(shù)值恒取證之。 （三）.慣性矩和慣性積的平行移軸公式 平行移軸公式 （I-12） （I-13） 平行移軸公式的特征 （1）意形狀界面光圖形的面積為A（圖（I-4）； 軸為圖形的形心軸；x，y軸為分別與形心軸相距為a和b的平行軸。 （2）兩對平行軸之間的距離a和b的正負，可任意選取坐標軸x，y或形心為參考軸加以確定。 （3）在所有相互平行的坐標軸中，圖形對形心軸的慣性矩為最小，但圖形對形心軸的慣性積不一定是最小。 y dA b C a 0 x 圖I-4 (四)、慣性矩和慣性積的轉軸公式.主慣性軸主慣性矩 轉軸公式 轉軸公式的特征 (1) 角度的正負號，從原坐標軸x,y轉至新坐標軸，以逆時針轉向者為正（圖5）。 (2) 原點O為截面圖形平面內的任意點，轉軸公式與圖形的形心無關。 (3) 圖形對通過同一坐標原點任意一對相互垂直坐標軸的兩個軸慣性矩之和為常量，等于圖形對原點的極慣性矩，即 主慣性軸、主慣性矩 任意形狀截面圖形對以某一點O為坐標原點的坐標軸、的慣性積為零（），則坐標軸、稱為圖形通過點O的主慣性軸(圖6)。截面圖形對主慣性軸的慣性矩，稱為主慣性矩。 主慣性軸、主慣性矩的確定 (1) 對于某一點O，若能找到通過點O的圖形的對稱軸，則以點O為坐標原點，并包含對稱軸的一隊坐標軸，即為圖形通過點O的一對主慣性軸。對于具有對稱軸的圖形（或組合圖形），往往已知其通過自身形心軸的慣性矩。于是，圖形對通過點o的主慣性軸的主慣性矩，一般即可由平行移軸公式直接計算。 (2) 若通過某一點o沒有圖形的對稱軸，則可以點o為坐標原點，任作一坐標軸x，y為參考軸，并求出圖形對參考軸x，y的慣性矩和慣性積。于是，圖形通過點o的一對主慣性軸方位及主慣性矩分別為 （I-16） (I-17) 主慣性軸、主慣性矩的特征 （1）圖形通過某一點O至少具有一對主慣性軸，而主慣性局勢圖形對通過同一點O所有軸的慣性矩中最大和最小。 （2）主慣性軸的方位角，從參考軸x，y量起，以逆時針轉向為正。 （3）若圖形對一點o為坐標原點的兩主慣性矩相等，則通過點o的所有軸均為主慣性軸，且所有主慣性矩都相同。 （4）以截面圖形形心為坐標原點的主慣性軸，稱為形心主慣性軸。圖形對一對形心主慣性軸的慣性矩，稱為形心主慣性矩。 y y 0 x 0 x A 圖I-5 圖I-6 二.典型例題分析 例I-a 試計算圖示三角形截面對于與其底邊重合的x軸的靜矩。 解：計算此截面對于x軸的靜矩時，可以去平行于x軸的狹長條(見圖)作為面積元素（因其上各點的y坐標相等），即。由相似三角形關系，可知: ,因此有。將其代入公式（I-1）的第二式，即得 y dy h b(y) y 0 x b 例題I-a圖 解題指導：此題為積分法求圖形對坐標軸的靜矩。 例I-2 試確定圖示Ⅰ-b截面形心C的位置 解：將截面分為?、П兩個矩形。為計算方便，取x軸和y軸分別與界面的底邊和左邊緣重合（見圖）。先計算每一個矩形的面積和形心坐標（）如下： 矩形? ， 矩形П ， 將其代入公式（I-4），即得截面形心C的坐標為 ? Ⅱ 10 解題指導： 此題是將不規(guī)則圖形劃分為兩個規(guī)則圖形利用已有的規(guī)則圖形的面積和形心，計算不規(guī)則圖形的形心。 y 10 120 x 80 圖Ⅰ-b 例I-3 試求圖I-c所示截面對于對稱軸x軸的慣性矩 解：此截面可以看作有一個矩形和兩個半圓形組成。設矩形對于x軸的慣性矩為，每一個半圓形對于x軸的慣性矩為，則由公式（I-11）的第一式可知，所給截面的慣性矩： （1） 矩形對于x軸的慣性矩為： （2） 半圓形對于x軸的慣性矩可以利用平行移軸公式求得。為此，先求出每個半圓形對于與x軸平行的形心軸（圖b）的慣性矩。已知半圓形對于其底邊的慣性矩為圓形對其直徑軸（圖b）的慣性據(jù)之半，即。而半圓形的面積為，其形心到底邊的距離為（圖b）。故由平行移軸公式（I-10a），可以求出每個半圓形對其自身形心軸的慣性矩為： （3） 由圖a可知，半圓形形心到x軸距離為，故在由平行移軸公式，求得每個半圓形對于x軸的慣性矩為： 將d=80mm、 a=100mm （圖a）代入式（4），即得 mm4 將求得的和代入式（1），便得 mm4 解題指導： 此題是將不規(guī)則圖形劃分為若干個規(guī)則圖形，利用已有的規(guī)則圖形的面積、形心及對自身形心軸的慣性矩，結合平行移軸公式計算組合截面圖形對組合截面形心的慣性矩。 圖I-c 40 a=100 x 圖I-c 40 d=80 xc 100 d 常用截面慣性矩計算公式