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《高等數(shù)學(xué)（一）》期末復(fù)習(xí)題 一、選擇題 1、極限 的結(jié)果是 （ C ） （A） （B） （C） （D）不存在 2、方程在區(qū)間內(nèi) （ B ） （A）無實(shí)根 （B）有唯一實(shí)根 （C）有兩個實(shí)根 （D）有三個實(shí)根 3、是連續(xù)函數(shù), 則 是的 （　C 　） （A）一個原函數(shù)； (B) 一個導(dǎo)函數(shù)； (C) 全體原函數(shù)； (D) 全體導(dǎo)函數(shù)； 4、由曲線和直線所圍的面積是 （　　C　） （A） (B) (C) (D) 5、微分方程滿足初始條件的特解是 ( D ) （A） （B） （C） （D） 6、下列變量中，是無窮小量的為（ A ） (A) (B) (C) (D) 7、極限 的結(jié)果是（ C ） （A） （B） （C） （D）不存在 8、函數(shù)在區(qū)間上 （ A ） （A）單調(diào)增加 （B）單調(diào)減小 （C）無最大值 （D）無最小值 9、不定積分 = （　 D　?。? (A) (B) (C) (D) 10、由曲線和直線所圍的面積是 （ A ） （A） (B) (C) (D) 11、微分方程的通解為 （ B ） （A） （B） （C） （D） 12、下列函數(shù)中哪一個是微分方程的解( D ) （A） （B） （C） （D） 13、 函數(shù) 是 （ C ） (A) 奇函數(shù)； (B) 偶函數(shù)； (C)非奇非偶函數(shù)； (D)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). 14、當(dāng)時， 下列是無窮小量的是 （ B ） （A） (B) (C) (D) 15、當(dāng)時，下列函數(shù)中有極限的是 （ A ） （A） (B) (C) (D) 16、方程的實(shí)根個數(shù)是 （ B ） （A）零個 （B）一個 （C）二個 （D）三個 17、（ B ） （A） （B） （C） （D） 18、定積分是 （ C ） （A）一個函數(shù)族 （B）的的一個原函數(shù) （C）一個常數(shù) （D）一個非負(fù)常數(shù) 19、 函數(shù)是（ A ） （A）奇函數(shù) （B）偶函數(shù) （C） 非奇非偶函數(shù) （D）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 20、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則( B ) (A) (B) (C) (D) 21、設(shè)曲線 則下列選項(xiàng)成立的是（ C ） (A) 沒有漸近線 (B) 僅有鉛直漸近線 (C) 既有水平漸近線又有鉛直漸近線 (D) 僅有水平漸近線 22、( D ) （A） （B） （C） （D） 23、數(shù)列的極限為（ A） （A） (B) (C) (D) 不存在 24、下列命題中正確的是（ B ） （A）有界量和無窮大量的乘積仍為無窮大量（B）有界量和無窮小量的乘積仍為無窮小量 （C）兩無窮大量的和仍為無窮大量 （D）兩無窮大量的差為零 25、若，則下列式子一定成立的有（ C ） (A) (B) (C) (D) 26、下列曲線有斜漸近線的是 ( C ) (A) (B) (C) (D) 二、填空題 1、 2、 若，則 2 3、 2 4、 5、微分方程滿足初始條件的特解為 6、 0 7、 極限 8、設(shè)則 1 9、 2 10、 11、微分方程的通解為 12、 2 13、 1 14、設(shè)，則 15、設(shè)則 -1 16、不定積分 17、微分方程的通解為 18、微分方程的通解是 19、＝ 20、 21、的值是 22、 23、 24、 25、若，則 2 26、 27、設(shè)，則微分________________. 28、 2 三、解答題 1、（本題滿分9分）求函數(shù) 的定義域。 解：由題意可得， 解得 所以函數(shù)的定義域?yàn)?[1，2] 2、（本題滿分10分）設(shè)，求。 解： 3、（本題滿分10分）設(shè)曲線方程為,求曲線在點(diǎn)處的切線方程。 解：方程兩端對x求導(dǎo)，得 將代入上式，得 從而可得：切線方程為 即 4、（本題滿分10分）求由直線及拋物線所圍成的平面區(qū)域的面積。 解：作平面區(qū)域，如圖示 解方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)：（0，0），（1，1） 所求陰影部分的面積為：== 5、（本題滿分10分）討論函數(shù) 在 處的連續(xù)性。 解： ∴ 在 處是連續(xù)的 6、（本題滿分10分）求微分方程的特解。 解：將原方程化為 兩邊求不定積分，得 ，于是 將代入上式，有，所以， 故原方程的特解為。 7、（本題滿分9分）求函數(shù) 的定義域。 解：由題意可得， 解得 所以函數(shù)的定義域?yàn)?[4，5] 8、（本題滿分10分）設(shè)，求。 解： 9、（本題滿分10分）設(shè)平面曲線方程為，求曲線在點(diǎn)（2，1）處的切線方程。 解：方程兩端對x求導(dǎo)，得 將點(diǎn)（2，1）代入上式，得 從而可得：切線方程為 即 10、（本題滿分10分）求由曲線及直線和所圍成的平面圖形的面積（如下圖）． 解：所求陰影部分的面積為 11、（本題滿分10分）討論函數(shù) 在 處的連續(xù)性。 解： ∴ 在 處是連續(xù)的。 12、（本題滿分10分）求方程的通解。 解：由方程，得 兩邊積分： 得 所以原方程的通解為：或 13、（本題滿分10分）證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個實(shí)根。 解：令，　在上連續(xù) ， 由零點(diǎn)定理可得，在區(qū)間內(nèi)至少有一個，使得函數(shù) ， 即方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個實(shí)根。 14、（本題滿分10分）設(shè)，求。 解： 15、（本題滿分10分）求曲線在點(diǎn)（0，1）處的法線方程。 解：方程兩端對求導(dǎo)，得 將點(diǎn)（0，1）代入上式，得 從而可得： 法線方程為 16、（本題滿分10分）求曲線與直線及軸所圍成平面圖形的面積。 解：作平面圖形，如圖示2 x y=2 y=cosx 0 y=2 2 x y=2 y=cosx 0 y=2 17、（本題滿分10分）討論函數(shù) 在 處的連續(xù)性。 解： ∴ 在 處是連續(xù)的。 18、（本題滿分10分）求微分方程的特解。 解：將原方程化為或 兩邊求不定積分，得 由得到 故原方程的特解為或 19、（本題滿分20分） 解： 由切片法可得： 又根據(jù)問題的實(shí)際意義的最小值存在, 或者, 20、（本題滿分20分） 假定足球門的寬度為4米，在距離右門柱6米處一球員沿垂直于底線的方向帶球前進(jìn)，問：該球員應(yīng)在離底線多少米處射門才能獲得最大的射門張角？若球員以5.2米每秒的速度沿垂直于底線的方向向球門前進(jìn)，求在距離底線2米處，射門張角的變化率。 解： 由題意可得張角與球員距底線的距離滿足 令，得到駐點(diǎn)(不合題意，舍去) 及 . 由實(shí)際意義可知 , 所求最值存在, 駐點(diǎn)只一個, 故所求結(jié)果就是最好的選擇. 即該球員應(yīng)在離底線米處射門才能獲得最大的射門張角。若球員以5.2米每秒的速度跑向球門，則. 在距離球門兩米處射門張角的變化率為： (弧度/秒)。 21、（本題滿分10分）設(shè)，求 解法1設(shè)，則 解法2 . 22、證明題（本題滿分10分） 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo), ，。試證 必存在一點(diǎn)，使得. 證明: 在上連續(xù)，故在上連續(xù)，且在上有最大值和最小值，故 由介值定理得，至少存在一點(diǎn)，使得 ，且在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)， 由羅爾定理可知，必存在，使得 23、（本題滿分20分）一火箭發(fā)射升空后沿豎直方向運(yùn)動，在距離發(fā)射臺4000m處裝有攝像機(jī)，攝像機(jī)對準(zhǔn)火箭。用 表示高度，假設(shè)在時刻 ，火箭高度=3000m，運(yùn)動速度等于300m/s,（1） 用表示火箭與攝像機(jī)的距離，求在時刻的增加速度. 【解】（1）設(shè)時刻高度為，火箭與攝像機(jī)的距離為，則 兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 代入=3000m，=300m/s，得 180 m/s （2） 用表示攝像機(jī)跟蹤火箭的仰角（弧度），求在時刻的增加速度. a a （2）設(shè)時刻攝像機(jī)跟蹤火箭的仰角（弧度）為，則有 兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 當(dāng)=3000m時，，=300m/s，故 (或) 《高等數(shù)學(xué)（一）》期末復(fù)習(xí)題答案 一、選擇題 1、C 解答：第一步，先分子有理化；第二步，分子利用平方差公式，第三步，分子分母同時除以x；第四步化簡即可。 2、B 解答：設(shè)，則，有零點(diǎn)定理得在區(qū)間內(nèi)存在實(shí)數(shù)根，又因，可知函數(shù)具有單調(diào)性，所以有唯一的實(shí)根。 3、C 本題考察不定積分的概念，不定積分是所有原函數(shù)的全體。 4、C解答：利用定積分的幾何意義，所求面積為 5、D 解答：直接積分法，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)可得 6、A解答：因?yàn)?，所以此時是無窮小量。 7、C 解答： 8、A 解答：因?yàn)椋詥握{(diào)增加。 9、D 解答： 10、A解答：利用定積分的幾何意義，所求面積為 11、B 解答：先分離變量，兩端再積分 所求通解為 12、D 解答：直接積分法，當(dāng)時有 13、C 解答： 是奇函數(shù)加上偶函數(shù) ，所以是非奇非偶函數(shù)。 14、B 解答：，所以此時是無窮小量。 15、A 解答：， 其它三項(xiàng)極限都不存在。 16、B 解答：設(shè)，則，有零點(diǎn)定理得在區(qū)間內(nèi)存在實(shí)數(shù)根，又因，可知函數(shù)具有單調(diào)性，所以有唯一的實(shí)根。 17、B 解答：求導(dǎo)與求積分是互逆的運(yùn)算，先求導(dǎo)再求積分，是所有原函數(shù)所以選B 18、C 解答：考察定積分的概念，定積分計(jì)算完以后是一個確切的常數(shù)，可能是正數(shù)，也可能是0，還可能是負(fù)數(shù)。 19、 A 解答：由函數(shù)的奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義去判斷即可，設(shè) ，則 20、B 解答：由于所以 21、C 解答： 是水平漸近線； 是鉛直漸近線。 22、D 考查定積分的性質(zhì)與基本的積分表 23、A 解答：分子分母同時除以n可以得到 24、B 解答：考查無窮小量的重要性質(zhì)之一，有界量和無窮小量的乘積仍為無窮小量，其它選項(xiàng)都不一定正確。 25、C 解答：，其它選項(xiàng)都有反例可以排除。 26、C解答：有求解斜漸近線的方法可得 ，所求斜漸近線為。其它選項(xiàng)都沒有。 二、填空題 1、 解答： 或者用羅比達(dá)法則也可以求解。 2、 2 解答： ，則 3、 2 解答：應(yīng)用奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上的積分為0 4、 分析：被積函數(shù) 相對于積分變量來說是常數(shù)，所以 5、 解答：，代入初始條件得到 所求特解為 6、0 解: 7、 解: 8、 1 解:則 9、 2 解：應(yīng)用性質(zhì)，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為0 10、解：由基本的積分公式 11、解：對方程 兩端積分 12、 2解：利用偶函數(shù)的積分性質(zhì) 13、1 解： 14、解：由微分的定義，先求出導(dǎo)數(shù)，再求微分 15、 解： 16、 解：將看成一個整體，利用湊微元法得 17、 解：先分離變量，再積分得通解 18、 解：先整理，再分離變量求通解 19、 解：利用重要極限進(jìn)行恒等變形，再求解 20、 解：本題是冪指函數(shù)，利用對數(shù)求導(dǎo)法來求導(dǎo)數(shù) 21、 解：分母相同，分子先通分，分子分母最高次冪都是2次冪，自變量趨于無窮大，極限等于最高次冪的系數(shù)之比 22、 解：分子分母最高次冪都是3次冪，自變量趨于無窮大，極限等于最高次冪的系數(shù)之比 23、 解：由微分的定義，先求出導(dǎo)數(shù)，再求微分，本題是冪指函數(shù)可以利用對數(shù)求導(dǎo)法來求導(dǎo)數(shù) 24、 解： 25、2 解：先求導(dǎo)數(shù)，再代入具體數(shù)值 26、 解：利用奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì) 27、 解：由微分的定義，先求出導(dǎo)數(shù)，再求微分 28、 2 解：利用奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì) . 三、解答題 1、（本題滿分9分） 解：由題意可得， 解得 所以函數(shù)的定義域?yàn)?[1，2] 2、（本題滿分10分） 解： 3、（本題滿分10分） 解：方程兩端對x求導(dǎo)，得 將代入上式，得 從而可得：切線方程為 即 4、（本題滿分10分） 解：作平面區(qū)域，如圖示 解方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)：（0，0），（1，1） 所求陰影部分的面積為：== 5、（本題滿分10分） 解： ∴ 在 處是連續(xù)的。 6、（本題滿分10分） 解：將原方程化為 兩邊求不定積分，得 ，于是 將代入上式，有，所以， 故原方程的特解為。 7、（本題滿分9分） 解：由題意可得， 解得 所以函數(shù)的定義域?yàn)?[4，5] 8、（本題滿分10分） 解： 9、（本題滿分10分） 解：方程兩端對x求導(dǎo)，得 將點(diǎn)（2，1）代入上式，得 從而可得：切線方程為 即 10、（本題滿分10分） 解：所求陰影部分的面積為 11、（本題滿分10分） 解： ∴ 在 處是連續(xù)的。 12、（本題滿分10分） 解：由方程，得 兩邊積分： 得 所以原方程的通解為：或 13、（本題滿分10分） 解：令，　在上連續(xù) ， 由零點(diǎn)定理可得，在區(qū)間內(nèi)至少有一個，使得函數(shù) ， 即方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個實(shí)根。 14、（本題滿分10分） 解： 15、（本題滿分10分） 解：方程兩端對求導(dǎo)，得 將點(diǎn)（0，1）代入上式，得 從而可得： 法線方程為 2 x y=2 y=cosx 0 y=2 16、（本題滿分10分） 解：作平面圖形，如圖示 17、（本題滿分10分） 解： ∴ 在 處是連續(xù)的。 18、（本題滿分10分） 解：將原方程化為或 兩邊求不定積分，得 由得到 故原方程的特解為或 19、（本題滿分20分） 解： 由切片法可得： 又根據(jù)問題的實(shí)際意義的最小值存在, 或者, 20、（本題滿分20分） 解： 由題意可得張角與球員距底線的距離滿足 令，得到駐點(diǎn)(不合題意，舍去) 及 . 由實(shí)際意義可知 , 所求最值存在, 駐點(diǎn)只一個, 故所求結(jié)果就是最好的選擇. 即該球員應(yīng)在離底線米處射門才能獲得最大的射門張角。若球員以5.2米每秒的速度跑向球門，則. 在距離球門兩米處射門張角的變化率為： (弧度/秒)。 21、（本題滿分10分） 解法1設(shè)，則 解法2 22、證明題（本題滿分10分） 證明: 在上連續(xù)，故在上連續(xù)，且在上有最大值和最小值，故 由介值定理得，至少存在一點(diǎn)，使得 ，且在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)， 由羅爾定理可知，必存在，使得 23、（本題滿分20分）a a 【解】（1）設(shè)時刻高度為，火箭與攝像機(jī)的距離為，則 兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 代入=3000m，=300m/s，得 180 m/s （2）設(shè)時刻攝像機(jī)跟蹤火箭的仰角（弧度）為，則有 兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 當(dāng)=3000m時，，=300m/s，故 (或)