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2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷） 數(shù)學（理工類） 第Ⅰ卷 注意事項： 1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。 2.本卷共8小題。 參考公式： 如果事件、互斥，那么. 如果事件、相互獨立，那么. 圓柱的體積公式，其中表示圓柱的底面面積，表示圓柱的高. 棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面面積，表示棱錐的高. 一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1.設集合， ， ，則 A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4} 【答案】D 【解析】 【分析】 先求，再求。 【詳解】因為， 所以. 故選D。 【點睛】集合的運算問題，一般要先研究集合中元素的構(gòu)成，能化簡的要先化簡，同時注意數(shù)形結(jié)合，即借助數(shù)軸、坐標系、韋恩圖等進行運算． 2.設變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】 畫出可行域，用截距模型求最值。 【詳解】已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分。 目標函數(shù)的幾何意義是直線在軸上的截距， 故目標函數(shù)在點處取得最大值。 由，得， 所以。 故選C。 【點睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)氖欠忾]區(qū)域還是開放區(qū)域，分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標函數(shù)最值或范圍．即：一畫，二移，三求． 3.設，則“”是“”的( ) A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】 【分析】 分別求出兩不等式的解集，根據(jù)兩解集的包含關(guān)系確定. 【詳解】化簡不等式，可知 推不出； 由能推出， 故“”是“”的必要不充分條件， 故選B。 【點睛】本題考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是化簡不等式，由集合的關(guān)系來判斷條件。 4.閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，輸出的值為 A. 5 B. 8 C. 24 D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)程序框圖，逐步寫出運算結(jié)果。 【詳解】， 結(jié)束循環(huán)，故輸出。 故選B。 【點睛】解答本題要注意要明確循環(huán)體終止的條件是什么，會判斷什么時候終止循環(huán)體． 5.已知拋物線的焦點為，準線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A和點B，且（為原點），則雙曲線的離心率為 A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 只需把用表示出來，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率。 【詳解】拋物線的準線的方程為， 雙曲線的漸近線方程為， 則有 ∴，，， ∴。 故選D。 【點睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解，解題關(guān)鍵是求出AB的長度。 6.已知，，，則的大小關(guān)系為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大小。 【詳解】， ， ，故， 所以。 故選A。 【點睛】本題考查大小比較問題，關(guān)鍵選擇中間量和函數(shù)的單調(diào)性進行比較。 7.已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖像對應的函數(shù)為.若的最小正周期為，且，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 只需根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出值即可。 【詳解】因為為奇函數(shù)，∴； 又 ，，又 ∴， 故選C。 【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的求值問題，解題關(guān)鍵是求出函數(shù)。 8.已知，設函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先判斷時，在上恒成立；若在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立。 【詳解】∵，即， （1）當時，， 當時，， 故當時，在上恒成立； 若上恒成立，即在上恒成立， 令，則， 當函數(shù)單增，當函數(shù)單減， 故，所以。當時，在上恒成立； 綜上可知，的取值范圍是， 故選C。 【點睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵利用求導的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進行綜合分析。 第Ⅱ卷 二.填空題：本大題共6小題. 9.是虛數(shù)單位，則的值為__________. 【答案】 【解析】 【分析】 先化簡復數(shù)，再利用復數(shù)模的定義求所給復數(shù)的模。 【詳解】。 【點睛】本題考查了復數(shù)模的運算，是基礎題. 10.是展開式中的常數(shù)項為________. 【答案】 【解析】 【分析】 根據(jù)二項展開式的通項公式得出通項，根據(jù)方程思想得出的值，再求出其常數(shù)項。 【詳解】， 由，得， 所以的常數(shù)項為. 【點睛】本題考查二項式定理的應用，牢記常數(shù)項是由指數(shù)冪為0求得的。 11.已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為__________. 【答案】. 【解析】 【分析】 根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特點，確定所求的圓柱的高和底面半徑。 【詳解】由題意四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為，借助勾股定理，可知四棱錐的高為，.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，故圓柱的高為，一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，圓柱的底面半徑為，故圓柱的體積為。 【點睛】圓柱的底面半徑是棱錐底面對角線長度的一半、不是底邊棱長的一半。 12.設，直線和圓（為參數(shù)）相切，則的值為____. 【答案】 【解析】 【分析】 根據(jù)圓的參數(shù)方程確定圓的半徑和圓心坐標，再根據(jù)直線與圓相切的條件得出滿足的方程，解之解得。 【詳解】圓化為普通方程為， 圓心坐標為，圓的半徑為， 由直線與圓相切，則有，解得。 【點睛】直線與圓的位置關(guān)系可以使用判別式法，但一般是根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑的大小作出判斷。 13.設，則的最小值為______. 【答案】 【解析】 分析】 把分子展開化為，再利用基本不等式求最值。 【詳解】 ， 當且僅當，即時成立， 故所求的最小值為。 【點睛】使用基本不等式求最值時一定要驗證等號是否能夠成立。 14. 在四邊形中，， ， ， ，點在線段的延長線上，且，則__________. 【答案】. 【解析】 【分析】 建立坐標系利用向量的坐標運算分別寫出向量而求解。 【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，則，。 因為∥，，所以， 因為，所以， 所以直線的斜率為，其方程為， 直線的斜率為，其方程為。 由得，， 所以。 所以 【點睛】平面向量問題有兩大類解法：基向量法和坐標法，在便于建立坐標系的問題中使用坐標方法更為方便。 三.解答題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 15. 在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，. （Ⅰ）求值； （Ⅱ）求的值. 【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ) . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由題意結(jié)合正弦定理得到的比例關(guān)系，然后利用余弦定理可得的值 (Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用兩角和的正弦公式可得的值. 【詳解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得， 又由，得，即. 又因為，得到，. 由余弦定理可得. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得， 從而，. 故. 【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理?余弦定理等基礎知識.考查計算求解能力. 16.設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立. （Ⅰ）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望； （Ⅱ）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由題意可知分布列為二項分布，結(jié)合二項分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二項分布的期望公式求解數(shù)學期望即可； (Ⅱ)由題意結(jié)合獨立事件概率公式計算可得滿足題意的概率值. 【詳解】(Ⅰ)因為甲同學上學期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7:30之前到校的概率均為， 故，從面. 所以，隨機變量的分布列為： 0 1 2 3 隨機變量的數(shù)學期望. (Ⅱ)設乙同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為，則. 且. 由題意知事件與互斥， 且事件與，事件與均相互獨立， 從而由(Ⅰ)知： . 【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式等基礎知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力. 17.如圖，平面，，. （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長. 【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）（Ⅲ） 【解析】 【分析】 首先利用幾何體的特征建立空間直角坐標系 (Ⅰ)利用直線BF的方向向量和平面ADE的法向量的關(guān)系即可證明線面平行； (Ⅱ)分別求得直線CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解線面角的正弦值即可； (Ⅲ)首先確定兩個半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值計算公式得到關(guān)于CF長度的方程，解方程可得CF的長度. 【詳解】依題意，可以建立以A為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標系(如圖)， 可得. 設，則. (Ⅰ)依題意，是平面ADE的法向量， 又，可得， 又因為直線平面，所以平面. (Ⅱ)依題意，， 設為平面BDE的法向量， 則，即， 不妨令z=1，可得， 因此有. 所以，直線與平面所成角的正弦值為. (Ⅲ)設為平面BDF的法向量，則，即. 不妨令y=1，可得. 由題意，有，解得. 經(jīng)檢驗，符合題意? 所以，線段的長為. 【點睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力. 18.設橢圓的左焦點為，上頂點為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上.若（為原點），且，求直線的斜率. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由題意得到關(guān)于a,b,c的方程，解方程可得橢圓方程； (Ⅱ)聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定點P的坐標，從而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表達式，最后利用直線垂直的充分必要條件得到關(guān)于斜率的方程，解方程可得直線的斜率. 【詳解】(Ⅰ) 設橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，b=2，c=1. 所以，橢圓方程為. (Ⅱ)由題意，設.設直線的斜率為， 又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立， 整理得，可得， 代入得， 進而直線的斜率， 在中，令，得. 由題意得，所以直線的斜率為. 由，得， 化簡得，從而. 所以，直線的斜率為或. 【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)?直線方程等基礎知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力. 19.設是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.已知. （Ⅰ）求和的通項公式； （Ⅱ）設數(shù)列滿足其中. （i）求數(shù)列的通項公式； （ii）求. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii） 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由題意首先求得公比和公差，然后確定數(shù)列的通項公式即可； (Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論可得數(shù)列的通項公式，結(jié)合所得的通項公式對所求的數(shù)列通項公式進行等價變形，結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式可得的值. 【詳解】(Ⅰ)設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為. 依題意得，解得， 故，. 所以，的通項公式為，的通項公式為. (Ⅱ)(i). 所以，數(shù)列的通項公式為. (ii) . 【點睛】本題主要考查等差數(shù)列?等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式等基礎知識.考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)列求和的基本方法以及運算求解能力. 20.設函數(shù)為的導函數(shù). （Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）當時，證明； （Ⅲ）設為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點，其中，證明. 【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）見證明 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由題意求得導函數(shù)的解析式，然后由導函數(shù)的符號即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合(Ⅰ)結(jié)果和導函數(shù)的符號求解函數(shù)的最小值即可證得題中的結(jié)論； (Ⅲ)令，結(jié)合(Ⅰ)，(Ⅱ)的結(jié)論、函數(shù)的單調(diào)性和零點的性質(zhì)放縮不等式即可證得題中的結(jié)果. 【詳解】(Ⅰ)由已知，有. 當時，有，得，則單調(diào)遞減; 當時，有，得，則單調(diào)遞增. 所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為， 的單調(diào)遞減區(qū)間為. (Ⅱ)記.依題意及(Ⅰ)有：， 從而.當時，，故 . 因此，在區(qū)間上單調(diào)遞減，進而. 所以，當時，. (Ⅲ)依題意，，即. 記，則. 且. 由及(Ⅰ)得. 由(Ⅱ)知，當時，，所以在上為減函數(shù)， 因此. 又由(Ⅱ)知，故： . 所以. 【點睛】本題主要考查導數(shù)的運算?不等式證明?運用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎知識和方法.考查函數(shù)思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想.考查抽象概括能力?綜合分析問題和解決問題的能力.